มีน้ำใจ ไม่อวดตัว มั่วไม่ทำ

สมัครสมาชิกฟรีเพื่อเห็นไฟล์แนบและดาวน์โหลดไฟล์ ขออภัยในความไม่สะดวก

ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41237 Posts in 6173 Topics- by 8023 Members - Latest Member: donnsg1
Pages: « 1 2   Go Down
Print
Author Topic: [3] Linear Equations  (Read 29912 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
dogmomo
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 20


เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #15 on: November 21, 2006, 02:50:48 PM »

ข้อ 8 ครับ Huh

 y^\prime=2y+x^2+5

จัดเข้ารูปของ

 \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)

จะได้ว่า

 \dfrac{dy}{dx} -2y=x^2+5   -----1.

ดู  P(x)=-2 จะได้ว่า

 e^{\int P(x)dx} = e^{\int -2dx}=e^{-2x}

กลับไปยังสมการ ที่ 1. คูณด้วย  e^{-2x} ทั้งสองข้าง;

 e^{-2x}[\dfrac{dy}{dx}-y] = e^{-2x}(x^2+5)

 \dfrac{d}{dx}(e^{-2x}y) = e^{-2x}x^2+5e^{-2x}

 e^{-2x}y = \int(e^{-2x}x^2+5e^{-2x})dx   -----2.

{แว็บมาคิด  \int(e^{-2x}x^2+5e^{-2x})dx ใช้ integrate by part 2 รอบจะได้ว่า(เผอิญเยอะ พิมพ์ ไม่ไหวครับอ. Cry )
รอบแรก  x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2})+\int(-\dfrac{e^{-2x}}{2})2xdx
ทำ by part อีกรอบหนึ่งจะได้  x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4} }

พอทำเสร็จจะได้ว่า

 e^{-2x}y = \dfrac{-5e^{-2x}}{2} + x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4}

 y = e^{2x}(\dfrac{-5e^{-2x}}{2} + x^2(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + x(-\dfrac{e^{-2x}}{2}) + \dfrac{e^{-2x}}{-4})

 y = \dfrac{-5}{2} + x^2(-\dfrac{1}{2}) + x(-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{1}{-4}

 y = -\dfrac{1}{2} (x^2 + x + \frac{11}{2})     ans buck2

นายชัยรัตน์ ร่มโพธิ์คาพงษ์ 4805045 ครับ
« Last Edit: November 22, 2006, 03:23:50 PM by dogmomo » Logged
Start
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 8

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #16 on: November 21, 2006, 09:27:27 PM »

2.3.10  \displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 }

Find the general solution of the given differential equation. Give the largest interval I over which the general solution is defined. Determine whether there are any transient terms in the general solution.

 \displaystyle{ x \frac{dy}{dx} + 2y = 3 }
 \displaystyle{ \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = \frac{3}{x} }   (1)

Find the Integrating Factor
 \displaystyle{ IF = e^{ \int \frac{2}{x} dx}}
 \displaystyle{ IF = e^{\ln x^2}}
 \displaystyle{ IF = x^2}

Time IF to (1)

 \displaystyle{ x^2 \frac{dy}{dx} + x^2 \frac{2}{x} y = x^2 \frac{3}{x} }
 \displaystyle{ x^2 \frac{dy}{dx} + 2 x y = 3 x  }
 \displaystyle{ \frac{ d x^2 y}{dx} = 3 x }
 \displaystyle{ \int \frac{ d x^2 y}{dx} dx  = \int 3 x dx }
 \displaystyle{ x^2 y = \frac{3}{2} x^2 + c }
 \displaystyle{ y = \frac{c}{x^2} +  \frac{3}{2} }

Thus the general solution of this differential equation is

 \displaystyle{ y = \frac{c}{x^2} +  \frac{3}{2} } .

This function is define on   \Re - \{ 0 \} .

Transient term is  \displaystyle{  \frac{c}{x^2} } .

Naruepon Weerawongphrom 4805057
Logged
Blackpanther
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 24

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #17 on: November 21, 2006, 10:11:33 PM »

18. \cos^2 {x} \sin{x}\frac{dy}{dx}+y\cos^3{x}=1

จากโจทย์จัดรูปใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้เป็น

\frac{dy}{dx}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}y=\frac{1}{\cos^2{x}\sin{x}}

พิจารณาหา Integrating factor ได้เป็น

e^{\int{\cot{x}dx}}=e^{\ln |\sinx|}=|sin x|

หรือกล่าวว่าเป็น \sin x โดยที่ 0<x \leq\frac{\pi}{2}

tex]y\sin{x}=\tan{x}+c[/tex]

โดย c เป็นค่าคงที่เนื่องจากการอินทิเกรต

จากนั้นจัดรูปใหม่ได้เป็น

y=\frac{c}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}

ดังนั้นคำตอบสำหรับสมการนี้คือ

y=\frac{c}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} โดยที่ 0<x \leq\frac{\pi}{2}

โดย นายมงคล มุ่งเวฬุวัน 4805166
Logged
Praveena
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19


« Reply #18 on: November 21, 2006, 10:13:29 PM »

Problem 16
ydx = (ye^{y}-2x)dy
y\displaystyle{\frac{dx}{dy}} = ye^{y}-2x
\displaystyle{\frac{dx}{dy}= e^{y}- \frac{2x}{y}}
\displaystyle{\frac{dx}{dy}+\frac{2x}{y}=e^{y}}
Integrating factor  is 
\displaystyle {e^{\int\frac{2}{y}}= e^{2lny}= y^2}
\displaystyle{\frac{d}{dy}}(y^2x) = e^y
y^{2}x = e^{y}+c
x = \displaystyle{\frac{e^{y}}{y^2}+\frac{c}{y^2}}
by Praveena tantayanyong     u4805127
« Last Edit: November 21, 2006, 10:16:43 PM by Praveena » Logged
Mann
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 19

ปวดหัวเรื่อง Haidinger's brush


« Reply #19 on: November 22, 2006, 03:15:35 PM »

exercises 2.3(9)
x\frac{dy}{dx}-y=x^2\sin{x}
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\sin{x}
integrating factor = e^{\int{-\frac{1}{x}}dx} = e^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x}
multiple the equation by \frac{1}{x}
hence \frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}=\sin{x}
      d\frac{y}{x} = \sin{x}
      \frac{y}{x} = \int{sinx}dx = -\cos{x}+c
      y = cx-x/cos{x}

by 4805046 Chakrit
« Last Edit: November 22, 2006, 03:25:22 PM by chakrit Smarnrak » Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #20 on: November 22, 2006, 05:55:43 PM »


by 4805208   Wisuttida  Wichitwong
22.)
...                                             = 2 \exp(t^2-t) + C
ดังนั้น solution ของสมการ คือ
                                         P = 2 + C \exp(t^2-t)

visutida ทำอะไรผิดหรือเปล่าเอ่ย  idiot2
« Last Edit: November 23, 2006, 08:05:00 AM by f4 » Logged

This is F4 :-)
quantize
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 33


ใดๆในโลกล้วนอนิจจัง


« Reply #21 on: November 22, 2006, 06:24:44 PM »

แบบฝึกหัด ๒.๓ ข้อ ๖ ขอรับ

โจทย์ --------->   \displaystyle{\frac{dy}{dx}+2xy=x^3}

หา integrating factor

        \displaystyle{e^{\int 2xdx}=e^{x^2}}

จะได้ \displaystyle{\frac{d}{dx}[e^{x^2}y]=x^3e^{x^2}}

        \displaystyle{e^{x^2}y=\int x^3e^{x^2}dx}

ใช้ integrated by part ที่ทุกคนทำได้อยู่แล้ว แก้เทอมทางขวาของสมการ รวบรัดฆ่าตัดตอนได้เป็น

        \displaystyle{4e^{x^2}y=e^{x^2}[2x^3-3x^2+3x-3]+c}

ผิดพลาดประการใดช่วยชี้แนะด้วยนะครับ

กรกฏ ศุภนิรันดร์ 4805008
Logged
visutida
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 16

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #22 on: November 22, 2006, 06:32:50 PM »


by 4805208   Wisuttida  Wichitwong

22.)
           \dfrac{dP}{dt}+2tP = P+4t-2
    \dfrac{dP}{dt}+2tP-P = 4t-2
 \dfrac{dP}{dt}+(2t-1)P = 4t-2

      หา integrating factor
       \exp(\int P(t) dt) = \exp(\int(2t-1) dt)
                                = \exp(t^2-t)

     เอา integrating factor คูณสมการในบรรทัดที่สาม
\exp(t^2-t) \dfrac{dP}{dt} + (2t-1)\exp(t^2-t) P = (4t-2)\exp(t^2-t)
                                 \dfrac{d}{dt} P \exp(t^2-t) = (4t-2)\exp(t^2-t)

     integrate ทั้งสองข้างของสมการ
       \int \dfrac{d}{dt} P \exp(t^2-t) dt = \int (4t-2) \exp(t^2-t) dt
                     P \exp(t^2-t) = 2 \int (2t-1) \exp(t^2-t) dt
                                             = 2 \exp(t^2-t) + C
ดังนั้น solution ของสมการ คือ
                                         P = 2 + \dfrac{C}{\exp(t^2-t)}
« Last Edit: November 23, 2006, 08:03:09 AM by f4 » Logged
xila_kwang
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 23

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #23 on: November 22, 2006, 08:52:32 PM »

Kamolwan Namthongthai 4805006
 \\5.) \frac{dy}{dx} + 3x^2y = 10x^2 \\\\ P(x) =3x^2 \\\\ integrating factor = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3x^2 dx} = e^{x^3} \\\\e^{x^3}(\frac{dy}{dx} + 3x^2y) = e^{x^3}10x^2 \\\\ \frac{d(e^{x^3} y)}{dx} = e^{x^3}10x^2 \\\\ \int\frac{d(e^{x^3} y)}{dx} = \int e^{x^3}10x^2 dx \\\\e^{x^3} y =\int e^{x^3}10x^2 dx \\\\e^{x^3}y = \frac{10}{3}\int e^{x^3}dx^3 \\\\e^{x^3}y = \frac{10}{3} e^{x ^3} + c \\\\y = \frac {(10/3) e^{x ^3} + c}{e^{x^3}} \\\\ y = \frac{10}{3} + ce^{-x^3}

« Last Edit: November 23, 2006, 11:30:21 AM by xila_kwang » Logged
nong020
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #24 on: November 22, 2006, 09:11:21 PM »

การบ้านหน้า 65 ข้อ 7

 x^2 y\prime + xy = x + 1
 
 y\prime + \frac{y}{x} = \frac{{x + 1}}{{x^2 }}
 
 P(x) = \frac{1}{x}
 
 e^{\int {P(x)} dx}  = e^{\int {\frac{1}{x}dx} }  = e^{\ln x}  = x
 
 xy = \int {\frac{{x + 1}}{{x^2 }}xdx = \int {( 1 + \frac{1}{x})dx = x + \ln x + c} }
 
 y = 1 + \frac{{\ln x}}{x} + \frac{c}{x}

รหัส   4805020
Logged
AntiquePhoto_508
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 11


« Reply #25 on: November 23, 2006, 01:43:58 AM »

ข้อ 26
\displaystyle{y \frac{dx}{dy} -x = 2y^2 \quad , \quad y(1) = 5
\displaystyle { \frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y}


P(y) = -y^{-1}

\displaystyle{\int P(y)dy = \int \frac{-1}{y} dy = - \ln y}


\begin{array}{lrcl}&\displaystyle{\frac{d}{dy} \left ( e^{\int P(y)dy}x \right ) }&=&e^{\int P(y)dy}2y\\\\&\displaystyle{\frac{d}{dy}(-yx)}&=&-2y^2\\\\&-xy&=&\displaystyle{-\frac{2}{3}y^3+c}\\\\\because y(1) = 5\\\\&-(1)(5)&=&\displaystyle{-\frac{2}{3}(5)^3+c}\\\\&c&=&\displaystyle{\frac{235}{3}}\end{array}\\\\\\\boxed{\displaystyle{\therefore\quad x=\frac{2y^3-235}{3y}}}


 uglystupid2  buck2 uglystupid2
Logged
tprasobchoke
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 14

เราเป็นอย่างไร สังคมเป็นอย่างนั้น


« Reply #26 on: November 23, 2006, 01:47:34 AM »

ผู้ทำ 4805091
ข้อ18 หน้า73
\begin{array}{rcl}\displaystyle{(1+x)\frac{dy}{dx}-xy}&=&x+x^2\\\displaystyle{\frac{dy}{dx}-\frac{x}{1+x}y}&=&x\\\displaystyle{\frac{d}{dx}\left ( e^{\int P(x)dx}y\right )}&=&\displaystyle{e^{P(x)dx}f(x)}\end{array}\\\\\\\displaystyle{\text{where}\qquad P(x)=-\frac{x}{1=x}\qquad\text{and}\qquad f(x)=x}\\\\\displaystyle{\therefore\qquad\int P(x)dx=\ln\mid x+1\mid-x}\\\\\displaystyle{\text{we get}\qquad\frac{d}{dx} \left ( e^{\ln\mid1+x\mid-x}y\right )=e^{\ln\mid1+x\mid-x}x}\\\\\\\begin{array}{rcl}\displaystyle{e^{\ln\mid1+x\mid-x}y}&=&\displaystyle{\int e^{\ln\mid1+x\mid-x}xdx}\\\\&=&\displaystyle{\int (x+x^2)e^{-x}dx}\\\\&=&\displaystyle{-(x^2+3x+3)e^{-x}+c}\end{array}
Logged
f4
Administrator
neutrino
*****
Offline Offline

Posts: 227


This is F4 :-)


WWW
« Reply #27 on: November 23, 2006, 08:01:55 AM »

...
  e^{x^3} y = \int e^{x^3}10x^2 dx

ซึ่งเป็น ERROR FUNCTION ตาม EXAMPLE 7 P.64 ...


xila_kwang ดูใหม่อีกครั้งซิว่า   \int e^{x^3}10x^2 dx   เป็น Error Function จริงหรือ
หน้าตาของอินทิกรัลไม่เหมือนกันนี่นา

ดูดีๆ อินทิเกรชันนี้เราน่าจะทำได้ จัดรูปใหม่ ข้างในอินทิกรัลมี  x^2 เป็นผู้ช่วยพระเอกอยู่นะ  Wink
ลองทำดู
Logged

This is F4 :-)
Saranpat
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 15


« Reply #28 on: November 23, 2006, 09:02:17 PM »

ข้อ 23  x\frac{dy}{dx}+(3x+1)y = e^{-3x}
หา Integrating factor
e^{\int{p(x)dx}} = e^{\int{\frac{3x+1}{x}}}dx = xe^{3x}
จาก xe^{3x}y = \int{\frac{e^{-3x}}{x}xe^{3x}}}
\frac{d}{dx}[xe^{3x}{y}] = e^{-3x}e^{3x} = 1
\int{d(xe^{3x}y)} = \int{dx}
xe^{3x}y = x + c
นำ xe^{3x} หารตลอดทั้งสมาการ จะได้
y = e^{-3x}+cx^{1}e^{-3x}
by 4805228
Logged
sammy
neutrino
*
Offline Offline

Posts: 5


« Reply #29 on: November 27, 2006, 12:37:24 AM »

problem 21 
\frac{dr}{d\theta}+rsec\theta{ }={ }cos\theta                         ........................................ (1)

solution
P(x){ }={ }sec\theta
integrating factor is e^{\int sec\theta d\theta}{ }={ }e^{ln(sec\theta+tan\theta)}{ }={ }sec\theta+tan\theta
multiply (1) by   sec\theta+tan\theta
\begin{array}{rcl}sec\theta+tan\theta)\frac{dr}{d\theta}+(sec\theta+tan\theta)rsec\theta&=&(sec\theta+tan\theta)cos\theta\\\\\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]&=&[\frac{1}{cos\theta}+\frac{sin\theta}{cos\theta}]cos\theta\\\\\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]&=&1+sin\theta\\\\\int\frac{d}{d\theta}[(sec\theta+tan\theta)r]d\theta&=&\int(1+sin\theta)d\theta\\\\(sec\theta+tan\theta)r&=&\theta-cos\theta+c\end{array}

by Woradee Kongthong 4805190
« Last Edit: November 30, 2006, 02:50:22 PM by f4 » Logged
Pages: « 1 2   Go Up
Print
Jump to:  

คุณสมบัติของเด็กดี

ไม่ฟังเวลามีการนินทากัน ไม่มองหาข้อด้อยของผู้อื่น ไม่พูดนินทาเหยีบบย่ำผู้อื่น