ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

...

เสรีภาพทางการศึกษาคือหัวใจของการศึกษาที่แท้จริง

คนแรกที่ควรได้รับการศึกษาคือผู้ให้การศึกษา

mPEC on Facebook

IPhO 2011 on Facebook

IPhO 2011

Further Academy
 
Advanced search

37988 Posts in 5625 Topics- by 4060 Members - Latest Member: supattrp
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: [5] Numerical Solution: Euler's Method (งานกลุ่ม)  (Read 10334 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: November 23, 2006, 11:45:14 AM »
กระทู้นี้เปิดไว้สำหรับให้นักศึกษาส่งงานกลุ่ม เรื่อง การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยวิธีการเชิงตัวเลข
(หรือ Solving a differential equation by a numerical method)

วิธีการที่ให้พวกเราใช้คือวิธีการที่ง่ายที่สุด ที่เรียกว่า Euler's Method 
ซึ่งใช้สำหรับแก้ Initial Value Problem (IVP) ในรูป
       \frac{dy}{dx} = f(x,y),      y(x_0) = y_0

โดยผลเฉลย ที่จุด (x_n_+_1,y_n_+_1) ใดๆ หาได้จาก
       y_n_+_1 = y_n + h f(x_n,y_n)    ---(*)

เมื่อ h คือระยะห่างระหว่าง x_n_+_1 กับ x_n
นั่นคือ x_n_+_1 = x_n + h

คำสั่ง
1. เขียนเลขประจำตัวสมาชิกประจำกลุ่ม
2. แสดงโจทย์ IVP ที่เราต้องแก้
3. แสดงสมการผลเฉลยแบบ (*) ข้างบน แต่เขียนให้อยู่ในรูปของ (x_n,y_n)
4. แสดงกราฟผลเฉลย ซึ่งประกอบด้วย ผลเฉลยที่แท้จริง (ที่แก้ด้วยวิธี Analytical)
    และผลเฉลยที่ได้จาก Euler's Method โดยใช้ค่า h ต่างๆ กัน สัก 3 ค่า
« Last Edit: December 20, 2006, 10:17:24 AM by f4 » Logged
This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #1 on: November 23, 2006, 12:11:25 PM »
ตัวอย่าง

3405049 ส่งการแก้โจทย์
\frac{dy}{dx} = y,  y(0) = 1
ด้วย Euler's Method เพื่อหาค่า y  ที่ x ใดๆ (ซึ่งไม่ควรห่างจาก x = 0 มากนัก)

สมการผลเฉลยจะอยู่ในรูป
      y_n_+_1 = y_n + h f(x_n,y_n) = y_n + h y_n

ทั้งนี้เพราะ f(x,y) = y (ดูสมการในโจทย์)

เราจะได้ว่า     y_n_+_1 = y_n(1 + h)

ใช้ Spread Sheet บน Microsoft Excel เพื่อคำนวณและเขียนกราฟผลเฉลย
สำหรับค่า h = 0.1, 0.05, 0.01 ได้กราฟดังรูปข้างล่าง

ทั้งนี้เส้นกราฟ Actual y หมายถึงผลเฉลยที่ได้จากการแก้สมการแบบ Analytical
ซึ่งคือ y = e^x
« Last Edit: November 23, 2006, 01:34:26 PM by f4 » Logged
This is F4 :-)
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...
« Reply #2 on: November 26, 2006, 05:32:13 PM »
4805099 4805057 4805046

y^{\prime} = 2xy , y(1) = 1

from y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n)

\therefore y_{n+1} = y_n + h(2x_ny_n)

from analytical
y = exp(x^2 - 1)
Logged
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง
« Reply #3 on: November 27, 2006, 11:50:50 PM »
๔๘๐๕๐๐๓, ๔๘๐๕๐๐๘, ๔๘๐๕๒๒๘

ข้อ ๖ แบบฝึกหัด ๒.๖

              y'=x๒+y๒ ,        y(๐) = ๑          ; y(๐.๕)

ข้อนี้ผมคิดว่าหาคำตอบแบบ analytical ไม่ได้ครับ  Afro
Logged
sammy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5
« Reply #4 on: November 28, 2006, 02:49:35 PM »
รหัสประจำตัวสมาชิก 4805127 4805128 4805190

y^{\prime}=y-y^2,y(0)=0.5

Analytical Solution y=\dfrac{e^x}{1+e^x}

y_{n+1}=y_n+h(y_n-y_n^2)
Logged
Rattaporn
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 13

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #5 on: November 28, 2006, 06:28:37 PM »
Our ID are 4805091,4805123,4805182

2.6.2)   y^\prime = x+y^2

         Solution from Euler's Method : y_{n+1} = y_n+h(x_n+y_n^2)

         Actual Solution :  Shocked   Sad   bang head   Cry

         This is the graph

         
Logged
Armageddon
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


Ich bin ein physiker.
« Reply #6 on: November 28, 2006, 10:42:04 PM »
4805045 4805090 4805126  ครับ

Exercises 2.6

ข้อ 5   y^\prime = e^{-y} , y(0)=1 ; \ \ \ y(0.5)

Analytical Solution : y = ln(x+1)

\therefore y_{n+1} = y_n + h(e^{-y_n})
« Last Edit: November 28, 2006, 11:30:42 PM by Armageddon » Logged
จงมอบความรัก  ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง   ทั้งตื่นและฝัน....^^
visutida
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 16

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #7 on: November 29, 2006, 10:57:34 PM »
by 4805180 and 4805208

สมการที่เลือกคือ \dfrac{dy}{dx} = x^2 y + 3x^2 y(0) = 1  ;  y(0.1)  and  y(0.05)

เนื่องจากสมการเป็นแบบ linear จึงแก้สมการได้เป็น

y = 4exp((x^3)/3) - 3

และใช้ Euler Method สร้างกราฟได้ดังนี้
Logged
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #8 on: November 30, 2006, 12:23:06 PM »
by 4805233 , 4805252 , 4805275

สมการคือ  \frac{dy}{dx} = (x-y)^2 , y(0) = 0.5 , y(0.5)

จากการแก้สมการจะได้ y = \frac{1-\frac{e^{2x}}{3}}{1+\frac{e^{2x}}{3}}

ใช้ Euler Method สร้างกราฟใน  excel ได้เป็น
« Last Edit: November 30, 2006, 02:37:51 PM by f4 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #9 on: November 30, 2006, 02:31:04 PM »
Quote from: Rattaporn on November 28, 2006, 06:28:37 PM
4805091,4805123,4805182
2.6.2)   y^\prime = x+y^2

เอ่อ... ไม่ทราบว่าเงื่อนไขเริ่มต้น (Intitial Condition) คืออะไรคะ?  Shocked
Logged
This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #10 on: November 30, 2006, 02:34:16 PM »
Quote from: BBC on November 30, 2006, 12:23:06 PM
by 4805233 , 4805252 , 4805275

สมการคือ  \frac{dy}{dx} = (x-y)^2 , y(0) = 0.5 , y(0.5)    (*)

จากการแก้สมการจะได้ y = \frac{1-\frac{e^{2x}}{3}}{1+\frac{e^{2x}}{3}}    (**)

(*) สังเกตว่าโจทย์ให้เงื่อนไขเริ่มต้นที่จุด x = 0
     และให้ใช้ Euler's Method หาผลเฉลยที่อีกจุดซึ่งไม่ไกลนัก คือ x = 0.5
     แต่ผลที่เราแสดงในกราฟ พล็อตไปไกลเหลือเกิน ... ถึง  x = 40 แน่ะ!   Huh

(**) ผลเฉลยที่ได้ไม่เห็นเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นเลย y(0) = 0.5   idiot2

สมการของพวกเราเป็น Nonlinear D.E. นี่นา
แก้สมการด้วยวิธีไหน ช่วยแสดงให้ดูด้วยก็จะดีต่อเพื่อนๆ นะ  icon adore
« Last Edit: November 30, 2006, 02:57:34 PM by f4 » Logged
This is F4 :-)
nong020
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #11 on: November 30, 2006, 05:02:46 PM »
4805166  4805020  4805006

สมการคือ  y\prime=xy+\sqrt{y}

ด้วย Euler's Method

สมการผลเฉลยจะอยู่ในรูป  y_n_+_1 = y_n + h f(x_n,y_n)     หรือ y_n_+_1 = y_n + h (x_n y_n+\sqrt{y_n})

     
สำหรับค่า  h = 0.1, 0.05

เนื่องจากพอแก้สมการแบบ analyte (โดยใช้ Mathematica 5.1) พบว่าคำตอบมี Error Function รวมอยู่ด้วย จึงต้องใช้ Mathematica ในการช่วยคำนวณค่าคำตอบจริง


ได้กราฟดังรูปข้างล่าง
« Last Edit: December 01, 2006, 09:27:41 AM by f4 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #12 on: December 01, 2006, 09:25:42 AM »
Quote from: nong020 on November 30, 2006, 05:02:46 PM
4805166  4805020  4805006

สมการคือ  y\prime=xy+\squrt{y}
...

เนื่องจากพอแก้สมการแบบ analyte (โดยใช้ Mathematica 5.1) พบว่าคำตอบมี Error Function รวมอยู่ด้วย จึงต้องใช้ Mathematica ในการช่วยคำนวณค่าคำตอบจริง
...

ดีมาก พยายามหาวิธีการอื่นๆ ช่วยในการหาผลเฉลยด้วย  great

แต่ว่า... สมการของเราไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเหรอ?  idiot2
Logged
This is F4 :-)
Blackpanther
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #13 on: December 13, 2006, 11:38:42 PM »
Quote from: f4 on December 01, 2006, 09:25:42 AM


Quote from: nong020 on November 30, 2006, 05:02:46 PM
4805166  4805020  4805006

สมการคือ  y\prime=xy+\squrt{y}
...
เนื่องจากพอแก้สมการแบบ analyte (โดยใช้ Mathematica 5.1) พบว่าคำตอบมี Error Function รวมอยู่ด้วย จึงต้องใช้ Mathematica ในการช่วยคำนวณค่าคำตอบจริง

ดีมาก พยายามหาวิธีการอื่นๆ ช่วยในการหาผลเฉลยด้วย  great

แต่ว่า... สมการของเราไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเหรอ?  idiot2

แหะๆๆๆ มีครับ ลืมพิมพ์ไปขอโทษครับ

เงื่อนไขเริ่มต้นคือ

y(0)=1

ครับ ขออภัย
« Last Edit: December 14, 2006, 04:35:18 PM by f4 » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น