ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41625 Posts in 6283 Topics- by 9895 Members - Latest Member: Surapasrithirun
Pages: 1 2   Go Down
Print
Author Topic: [3] Linear Equations  (Read 32939 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: November 16, 2006, 11:52:02 AM »

กระทู้นี้เปิดไว้สำหรับส่งการบ้านคนละหนึ่งข้อ
จากแบบฝึกหัดเรื่อง Linear Equation

อย่าลืมใส่เลขประจำตัวด้วยนะ  smitten
« Last Edit: November 24, 2006, 09:50:44 AM by f4 » Logged

This is F4 :-)
void
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 43

สรรพสิ่งล้วนว่างเปล่า ทุกคนอยู่ในโลกของการหลอกลวง


« Reply #1 on: November 18, 2006, 01:07:37 PM »

Problem 19.

(x+1)\dfrac{dy}{dx}+(x+2)y=2xe^{-x}

\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{x+2}{x+1}y=\dfrac{2xe^{-x}}{x+1}                                                                              (1)

comparing this equation with standard form.

\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

The integrating factor is e^{\int P(x)dx}} = e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx}

Since \dfrac{x+2}{x+1}=1+\dfrac{1}{x+1}

e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)

multiply the integrating factor to both side of (1)

\dfrac{d}{dx}(e^{x}(x+1)y)=2x

y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+2\dfrac{e^{-x}}{x+1}\int x dx

y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+2\dfrac{e^{-x}}{x+1}\dfrac{x^2}{2}

y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+\dfrac{e^{-x}}{x+1}x^2                            ; x \neq -1

The appendix give the same solution on the interval x >-1.
If anyone can find out why x < -1 does not include in the solution's interval, please tell me Smiley

By 4805180
Logged
BBC
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #2 on: November 18, 2006, 03:09:17 PM »

 buck2 Problem 24 buck2

 (x+1)(x-1)\frac{dy}{dx} + 2y = (x+1)(x-1)


solution

 \frac{dy}{dx} + \frac{2}{(x+1)(x-1)}y = (x+1)(x-1)    ------------------(1)

therefore  P(x) ~~is ~~\frac{2}{(x+1)(x-1)}~~ and ~~f(x) ~~is ~~\frac{(x+1)}{(x-1)}


The integrating factor is  e^{\int{P(x)dx}}  =  e^{\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx}}

  \int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx} ~~ use partial fractions


\begin{array}{rcl}\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx &=& \int({\frac{-1}{(x+1)} + \frac{1}{x-1}})dx\\\\ &=& ln|(x+1)|^{-1} + ln|(x-1)| \end{array}

therefore

 \begin{array}{rcl}e^{\int{\frac{2}{(x+1)(x-1)}dx}} &=& e^{\int{ ln|(x+1)|^{-1} + ln|(x-1)|}dx \\\\ &=& |(x+1)|^{-1}|(x-1)|\end{array}

multiply (1) by  \frac{|x-1|}{|x+1|}

 \frac{x-1}{x+1}\frac{dy}{dx} + \frac{2}{(x+1)^2}y = 1      as     \frac{d}{dx}(\frac{x-1}{x+1}y) = 1


\begin{array}{rcl} \int d(\frac{x-1}{x+1}y) &=& \int{1}dx \\\\ (\frac{x-1}{x+1})y &=& x + c \\\\ y &=& x(\frac{x+1}{x-1}) + c(\frac{x+1}{x-1})~~~~~~~;~~~~~~~x \neq -1 \end{array}     
 



 great great great   by    Sitta    Aroonnual   u4805233    great great great
Logged
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...


« Reply #3 on: November 18, 2006, 05:12:31 PM »

Problem 13    x^2y^{\prime} + x(x+2)y = e^x

y^{\prime} + \dfrac{1}{x}(x+2)y = e^x
Use integrating factor
\exp[\int P(x)dx]
P(x) = \dfrac{1}{x}(x+2)
\therefore \exp[\int \dfrac{1}{x}(x+2) dx] = \exp[x+2\ln x] = e^xx^2

and then
e^xx^2[x^2y^{\prime} + x(x+2)y] = e^xx^2[e^x]
\dfrac{d}{dx}[e^xx^2y] = e^{2x}
e^xx^2y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + c
y = \dfrac{e^x}{2x^2} + \dfrac{c}{e^xx^2}       ;x\neq0

by theeraphot 4805099
« Last Edit: November 19, 2006, 08:07:09 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
Pramote -~James~-
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 18


เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


WWW
« Reply #4 on: November 18, 2006, 11:13:39 PM »

Problem 15 by u4805126 P. Pramote

\begin{array}{rcl}\ ydx-4(x+y^6)dy&=&0\\\\\ ydx-4xdy-4y^6dy&=&0\\\\\ ydx-4xdy&=&4y^6dy\\\\\end{array}

Dividing by ydy, we get the standard form
\dfrac{dx}{dy}-\dfrac{4}{y}x=4y^5 \ \ \ \ \ (1)
 
From this form, we identify P(y)=-\dfrac{4}{y} and f(y)=4y^5
Therefore the integrating factor is
\begin{array}{rcl}\ \exp[{-4\int{\dfrac{1}{y}dy}}]&=&\exp[{-4\ln{|y|}}]\\\\\ &=&\exp[{\ln{|y|^{-4}}}]\\\\\ &=&y^{-4}\\\\\end{array}
Here we have used the basic identity
a^{\log_{a}{N}}=N \ \ \ \ , N&gt;0
So P(y) and f(y) are continuous on (0,\infty)

Now we multiply (1) by y^{-4}, we obtain
y^{-4}\dfrac{dx}{dy}-4y^{-5}x=4y \ \ \ \ \ (2)
     
and rewrite (2) as
\dfrac{d}{dy}(y^{-4}x)=4y
Integrating both sides of the last equation gives
y^{-4}x=2y^2+C , where C is an arbitary constant

Finally, the general solution of the equation is

\begin{array}{rcl}\ x &=&2y^6+Cy^4\ \ \ \ \ \ , y&gt;0\\\\\end{array}
Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53


« Reply #5 on: November 19, 2006, 12:00:35 AM »

Exercise 2.3 ข้อ 1.4
y^\prime+\frac{1+x}{x}y=\frac{1}{x}e^{-x}\sin{2x}
พิจารณา integrating factor e^{\int p(x)dx}
\begin{array}{rcl}e^{\int p(x)dx}&=&e^{\int \frac{1+x}{x}dx}\\\\&=&e^{\int{1+\frac{1}{x}}dx}\\\\&=&xe^x\end{array}
คูณ integrating factor ตลอดสมการจะได้ว่า
\begin{array}{rcl}xe^xy^\prime+(1+x)e^xy&=&\sin{2x}\\\\\frac{d}{dx}(xe^xy)&=&\sin{2x}\\\\d(xe^xy)&=&\sin{2x}dx\\\\xe^xy&=&-\frac{1}{2}\cos{2x}+c\\\\y&=&-\frac{1}{2}\cos{2x}e^{-x}+\frac{c}{x}e^{-x}\end{array}
โดยที่ c เป็นค่าคงที่และ xไม่เท่ากับ 0

ประวีณ  สิริธนศักดิ์ 4805123

ps แก้ของเก่าที่จดโจทย์มาผิดทำให้แก้ยากกว่าเดิมขอใหม่แก้ง่ายกว่าเดิมเยอะเลย... ขอบคุณอีมด้วยที่ดูให้ฮับ แก้ใหม่แล้วนะ ^^
« Last Edit: November 20, 2006, 02:14:04 PM by paul » Logged
Armageddon
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


Ich bin ein physiker.


« Reply #6 on: November 19, 2006, 02:22:35 PM »

Problem 11

\begin{array}{rcl}\ x\dfrac{dy}{dx}+4y&=&x^3-x\\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}&=&\dfrac{x^3-x}{x}\\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}&=&x^2-1\\\\\end{array}

จะได้ว่า integrating factor  \displaystyle e^{\int p(x)dx} คือ e^{\int \frac{4}{x}dx} หรือ \displaystyle 4x 

คูณ integrating factor เข้าไปทั้ง 2 ข้างของสมการ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{4y}{x}=x^2-1 จะได้

\begin{array}{rcl}\ \dfrac{d}{dx}(4xy)&=&4x(x^2-1)\\\\\ d(4xy)&=&4x(x^2-1)(dx)\\\\\ 4xy&=&\int 4x(x^2-1)dx\\\\\ 4xy&=& x^4- 2x+C\\\\\ y&=& \dfrac{x^3}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{C}{4x}\\\\\end{array}

where C is an arbitary constant , x\neq0


by  4805090 ธนพงษ์  เอื้อสมิทธ์   Grin
« Last Edit: November 19, 2006, 02:25:50 PM by Armageddon » Logged

จงมอบความรัก  ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง   ทั้งตื่นและฝัน....^^
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #7 on: November 20, 2006, 02:50:59 AM »

ข้อ 14ทำไมเอาxหารข้างเดียว อธิบายหน่อยครับ Huh
มันน่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
\dfrac{dy}{dx}+\frac{(1+x)y}{x}=\frac{e^{-x}\sin2x}{x}
Logged
ปัณฑิตา 4805128
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15


« Reply #8 on: November 20, 2006, 11:36:36 AM »

2.3.17

   cos x \dfrac{dy}{dx} + (sin x)y = 1

   \dfrac{dy}{dx} + (tan x)y = sec x


Integrating factor คือ e^{\int{(tan x)}dx} = sec x

      (sec x)\dfrac{dy}{dx} + (sec x)(tan x)y = sec^2 x

      \dfrac{d (sec x)y}{dx} =sec^2 x

      (sec x)y = \int{sec^2 x}dx

      (sec x)y = tan x + C

      y = sinx + cos x C


โดย ปัณฑิตา ผลิตผลการพิมพ์ 4805128
Logged

One cannot acheive anything without sacrificing something.
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53


« Reply #9 on: November 20, 2006, 02:07:32 PM »

ข้อ 14ทำไมเอาxหารข้างเดียว อธิบายหน่อยครับ Huh
มันน่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่า
\dfrac{dy}{dx}+\frac{(1+x)y}{x}=\frac{e^{-x}\sin2x}{x}

อาจจะดูโจทย์ผิดเดี๋ยวแก้ให้ครับ ^^

แก้แล้วนะ
« Last Edit: November 20, 2006, 02:14:35 PM by paul » Logged
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #10 on: November 20, 2006, 03:05:06 PM »

ข้อ 17
ตรง cosxC เขียนแบบนี้จะดูดีกว่าไหม (cosx)(C)  Wink
แต่ถ้าเท่ากันก็ช่วยอธิบายตบเขาออกจากหัวให้ด้วยครับ  Smiley
Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #11 on: November 20, 2006, 03:28:28 PM »

Problem 19.   (x+1)\dfrac{dy}{dx}+(x+2)y=2xe^{-x}
...
The integrating factor is e^{\int P(x)dx}} = e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx}
...
e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1)
...
y=C\dfrac{e^{-x}}{x+1}+\dfrac{e^{-x}}{x+1}x^2               ; x \neq -1

The appendix give the same solution on the interval x >-1.
If anyone can find out why x < -1 does not include in the solution's interval, please tell me Smiley

ตอนที่หา integrating factor จาก e^{\int \frac{x+2}{x+1}dx} = e^{x}(x+1) นั้น
ฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ต้องมีเงื่อนไขอย่างไร?

สำหรับข้อของคนอื่นๆ ก็ดูเงื่อนไขของ integrating factor ด้วยเด้อ
« Last Edit: November 20, 2006, 03:38:16 PM by f4 » Logged

This is F4 :-)
SuRaPoNg
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #12 on: November 20, 2006, 04:53:11 PM »

โจทย์ข้อ 2.3.25xy^\prime + y = e^x, y(-1) = 4

เอา x หารตลอด y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}

จะได้ว่า  P(x) = \frac{1}{x} หา Integrating Factor e^{\int p(x)dx}

ได้ Integrating Factor = e^{\int p(x)dx} = e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{ln x} = x

เอา x คูณในสมการ y^\prime + \frac{y}{x} = \frac{e^x}{x}

ได้ xy^\prime + y = e^x

ยุบ xy^\prime +y = \frac{d(xy)}{dx}   

จะได้ \frac{d(xy)}{dx} = e^x

Integrate ที่สองข้าง   xy = \int e^x dx 
                               xy = e^x+c

หาค่า C โดยแทนค่า y=4,x=-1     (-1)(4)=e^{-1} + c

ได้ c = -4 -e^{-1}

แทนค่า c กลับจะได้ xy = e^x -4 -e^{-1}

ดังนั้น  y = \frac{e^x}{x} - \frac{e^{-1}}{x} - \frac{4}{x}

หรือวีธีที่ง่ายกว่านี้คือ ยุบสมการแรกเลย แล้ว ก็ทำการ Integrate ตามปกติ ไม่ได้ต้อง หา Integrating Factor ด้วย(พึ่งสังเกตเห็นครับ bang head bang head bang head)

นายสุรพงศ์ รัตนลาภไพบูลย์ u4805252
Logged
fairy003
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 17

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #13 on: November 21, 2006, 09:15:57 AM »

โจทย์ข้อ2.3.4

\displaystyle\frac{3dy}{dx} + 12y = 4

เอา 3 หารตลอด      \displaystyle\frac{dy}{dx} + 4y = \displaystyle\frac{4}{3}


หา integrating factor  e^{\int P(x)dx} = e^{\int 4dx} = e^{4x}


เอา integrating factor  คูณตลอดสมการ     e^{4x}[\displaystyle\frac{dy}{dx} + 4y] = \displaystyle\frac{4}{3}e^{4x}


integrate สมการ   \int {\displaystyle\frac {d}{dx}[e^{4x}y]} = \int{\displaystyle\frac{4}{3}e^{4x}}dx


e^{4x}y = \displaystlye\frac{1}{3}e^{4x} + c


y = \displaystlye\frac{1}{3} + ce^{-4x}                          ans


created by 4805003
Logged
Rattaporn
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 13

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #14 on: November 21, 2006, 12:36:33 PM »

2.3.20) (x+2)^2 \frac{dy}{dx} = 5-8y-4xy

     Standard Form  :   \frac{dy}{dx} + p(x)dx =  f(x)

                                  \frac{dy}{dx} + (\frac{4}{x+2})y = \frac{5}{(x+2)^2}

     Integrating Factor  :   e^{\int p(x)dx} = e^{\int \frac{4}{x+2}dx}

                                       e^{\int p(x)dx} = (x+2)^4    ;  x>-2

     Multiply this differential equation with integrating factor

               (x+2)^4\frac{dy}{dx} + (x+2)^4(\frac{4}{x+2})y = (x+2)^4\frac{5}{(x+2)^2}

     The solution of this differential equation can be solved by

                \frac{d}{dx}[(x+2)^4y]  =  (x+2)^4\frac{5}{(x+2)^2}

               \int d[(x+2)^4y]  =  5\int (x+2)^2d(x+2)

                       (x+2)^4y  =  \frac{5}{3}(x+2)^3

                                     y  =  \frac{5}{3}(x+2)^{-1}    ;  x>-2

     Thus, the solution is y  =  \frac{5}{3}(x+2)^{-1}    ;  x>-2.

                                                                            Rattaporn Thongtan
                                                                                    4805182

    ป.ล. ลองเขียนเป็นภาษาอังกฤษดู เปลี่ยนบรรยากาศค่ะ แต่ไม่รู้ใช้ได้หรือเปล่า  Grin
Logged
Pages: 1 2   Go Up
Print
Jump to: