ขอต้อนรับ ผู้มาเยือน กรุณา ล็อกอิน หรือ สมัครสมาชิก

ล็อกอินด้วยชื่อผู้ใช้ รหัสผ่่าน และระยะเวลาใช้งาน

 
Advanced search

41241 Posts in 6175 Topics- by 8099 Members - Latest Member: mathephobia
Pages: 1   Go Down
Print
Author Topic: Quantum Mechanics problem 2.11  (Read 4822 times)
0 Members and 1 Guest are viewing this topic.
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« on: July 17, 2006, 02:04:47 AM »

Title : Introduction to Quantum Mechanics
Author : David J. Griffiths
Editoin : 2nd Editon
Publisher : Pearson Prentice Hall

*Problem 2.11
หน้า 50

(a) Compute  <x>, <p>,<x^2>, and  <p^2>, for the states  \psi _0 (Equation 2.59) and  \psi _1 (Equation 2.62), by explicit integration. Comment: In this and other problems involving the harmonic oscillator it simplifies matters if you introduce the variable  \xi \equiv \sqrt{m \omega / \hbar }\ x and the constant  \alpha \equiv (m \omega / \pi \hbar)^{1/4} .

Equatoin 2.59
 \psi _0 = \left(\dfrac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega}{2 \pi}x^2}

Equaton 2.62
 \psi _1 =\left(\dfrac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}\sqrt{\dfrac{2m \omega}{\hbar}} e^{-\frac{m\omega}{2 \pi}x^2}

 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _0 ^{*}\ x\ \psi _0 dx= 0


 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _1 ^{*}\ x\ \psi _1 dx= 0               ---  <x>

 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _0 ^{*}\ \left(i\hbar\dfrac{\partial }{\partial x}\psi_0\right)\  dx= 0


 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _1 ^{*}\ \left(i\hbar\dfrac{\partial }{\partial x}\psi_1\right)\  dx= 0        ---- <p>

 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _0 ^{*}\ x^2 \ \psi _0 dx= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\hbar}{m\omega}\right)

 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _1 ^{*}\ x^2 \ \psi _1 dx= \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{\hbar}{m\omega}\right)       ---- <x^2>

 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _0 ^{*}\ \left(i\hbar\dfrac{\partial }{\partial x}\right)^{2}\psi_0 \  dx= \dfrac{m\omega \hbar}{2}


 \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _1 ^{*}\ \left(i\hbar\dfrac{\partial }{\partial x}\right)^{2}\psi_1 \  dx= \dfrac{3m\omega \hbar}{2}           -----  <p^2>
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #1 on: July 17, 2006, 02:15:58 AM »

(b) Check the uncertainty principle for these states.

state 0


 \sigma _x \sigma _p \geq \dfrac{\hbar}{2}

 \sigma _x = \sqrt{<x^2>-<x>^2}

 \sigma _p = \sqrt{<p^2>-<p>^2}

 \therefore \ \ \ \sigma _x \sigma _p = \dfrac{\hbar}{2} \geq \dfrac{\hbar}{2}

เพราะฉะนั้น state 0 ไม่ขัด uncertainty principle

state 1

 \sigma _x \sigma _p = \dfrac{3}{2}\hbar \geq \dfrac{\hbar}{2}

เพราะฉะนั้น state 1 ไม่ขัด uncertainty principle
« Last Edit: July 17, 2006, 02:18:09 AM by Foggy_Ritchy » Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
FogRit
SuperHelper
*****
Offline Offline

Posts: 899


มีอะไร ใช้อย่างนั้น


« Reply #2 on: July 17, 2006, 02:28:27 AM »

(c) Compute  <T> (the average kinetic energy) and  <V> (the average potential energy) for these states. (No new integration allowed!) Is their sum what you would expect?

พิจารณาที่ state 0

 <T> = \dfrac{1}{2m}\displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _0 ^{*}\ \left(i\hbar\dfrac{\partial }{\partial x}\right)^{2}\psi_0 \  dx= \dfrac{\hbar\omega}{4}

 <V> =  \displaystyle\int \limits_{-\infty} ^{\infty} \psi _0 ^{*}\ \left(\dfrac{1}{2}k x^2\right) \ \psi _0 dx= \dfrac{\hbar\omega}{4}

เพราะว่าพลังงานรวมในระบบคือ พลังงานจลน์ + พลังงานศักย์

  <E> = <T>+<V>= \dfrac{\hbar\omega}{2}

ตามที่หวังไว้  E_n = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\hbar\omega
Logged

อดทนและทำงานอย่างสอดคล้องกับธรรมชาติ
Pages: 1   Go Up
Print
Jump to: