Classical Mechanics John R. Taylor Chapter8 ข้อ 8.20

a8.20 Consider a comet which passes through its aphelion at a distance $r_{max}$ from the sun. Imagine that, keeping $r_{max}$ fixed, we somehow make the angular momentum $l$ smaller and smaller, though not actually zero; that is, we let $l$ approaches to zero. Use equations (8.48) and (8.50) to show that in this limit the eccentricity $\epsilon$ of the elliptical orbit approaches 1 and that the distance of closest approach $r_{min}$ approachs zero. Discribe the orbit with $r_{max}$ fixed but $l$ very small. What is the semimajor axis $a$

วิธีทำ จากสมการ 8.48 $c=\frac{l^2}{\gamma\mu}$ เห็นได้ว่า ถ้า $l$ ย่างเข้าสู่ 0 เห็นได้ว่า $c$ ย่างเข้าสู่ 0 ด้วย
ซึ่งจากสมการ 8.49 ได้ว่า $(r(\phi))(1+\epsilon\cos\phi)=c$ นั่นคือ ถ้า $c$ ย่างเข้าสู่0 ฝั่งซ้ายของสมารก็จะย่างเข้าใกล้ศูนย์ด้วย นั่นคือ $1+\epsilon\cos\phi$ ย่างเข้าสู่ 0 เมื่อพิจารณาตำแหน่งที่ $r(\phi)=r_{max}$ นั่นคือ $\phi=\pi$ ดังนั้นได้ว่า $1+\epsilon\cos\pi$ ย่างเข้าสู่ 0
$1-\epsilon$ ย่างเข้าสู่ 0 นั่นคือ $\epsilon$ มีค่าย่างเข้าสู่ 1

จากสมการ 8.50 $r_{min}=\frac{c}{1+\epsilon}$ เมื่อ $c$ ย่างเข้าสู่ 0 และ $\epsilon$ ย่างเข้าสู่ 1 จะได้ว่า $r_{min}$ ย่างเข้าสู่ 0

จากสมการ 8.53 $\frac{b}{a}=\sqrt{1-{\epsilon}^2}$ เห็นได้ว่าเมื่อ $\epsilon$ มีค่าย่างเข้าสู่ 0 ค่าของ $\frac{b}{a}$ จะย่างเข้าสู่ 0 ด้วย ค่า $b$ จะย่างเข้าสู่ 0 ด้วย

และจากสมการ 8.50 และ 8.52 $r_{max}=\frac{c}{1-\epsilon}$ และ $a=\frac{c}{1-{\epsilon}^2}$ นั่นคือ $a=\frac{r_max}{1+\epsilon}$ ซึ่งถ้า $\epsilon$ มีค่าย่างเข้าสู่ 1 �

คุณสมบัติของเด็กดี