มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41237 Posts in 6173 Topics- by 8024 Members - Latest Member: Prangg
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: Problem 6.18(โจทย์ 2 ดาว)  (Read 12548 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
Europa
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« on: November 29, 2006, 10:13:41 PM »

Show that the shortest path between two given points in a plane is a straight line,using plane polar coordinates.








Answer are in process please wait for a few day. embarassed
Sorry for unconvenient. angel
Logged
Europa
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #1 on: December 09, 2006, 08:40:12 PM »

The length of a path between points 1 and 2 (in polar form)is given by the integral as

L=\displaystyle{\int\limits_{r_1}^{r_2}}{\sqrt{1+r^2\phi\prime^2}dr}
so we get :
\displaystyle f(\phi,\phi\prime,z)=\sqrt{1+(R\phi\prime)^2}

According to Euler-Lagrange equation we can re-write it in a polar form

\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial{\phi}}-\frac{d}{dr}\frac{\partial f}{\partial {\phi\prime}}}=0}
\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial{\phi}}=0}So \boxed{\displaystyle{\frac{d}{dr}\frac{\partial f}{\partial {\phi\prime}}}=constant}

Given \displaystyle constant=c
So we can arrange equation in the box into
\displaystyle{\phi\prime}={\frac{c}{r^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{c^2}{r^2}}}}}
So
\displaystyle{\phi}={\arccos{\frac{c}{r}}+k}

when \displaystyle k = constant
finally we get
\displaystyle{r{\cos{(\phi-k)}}=c}  Azn
Logged
Europa
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #2 on: December 09, 2006, 08:44:15 PM »

รบกวนช่วยตรวจสอบ แก้ไข และ เพิ่มเติมในกรณีที่จำเป็นด้วยนะครับ   embarassedHuh
Logged
pattyphys
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 110


I know it is your life, but my life is you.


« Reply #3 on: December 14, 2006, 11:29:39 PM »

I suggest that you could compare your final result with the result from Cartesian coordinate to confirm and discuss more on the invariance of physical problem under the selection of coordinate. Finally, please tell the physical or mathematical meaning for each constant.

p.s. What \phi^\primestand for, please define? 
     Use \phi^\prime(\phi^\prime) instead of \phi\prime(\phi\prime) I suggest.
« Last Edit: December 15, 2006, 07:41:08 AM by pattyphys » Logged

I don't wanna live another day without you by my side.
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #4 on: December 24, 2006, 10:49:24 PM »

ผมแนะนำให้ Europa วาดกราฟให้ดูด้วยว่ามันตรงอย่างไรเพราะคนอื่นที่มาดูจะได้เข้าใจว่ากราฟนี้ตรง  great
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
piti118
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 68


« Reply #5 on: March 30, 2007, 10:53:59 PM »

คือมีอีกวิธีที่มัน more mathematically correct ครับ(แต่ประโยชน์สำหรับการเรียนรู้แล้วผมว่าน้อยกว่า) คือว่าเวลาใช้ Euler Lagrange Equation แล้วเรา assume ไว้ว่า minima exists ซึ่งในที่นี้ไม่ได้พิสูจน์ อีกวิธีคือใช้ theorem นี้ครับ(วิธีนี้ coordinate independent)
\displaystyle{\left|  \int \vec{f} dl \right| \leq  \int\left|  \vec{f} \right|  dl }
โดย f เป็น vector ที่ define path

คราวนี้มาดูข้างซ้าย ถ้าดูว่ามันหมายความว่าอย่างไร มันคือเอาเวคเตอร์ f*dl มาบวกกันแบบเวคเตอร์ไปเรื่อย ๆ เพราะฉะนั้นผลบวกก็จะได้เป็น เวคเตอร์เส้นตรงจาก จุดเริ่มต้นไปจุดปลาย หาขนาดก็จะได้ขนาดความยาวเส้นตรง

มาดูข้างขวา มันก็คือความยาว path ของเรานั่นเอง เพราะฉะนั้นเขียนเป็นคำพูดได้ว่า

ขนาดความยามเส้นตรง \leq ขนาดความยาว path ใด ๆ

หรือพูดได้ว่า ขนาดความยาวเส้นตรงสั้นที่สุด
« Last Edit: March 31, 2007, 07:24:17 AM by piti118 » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น