mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: MwitStu. on April 08, 2006, 07:36:46 PM



Title: Holy rod
Post by: MwitStu. on April 08, 2006, 07:36:46 PM
มีไม้ยาวอนันต์อยู่อันหนึ่ง วางอยู่เหนือแกน x ของระบบอ้างอิง โดยปลายไม้ด้านซ้ายสัมผัสแกน y ด้านขวายาวไปถึงอนันต์ มีความหนาแน่นมวลเชิงความยาว \lambda(x) ถ้าวางไม้ไว้เช่นนั้นจะต้องเอาลิ่มมาวางใต้ไม้ห่างปลายซ้ายเป็นระยะ l ไม้นี้จึงจะสมดุล(มีความเร่ง g(-\hat y) และเมื่อตัดปลายไม้ด้านซ้ายไปไม่ว่าเท่าใดก็ตาม จะต้องเลื่อนลิ่มตามให้ห่างปลายไม้ l ไม้นี้จึงจะยังสมดุลอยู่ จงหารูปของ \lambda(x)
แนะ: \displaystyle{\frac{d}{dx}(\int_a^x f(t) dt)=f(x)} เมื่อ a เป็นค่าคงที่(หรือคงตัวก็ได้)


Title: Re: Holy rod
Post by: MwitStu. on April 08, 2006, 08:48:19 PM
เพื่อจะได้ไม่ติดค่าคงที่ที่ไม่รู้ค่า จะกำหนดเพิ่มเติมว่าตอนแรก(ยังไม่ตัด) ไม้ทั้งแท่งมีมวล M (Initial condition)


Title: Re: Holy rod
Post by: Tung on April 08, 2006, 10:28:21 PM
จุดที่วางลิ่มไปแล้วทำให้คานสมดุล จุด cm ของแท่งไม้
จากนิยามของ cm \displaystyle{r_{cm}=\dfrac{\int r dm}{\int dm}} และ \displaystyle{dm=\lambda(x)dx}
จะได้สมการ
\begin{array}{rcl}\displaystyle{(s+l)\int_s^{\infty} \lambda(x)dx & = & \displaystyle{\int_s^{\infty} x \lambda(x)dx}} \\ \displaystyle{(s+l)\int^s_{\infty} \lambda(x)dx & = & \displaystyle{\int^s_{\infty} x \lambda(x)dx}} \\ \end{array}

เมื่อทำการหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ s จะได้ \displaystyle{(s+l) \lambda(s) + \int^s_{\infty} \lambda(x) dx = s \lambda(s)
จะได้ \displaystyle{\int^s_{\infty} \lambda(x) dx = -l \lambda(s) เมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับ s อีกรอบจะได้
\displaystyle{\frac{d}{ds} \lambda(s) = -\frac{\lambda(s)}{l}} จะได้ \displaystyle{\lambda(s) = Ce^{-\dfrac{s}{l}}} ก้อคือ \displaystyle{\lambda(x) = Ce^{-\dfrac{x}{l}}}
เพื่อหา arbitrary constant ก็อินทิเกรตเทียบ x ทั้งสองข้าง
\displaystyle{\begin{array}{rcl}\displaystyle{\int^{\infty}_0 \lambda(x)dx & = &\displaystyle{ \int^{\infty}_0 Ce^{-\dfrac{x}{l}}dx} \\ M & = & Cl \\ C & = & \dfrac{M}{l} \\ \end{array}
เพราะฉะนั้น \displaystyle{\lambda(x) = \frac{M}{l} e^{-\dfrac{x}{l}}} ตอบ