mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: earth_maker on June 06, 2006, 11:20:36 PM



Title: Tower of cylinders
Post by: earth_maker on June 06, 2006, 11:20:36 PM
Consider the infinitely tall system of identical massive cylinders and massless planks shown below. The moment of inertia of the cylinders is I = MR2/2. There are two cylinders at each level, and the number of levels is infinite. The cylinders do not slip with respect to the planks, but the bottom plank is free to slide on a table. If you pull on the bottom plank so that it accelerates horizontally with acceleration a, what is the horizontal acceleration of the bottom row of cylinders?

(http://img420.imageshack.us/img420/5466/untitled2ne1.jpg) (http://imageshack.us)

เอิ่ม..คือว่าทำแล้วมันออกมาไม่เหมือนเฉลย ชนิดที่ว่าคนละเรื่องกันเลย ก็เลยเอามาให้ช่วยดูหน่อยว่ามีอะไรผิดรึเปล่า
ข้างล่างจะมีทั้งเฉลยแล้วก็ที่ทำเอง ถ้าใครอยากลองทำก่อนก็อย่าพึ่งเลื่อนลงไปดูนะครับ


Title: Re: Tower of cylinders
Post by: earth_maker on June 06, 2006, 11:33:17 PM
เอาเฉลยของเค้าก่อนละกัน อ่อลืมบอกไปว่าโจทย์มาจาก Harvard Weekly Problems

(http://img197.imageshack.us/img197/585/p13xz.jpg) (http://imageshack.us)

(http://img506.imageshack.us/img506/7839/p26ym.jpg) (http://imageshack.us)

(http://img506.imageshack.us/img506/6999/p38oy.jpg) (http://imageshack.us)


Title: Re: Tower of cylinders
Post by: earth_maker on June 07, 2006, 01:06:38 AM
ทำคล้ายๆกันแต่เริ่มกันจากคนละข้าง

(http://img332.imageshack.us/img332/117/pp0qa.jpg) (http://imageshack.us)

ตั้งสมการการเคลื่อนที่สามสมการ
ma_n = f_n-f_{n-1}...........................(A)
I\alpha_n=(f_n + f_ {n-1})R.....................(B)
a_n = a_{n+1}-\alpha_n R..........................(C)
ต่อไปแก้สมการจัดรูป

จาก A
f_n=ma_n+f_{n-1}
แทนใน B
\alpha_n=(ma_n+2f_{n-1})R/I
จัดรูป C แล้วแทนค่า
a_{n+1}=a_n+\alpha_n R
a_{n+1}=a_n+((ma_n+2f_{n-1})R/I)R
แทนค่า I=\frac{1}{2}mR^2
a_{n+1}=3a_n+\frac{4f_{n-1}}{m}

จาก A สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า (ใช้ Newton ก็ได้)
f_n=m(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1)

แทนค่าลงไปในสมการข้างบนอีก
a_{n+1}=3a_n+4(a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1)
a_{n+1}=4(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1)-a_n
สมการนี้บอกว่า
a_{n}=4(a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1)-a_{n-1}

แทนค่า
a_{n+1}=3a_n+a_n+a_{n-1}
a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}

สิ่งที่โจทย์ถามก็คือ \frac{a_{n-1}}{a_n} เมื่อ n มีค่ามากๆๆๆ
r \equiv \frac{a_{n-1}}{a_n} \approx \frac{a_{n}}{a_{n+1}}
\frac{1}{r}=4+r
0=r^2+4r-1
r=-2\pm \sqrt{5}

เรารู้ว่าอัตราส่วนนี้ไม่ควรจะเป็นลบ
จะได้
r=-2+ \sqrt{5} หรือ a(bottom\ row)=(\sqrt{5}-2)a
ซึ่งไม่เหมือนเฉลย

จริงๆทำพจน์ทั่วไปไว้ด้วยก็ให้ผลเหมือนกันแต่ว่าไม่ไหวแล้ว Latex จนมือหงิก เอาไว้คราวหน้า