ตัวอย่าง นะครับ คุณ G เห็นภาพ animation ของคุณ ~Awatarn~ ลองพิจารณานะครับ
ถ้าผม assume
1. ให้ลูกบอลเป็นอนุภาค ในขาลง ขาขึ้นยังเป็นลูกบอลอยู่ เดี๋ยวคุณ ~Awatarn~ จะกลิ้งไม่ได้ Haha
2. ให้ไม่มีแรงเสียดทานระหว่างผิวสัมผัส(พื้นเอียง และอนุภาค ถ้าอนุภาคมีผิว?) ในขาลง เหตุผลเดียวกับข้อ 1
คำถามคือ เมื่อ คุณ ~Awatarn~ กลิ้งเจ้าลูกบอลขึ้นไป แล้วเขาวิ่งหนีมันลงมา มันก็กลายเป็นอนุภาคพอดี เริ่มต้นเคลื่อนที่ลงจากหยุดนี่ง ภายใต้สนามความโน้มถ่วง g พื้นเอียงที่เราเห็นมีจุดตั้งต้น(ข้างบน)และจุดสุดท้าย(ข้างล่าง)แล้วเส้นทางที่ทำให้ อนุภาคเคลื่อนที่จากจุดตั้งต้นไปยังจุดสุดท้าย ใช้เวลาน้อยที่สุดคือเส้นทางไหน เริ่มต้นเราอาจจะคิด ว่าพื้นเอียงควรเป็นมุมเท่าไหร่ แต่ถ้าให้นอกกรอบกว่านั้น เราก็เปลียนจากเส้นตรงเป็นทางเดินของจุด (locus) อื่นนอกเหนือจากเส้นตรง ผลปรากฎว่าเส้นทางที่เรียกว่า Cycloid ทำให้เกิดผลดังว่า(สีแดง กรุณา Logged on ก่อนนะ)แต่เค้าไม่ได้แค่ลอง เรามีทฤษฎีสนับสนุน แต่ คุณ G ต้องใช้ Calculus of Variation มาแก้ปัญหานี้
Key words for self study: Brachistochrone, Cycloid ,Calculus of Variation 
ที่มาของรูป:
http://www.mathcurve.com/courbes2d/brachistochrone/brachistochrone.shtml
