ขอใช้รูปของเจ้าของกระทู้นะครับ
ขอทำในกรณีพิเศษที่สุดนะครับ โดยที่คนยิงสามารถเลือกยิงโพรเจคไทล์ทั้งสองฝั่งไม่พร้อมกันได้ และสามารถปรับมุมที่ทำกับพื้นเอียงได้ด้วย (แต่มุมทั้งสองฝั่งยังเท่ากัน)
เงื่อนไขที่จะทำให้สวนกันได้คือ

เพื่อความสะดวก จะให้

สมการของอันแรก


การยิงโพรเจคไทล์อันแรก โดยที่เรากำหนดมุมให้คงที่ ถ้ายิงเบาๆ โพรเจคไทล์จะตกลงที่หน้าตรงฝั่งซ้ายของพื้นเอียง ถ้ายิงแรงขึ้นอีกจนถึงระดับหนึ่ง โพรเจคไทล์จะตกลงตรงยอดพอดี แล้วถ้าแรงกว่านี้อีก โพรเจคไทล์จะตกลงที่หน้าตรงฝั่งขวาของพื้นเอียง
แก้สมการเพื่อหาเวลาที่โพรเจคไทล์ตกลงตรงหน้าพื้นเอียง (สำหรับ

น้อยพอที่จะทำให้มันตกลงตรงหน้าฝั่งซ้าย) โดยให้

จะได้

นั่นคือ

คือเวลาที่โพรเจคไทล์ตกลงบนพื้นเอียง
แทนค่าลงในสมการของ

จะได้

จะได้

หาความเร็วต้นที่ทำให้โพรเจคไทล์อันแรกตกที่จุดยอด แทนค่า

และเพื่อให้ดูง่าย จะเขียนความเร็วต้นนี้เป็น

จะได้

ทำนองเดียวกันสำหรับฝั่งขวาของโพรเจคไทล์ เราสามารถเขียน

ได้เป็น

ซึ่งเราเปลี่ยนมุมของพื้นเอียงทางฝั่งซ้าย

มาเป็นมุมของพื้นเอียงทางฝั่งขวา

เพื่อที่จะได้สมการอธิบายการเคลื่อนที่ของโพรเจคไทล์ทางฝั่งขวา
ถ้า

เมื่อเรายิงโพรเจคไทล์ด้วยความเร็วต้น

โพรเจคไทล์ทางฝั่งขวาจะถึงจุดยอด แต่ทางฝั่งซ้ายยังไม่ถึง นั่นคือ ถ้าเพิ่มความเร็วต้นจนถึงระดับหนึ่ง โพรเจคไทล์ทั้งสองฝั่งจะสวนกัน
พิจารณา

เนื่องจาก

เป็นตัวร่วมที่มากกว่าศูนย์ ดังนั้นจะพิจารณาเพียง

เนื่องจากตัวส่วนมากกว่าศูนย์จากเงื่อนไขด้านบนสุด ดังนั้นจะพิจารณาเพียงแค่ตัวเศษ

จัดรูปโดยเอาพจน์ที่หนึ่งกับสามไว้ด้วยกัน แล้วพจน์ที่สองกับสี่ไว้ด้วยกัน ดึงตัวร่วม

ซึ่งมากกว่าศูนย์จากเงื่อนไขด้านบน
หลังจากดึงตัวร่วมออกมาแล้วพิจารณาเพียง

ซึ่งถ้ามากกว่าศูนย์แสดงว่า

แต่ถ้าน้อยกว่าศูนย์จะเป็นไปในทางกลับกัน ความเร็วต้นที่น้อยที่สุดจะอยู่ระหว่างค่า

กับ

นี้ ขึ้นอยู่กับว่าค่าไหนมากกว่ากัน
แต่จะขอทำในกรณีพิเศษซึ่งสามารถเลือกมุมยิงได้ โดยเลือก

ซึ่งจะทำให้

ซึ่งเป็นความเร็วต้นที่น้อยที่สุด (สำหรับกรณีพิเศษนี้)
แทนค่าลงใน

หรือ

ก็ได้ ซึ่งควรจะได้ค่าเหมือนกัน
ขอข้ามขั้นนะครับ
จะได้ว่า

เป็นความเร็วต้นที่น้อยที่สุดที่ทำให้โพรเจคไทล์ทั้งสองสวนกัน โดยที่เราเลือกเวลายิง และมุมยิงให้โพรเจคไทล์ทั้งสองมาเจอกันพอดี
ส่วนกรณีทั่วไปมากขึ้น จะพยายามทำดูครับ
ใครพบที่ผิด หรือมีข้อสงสัยตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ