mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: phys_pucca on April 12, 2006, 06:49:52 PM



Title: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: phys_pucca on April 12, 2006, 06:49:52 PM
ข้อนี้เคยเป็นข้อสอบระดับชาติครั้งที่ 2 ที่หาดใหญ่
และได้นำมาทำแล้วในหัวข้อกะลา แต่โจทย์ไม่สมบูรณ์
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,175.0.html (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,175.0.html)
ไม่รู้ว่าถามอะไร และกำหนดอะไรกันแน่ ครั้งนี้เลยเอามาให้ทำกันแบบเต็มๆครับ >:A


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: phys_pucca on April 12, 2006, 06:54:49 PM
ถึงแม้จะไม่มาราธอน แต่อาจจะมาราถึกก็ได้ ;D
ลองทำกันดูนะครับ :D


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: phys_pucca on April 18, 2006, 11:48:51 AM
 :'(


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: Mwitish on April 20, 2006, 12:44:22 AM
:'(
;)
ทำแล้วอะ เด๋วเดี๋ยวขอไปฝึกวิทยายุทธ์การใช้ latex แล้วจะมาโพสต์

แต่คนอื่นถ้าทำแล้วก้อโพสต์ไปเลยน้า


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: ccchhhaaammmppp on April 21, 2006, 12:28:13 PM
ในกรอบ XOY มวล \displaystyle{m}กำลังเคลื่อนไปด้านความด้วยความเร็ว \displaystyle{v\cos\theta-V} และกำลังเคลื่อนที่ลงด้วยความเร็ว \displaystyle{v\sin\theta}

จากโมเมนตัมแกน X คงตัว

\displaystyle{-MV+m(v\cos\theta-V)=0}

\displaystyle{V=\frac{m}{M+m}v\cos\theta}

จากพลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไปเป็นพลังงานจลน์

\displaystyle{mgR(1-\cos\theta)=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}m((v\cos\theta-V)^2+v^2\sin^2\theta)}

\displaystyle{2mgR(1-\cos\theta)=MV^2+m(v^2+V^2-2vV\cos\theta)}

\displaystyle{2mgR(1-\cos\theta)=M(\frac{m}{M+m})^2v^2\cos^2\theta+m(v^2+(\frac{m}{M+m})^2v^2\cos^2\theta-2\frac{m}{M+m}v^2\cos^2\theta)}

\displaystyle{v=\sqrt{\frac{2mgR(1-\cos\theta)}{M(\frac{m}{M+m})^2\cos^2\theta+m(1+(\frac{m}{M+m})^2\cos^2\theta-2\frac{m^2}{M+m}\cos^2\theta)}}}

\displaystyle{v=\sqrt{\frac{2gR(1-\cos\theta)}{1-\frac{m}{M+m}\cos^2\theta}}}

จาก1

\displaystyle{V=\frac{m}{M+m}\sqrt{\frac{2gR(1-\cos\theta)}{\sec^2\theta-\frac{m}{M+m}}}}

หมายเหตุ ถ้าบรรทัดไหนผิดบอกหน่อยนะครับเพราะตอนผมทำไม่ได้ทดใส่กระดาษไว้(ทำสด) ;D


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: ccchhhaaammmppp on April 21, 2006, 12:39:48 PM
ในกรณีที่ \displaystyle{M>>m}เราสามารถประมาณได้ว่า \displaystyle{\frac{m}{M+m}\approx 0} (ประมาณมากไปเปล่่าหว่า)

\displaystyle{v\approx\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}}

\displaystyle{V\approx 0}


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: Mwitish on April 22, 2006, 10:40:08 PM
สำหรับที่ผมทำวิธีการคล้ายๆกันอะ แต่ต่างกันตรงประมาณค่า \displaystyle{v} ผมประมาณตามที่โจทย์แนะมา
\displaystyle{v=\sqrt{\frac{2gR(1-\cos\theta)}{1-\frac{m}{M+m}\cos^2\theta}}}
จัดรูปได้
\displaystyle{v={(1-\frac{m}{M+m}\cos^2\theta)}}^{-\frac{1}{2}}\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}}
เมื่อ
\displaystyle{(1+x)^n\approx 1+nx } เมื่อ \displaystyle{x<<1}
และในที่นี้ เมื่อ \displaystyle{m<<M} ดังนั้น \displaystyle{\frac{m}{M+m}<<1}
ดังนั้น
\displaystyle{v\approx{(1-(-\frac{1}{2})\frac{m}{M+m}\cos^2\theta)}}\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}}

ซึ่งจะได้
\displaystyle{v\approx{(1+(\frac{1}{2})\frac{m}{M+m}\cos^2\theta)}}\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}}

ผิดถูกยังไงชี้แนะด้วย

ปล. ต้องขอโทดที่อาจพิมพ์ latex ได้ไม่ดีนัก เพราะเพิ่งหัดใช้ latex






Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: phys_pucca on April 23, 2006, 02:49:28 PM
ของ champ
Quote
      \displaystyle{2mgR(1-\cos\theta)=M(\frac{m}{M+m})^2v^2\cos^2\theta+m(v^2+(\frac{m^2}{M+m})^2v^2\cos^2\theta-2\frac{m}{M+m}v^2\cos^2\theta)}

m ในพจน์ที่ 2 ของวงเล็บสุดท้ายน่าจะเกินมาตัวนึง ???

แต่ตอนนี้คนทำคงไม่อยู่ ;D


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: ccchhhaaammmppp on May 05, 2006, 05:44:13 PM
 :) แก้แล้วคร้าบบบ

ตกลงผมประมาณมากไปเปล่่าครับ


Title: Re: การไถลของมวลบนผิวทรงกระบอก
Post by: Peeravit on April 16, 2007, 10:45:18 PM
ข้อ 1.3

ขอยกสมการจากที่พี่ ccchhhaaammmppp ได้ทำไว้  ;D
\displaystyle{mgR(1-\cos\theta)=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}m((v\cos\theta-V)^2+v^2\sin^2\theta)} -----(1)
\displaystyle{v=\frac{M+m}{m}V\sec\theta} ----- (2)

กำจัด \displaystyle v ออกจาก (1) โดยใช้  (2)
\displaystyle{mgR(1-\cos\theta)=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}m((\frac{M}{m}V)^2+(\frac{M+m}{m})^2 v^2\tan^2\theta)}

diff เทียบ \displaystyle t ทั้งสมการ โดยระลึกว่า \displaystyle \frac{d}{dt}R(1-\cos\theta)=v\sin\theta=\frac{M+m}{m}V\tan\theta และ \displaystyle  \dot{\theta}=\frac{v}{R}

\displaystyle{mg \frac{M+m}{m}V\tan\theta=MV\dot{V}+\frac{M^2}{m}V\dot{V}+\frac{(M+m)^2}{m}((V^2)(tan\theta\sec^2\theta\frac{v}{R})+(\tan^2\theta)(V\dot{V}))}

จัดรูปโดยใช้  (2)
\displaystyle {\dot{V}=\frac{m\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}(g\cos\theta - \frac{v^2}{R})} ---(3)

กฎข้อ 2 ของนิวตัน บ่งว่า
\displaystyle mg\cos\theta - N - m\dot{V}\sin\theta = m\frac{v^2}{R} ----- (4)

เรารู้ว่ามวล \displaystyle m จะหลุดจากผิวเมื่อ \displaystyle N=0 , และเมื่อแทน (3) ลงใน (4) จะได้

\displaystyle mg\cos\theta - \frac{m^2\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}(g\cos\theta - \frac{v^2}{R})= m\frac{v^2}{R}

แก้สมการโดยระลึก \displaystyle{v=\sqrt{\frac{2gR(1-\cos\theta)}{1-\frac{m}{M+m}\cos^2\theta}}}

จะได้ว่า มวล \displaystyle m จะหลุดจากผิวเมื่อ \displaystyle \theta=\cos^{-1}\left( \frac{2}{3}+\frac{mcos^3\theta}{3(M+m)} \right)

สำหรับกรณีที่มวล \displaystyle M มีค่าอนันต์ ,  มวล \displaystyle m จะหลุดจากผิวเมื่อ \displaystyle \theta=\cos^{-1}\left( \frac{2}{3}\right)

ดังนั้น ในกรณีทั่วไป  มวล \displaystyle m จะหลุดจากผิวที่มุม \displaystyle \theta ซึ่งเล็กกว่ามุมที่หลุดในกรณีที่  มวล \displaystyle M มีค่าอนันต์   ตอบ