[3] Linear Equations

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 227

This is F4 :-)

[3] Linear Equations

« on: November 16, 2006, 11:52:02 AM »

กระทู้นี้เปิดไว้สำหรับส่งการบ้านคนละหนึ่งข้อ
จากแบบฝึกหัดเรื่อง Linear Equation

อย่าลืมใส่เลขประจำตัวด้วยนะ smitten


« Last Edit: November 24, 2006, 09:50:44 AM by f4 »	Logged

This is F4 :-)

void

neutrino

Offline

Posts: 43

สรรพสิ่งล้วนว่างเปล่า ทุกคนอยู่ในโลกของการหลอกลวง

Re: Linear Equations

« Reply #1 on: November 18, 2006, 01:07:37 PM »

Problem 19.

$(x+1)\dfrac{dy}{dx}+(x+2)y=2xe^{-x}$

$\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{x+2}{x+1}y=\dfrac{2xe^{-x}}{x+1}$ (1)

comparing this equation with standard form.

$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$

The integrating factor is $e^{\int P(x)dx}} = e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx}$

Since $\dfrac{x+2}{x+1}=1+\dfrac{1}{x+1}$

$e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)$

multiply the integrating factor to both side of (1)

$\dfrac{d}{dx}(e^{x}(x+1)y)=2x$

$y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+2\dfrac{e^{-x}}{x+1}\int x dx$

$y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+2\dfrac{e^{-x}}{x+1}\dfrac{x^2}{2}$

$y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+\dfrac{e^{-x}}{x+1}x^2$ ; $x \neq -1$

The appendix give the same solution on the interval x >-1.
If anyone can find out why x < -1 does not include in the solution's interval, please tell me

By 4805180


	Logged

BBC

neutrino

Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #2 on: November 18, 2006, 03:09:17 PM »

Problem 24 buck2

$(x+1)(x-1)\frac{dy}{dx} + 2y = (x+1)(x-1)$

solution

$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{(x+1)(x-1)}y = (x+1)(x-1)$ ------------------(1)

therefore $P(x) ~~is ~~\frac{2}{(x+1)(x-1)}~~ and ~~f(x) ~~is ~~\frac{(x+1)}{(x-1)}$

The integrating factor is $e^{\int{P(x)dx}} = e^{\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx}}$

$\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx} ~~$ use partial fractions

$\begin{array}{rcl}\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx &=& \int({\frac{-1}{(x+1)} + \frac{1}{x-1}})dx\\\\ &=& ln|(x+1)|^{-1} + ln|(x-1)| \end{array}$

therefore

$\begin{array}{rcl}e^{\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx}} &=& e^{\int{ ln|(x+1)|^{-1} + ln|(x-1)|}dx \\\\ &=& |(x+1)|^{-1}|(x-1)|\end{array}$

multiply (1) by $\frac{|x-1|}{|x+1|}$

$\frac{x-1}{x+1}\frac{dy}{dx} + \frac{2}{(x+1)^2}y = 1$ as $\frac{d}{dx}(\frac{x-1}{x+1}y) = 1$

$\begin{array}{rcl} \int d(\frac{x-1}{x+1}y) &=& \int{1}dx \\\\ (\frac{x-1}{x+1})y &=& x + c \\\\ y &=& x(\frac{x+1}{x-1}) + c(\frac{x+1}{x-1})~~~~~~~;~~~~~~~x \neq -1 \end{array}$

great

by Sitta Aroonnual u4805233 great


	Logged

Theeraphot

neutrino

Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...

Re: Linear Equations

« Reply #3 on: November 18, 2006, 05:12:31 PM »

Problem 13 $x^2y^{\prime} + x(x+2)y = e^x$

$y^{\prime} + \dfrac{1}{x}(x+2)y = e^x$
Use integrating factor
$\exp[\int P(x)dx]$
$P(x) = \dfrac{1}{x}(x+2)$
$\therefore \exp[\int \dfrac{1}{x}(x+2) dx] = \exp[x+2\ln x] = e^xx^2$

and then
$e^xx^2[x^2y^{\prime} + x(x+2)y] = e^xx^2[e^x]$
$\dfrac{d}{dx}[e^xx^2y] = e^{2x}$
$e^xx^2y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + c$
$y = \dfrac{e^x}{2x^2} + \dfrac{c}{e^xx^2}$ ; $x\neq0$

by theeraphot 4805099


« Last Edit: November 19, 2006, 08:07:09 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin »	Logged

Pramote -~James~-

neutrino

Offline

Posts: 18

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #4 on: November 18, 2006, 11:13:39 PM »

Problem 15 by u4805126 P. Pramote

$\begin{array}{rcl}\ ydx-4(x+y^6)dy&=&0\\\\\ ydx-4xdy-4y^6dy&=&0\\\\\ ydx-4xdy&=&4y^6dy\\\\\end{array}$

Dividing by $ydy$ , we get the standard form

$\dfrac{dx}{dy}-\dfrac{4}{y}x=4y^5 \ \ \ \ \ (1)$

From this form, we identify $P(y)=-\dfrac{4}{y}$ and $f(y)=4y^5$
Therefore the integrating factor is
$\begin{array}{rcl}\ \exp[{-4\int{\dfrac{1}{y}dy}}]&=&\exp[{-4\ln{|y|}}]\\\\\ &=&\exp[{\ln{|y|^{-4}}}]\\\\\ &=&y^{-4}\\\\\end{array}$
Here we have used the basic identity

$a^{\log_{a}{N}}=N \ \ \ \ , N>0$

So $P(y)$ and $f(y)$ are continuous on $(0,\infty)$

Now we multiply (1) by $y^{-4}$ , we obtain

$y^{-4}\dfrac{dx}{dy}-4y^{-5}x=4y \ \ \ \ \ (2)$

and rewrite (2) as

$\dfrac{d}{dy}(y^{-4}x)=4y$

Integrating both sides of the last equation gives
$y^{-4}x=2y^2+C$ , where C is an arbitary constant

Finally, the general solution of the equation is

$\begin{array}{rcl}\ x &=&2y^6+Cy^4\ \ \ \ \ \ , y>0\\\\\end{array}$


	Logged

paul

neutrino

Offline

Posts: 53

Re: Linear Equations

« Reply #5 on: November 19, 2006, 12:00:35 AM »

Exercise 2.3 ข้อ 1.4
$y^\prime+\frac{1+x}{x}y=\frac{1}{x}e^{-x}\sin{2x}$
พิจารณา integrating factor $e^{\int p(x)dx}$
$\begin{array}{rcl}e^{\int p(x)dx}&=&e^{\int \frac{1+x}{x}dx}\\\\&=&e^{\int{1+\frac{1}{x}}dx}\\\\&=&xe^x\end{array}$
คูณ integrating factor ตลอดสมการจะได้ว่า
$\begin{array}{rcl}xe^xy^\prime+(1+x)e^xy&=&\sin{2x}\\\\\frac{d}{dx}(xe^xy)&=&\sin{2x}\\\\d(xe^xy)&=&\sin{2x}dx\\\\xe^xy&=&-\frac{1}{2}\cos{2x}+c\\\\y&=&-\frac{1}{2}\cos{2x}e^{-x}+\frac{c}{x}e^{-x}\end{array}$
โดยที่ c เป็นค่าคงที่และ xไม่เท่ากับ 0

ประวีณ สิริธนศักดิ์ 4805123

ps แก้ของเก่าที่จดโจทย์มาผิดทำให้แก้ยากกว่าเดิมขอใหม่แก้ง่ายกว่าเดิมเยอะเลย... ขอบคุณอีมด้วยที่ดูให้ฮับ แก้ใหม่แล้วนะ ^^


« Last Edit: November 20, 2006, 02:14:04 PM by paul »	Logged

Armageddon

neutrino

Offline

Posts: 40

Ich bin ein physiker.

Re: Linear Equations

« Reply #6 on: November 19, 2006, 02:22:35 PM »

Problem 11

$\begin{array}{rcl}\ x\dfrac{dy}{dx}+4y&=&x^3-x\\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}&=&\dfrac{x^3-x}{x}\\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}&=&x^2-1\\\\\end{array}$

จะได้ว่า integrating factor $\displaystyle e^{\int p(x)dx}$ คือ $e^{\int \frac{4}{x}dx}$ หรือ $\displaystyle 4x$

คูณ integrating factor เข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการ $\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}=x^2-1$ จะได้

$\begin{array}{rcl}\ \dfrac{d}{dx}(4xy)&=&4x(x^2-1)\\\\\ d(4xy)&=&4x(x^2-1)(dx)\\\\\ 4xy&=&\int 4x(x^2-1)dx\\\\\ 4xy&=& x^4- 2x+C\\\\\ y&=& \dfrac{x^3}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C}{4x}\\\\\end{array}$

where C is an arbitary constant , $x\neq0$

by 4805090 ธนพงษ์ เอื้อสมิทธ์ Grin


« Last Edit: November 19, 2006, 02:25:50 PM by Armageddon »	Logged

จงมอบความรัก ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง ทั้งตื่นและฝัน....^^

quantize

neutrino

Offline

Posts: 33

ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง

Re: Linear Equations

« Reply #7 on: November 20, 2006, 02:50:59 AM »

ข้อ 14ทำไมเอาxหารข้างเดียว อธิบายหน่อยครับ Huh

มันน่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
$\dfrac{dy}{dx}+\frac{(1+x)y}{x}=\frac{e^{-x}\sin2x}{x}$


	Logged

ปัณฑิตา 4805128

neutrino

Offline

Posts: 15

Re: Linear Equations

« Reply #8 on: November 20, 2006, 11:36:36 AM »

2.3.17

$cos x \dfrac{dy}{dx} + (sin x)y = 1$

$\dfrac{dy}{dx} + (tan x)y = sec x$

Integrating factor คือ $e^{\int{(tan x)}dx} = sec x$

$(sec x)\dfrac{dy}{dx} + (sec x)(tan x)y = sec^2 x$

$\dfrac{d (sec x)y}{dx} =sec^2 x$

$(sec x)y = \int{sec^2 x}dx$

$(sec x)y = tan x + C$

$y = sinx + cos x C$

โดย ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์ 4805128


	Logged

One cannot acheive anything without sacrificing something.

paul

neutrino

Offline

Posts: 53

Re: Linear Equations

« Reply #9 on: November 20, 2006, 02:07:32 PM »

Quote from: u4805008 on November 20, 2006, 02:50:59 AM

ข้อ 14ทำไมเอาxหารข้างเดียว อธิบายหน่อยครับ Huh

มันน่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
$\dfrac{dy}{dx}+\frac{(1+x)y}{x}=\frac{e^{-x}\sin2x}{x}$

อาจจะดูโจทย์ผิดเดี๋ยวแก้ให้ครับ ^^

แก้แล้วนะ


« Last Edit: November 20, 2006, 02:14:35 PM by paul »	Logged

quantize

neutrino

Offline

Posts: 33

ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง

Re: Linear Equations

« Reply #10 on: November 20, 2006, 03:05:06 PM »

ข้อ 17
ตรง cosxC เขียนแบบนี้จะดูดีกว่าไหม (cosx)(C) Wink

แต่ถ้าเท่ากันก็ช่วยอธิบายตบเขาออกจากหัวให้ด้วยครับ


	Logged

Administrator
neutrino

Offline

Posts: 227

This is F4 :-)

Re: Linear Equations

« Reply #11 on: November 20, 2006, 03:28:28 PM »

Quote from: void on November 18, 2006, 01:07:37 PM

Problem 19. $(x+1)\dfrac{dy}{dx}+(x+2)y=2xe^{-x}$
...
The integrating factor is $e^{\int P(x)dx}} = e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx}$
...
$e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)$
...
$y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+\dfrac{e^{-x}}{x+1}x^2$ ; $x \neq -1$

The appendix give the same solution on the interval x >-1.
If anyone can find out why x < -1 does not include in the solution's interval, please tell me

ตอนที่หา integrating factor จาก $e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)$ นั้น
ฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ต้องมีเงื่อนไขอย่างไร?

สำหรับข้อของคนอื่นๆ ก็ดูเงื่อนไขของ integrating factor ด้วยเด้อ


« Last Edit: November 20, 2006, 03:38:16 PM by f4 »	Logged

This is F4 :-)

SuRaPoNg

neutrino

Offline

Posts: 15

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #12 on: November 20, 2006, 04:53:11 PM »

โจทย์ข้อ 2.3.25 $xy^\prime + y = e^x, y(-1) = 4$

เอา x หารตลอด $y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}$

จะได้ว่า $P(x) = \frac{1}{x}$ หา Integrating Factor $e^{\int p(x)dx}$

ได้ Integrating Factor = $e^{\int p(x)dx} = e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{ln x} = x$

เอา x คูณในสมการ $y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}$

ได้ $xy^\prime + y = e^x$

ยุบ $xy^\prime +y = \frac{d(xy)}{dx}$

จะได้ $\frac{d(xy)}{dx} = e^x$

Integrate ที่สองข้าง $xy = \int e^x dx$
$xy = e^x+c$

หาค่า C โดยแทนค่า y=4,x=-1 $(-1)(4)=e^{-1} + c$

ได้ $c = -4 -e^{-1}$

แทนค่า c กลับจะได้ $xy = e^x -4 -e^{-1}$

ดังนั้น $y = \frac{e^x}{x} - \frac{e^{-1}}{x} - \frac{4}{x}$

หรือวีธีที่ง่ายกว่านี้คือ ยุบสมการแรกเลย แล้ว ก็ทำการ Integrate ตามปกติ ไม่ได้ต้อง หา Integrating Factor ด้วย(พึ่งสังเกตเห็นครับ bang head

)

นายสุรพงศ์ รัตนลาภไพบูลย์ u4805252


	Logged

fairy003

neutrino

Offline

Posts: 17

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

Re: Linear Equations

« Reply #13 on: November 21, 2006, 09:15:57 AM »

โจทย์ข้อ2.3.4

$\displaystyle\frac{3dy}{dx} + 12y = 4$

เอา 3 หารตลอด $\displaystyle\frac{dy}{dx} + 4y = \displaystyle\frac{4}{3}$

หา integrating factor $e^{\int P(x)dx} = e^{\int 4dx} = e^{4x}$

เอา integrating factor คูณตลอดสมการ $e^{4x}[\displaystyle\frac{dy}{dx} + 4y] = \displaystyle\frac{4}{3}e^{4x}$

integrate สมการ $\int {\displaystyle\frac {d}{dx}[e^{4x}y]} = \int{\displaystyle\frac{4}{3}e^{4x}}dx$

$e^{4x}y = \displaystlye\frac{1}{3}e^{4x} + c$

$y = \displaystlye\frac{1}{3} + ce^{-4x}$ ans

created by 4805003


	Logged

Rattaporn

neutrino

Offline

Posts: 13

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น

2.3.20

« Reply #14 on: November 21, 2006, 12:36:33 PM »

2.3.20) $(x+2)^2 \frac{dy}{dx} = 5-8y-4xy$

Standard Form : $\frac{dy}{dx} + p(x)dx = f(x)$

$\frac{dy}{dx} + (\frac{4}{x+2})y = \frac{5}{(x+2)^2}$

Integrating Factor : $e^{\int p(x)dx} = e^{\int \frac{4}{x+2}dx}$

$e^{\int p(x)dx} = (x+2)^4$ ; x>-2

Multiply this differential equation with integrating factor

$(x+2)^4\frac{dy}{dx} + (x+2)^4(\frac{4}{x+2})y = (x+2)^4\frac{5}{(x+2)^2}$

The solution of this differential equation can be solved by

$\frac{d}{dx}[(x+2)^4y] = (x+2)^4\frac{5}{(x+2)^2}$

$\int d[(x+2)^4y] = 5\int (x+2)^2d(x+2)$

$(x+2)^4y = \frac{5}{3}(x+2)^3$

$y = \frac{5}{3}(x+2)^{-1}$ ; x>-2

Thus, the solution is $y = \frac{5}{3}(x+2)^{-1}$ ; x>-2.

Rattaporn Thongtan
4805182

ป.ล. ลองเขียนเป็นภาษาอังกฤษดู เปลี่ยนบรรยากาศค่ะ แต่ไม่รู้ใช้ได้หรือเปล่า Grin


	Logged

Pages: 1 2 Go Up

« previous next »