ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน
 
Advanced search

41486 Posts in 6257 Topics- by 9135 Members - Latest Member: Armm
« previous next »
Pages: 1 2 »   Go Down
Print
Author Topic: [1] Direction Field (งานกลุ่ม)  (Read 25092 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« on: November 08, 2006, 05:35:56 PM »
หัวข้อนี้เปิดไว้สำหรับนักศึกษาฟิสิกส์ ปี 2 ส่งการบ้านเรื่อง "Direction Field"

คำสั่ง
  • ให้โพสต์รูปกราฟที่แสดง Direction Field
  • แสดงสมการเชิงอนุพันธ์ของกราฟนั้น (ให้พิมพ์ด้วย LaTeX  ไปดูวิธีได้ที่ http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,32.0.html )
  • บอกว่าใช้โปรแกรมอะไรเขียนกราฟ
  • บอกด้วยว่าใครทำ (แสดงเฉพาะเลขประจำตัวก็ได้) จะได้ให้คะแนนได้  Wink

ดูตัวอย่างข้างล่างนี้
« Last Edit: December 20, 2006, 10:17:49 AM by f4 » Logged
This is F4 :-)
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #1 on: November 08, 2006, 05:59:01 PM »
ตัวอย่าง
3405049 ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx}=y(2-y)

ใช้ MATLAB 7.0 สร้าง จะได้รูปดังนี้   
« Last Edit: November 08, 2006, 06:04:18 PM by f4 » Logged
This is F4 :-)
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6300


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #2 on: November 08, 2006, 06:10:27 PM »
Quote from: f4 on November 08, 2006, 05:59:01 PM
ตัวอย่าง
3405049 ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx}=y(2-y)
...

ใครช่วยให้นิยามของ Direction Field หน่อยได้ไหมว่าคืออะไร และใช้บอกอะไร  Grin
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
Armageddon
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


Ich bin ein physiker.
« Reply #3 on: November 09, 2006, 05:02:38 PM »
4805045,4805090 ,4805126  ส่ง Direction Field ของสมการ  \dfrac{dy}{dx}=2xy^2  ครับ

วิธีแก้สมการ โดยใช้วิธี Separation of Variables

\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{dy}{dx}&=& 2xy^2 \\\\\ \displaystyle{\frac{1}{y^2}dy}&=&\displaystyle{2xdx}\\\\\ \displaystyle{\int {\frac{1}{y^2}dy}}&=&\displaystyle{ \int 2xdx \\\\\ \displaystyle{-\frac{1}{y}} &=& \displaystyle x^2 + c \\\\ \displaystyle y&=& \displaystyle{-\frac{1}{x^2 + c} } \\\end{array}

\therefore one-parameter family of solutions คือ  \displaystyle{y = {-\frac{1}{x^2+ c } }}

particular solutions

\begin{array}{rcl} \displaystyle y &=& \displaystyle{-\frac{1}{x^2 + c} } \\\\\ \displaystyle {- (x^2 + c)y} &=&\displaystyle {1}\\\\\ \displaystyle -x^2y - cy &=&\displaystyle 1 \\\\\ \displaystyle -cy&=& \displaystyle 1+ x^2y \\\\ \displaystyle c&=& \displaystyle{-\frac{(1+ x^2y)}{y} } \\\\ \displaystyle c&=& \displaystyle{-\frac{1}{y} - x^2}\\\end{array}

จาก Direction Field และ solution ที่หาได้  พบว่าเราไม่สามารถกำหนดให้  y = 0
นั่นแสดงว่า y = 0  ไม่ได้เป็นสมาชิกหนึ่งใน one-parameter family of solutions  \displaystyle{y = {-\frac{1}{x^2+ c } }}
\therefore y = 0 เป็น singular solution

ในที่นี้กำหนดให้กราฟของผลเฉลยผ่านจุด (0,-2)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
ใช้ Mathematica 5.0 สร้าง จะได้รูปดังนี้

great
« Last Edit: November 13, 2006, 03:43:36 PM by Armageddon » Logged
จงมอบความรัก  ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง   ทั้งตื่นและฝัน....^^
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #4 on: November 10, 2006, 10:08:21 AM »
ส่งงานได้เร็วดีมาก 4805045,4805090 และ 4805126 !!   great
(หวังว่าทั้งสามคนได้มีโอกาสใช้ Mathematica และลอง plot ด้วยตัวเองนะ
  ถ้าให้เพื่อนคนเดียวทำ เพื่อนคนนั้นก็เรียนรู้อยู่คนเดียว เราจะไม่รู้อะไรเลย)

อยากจะให้ลองทำอะไรเพิ่มเติมดูอีกนิดหน่อยน่ะ เผื่อจะช่วยให้มองเห็นภาพมากขึ้น
ลองแก้สมการประจำ direction field ของเรา นั่นก็คือ \dfrac{dy}{dx}=2xy^2
โดยใช้วิธี Separation of Variables ที่เพิ่งเรียนไปเมื่อวาน เพื่อหาผลเฉลยที่เป็น
one-parameter family of solutions (แสดงวิธีแก้สมการให้ดูด้วย จะเป็นประโยชน์ต่อคนที่เข้ามาอ่าน  Wink)

จากนั้นลองหา particular solutions โดยกำหนดเองเลยว่าอยากให้กราฟของผลเฉลยของเราผ่านจุดไหน
เช่น ผ่านจุด  (0,2), (0,-2)   หรืออื่นๆ ตามใจเรา

สุดท้าย ลองเขียนกราฟของผลเฉลย (solution curves) ที่ผ่านจุดเหล่านั้น โดยเขียนซ้อนทับลงไปบน
direction field เลย ลองเขียนสักสองสามเส้นลงไปในกราฟเดียวกัน พอให้เห็นแนวโน้มว่ากราฟผลเฉลย
สัมพันธ์อย่างไรกับ direction field

ลองทำให้หน่อยนะ ขอบคุณค่ะ  smitten
 
ป.ล. ตัวแทนชั้นปีสักคน ช่วยตอบคำถามอาจารย์ปิยพงษ์ด้วย  icon adore
« Last Edit: November 10, 2006, 10:12:56 AM by f4 » Logged
This is F4 :-)
void
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 43

สรรพสิ่งล้วนว่างเปล่า ทุกคนอยู่ในโลกของการหลอกลวง
« Reply #5 on: November 12, 2006, 02:52:51 AM »
Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 08, 2006, 06:10:27 PM
ใครช่วยให้นิยามของ Direction Field หน่อยได้ไหมว่าคืออะไร และใช้บอกอะไร  Grin

ขอลองให้นิยามง่ายๆของ Direction Field ดังนี้ครับ

Direction Field คือ กลุ่มตัวอย่างของเวกเตอร์บอกความชันของเส้นสัมผัส solution curve ของสมการอนุพันธ์ ที่ตำแหน่งต่างๆบนพิกัดที่สนใจ

ในการแก้ปัญหาสมการอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง บางครั้งเราอาจพบว่าไม่สามารถแก้สมการโดยตรงหรือแก้ยากมาก แต่เราต้องการรู้ลักษณะของ solution curve
เราอาจใช้ Direction Field ในการพิจารณาคำตอบอย่างคร่าวๆ เพื่อแสดงให้เห็นแนวโน้มของ solution curve ได้ ซึ่งทำให้เราเข้าใจสมการนั้นได้โดยยังไม่ต้องแก้สมการ 
« Last Edit: November 12, 2006, 07:30:05 AM by ปิยพงษ์ - Head Admin » Logged
ปิยพงษ์ - Head Admin
Administrator
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 6300


มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ


WWW
« Reply #6 on: November 12, 2006, 07:31:40 AM »
ขอบคุณครับ  great
Logged
มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #7 on: November 12, 2006, 11:48:34 AM »
ขอบคุณ void ที่ช่วยให้นิยามคำว่า direction field ค่ะ  icon adore

Quote from: Armageddon on November 09, 2006, 05:02:38 PM
4805045,4805090 ,4805126  ส่ง Direction Field ของสมการ  \dfrac{dy}{dx}=2xy^2  ครับ

วิธีแก้สมการ โดยใช้วิธี Separation of Variables ...
จะได้ one-parameter family of solutions คือ y= -\frac{1}{x^2+c} 
...
จาก Direction Field และ solution ที่หาได้  พบว่าเราไม่สามารถกำหนดให้  y = 0
...


แต่จากสมการ \dfrac{dy}{dx}=2xy^2  จะเห็นว่า y = 0 ก็เป็นผลเฉลยหนึ่งด้วย
เพียงแต่ว่าไม่ได้เป็นสมาชิกหนึ่งใน one-parameter family of solutions ที่เราหาได้ข้างต้น
(คือไม่สามารถหาค่า c  ที่ให้ค่า y = 0 ได้)
นั่นแปลว่า y = 0 เป็น singular solution
และดังนั้น y= -\frac{1}{x^2+c}  ก็ไม่ใช่ general solution  coolsmiley

ดีมาก 4805045,4805090 และ 4805126 ที่ช่วยทำงานเพิ่มเติมให้ รอดูกราฟผลเฉลยอยู่นะ  Wink
ฝากชักชวนเพื่อนๆ ที่เหลือให้โพสต์ direction fields ของพวกเขาในกระทู้นี้ด้วย
อยากให้ส่งก่อนวันพุธที่ 15 พ.ย.น่ะ จะได้เอาผลมาดูกันในห้องเรียน
Logged
This is F4 :-)
Armageddon
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 40


Ich bin ein physiker.
« Reply #8 on: November 14, 2006, 10:51:10 AM »
ทำครบแล้วครับอาจารย์   great
Logged
จงมอบความรัก  ด้วยใจภักดี
มอบชีวีให้เธอคุ้มครอง
ความหวังดีจงมาปกป้อง   ทั้งตื่นและฝัน....^^
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #9 on: November 14, 2006, 01:56:11 PM »
Quote from: Armageddon on November 14, 2006, 10:51:10 AM
ทำครบแล้วครับอาจารย์   great

ขอบคุณมาก  icon adore

ว่าแต่ว่าในรูปสุดท้ายที่มีกราฟของผลเฉลยน่ะ เส้นตรงแนวดิ่ง 8 เส้น ไม่ใช่เส้นกราฟผลเฉลยใช่มั้ยเอ่ย?  Shocked
Logged
This is F4 :-)
Theeraphot
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 30

อะไรคือความจริง...
« Reply #10 on: November 14, 2006, 05:49:39 PM »
4805099 4805057 4805046

ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx} = \sin x \cos y

created by mathematica 5.0
Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #11 on: November 15, 2006, 08:48:37 AM »
Quote from: Theeraphot on November 14, 2006, 05:49:39 PM
4805099 4805057 4805046
ส่ง Direction Field ของสมการ \dfrac{dy}{dx} = \sin x \cos y
ขอบคุณมาก 4805099 4805057 4805046  smitten

Direction field ของพวกเราดูน่าสนใจ แนะนำให้ลองขยายขอบเขต Direction field
ออกให้กว้างขึ้น และตั้งใจแสดงผลที่ประกอบด้วยเส้น nullcline ในแนวนอน
  (เส้น nullcline คือเส้นที่เวกเตอร์อันเล็กๆ ทุกอันบนเส้นนั้นมีความชันเป็นศูนย์
   สำหรับสมการอนุพันธ์ของพวกเรา ก็คือเส้นตรง y=c
   โดยที่ f(x,c)= \sin x \cos c = 0) 

จะเห็นสิ่งที่น่าสนใจ เช่น แนวโน้มของกราฟผลเฉลยมีลักษณะซ้ำๆ เป็นรอบๆ
คล้ายกับเป็นกราฟรูปซายน์ โดยมีเส้น nullcline เป็นเส้นคั่น คล้ายกับเป็นกระจก  Wink

คำถามเสริม Direction field ของพวกเรามีเส้น nullcline ในแนวดิ่งไหมเอ่ย ถ้ามีปรากฎที่ x=เท่าไรบ้าง?  Shocked
Logged
This is F4 :-)
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง
« Reply #12 on: November 15, 2006, 12:17:46 PM »
4805003  4805008  4805228

direction field  of equation  \displaystyle\frac{dy}{dx} = 1 - xy

ใช้win plot ในการplot direction field  ไม่ทราบว่าทำยังไงให้มีหัวลูกศร ถ้าอาจารย์ทราบช่วยบอกด้วย ขอบคุณค่ะ
(4805003 4805228เขียน) bang head idiot2
« Last Edit: November 15, 2006, 12:24:12 PM by u4805008 » Logged
xila_kwang
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น
« Reply #13 on: November 15, 2006, 12:56:35 PM »
4805006     4805020  4805166

ใช้ mathematica 5.0

สมการ \displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^y}   


แก้สมการ โดยใช้วิธี Separation of Variables จะได้

(1+e^y)dy=dx

\int (1+e^y)dy=\int dx

y + e^y + c = x

e^y + y -x + c = 0

ได้คำตอบเป็น implicit solution 

เมื่อหา  \displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^y}  จะเห็นได้ว่าคำตอบ y= 0  ไม่เป็นคำตอบของสมการ 

แสดงว่า สำหรับสมการนี้จะไม่ Trivial solution

คำตอบของสมการคือ  e^y + y -x + c = 0   เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใด ๆ


รูปที่ 1  อธิบาย Direction Field ของสมการ  tex]\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^y}[/tex]

รูปที่ 2 คือ Direction Field ที่แสดง เส้นเพื่อให้เห็นแนวโน้มของผลเฉลย solution trajectory
 
« Last Edit: November 15, 2006, 02:03:44 PM by xila_kwang » Logged
paul
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 53
« Reply #14 on: November 15, 2006, 02:43:18 PM »
สมการ คือ \frac{d}{dx}y=\frac{x+y}{2}
Solve
\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}y &=&\frac{x+y}{2}\\\\ \frac{d}{dx}y+p(x)y&=&f(x)\\\\\frac{d}{dx}y&=&\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\\\\\frac{d}{dx}y-\frac{y}{2}&=&\frac{x}{2}.............(1)\end{array}
คูณด้วย integrating factor
integrating factor e^{\int{p(x)dx}}=e^{-\frac{1}{2}dx}=e^{-\frac{x}{2}}
จะได้ว่า
\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}ye^{-\frac{x}{2}}-\frac{y}{2}e^{-\frac{x}{2}}&=&\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}\\\\\int d(e^{-\frac{x}{2}}y)&=&\int\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}
จะเห็นได้ว่าเทอมขวามือต้องใช้ เทคนิคการอินทิเกรตแบบ by part
ใ
« Last Edit: November 15, 2006, 04:52:54 PM by paul » Logged
Pages: 1 2 »   Go Up
Print
« previous next »
Jump to: