[3] Linear Equations

dogmomo

neutrino

Offline

Posts: 20

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #15 on: November 21, 2006, 02:50:48 PM »

ข้อ 8 ครับ Huh

$y^\prime=2y+x^2+5$

จัดเข้ารูปของ

$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

จะได้ว่า

$\dfrac{dy}{dx} -2y=x^2+5$ -----1.

ดู $P(x)=-2$ จะได้ว่า

$e^{\int P(x)dx} = e^{\int -2dx}=e^{-2x}$

กลับไปยังสมการ ที่ 1. คูณด้วย $e^{-2x}$ ทั้งสองข้าง;

$e^{-2x}[\dfrac{dy}{dx}-y] = e^{-2x}(x^2+5)$

$\dfrac{d}{dx}(e^{-2x}y) = e^{-2x}x^2+5e^{-2x}$

$e^{-2x}y = \int(e^{-2x}x^2+5e^{-2x})dx$ -----2.

{แว็บมาคิด $\int(e^{-2x}x^2+5e^{-2x})dx$ ใช้ integrate by part 2 รอบจะได้ว่า(เผอิญเยอะ พิมพ์ ไม่ไหวครับอ. Cry

)
รอบแรก $x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2})+\int(-\dfrac{e^{-2x}}{2})2xdx$
ทำ by part อีกรอบหนึ่งจะได้ $x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4}$ }

พอทำเสร็จจะได้ว่า

$e^{-2x}y = \dfrac{-5e^{-2x}}{2} + x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4}$

$y = e^{2x}(\dfrac{-5e^{-2x}}{2} + x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4})$

$y = \dfrac{-5}{2} + x^2(-\dfrac{1}{2}) + x(-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{1}{-4}$

$y = -\dfrac{1}{2} (x^2 + x + \frac{11}{2})$ ans buck2

นายชัยรัตน์ ร่มโพธิ์คาพงษ์ 4805045 ครับ


« Last Edit: November 22, 2006, 03:23:50 PM by dogmomo »	Logged

Start

neutrino

Offline

Posts: 8

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #16 on: November 21, 2006, 09:27:27 PM »

2.3.10 $\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 }$

Find the general solution of the given differential equation. Give the largest interval I over which the general solution is defined. Determine whether there are any transient terms in the general solution.

$\displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 }$
$\displaystyle{ \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \frac{3}{x} }$ (1)

Find the Integrating Factor
$\displaystyle{ IF = e^{ \int \frac{2}{x} dx}}$
$\displaystyle{ IF = e^{\ln x^2}}$
$\displaystyle{ IF = x^2}$

Time IF to (1)

$\displaystyle{ x^2 \frac{dy}{dx} + x^2 \frac{2}{x} y = x^2 \frac{3}{x} }$
$\displaystyle{ x^2 \frac{dy}{dx} + 2 x y = 3 x }$
$\displaystyle{ \frac{ d x^2 y}{dx} = 3 x }$
$\displaystyle{ \int \frac{ d x^2 y}{dx} dx = \int 3 x dx }$
$\displaystyle{ x^2 y = \frac{3}{2} x^2 + c }$
$\displaystyle{ y = \frac{c}{x^2} + \frac{3}{2} }$

Thus the general solution of this differential equation is

$\displaystyle{ y = \frac{c}{x^2} + \frac{3}{2} }$ .

This function is define on $\Re - \{ 0 \}$ .

Transient term is $\displaystyle{ \frac{c}{x^2} }$ .

Naruepon Weerawongphrom 4805057


	Logged

Blackpanther

neutrino

Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations ข้อ 18

« Reply #17 on: November 21, 2006, 10:11:33 PM »

18. $\cos^2 {x} \sin{x}\frac{dy}{dx}+y\cos^3{x}=1$

จากโจทย์จัดรูปใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้เป็น

$\frac{dy}{dx}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}y=\frac{1}{\cos^2{x}\sin{x}}$

พิจารณาหา Integrating factor ได้เป็น

$e^{\int{\cot{x}dx}}=e^{\ln |\sinx|}=|sin x|$

หรือกล่าวว่าเป็น $\sin x$ โดยที่ $0<x \leq\frac{\pi}{2}$

tex]y\sin{x}=\tan{x}+c[/tex]

โดย $c$ เป็นค่าคงที่เนื่องจากการอินทิเกรต

จากนั้นจัดรูปใหม่ได้เป็น

$y=\frac{c}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$

ดังนั้นคำตอบสำหรับสมการนี้คือ

$y=\frac{c}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$ โดยที่ $0<x \leq\frac{\pi}{2}$

โดย นายมงคล มุ่งเวฬุวัน 4805166


	Logged

Praveena

neutrino

Offline

Posts: 19

Re: Linear Equations

« Reply #18 on: November 21, 2006, 10:13:29 PM »

Problem 16
$ydx = (ye^{y}-2x)dy$
$y\displaystyle{\frac{dx}{dy}} = ye^{y}-2x$
$\displaystyle{\frac{dx}{dy}= e^{y}- \frac{2x}{y}}$
$\displaystyle{\frac{dx}{dy}+\frac{2x}{y}=e^{y}}$
Integrating factor is
$\displaystyle {e^{\int\frac{2}{y}}= e^{2lny}= y^2}$
$\displaystyle{\frac{d}{dy}}(y^2x) = e^y$
$y^{2}x = e^{y}+c$
$x = \displaystyle{\frac{e^{y}}{y^2}+\frac{c}{y^2}}$
by Praveena tantayanyong u4805127


« Last Edit: November 21, 2006, 10:16:43 PM by Praveena »	Logged

Mann

neutrino

Offline

Posts: 19

ปวดหัวเรื่อง Haidinger's brush

Re: Linear Equations

« Reply #19 on: November 22, 2006, 03:15:35 PM »

exercises 2.3(9)
$x\frac{dy}{dx}-y=x^2\sin{x}$
$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin{x}$
integrating factor $= e^{\int{-\frac{1}{x}}dx} = e^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x}$
multiple the equation by $\frac{1}{x}$
hence $\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}=\sin{x}$
$d\frac{y}{x} = \sin{x}$
$\frac{y}{x} = \int{sinx}dx = -\cos{x}+c$
$y = cx-x/cos{x}$

by 4805046 Chakrit


« Last Edit: November 22, 2006, 03:25:22 PM by chakrit Smarnrak »	Logged

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 227

This is F4 :-)

Re: Linear Equations

« Reply #20 on: November 22, 2006, 05:55:43 PM »

Quote from: f4 on November 22, 2006, 05:47:56 PM

by 4805208 Wisuttida Wichitwong
22.)
... $= 2 \exp(t^2-t) + C$
ดังนั้น solution ของสมการ คือ
$P = 2 + C \exp(t^2-t)$

visutida ทำอะไรผิดหรือเปล่าเอ่ย idiot2


« Last Edit: November 23, 2006, 08:05:00 AM by f4 »	Logged

This is F4 :-)

quantize

neutrino

Offline

Posts: 33

ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง

Re: Linear Equations

« Reply #21 on: November 22, 2006, 06:24:44 PM »

แบบฝึกหัด ๒.๓ ข้อ ๖ ขอรับ

โจทย์ ---------> $\displaystyle{\frac{dy}{dx}+2xy=x^3}$

หา integrating factor

$\displaystyle{e^{\int 2xdx}=e^{x^2}}$

จะได้ $\displaystyle{\frac{d}{dx}[e^{x^2}y]=x^3e^{x^2}}$

$\displaystyle{e^{x^2}y=\int x^3e^{x^2}dx}$

ใช้ integrated by part ที่ทุกคนทำได้อยู่แล้ว แก้เทอมทางขวาของสมการ รวบรัดฆ่าตัดตอนได้เป็น

$\displaystyle{4e^{x^2}y=e^{x^2}[2x^3-3x^2+3x-3]+c}$

ผิดพลาดประการใดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

กรกฏ ศุภนิรันดร์ 4805008


	Logged

visutida

neutrino

Offline

Posts: 16

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #22 on: November 22, 2006, 06:32:50 PM »

by 4805208 Wisuttida Wichitwong

22.)
$\dfrac{dP}{dt}+2tP = P+4t-2$
$\dfrac{dP}{dt}+2tP-P = 4t-2$
$\dfrac{dP}{dt}+(2t-1)P = 4t-2$

หา integrating factor
$\exp(\int P(t) dt) = \exp(\int(2t-1) dt)$
$= \exp(t^2-t)$

เอา integrating factor คูณสมการในบรรทัดที่สาม
$\exp(t^2-t) \dfrac{dP}{dt} + (2t-1)\exp(t^2-t) P = (4t-2)\exp(t^2-t)$
$\dfrac{d}{dt} P \exp(t^2-t) = (4t-2)\exp(t^2-t)$

integrate ทั้งสองข้างของสมการ
$\int \dfrac{d}{dt} P \exp(t^2-t) dt = \int (4t-2) \exp(t^2-t) dt$
$P \exp(t^2-t) = 2 \int (2t-1) \exp(t^2-t) dt$
$= 2 \exp(t^2-t) + C$
ดังนั้น solution ของสมการ คือ
$P = 2 + \dfrac{C}{\exp(t^2-t)}$


« Last Edit: November 23, 2006, 08:03:09 AM by f4 »	Logged

xila_kwang

neutrino

Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #23 on: November 22, 2006, 08:52:32 PM »

Kamolwan Namthongthai 4805006
$\\5.) \frac{dy}{dx} + 3x^2y = 10x^2 \\\\ P(x) =3x^2 \\\\ integrating factor = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3} \\\\e^{x^3}(\frac{dy}{dx} + 3x^2y) = e^{x^3}10x^2 \\\\ \frac{d(e^{x^3} y)}{dx} = e^{x^3}10x^2 \\\\ \int\frac{d(e^{x^3} y)}{dx} = \int e^{x^3}10x^2 dx \\\\e^{x^3} y =\int e^{x^3}10x^2 dx \\\\e^{x^3}y = \frac{10}{3}\int e^{x^3}dx^3 \\\\e^{x^3}y = \frac{10}{3} e^{x ^3} + c \\\\y = \frac {(10/3) e^{x ^3} + c}{e^{x^3}} \\\\ y = \frac{10}{3} + ce^{-x^3}$


« Last Edit: November 23, 2006, 11:30:21 AM by xila_kwang »	Logged

nong020

neutrino

Offline

Posts: 15

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #24 on: November 22, 2006, 09:11:21 PM »

การบ้านหน้า 65 ข้อ 7

$x^2 y\prime + xy = x + 1$

$y\prime + \frac{y}{x} = \frac{{x + 1}}{{x^2 }}$

$P(x) = \frac{1}{x}$

$e^{\int {P(x)} dx} = e^{\int {\frac{1}{x}dx} } = e^{\ln x} = x$

$xy = \int {\frac{{x + 1}}{{x^2 }}xdx = \int {( 1 + \frac{1}{x})dx = x + \ln x + c} }$

$y = 1 + \frac{{\ln x}}{x} + \frac{c}{x}$

รหัส 4805020


	Logged

AntiquePhoto_508

neutrino

Offline

Posts: 11

Re: Linear Equations

« Reply #25 on: November 23, 2006, 01:43:58 AM »

ข้อ 26
$\displaystyle{y \frac{dx}{dy} -x = 2y^2 \quad , \quad y(1) = 5$
$\displaystyle { \frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y}$

$P(y) = -y^{-1}$

$\displaystyle{\int P(y)dy = \int \frac{-1}{y} dy = - \ln y}$

$\begin{array}{lrcl}&\displaystyle{\frac{d}{dy} \left ( e^{\int P(y)dy}x \right ) }&=&e^{\int P(y)dy}2y\\\\&\displaystyle{\frac{d}{dy}(-yx)}&=&-2y^2\\\\&-xy&=&\displaystyle{-\frac{2}{3}y^3+c}\\\\\because y(1) = 5\\\\&-(1)(5)&=&\displaystyle{-\frac{2}{3}(5)^3+c}\\\\&c&=&\displaystyle{\frac{235}{3}}\end{array}\\\\\\\boxed{\displaystyle{\therefore\quad x=\frac{2y^3-235}{3y}}}$

uglystupid2


	Logged

tprasobchoke

neutrino

Offline

Posts: 14

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #26 on: November 23, 2006, 01:47:34 AM »

ผู้ทำ 4805091
ข้อ18 หน้า73
$\begin{array}{rcl}\displaystyle{(1+x)\frac{dy}{dx}-xy}&=&x+x^2\\\displaystyle{\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+x}y}&=&x\\\displaystyle{\frac{d}{dx}\left ( e^{\int P(x)dx}y\right )}&=&\displaystyle{e^{P(x)dx}f(x)}\end{array}\\\\\\\displaystyle{\text{where}\qquad P(x)=-\frac{x}{1=x}\qquad\text{and}\qquad f(x)=x}\\\\\displaystyle{\therefore\qquad\int P(x)dx=\ln\mid x+1\mid-x}\\\\\displaystyle{\text{we get}\qquad\frac{d}{dx} \left ( e^{\ln\mid1+x\mid-x}y\right )=e^{\ln\mid1+x\mid-x}x}\\\\\\\begin{array}{rcl}\displaystyle{e^{\ln\mid1+x\mid-x}y}&=&\displaystyle{\int e^{\ln\mid1+x\mid-x}xdx}\\\\&=&\displaystyle{\int (x+x^2)e^{-x}dx}\\\\&=&\displaystyle{-(x^2+3x+3)e^{-x}+c}\end{array}$


	Logged

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 227

This is F4 :-)

Re: Linear Equations

« Reply #27 on: November 23, 2006, 08:01:55 AM »

Quote from: xila_kwang on November 22, 2006, 08:52:32 PM

...
$e^{x^3} y = \int e^{x^3}10x^2 dx$

ซึ่งเป็น ERROR FUNCTION ตาม EXAMPLE 7 P.64 ...

xila_kwang ดูใหม่อีกครั้งซิว่า $\int e^{x^3}10x^2 dx$ เป็น Error Function จริงหรือ
หน้าตาของอินทิกรัลไม่เหมือนกันนี่นา

ดูดีๆ อินทิเกรชันนี้เราน่าจะทำได้ จัดรูปใหม่ ข้างในอินทิกรัลมี $x^2$ เป็นผู้ช่วยพระเอกอยู่นะ Wink

ลองทำดู


	Logged

This is F4 :-)

Saranpat

neutrino

Offline

Posts: 15

Re: Linear Equations

« Reply #28 on: November 23, 2006, 09:02:17 PM »

ข้อ 23 $x\frac{dy}{dx}+(3x+1)y = e^{-3x}$
หา Integrating factor
$e^{\int{p(x)dx}} = e^{\int{\frac{3x+1}{x}}}dx = xe^{3x}$
จาก $xe^{3x}y = \int{\frac{e^{-3x}}{x}xe^{3x}}}$
$\frac{d}{dx}[xe^{3x}{y}] = e^{-3x}e^{3x} = 1$
$\int{d(xe^{3x}y)} = \int{dx}$
$xe^{3x}y = x + c$
นำ $xe^{3x}$ หารตลอดทั้งสมาการ จะได้
$y = e^{-3x}+cx^{1}e^{-3x}$
by 4805228


	Logged

sammy

neutrino

Offline

Posts: 5

Re: [3] Linear Equations

« Reply #29 on: November 27, 2006, 12:37:24 AM »

problem 21
$\frac{dr}{d\theta}+rsec\theta{ }={ }cos\theta$ ........................................ (1)

solution
$P(x){ }={ }sec\theta$
integrating factor is $e^{\int sec\theta d\theta}{ }={ }e^{ln(sec\theta+tan\theta)}{ }={ }sec\theta+tan\theta$
multiply (1) by $sec\theta+tan\theta$
$\begin{array}{rcl}sec\theta+tan\theta)\frac{dr}{d\theta}+(sec\theta+tan\theta)rsec\theta&=&(sec\theta+tan\theta)cos\theta\\\\\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]&=&[\frac{1}{cos\theta}+\frac{sin\theta}{cos\theta}]cos\theta\\\\\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]&=&1+sin\theta\\\\\int\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]d\theta&=&\int(1+sin\theta)d\theta\\\\(sec\theta+tan\theta)r&=&\theta-cos\theta+c\end{array}$

by Woradee Kongthong 4805190


« Last Edit: November 30, 2006, 02:50:22 PM by f4 »	Logged

Pages: « 1 2 Go Up

« previous next »