ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก
Did you miss your activation email?

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
 
Advanced search

40016 Posts in 5865 Topics- by 4558 Members - Latest Member: Bennaja
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: [5] Numerical Solution: Euler's Method (งานกลุ่ม)  (Read 12301 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: November 23, 2006, 11:45:14 AM »

กระทู้นี้เปิดไว้สำหรับให้นักศึกษาส่งงานกลุ่ม เรื่อง การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ โดยวิธีการเชิงตัวเลข
(หรือ Solving a differential equation by a numerical method)

วิธีการที่ให้พวกเราใช้คือวิธีการที่ง่ายที่สุด ที่เรียกว่า Euler's Method 
ซึ่งใช้สำหรับแก้ Initial Value Problem (IVP) ในรูป
       \frac{dy}{dx} = f(x,y),      y(x_0) = y_0

โดยผลเฉลย ที่จุด (x_n_+_1,y_n_+_1) ใดๆ หาได้จาก
       y_n_+_1 = y_n + h f(x_n,y_n)    ---(*)

เมื่อ h คือระยะห่างระหว่าง x_n_+_1 กับ x_n
นั่นคือ x_n_+_1 = x_n + h

คำสั่ง
1. เขียนเลขประจำตัวสมาชิกประจำกลุ่ม
2. แสดงโจทย์ IVP ที่เราต้องแก้
3. แสดงสมการผลเฉลยแบบ (*) ข้างบน แต่เขียนให้อยู่ในรูปของ (x_n,y_n)
4. แสดงกราฟผลเฉลย ซึ่งประกอบด้วย ผลเฉลยที่แท้จริง (ที่แก้ด้วยวิธี Analytical)
    และผลเฉลยที่ได้จาก Euler's Method โดยใช้ค่า h ต่างๆ กัน สัก 3 ค่า
« Last Edit: December 20, 2006, 10:17:24 AM by f4 » Logged

This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #1 on: November 23, 2006, 12:11:25 PM »

ตัวอย่าง

3405049 ส่งการแก้โจทย์
\frac{dy}{dx} = yy(0) = 1
ด้วย Euler's Method เพื่อหาค่า y  ที่ x ใดๆ (ซึ่งไม่ควรห่างจาก x = 0 มากนัก)

สมการผลเฉลยจะอยู่ในรูป
      y_n_+_1 = y_n + h f(x_n,y_n) = y_n + h y_n

ทั้งนี้เพราะ f(x,y) = y (ดูสมการในโจทย์)

เราจะได้ว่า     y_n_+_1 = y_n(1 + h)

ใช้ Spread Sheet บน Microsoft Excel เพื่อคำนวณและเขียนกราฟผลเฉลย
สำหรับค่า h = 0.1, 0.05, 0.01 ได้กราฟดังรูปข้างล่าง

ทั้งนี้เส้นกราฟ Actual y หมายถึงผลเฉลยที่ได้จากการแก้สมการแบบ Analytical
ซึ่งคือ y = e^x


* DE_Euler_Method.GIF (5.94 KB, 562x394 - viewed 888 times.)
« Last Edit: November 23, 2006, 01:34:26 PM by f4 » Logged

This is F4 :-)
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #2 on: November 26, 2006, 05:32:13 PM »

4805099 4805057 4805046

 y^{\prime} = 2xy , y(1) = 1

from  y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n)

\therefore y_{n+1} = y_n + h(2x_ny_n)

from analytical
 y = exp(x^2 - 1)


* Euler's Method.jpg (57.47 KB, 581x484 - viewed 848 times.)
Logged
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #3 on: November 27, 2006, 11:50:50 PM »

๔๘๐๕๐๐๓, ๔๘๐๕๐๐๘, ๔๘๐๕๒๒๘

ข้อ ๖ แบบฝึกหัด ๒.๖

              y'=x+y ,        y(๐) = ๑          ; y(๐.๕)

ข้อนี้ผมคิดว่าหาคำตอบแบบ analytical ไม่ได้ครับ  Afro


* ข้อ6.jpg (19.92 KB, 655x402 - viewed 892 times.)
Logged
sammy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5


« Reply #4 on: November 28, 2006, 02:49:35 PM »

รหัสประจำตัวสมาชิก 4805127 4805128 4805190

y^{\prime}=y-y^2,y(0)=0.5

Analytical Solution y=\dfrac{e^x}{1+e^x}

y_{n+1}=y_n+h(y_n-y_n^2)


* graph_numerical.JPG (27.3 KB, 624x475 - viewed 845 times.)
Logged
Rattaporn
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 13

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #5 on: November 28, 2006, 06:28:37 PM »

Our ID are 4805091,4805123,4805182

2.6.2)   y^\prime = x+y^2

         Solution from Euler's Method : y_{n+1} = y_n+h(x_n+y_n^2)

         Actual Solution :  Shocked   Sad   bang head   Cry

         This is the graph

         


* DE_Pic.JPG (32.38 KB, 742x523 - viewed 835 times.)
Logged
Armageddon
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


Ich bin ein physiker.


« Reply #6 on: November 28, 2006, 10:42:04 PM »

4805045 4805090 4805126  ครับ

Exercises 2.6

ข้อ 5   y^\prime = e^{-y}  ,  y(0)=1 ; \ \ \ y(0.5)

Analytical Solution : y = ln(x+1)

\therefore y_{n+1} = y_n + h(e^{-y_n})




* graph.JPG (32.87 KB, 908x618 - viewed 825 times.)
« Last Edit: November 28, 2006, 11:30:42 PM by Armageddon » Logged

จงมอบความรัก  ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง   ทั้งตื่นและฝัน....^^
visutida
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 16

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #7 on: November 29, 2006, 10:57:34 PM »

by 4805180 and 4805208

สมการที่เลือกคือ \dfrac{dy}{dx} = x^2 y + 3x^2 y(0) = 1  ;  y(0.1)  and  y(0.05)

เนื่องจากสมการเป็นแบบ linear จึงแก้สมการได้เป็น

y = 4exp((x^3)/3) - 3

และใช้ Euler Method สร้างกราฟได้ดังนี้


* Euler Method.jpg (869.12 KB, 686x432 - viewed 815 times.)
Logged
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #8 on: November 30, 2006, 12:23:06 PM »

by 4805233 , 4805252 , 4805275

สมการคือ   \frac{dy}{dx} = (x-y)^2 , y(0) = 0.5 ,  y(0.5)

จากการแก้สมการจะได้  y = \frac{1-\frac{e^{2x}}{3}}{1+\frac{e^{2x}}{3}}

ใช้ Euler Method สร้างกราฟใน  excel ได้เป็น



* open.JPG (19.04 KB, 512x384 - viewed 805 times.)
« Last Edit: November 30, 2006, 02:37:51 PM by f4 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #9 on: November 30, 2006, 02:31:04 PM »

4805091,4805123,4805182
2.6.2)   y^\prime = x+y^2

เอ่อ... ไม่ทราบว่าเงื่อนไขเริ่มต้น (Intitial Condition) คืออะไรคะ?  Shocked
Logged

This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #10 on: November 30, 2006, 02:34:16 PM »

by 4805233 , 4805252 , 4805275

สมการคือ   \frac{dy}{dx} = (x-y)^2 , y(0) = 0.5 ,  y(0.5)    (*)

จากการแก้สมการจะได้  y = \frac{1-\frac{e^{2x}}{3}}{1+\frac{e^{2x}}{3}}    (**)

(*) สังเกตว่าโจทย์ให้เงื่อนไขเริ่มต้นที่จุด x = 0
     และให้ใช้ Euler's Method หาผลเฉลยที่อีกจุดซึ่งไม่ไกลนัก คือ x = 0.5
     แต่ผลที่เราแสดงในกราฟ พล็อตไปไกลเหลือเกิน ... ถึง  x = 40 แน่ะ!   Huh

(**) ผลเฉลยที่ได้ไม่เห็นเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นเลย y(0) = 0.5   idiot2

สมการของพวกเราเป็น Nonlinear D.E. นี่นา
แก้สมการด้วยวิธีไหน ช่วยแสดงให้ดูด้วยก็จะดีต่อเพื่อนๆ นะ  icon adore
« Last Edit: November 30, 2006, 02:57:34 PM by f4 » Logged

This is F4 :-)
nong020
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #11 on: November 30, 2006, 05:02:46 PM »

4805166  4805020  4805006

สมการคือ  y\prime=xy+\sqrt{y}

ด้วย Euler's Method

สมการผลเฉลยจะอยู่ในรูป  y_n_+_1 = y_n + h f(x_n,y_n)     หรือ y_n_+_1 = y_n + h (x_n y_n+\sqrt{y_n})

     
สำหรับค่า  h = 0.1, 0.05

เนื่องจากพอแก้สมการแบบ analyte (โดยใช้ Mathematica 5.1) พบว่าคำตอบมี Error Function รวมอยู่ด้วย จึงต้องใช้ Mathematica ในการช่วยคำนวณค่าคำตอบจริง


ได้กราฟดังรูปข้างล่าง



* 1.JPG (27.28 KB, 519x447 - viewed 782 times.)
« Last Edit: December 01, 2006, 09:27:41 AM by f4 » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #12 on: December 01, 2006, 09:25:42 AM »

4805166  4805020  4805006

สมการคือ  y\prime=xy+\squrt{y}
...

เนื่องจากพอแก้สมการแบบ analyte (โดยใช้ Mathematica 5.1) พบว่าคำตอบมี Error Function รวมอยู่ด้วย จึงต้องใช้ Mathematica ในการช่วยคำนวณค่าคำตอบจริง
...

ดีมาก พยายามหาวิธีการอื่นๆ ช่วยในการหาผลเฉลยด้วย  great

แต่ว่า... สมการของเราไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเหรอ?  idiot2
Logged

This is F4 :-)
Blackpanther
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #13 on: December 13, 2006, 11:38:42 PM »



4805166  4805020  4805006

สมการคือ  y\prime=xy+\squrt{y}
...
เนื่องจากพอแก้สมการแบบ analyte (โดยใช้ Mathematica 5.1) พบว่าคำตอบมี Error Function รวมอยู่ด้วย จึงต้องใช้ Mathematica ในการช่วยคำนวณค่าคำตอบจริง

ดีมาก พยายามหาวิธีการอื่นๆ ช่วยในการหาผลเฉลยด้วย  great

แต่ว่า... สมการของเราไม่มีเงื่อนไขเริ่มต้นเหรอ?  idiot2

แหะๆๆๆ มีครับ ลืมพิมพ์ไปขอโทษครับ

เงื่อนไขเริ่มต้นคือ

y(0)=1

ครับ ขออภัย
« Last Edit: December 14, 2006, 04:35:18 PM by f4 » Logged
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น