ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41616 Posts in 6282 Topics- by 9887 Members - Latest Member: Nature
« previous next »
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: Finding irreducible representations for which certain eigenfunctions form bases  (Read 14724 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« on: January 09, 2007, 06:58:26 PM »
This is about problem 7 in the problem set 8.

  • This question may sound silly. What is an "irreducible transformation" in Question (f)? Does it mean "irreducible representation" of the group of symmetry operations?

  • What does the first sub-question of Question (g) expect me to answer? Just whether it is normal/accidental or something more? What exactly is a "degeneracy"? (Stupid question again.) A situation, a set of something or a what...

  • For Question (g), if I can find (p, q) such that p^2 + q^2 = 85 then the degeneracy is accidental right?
Logged
Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6358


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #1 on: January 09, 2007, 07:18:27 PM »
Quote from: เกียรติศักดิ์ on January 09, 2007, 06:58:26 PM
This is about problem 7 in the problem set 8.


  • This question may sound silly. What is an "irreducible transformation" in Question (f)? Does it mean "irreducible representation" of the group of symmetry operations?
    ...
This is a typo. It should read irreducible representations as in question 7 (e).  Grin
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6358


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: January 09, 2007, 07:30:10 PM »
Quote from: เกียรติศักดิ์ on January 09, 2007, 06:58:26 PM
...
What does the first sub-question of Question (g) expect me to answer? Just whether it is normal/accidental or something more? What exactly is a "degeneracy"? (Stupid question again.) A situation, a set of something or a what...


For Question (g), if I can find (p, q) such that p^2 + q^2 = 85 then the degeneracy is accidental right?
...

From E_{p,q} = \dfrac{\hbar^2\pi^2}{8m}(p^2 + q^2) you can see that (p=6,q=7), (p=7,q=6), (p=2,q=9) \mbox{ and } (p=9,q=2) all give the same value of E = 85\dfrac{\hbar^2\pi^2}{8m}. So the degeneracy for this energy state is 4.  However, since the eigenfunctions \varphi_{6,7} \mbox{ and } \varphi_{7,6} are transformed among themselves and the eigenfunctions \varphi_{2,9} \mbox{ and } \varphi_{9,2} are transformed only among themselves, this fourfold degeneracy is accidental.
« Last Edit: January 09, 2007, 07:33:01 PM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #3 on: January 09, 2007, 08:00:29 PM »
Thank you.

Can the reason for accidental degeneracy be that there are not any matrix representation whose dimensionality is four?

P.S. I should write the question as "... if I can find additional (p, q) ..." otherwise it looks strange redfaced.
Logged
Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6358


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #4 on: January 10, 2007, 05:56:53 AM »
Quote from: เกียรติศักดิ์ on January 09, 2007, 08:00:29 PM

Can the reason for accidental degeneracy be that there are not any matrix representation whose dimensionality is four?

...

I think it's just pure accidental in this case (from the numbers (6,7) and (2,9)).
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #5 on: January 13, 2007, 02:04:10 PM »
แล้วอย่างนั้นมันไม่ pure accidental ยังไงหรือครับ
Logged
Scientia gaza inaestimabilis est.
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6358


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: January 13, 2007, 10:18:50 PM »
Quote from: เกียรติศักดิ์ on January 13, 2007, 02:04:10 PM
แล้วอย่างนั้นมันไม่ pure accidental ยังไงหรือครับ

ที่กล่าวมามัน accidental อย่างไรล่ะ?

มันต้องดูที่ state ที่มีพลังงานเท่ากันไม่ใช่หรือว่ามันเกิดจากการ generate ด้วย symmetry operations หรือเปล่า หรือว่าเท่ากันด้วยเหตุผลอื่น  การที่พลังงานเท่ากันหรือไม่มันเกี่ยวข้องกับ dimension ของ represention อย่างไรหรือ ?
แต่การที่ไม่มี irreducible representation ที่มี dimension 4 ก็เป็นการยืนยันว่าไม่มี eigenfunction 4 ฟังก์ฃันที่ถูกแปลงปนกัน  Cool
« Last Edit: January 14, 2007, 08:08:06 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
เกียรติศักดิ์
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 296


:)


WWW
« Reply #7 on: January 14, 2007, 02:14:09 PM »
เข้าใจแล้วครับ

ในการบอกว่า degeneracy นั้น accidental ผมดูเอาจากว่า ถ้าผมมี eigenfunctions \ell ตัวที่พลังงานเท่ากัน โดยที่ยังไม่รู้ว่า degeneracy เป็น accidental หรือ normal ผมก็ไปมองหาดูว่ามี irreducible representation มิติ \ell ที่ eigenfunctions เหล่านี้จะ generate ได้หรือเปล่า

ในข้อนี้โชคดีที่ผมพบว่าไม่มี irreducible representation มิติ 4 แน่ๆ ก็เลยสรุปว่า eigenfunctions เหล่านี้เป็นกรณีของ accidental degeneracy แน่ๆ ครับ

สิ่งที่ผมมองข้ามไปคือ แม้ว่าถ้ามี representation มิติ \ell อยู่จริงๆ ผมก็สรุปไม่ได้อยู่ดีว่ามัน generate โดย \ell eigenfunctions ที่ผมกำลังพิจารณา (เว้นเสียแต่ว่าผมจะรู้ explicit form ของ representation แล้วเอา symmetry operations เหล่านี้ไป transform ระหว่าง eigenfunctions เหล่านี้ดู [ใช่หรือไม่ครับ]) ดังนั้น ผมก็ยังสรุปไม่ได้ว่า degeneracy เป็นแบบ normal หรือ accidental

การที่ eigenfunctions \ell ตัวของผมมีพลังงานเท่ากันจึงไม่ได้เกี่ยวข้องกับมิติของ representation แต่อย่างใด สิ่งที่ผมต้องทำจริงๆ คือ มองหาเหตุผลอื่นนอกเหนือไปจาก symmetry operations ที่ทำให้ eigenfunctions บางตัวมีพลังงานเท่ากันต่างหาก ซึ่งคือเหตุผลที่อาจารย์ได้บอก

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 13, 2007, 10:18:50 PM
แต่การที่ไม่มี irreducible representation ที่มี dimension 4 ก็เป็นการยืนยันว่าไม่มี eigenfunction 4 ฟังก์ฃันที่ถูกแปลงปนกัน  Cool

ครับผม

ผมเข้าใจถูกต้องแล้วใช่มั้ยครับ Smiley
« Last Edit: January 14, 2007, 02:16:34 PM by เกียรติศักดิ์ » Logged
Scientia gaza inaestimabilis est.
Pages: 1   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: