mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: P o W i i on April 07, 2006, 09:37:02 PM



Title: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 07, 2006, 09:37:02 PM
มันคืออะไร?

เนื่องจากช่วงนี้ไม่ค่อยมีคนมาโพสโจทย์กันเลย แล้วผมก็ยังไม่อยากให้เงียบเหงา เลยตั้งกระทู้นี้ขึ้นมา

แล้วกระทู้นี้อาจจะช่วยให้พวกเราได้ทำโจทย์กันมากขึ้น

จริงๆแล้วมันก็เหมือน Tournament หนึ่งนั่นเอง คือพูดจริงๆแล้วมันก็คือกระทู้โพสโจทย์นั่นแหละ

จุดประสงค์

-เพื่อเสริมประสบการณ์การทำโจทย์

-เพื่อแชร์โจทย์แปลกๆที่คนอื่นอาจยังไม่เคยเห็น

-เพื่อเป็นการทำให้บอร์ดคึกคัก

-การแข่งขันไม่ใช่จุดประสงค์ของกระทู้นี้

กติกา

1.ทำโจทย์ที่คนก่อนหน้านั้นโพสไว้

2.โพสโจทย์ข้อต่อไป ใน reply ต่อไปทันที ที่ต้องแยก reply เพื่อที่ภาพจะได้ไม่งง ใส่เลขข้อด้วย

3.ถ้ามี Integral หรือ Differential Equation ที่แก้หาคำตอบยากๆ ควรจะให้มา

4.ในหมวด mechanics นี้ขอสงวน Lagrangian Mechanics,fictitious force หรืออะไรก็ตามที่เนื้อหาสูงเกินไป โจทย์ควรแก้ได้ด้วยหลักการพื้นฐาน

5.มีมารยาท

6.จะทำเองโพสเองไปเรื่อยๆก็ได้แต่ ...

7.ในกรณีที่เราโพส Solution ของข้อ ในเวลาใกล้กันมากๆ แล้วโจทย์ข้อใหม่ขึ้นมาสองข้อก็ไม่เป็นไร-

  ถือว่าข้อนั้นมีสองข้อ จะโพสทีละข้อหรือสองก็ได้แต่โจทย์ใหม่ควรเรียงเลข

8.ถ้าไม่มีคนมาทำนานเกิน 2 วันคนโพสโจทย์มาโพส solution เองเลย แต่เร็วๆหน่อยนะ

9. solution ที่โพสต้องมีความละเอียดโดยอธิบายการได้มาของสมการหรือรูป และอ้างหลักการพื้นฐานอยู่เสมอ




สุดท้ายแล้วเราก็จะได้กระทู้โจทย์ที่ไม่สิ้นสุดจนกว่าserverจะล่ม

งั้นผมขอเริ่มก่อนเลยนะ

ข้อ1. หามุมเบี่ยงเบนมากสุด

มวล M วิ่งเข้าชนมวล mซึ่งอยู่นิ่ง ถ้า M>m จะทำให้ M เบนออกจากแนวเดิมเป็นมุมมากที่สุดได้เท่าไหร่


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: gons on April 07, 2006, 09:45:06 PM
ขอถามครับ ชนแบบยืดหยุ่นหรือเปล่าอะครับ


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: NiG on April 07, 2006, 09:52:52 PM
แล้วถ้าไม่ยืดหยุ่นจะคิดยังไงหล่ะ ;D


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: Tung on April 08, 2006, 12:50:44 AM
ข้อ1. หามุมเบี่ยงเบนมากสุด โมเมนมรวมของระบบคงตัว \displaystyle{\vec{P_0} = \vec{P_1} + \vec{P_2} จะได้ \vec{P_2} = \vec{P_0} - \vec{P_1}}
เพราะฉะนั้น \displaystyle{P_2^2 = P_0^2+P_1^2 - 2 P_0 P_1 \cos \alpha}______1
และ กฎการอนุรักษ์พลังงาน \displaystyle{\frac{P_0^2}{2M}=\frac{P_1^2}{2M} + \frac{P_2^2}{2m}}
จากสมการนี้จะได้ \displaystyle{P_2^2 = \frac{m}{M} (P_0^2 -P_1^2)} แทนค่าลงในสมการที่ 1 จะได้
\displaystyle{\frac{m}{M} (P_0^2 -P_1^2) = P_0^2+P_1^2 - 2 P_0 P_1 \cos \alpha} เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้
\displaystyle{\cos\alpha = \frac{(M+m)P_1}{2MP_0} + \frac{(M-m)P_0}{2MP_1}}________2
เราต้องการหา\alphaที่มากที่สุด หมายถึง หาค่า\cos\alphaที่น้อยที่สุดเทียบกับP_1 สำหรับP_0ที่คงตัวใดๆ
คือ \displaystyle{\frac{d}{dP_1} \cos\alpha = 0, แทนค่า \cos\alpha ลงไปจะได้
\displaystyle{\frac{d}{dP_1} \left\{ \frac{(M+m)P_1}{2MP_0} + \frac{(M-m)P_0}{2MP_1} \right\} = 0}
\displaystyle{\frac{(M+m)}{2MP_0} - \frac{(M-m)P_0}{2MP_1^2} = 0} จะได้ \displaystyle{\frac{P_1}{P_0} = \sqrt{\frac{M-m}{M+m}}} แทนค่าลงในสมการที่ 2 จะได้
\displaystyle{\cos\alpha_{min} = \frac{\sqrt{M^2-m^2}}{2M} + \frac{\sqrt{M^2-m^2}}{2M}}
\displaystyle{\cos\alpha_{min} = \frac{\sqrt{M^2-m^2}}{M}}
\displaystyle{\sin\alpha_{max} = \frac{m}{M}} จะได้ \displaystyle{\alpha_{max} = \sin^{-1} \left(\frac{m}{M}\right) ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 08, 2006, 08:42:06 AM
^^^  แนะให้ Tung แยกโจทย์สำหรับข้อ 2 ออกจากคำตอบของข้อ 1  8)


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: Tung on April 08, 2006, 09:00:05 AM
แยกแล้วครับ งี้ควรเปลี่ยนกติกามั้ยนี่
ข้อ2. หาความเร็วที่จุดสูงสุด (หลังจากหลุดจากพื้น) วัตถุเล็กๆ A เริ่มไถลจากความสูง h ลงมาตามพื้นเอียงแล้วขึ้นไปตาม พื้นครึ่งวงกลมที่มีรัศมี \displaystyle{\frac{h}{2}} กำหนดให้ไม่มีแรงเสียดทาน หาความเร็วของวัตถุ ที่จุดสูงสุดของเส้นทางการเคลื่อนที่ (หลังจากหลุดออกมาจากพื้น)


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 08, 2006, 09:14:10 AM
แยกแล้วครับ งี้ควรเปลี่ยนกติกามั้ยนี่
..

 :D คิดว่าควรเปลี่ยนนะ จะได้แยกข้อกันไป ไม่รู้ว่าเจ้าของกระทู้คิดอย่างไร ?


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 08, 2006, 12:41:04 PM
เปลี่ยนกติกาแล้วนะครับ ถ้ามีข้อเสนอแนะอะไรอีกก็บอกนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: NiG on April 08, 2006, 05:20:13 PM
อย่างแรก เรารู้ว่าวัตถุจะหลุดออกจากออกจากพื้นเมื่อ ความสูงเท่าของวัตถุมากกว่า h/2 แน่ๆ(ไม่งั้นก็คงไม่หลุด)
และสมมติว่า มุมที่รัศมีซึ่งชี้จากจุดศูนย์กลางความโค้งของผิวโค้ง ไปยังวัตถุทำมุมกับแนวดิ่งเป็นมุม \thetaแล้วกัน
เราจะหาความเร็วของวัตถุจากกฏการอนุรักษ์พลังงานได้ว่า
mgh=mgh_2 +\displaystyle{\frac{1}{2}}mv^2
และแทนค่า h_2=\displaystyle{\frac{h}{2}}(1+cos\theta )จะได้
gh=\displaystyle{\frac{1}{2}}gh(1+cos\theta )+\displaystyle{\frac{1}{2}}v^2
v^2=gh(1-cos\theta )
และที่จุดที่วัตถุกำลังจะหลุดพอดีเราบอกได้ว่า
mgcos\theta =\displaystyle{\frac{mv^2}{h/2}}
แทนค่า v^2ลงไปจะได้ว่า
2g(1-cos\theta )=gcos\theta
cos\theta=\displaystyle{\frac{2}{3}}

แทนค่า cos\theta ลงไปในสมการความเร็วจะได้ว่า
v^2=\displaystyle{\frac{1}{3}}gh , v=\sqrt{\displaystyle{\frac{1}{3}}gh}
เราบอกว่า ความเร็วในแนวดิ่งที่จุดสูงสุดเป็น 0 ดังนั้นก็จะเหลือแค่ความเร็วในแนวระดับ ซึ่งจะหาได้จาก
v_x=vcos\thetaจะได้ว่า
v_x=\displaystyle{\frac{2}{3}}\sqrt{\displaystyle{\frac{1}{3}}gh}
v_x=\displaystyle{\frac{2\sqrt{3}}{9}}\sqrt{gh}

ป.ล. เดี๋ยวจะหารูปมาลงให้นะครับ ตอนนี้อยู่ที่ทำงานพ่อ แล้วก็ไม่แน่ใจคำตอบด้วย เดี๋ยวค่ำๆจะมาลงรูปแล้วจะเช็กดูอีกที
ป.ล.2 ถ้าท่าน Admin ช่วยย่อรูปให้จะเป็นพระคุณมากครับ


Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: NiG on April 08, 2006, 05:35:49 PM
งั้นผมขึ้นข้อใหม่เลยแล้วกันนะ
ข้อนี้เค้าเรียกว่า บิดท่อ แต่...ไอโรดอฟอยู่ที่บ้าน กลับถึงบ้านแล้วจะเอามาลงครับ



Title: Re: Problems Solving Marothon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 08, 2006, 06:07:10 PM
ผิดตรงบรรทัดสุดท้ายพอดีเลยครับคุณ G


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 08, 2006, 06:51:00 PM
G  ทำแล้วไม่ยอมมาโพสข้อต่อไป :'(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 08, 2006, 07:19:25 PM
เห็นมั้ย ถ้าแยกrepแล้วจะเกิดเหตุการณ์แบบนี้


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 08, 2006, 07:26:12 PM
G  ทำแล้วไม่ยอมมาโพสข้อต่อไป  :'(

เห็นมั้ย ถ้าแยกrepแล้วจะเกิดเหตุการณ์แบบนี้

ทำไมใจร้อนกันจัง ไม่ได้อ่านหรือว่าเขาขอกลับไปที่บ้านก่อน  8)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 08, 2006, 07:27:46 PM
ครับๆ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 08, 2006, 08:43:27 PM
กลับมาบ้านแล้วครับ
โจทย์มาจาก Irodov ข้อ 1.307 (เวลาเอาโจทย์มาจากใครควรจะบอกที่มา เผื่อคนอื่นต้องการตรวจสอบ)
Find the maximum power which can be transmitted by mean of a steel shaft rotating about it axis
wIth angular velocity \omega, if it's length l ,radius r, and the permissible torsion angle\psi

แปลเป็นไทยตามความเข้าใจของผมนะครับ
จงหากำลังสูงสุดที่จะบิดแท่งเหล็กเป็น ด้วยความเร็วเชิงมุม \omega รอบแกนของแท่งเหล็ก เป็นมุมเล็กๆ \psi(ในโจทย์เค้าให้ตัวเลขมา แต่ผมไม่ชอบให้คิดเลข เพราะงั้นก็เลยไม่บอกตัวเลข) โดยที่แท่งนี้มีรัศมีเท่ากับ rและยาว l

*ตาม Irodov เค้าให้เหตุผลว่า เมื่อเค้าบอกว่าเป็นเหล็กเราควรจะรู้ว่า โมดูลัสเฉือน (Shear Modulus) มีค่าเท่าไหร่ แต่ข้อนี้จะเอาเป็นว่า ค่า โมดูลัสเฉือนมีค่าเท่ากับ S แล้วกัน
** การบิดก็คือ จับข้างล่างของท่อไว้ กดหัวแล้วบิดหัวของท่อ จนส่วนบนของท่อบิดไปจากเดิมเป็นมุมเล็กๆ ให้คิดง่ายๆก็เหมือนกับ แยกทรงกระบอกเป็นท่อเล็กๆ แล้วเฉือนให้มันเอียงไปทีละอันๆ
***ลองดูนะครับ ข้อนี้จะทำให้เราเข้าใจเรื่อง Shear Modulus ดีขึ้นเยอะเลย


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: phys_pucca on April 09, 2006, 09:24:24 AM
...
ป.ล.2 ถ้าท่าน Admin ช่วยย่อรูปให้จะเป็นพระคุณมากครับ
....


ย่อให้แล้ว ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 10, 2006, 11:22:16 PM
ข้อ 3 ท่อบิด

ระลึกถึง Shear Modulusสำหรับกล่องสี่เหลี่ยม สูง h พื้นที่ข้างบน Aถูกดันไปข้างๆด้วยแรง Fแล้วบิดไป \Delta xจะได้

\displaystyle{S=\frac{F/A}{\Delta x / h}}

จากรูปสำหรับเปลือกทรงกระบอกบางๆรัศมี rหนา drถ้ามองมันเป็นกล่องสูงยาวเล็กๆถูกทำด้วยแรง dFเท่าๆกัน เมื่อรวมแล้วจะได้

\displaystyle{S=\frac{dF/2\pi rdr}{r\psi/l}

จัดใหม่จะได้

\displaystyle{dF=\frac{2\pi \psi S r^2dr}{l}

และกำลังที่ทำต่อทรงกระบอกบางๆนี้

 dP=\omega r dF

นำ dFมาแทนแล้วอินทิเกรต ใส่ลิมิตตั้งแต่ r=0ถึง r=R จะได้

\displaystyle{P=\frac{1}{2l}\pi \psi S \omega R^4 }                                  


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 10, 2006, 11:45:39 PM
ข้อ 4

แกว่งลูกตุ้มห้อยเชือกยาว l ให้เป็นเพนดูลัมรูปกรวยที่ควงรอบแกนดิ่งทำมุม \theta_0 ด้วยความเร็วเชิงมุม \omega_0

หากสะกิดไปเล็กน้อย มันจะกระดิกเป็นคาบเท่าใด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ทีมล่าสังหาร on April 11, 2006, 01:21:35 PM
ไม่ค่อยแน่จัย w0sqrt(1+3cos^2@) \omega_0 \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta_0} เปล่าหว่า


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 11, 2006, 04:00:20 PM
ไม่ค่อยแน่จัย w0sqrt(1+3cos^2@) \omega_0 \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta_0} เปล่าหว่า
ใช่ครับ ถ้าโจทย์ถามความถี่เชิงมุม


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 11, 2006, 07:48:20 PM
ข้อ 4
พิจารณาสมการพลังงาน \displaystyle{E=mgl(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}m(\omega r)^2+\frac{1}{2}m(l \frac{d}{dt}\theta)^2}

ให้ \omega เป็นอังตราเร็วเชิงมุมที่เวลาๆ ใดๆ
เนื่องจากไม่มีทอร์กมากระทำรอบแกนดิ่งนี้ โมเมนตัมเชิงมุมรอบแกนนี้จึงมีค่าคงที่
ให้ L\equiv mr^2 \omega=mr^2_0 \omega_0 โดย r=l\sin\theta เป็นระยะห่างจากลูกตุ้มถึงแกนดิ่ง
จะได้ว่า \displaystyle{m(\omega r)^2=\frac{L^2}{mr^2}}
และ \displaystyle{E=mgl(1-\cos\theta)+\frac{L^2}{2ml^2}(\frac{1}{\sin\theta})^2+\frac{1}{2}m (l \frac{d}{dt}\theta)^2}

เนื่องจากพลังงานมีค่าคงที่ ทำการ differentiate สมการนี้ เทียบกับเวลา จะได้ว่า
\displaystyle{0=mgl\sin\theta(\frac{d}{dt}\theta)-\frac{L^2}{ml^2}\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}(\frac{d}{dt}\theta)+ml^2(\frac{d}{dt}\theta)(\frac{d^2}{dt^2}\theta)}
\displaystyle{\ddot\theta=\frac{L^2}{m^2 l^4}\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}-\frac{g}{l}\sin\theta}

แทนค่า \displaystyle{\frac{L^2}{m^2 l^4}=\omega^2_0 \sin^4\theta_0}

\displaystyle{\ddot\theta=\omega^2_0 \sin^4\theta_0 \frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}-\frac{g}{l}\sin\theta}

เพราะว่า \sin\theta=\sin(\theta_0+\delta\theta)\approx \sin\theta_0+\cos\theta_0 \delta\theta
และ \cos\theta=\cos(\theta_0+\delta\theta)\approx \cos\theta_0-\sin\theta_0 \delta\theta
นำการประมาณนี้ รวมกับการใช้ binomial approximation จะได้ว่า

\displaystyle{\ddot\theta=\omega^2_0 \sin\theta_0(1-\frac{3\cos\theta_0 \delta\theta}{\sin\theta_0})(\cos\theta_0-\sin\theta_0 \delta\theta)-\frac{g}{l}(\sin\theta_0+\cos\theta_0 \delta\theta)}
ทำการกระจายพจน์ต่างๆ ให้คูณกัน โดยพจน์ที่มี (\delta\theta)^2 ประกอบอยู่มีค่าน้อยมากจนประมาณทิ้งไปได้
และใช้ความสัมพันธ์ \displaystyle{\cos\theta_0=\frac{g}{\omega^2_0 l}} ซึ่งหาได้จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ในขณะที่ยังไม่มีการสะกิด ให้ออกจากสมดุล

จะได้ว่า \ddot\theta=-\omega^2_0(1+3\cos^2\theta_0)\delta\theta
เนื่องจาก \theta=\theta_0+\delta\theta ทำให้ \ddot \theta=\ddot{(\delta\theta)}
จะได้ \ddot{(\delta\theta)}=-\omega^2_0(1+3\cos^2\theta_0)\delta\theta
จะหาคาบการแกว่งเล็กๆ ได้จาก
\displaystyle{\Omega=\frac{2\pi}{T}=\omega_0 \sqrt{1+3\cos^2\theta_0}}
ดังนั้น \displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega_0 \sqrt{1+3\cos^2\theta_0}}} ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 11, 2006, 08:07:58 PM
เนื่องจากกระทู้นี้ ไม่ได้ห้ามเรื่อง Special Relativity

ข้อ 5
ดาวเทโรสโพโลปุส อยู่ห่างจากโลกประมาณ 3\times10^{33} \mbox{km} ยานตุ๊กแก ที่วิ่งด้วยอัตราเร็ว 0.6c จะใช้เวลาเดินทางจากโลกไปยังดาวดวงนั้นนานเท่าไร
ก. วัดโดยผู้สังเกตที่โลก
ข. วัดโดยผู้สังเกตในยานอวกาศ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 12, 2006, 12:50:59 PM
เห็นกระทู้นี้น่าสนใจเลยลองทำดูอะ ลองตอบดูนะ

ก.\displaystyle{) t_{earth}=1.67\times10^{28}\mbox{ s}}
ข.\displaystyle{) t_{spaceship}=1.33\times10^{28}\mbox{ s}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 12, 2006, 01:18:22 PM
คุณ copy กรุณาอ่านข้อตกลงในการโพสด้วยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 12, 2006, 02:58:15 PM
ขอบคุณคับคุณ G

 
คุณ copy กรุณาอ่านข้อตกลงในการโพสด้วยครับ

ข้อ 6
หอคอยโบราณสูง h มีมวล m กระจายอย่างสม่ำเสมอ โดนลมพัดอย่างแรงจนล้มลงมา ถามว่า ส่วนใดของหอคอยจะเกิดการหักก่อนตกถึงพื้น (ตอบในรูปของตัวแปรที่กำหนด)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 12, 2006, 03:07:22 PM
เห็นกระทู้นี้น่าสนใจเลยลองทำดูอะ ลองตอบดูนะ

ก.\displaystyle{) t_{earth}=1.67\times10^{28}\mbox{ s}}
ข.\displaystyle{) t_{spaceship}=1.33\times10^{28}\mbox{ s}}

ขอวิธีทำด้วยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 12, 2006, 11:12:14 PM
เห็นกระทู้นี้น่าสนใจเลยลองทำดูอะ ลองตอบดูนะ

ก.\displaystyle{) t_{earth}=1.67\times10^{28}\mbox{ s}}
ข.\displaystyle{) t_{spaceship}=1.33\times10^{28}\mbox{ s}}

ขอวิธีทำด้วยครับ


สำหรับข้อ 5.ก.นะครับ
ผู้สังเกตบนโลกจะวัดเวลาที่ยานอวกาศใช้ในการเคลื่อนที่ คือ
\Delta t_{earth}=\Delta x_{earth}/v
เพราะฉะนั้น เวลาที่วัดได้คือ
 \Delta t_{earth}=(3\times10^{33}\times10^{3}\mbox{m})/ 0.6c
 \Delta t_{earth}=1.67\times10^{28}\mbox{ s}}
ส่วนข้อ 5.ข นั้น ต้องใช้การแปลงแบบลอเรนซ์ ให้อยู่ในกรอบของผู้สังเกตบนยาน
 \displaystyle{\Delta t_{spaceship}=\gamma(\Delta t_{earth}-\frac{v \Delta x_{earth}}{c^2})}
 \displaystyle{\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=1.25}
แทนค่าตัวแปร จะได้ว่า
 \displaystyle{\Delta t_{spaceship}=1.33\times10^{28}\mbox{ s}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 13, 2006, 12:18:56 AM
เห็นกระทู้นี้น่าสนใจเลยลองทำดูอะ ลองตอบดูนะ

ขอบคุณสำหรับคำพูดอันเป็นกำลังใจให้ผมครับ  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 15, 2006, 11:28:12 PM
พอดีเจอเฉลยในหนังสือของ David Morin อะครับ ลองดูก่อนนะคับ ถ้าใครมีวิธีเจ๋งๆ ก็ช่วยเฉลยเพิ่มเติมด้วยนะคับ :D
(ยอมรับด้วยความสัจจิงว่ายังไม่ได้ทำจิงๆ คับ บังเอิญเจอเฉลยพอดีเลยเอามา post ตามคำขอของ host กระทู้นี้คับ  >:A >:A >:A)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 16, 2006, 12:04:49 PM
สำหรับ ข้อ7 นะครับ

กรวยหงายกลวงรัศมี R สูงตรง l ครึ่งของมุมยอดมีขนาด \alpha ภายในมีวัตถุกลมขนาดเล็กมวล m ความเร็วต้น v ทำมุม \theta กับแนวระดับและขนานกับผิวด้านในของกรวย อยู่สูงจากจุดต่ำสุดของกรวย h จงหาระยะทางที่ใช้ในการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้จากจุดเริ่มต้น จนถึงจุดต่ำสุดของกรวย (กำหนดให้วัตถุก้อนนี้มีการเคลื่อนที่แบบไถลอย่างเดียวและไม่คิดแรงเสียดทาน)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 16, 2006, 07:49:59 PM
น่ากลัวจิงๆ แล้ว copy ช่วยโพสต์โจทย์ข้อใหม่ให้ด้วยครับ
ขอบคุณครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 16, 2006, 11:56:46 PM
สำหรับ ข้อ7 นะครับ

กรวยหงายกลวงรัศมี R สูงตรง l ครึ่งของมุมยอดมีขนาด \alpha ภายในมีวัตถุกลมขนาดเล็กมวล m ความเร็วต้น v ทำมุม \theta กับแนวระดับและขนานกับผิวด้านในของกรวย อยู่สูงจากจุดต่ำสุดของกรวย h จงหาระยะทางที่ใช้ในการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้จากจุดเริ่มต้น จนถึงจุดต่ำสุดของกรวย (กำหนดให้วัตถุก้อนนี้มีการเคลื่อนที่แบบไถลอย่างเดียวและไม่คิดแรงเสียดทาน)

ผมลองทำมั่วๆ ออกมาได้ประมาณนี้อะครับ ไม่แน่ใจ
\displaystyle{S=\sec\alpha \int_h^0(\sqrt{\frac{B(h-z)+C\cosec^2\theta}{A(1-\frac{h^2}{z^2})+B(h-z)+C}})dz}
เมื่อ \displaystyle{A\equiv \frac{v^2 l \cos^2\theta}{R}, B\equiv 2g, C\equiv v^2\sin^2\theta}
แล้วจะ integrate ต่ออย่างไรดีครับ  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 17, 2006, 05:07:29 PM
สำหรับ ข้อ7 นะครับ

กรวยหงายกลวงรัศมี R สูงตรง l ครึ่งของมุมยอดมีขนาด \alpha ภายในมีวัตถุกลมขนาดเล็กมวล m ความเร็วต้น v ทำมุม \theta กับแนวระดับและขนานกับผิวด้านในของกรวย อยู่สูงจากจุดต่ำสุดของกรวย h จงหาระยะทางที่ใช้ในการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้จากจุดเริ่มต้น จนถึงจุดต่ำสุดของกรวย (กำหนดให้วัตถุก้อนนี้มีการเคลื่อนที่แบบไถลอย่างเดียวและไม่คิดแรงเสียดทาน)

ผมลองทำมั่วๆ ออกมาได้ประมาณนี้อะครับ ไม่แน่ใจ
\displaystyle{S=\sec\alpha \int_h^0(\sqrt{\frac{B(h-z)+C\cosec^2\theta}{A(1-\frac{h^2}{z^2})+B(h-z)+C}})dz}
เมื่อ \displaystyle{A\equiv \frac{v^2 l \cos^2\theta}{R}, B\equiv 2g, C\equiv v^2\sin^2\theta}
แล้วจะ integrate ต่ออย่างไรดีครับ ???

รู้สึกว่ามันจะ integrate ไม่ได้อะครับ แต่ที่ผมคิดได้นะครับประมาณนี้อะครับ(ไม่รู้ว่าถูกเปล่่า)

\displaystyle{S= \int_{t=0}^{t=t_f}(\sqrt{{v^2-2vgt\sin\theta\cos\alpha+g^2t^2}})dt}

โดยที่ \displaystyle{t_f = \frac{v\sin\theta+\sqrt{v^2\sin^2\theta+2gh}}{g\cos\alpha}}

แล้วก็ลองแทนค่าโดย \displaystyle{\alpha=\theta=45^o} ; \displaystyle{v=10 m/s ; h=10 {m} ; g={9.8} m/s^2 } เพื่อความง่ายต่อการหาคำอบ

จะได้ค่า \displaystyle{S=51.337 m}

ผิดถูกประการใดช่วยชี้แนะด้วยครับ ??? ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 17, 2006, 07:17:19 PM

... แต่ที่ผมคิดได้นะครับประมาณนี้อะครับ(ไม่รู้ว่าถูกเปล่่า)

\displaystyle{S= \int_{t=0}^{t=t_f}(\sqrt{{v^2-2vgt\sin\theta\cos\alpha+g^2t^2}})dt}

โดยที่ \displaystyle{t_f = \frac{v\sin\theta+\sqrt{v^2\sin^2\theta+2gh}}{g\cos\alpha}}

...
ผิดถูกประการใดช่วยชี้แนะด้วยครับ  ??? ???

น่าจะแสดงวิธีทำมาให้ดูด้วยนะ  8)

เจ้าของกระทู้ช่วยเพิ่มเติม หรือเน้น กติกาได้ไหมว่าควรแสดงวิธีทำด้วย   ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 20, 2006, 06:14:24 PM
copy ช่วยลงวิธีทำกับโจทย์ข้อใหม่ด้วยครับ

ป.ล. สงสัยคงต้องคุยกับโพ เรื่องกติกาของกระทู้นี้ใหม่ซะแล้ว เพราะถ้าไม่ใช่ขาประจำมาทำโจทย์ เค้าก้อจะเอาโจทย์ใหม่มาลงทันที แต่กว่าจะตอนก็หายไปนาน ข้อนี้ก็ปาไปหลายวันแล้ว เฉลยก็ยังไม่ได้ ข้อใหม่ก็ยังไม่ได้
จะตั้งกติกาใหม่ยังไงดี  :-\


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 21, 2006, 01:26:28 AM
ขอโทษนะครับ มีปัญหาเรื่อง Internet เลยไม่ได้เข้ามา board 2-3 วันอะคับ  >:A >:A >:A
สำหรับวิธีทำข้อ 7 คับ (เป็นวิธีที่คิดเองไม่แน่ใจอะครับ เพราะมีแต่โจทย์ไม่มีเฉลย)
(ฉบับแก้ไข แต่ไม่รู้ว่าจะถูกรึเปล่าครับ เป็น file .doc คับ)

ปล.อินทริเกรตต่อไม่ได้อะครับและก็ช่วยชี้แนะข้อผิดพลาดด้วยนะคับ(ถ้ามี)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 21, 2006, 01:35:01 AM
ผมเสนอว่าควรเปลี่ยนกติกาใหม่ โดยให้คำถามที่ไม่ได้รับการตอบหรือการเฉลยภายใน 3 วันควรให้เจ้าของกระทู้หรือบางคนตั้งคำถามข้อใหม่ได้เลย ส่วนคำถามข้อเดิมก็ให้ผู้ตั้งคำถามนั้นรับผิดชอบในการเฉลยย้อนหลังอะคับ

คำถามข้อที่ 8 : มวล M จำนวน 2 ก้อน ติดอยู่คนละข้างของสปริงที่มีมวล m วางราบอยู่บนพื้นในแนวระดับ ถูกกระตุ้นด้วยแรงเล็กน้อย ทำให้เกิดการสั่น จงหาคาบการสั่นนั้น โดยไม่คิดแรงเสียดทาน สปริงมีค่าคงตัวสปริงเป็น k และมีมวลสม่ำเสมอ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 21, 2006, 11:56:55 AM
.....
พิจารณา \displaystyle{v(t)} ที่จุดเริ่มต้นในรูปจากโจทย์
 \displaystyle{\vec{v}=vcos\theta\hat{i}+(vsin\theta cos\alpha -gt)\hat{j}-vsin\theta sin\alpha\hat{k}}

ดังนั้น \displaystyle{v(t)=\sqrt{{v^2-2vgt\sin\theta\cos\alpha+g^2t^2}}}

.....
ทำไมถึงไม่คิดความเร่งเนื่องจากองค์ประกอบของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากในแนวดิ่ง N\sin\alpha และในแนวระดับ N\cos\alpha อะครับ ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 21, 2006, 01:10:52 PM
ไอ้ตรงที่อินทิเกรตไม่ออก(ยังไม่ได้ตรวจว่าคิดถูกรึเปล่า แต่ถึงคิดถูกยังไงก็อินทิเกรตไม่ออกอยู่ดี)
ขอแนะนำไว้นิดนึง มีวิธีจะทำ 2 วิธี คือ
1. โยนใส่คอม ไม่ก็ casio ซะ
2. เปิดตาราง

ผมลองเปิดตารางดูแล้วนะ ลองจัดรูป ตามแบบนี้ดู
S=\int{\sqrt{Ax^2+Bx+C}}dx เราจะสามารถจัดรูปได้ว่า
S=\int{\sqrt{(Ax+D)^2+C-D}}dx โดยที่ A B C D เป็นค่าคงที่ที่ยังไม่กำหนดค่าม.3 ก็น่าจะเคยเรียนมาแล้วก็หาค่าคงที่พวกนี้ให้หมด แล้วก็เปิดตารางดูมันจะมีสูตรของ integral ตัวนี้อยู่
\int{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\displaystyle{\frac{1}{2}}x\sqrt{x^2+a^2}+\displaystyle{\frac{1}{2}}a^2\ln[x+\sqrt{x^2+a^2}]+c

เอ่อ ผมเห็นรูปนี้ผมก็ไม่อยากจะนึกแล้วว่า ถ้าแทนค่า A B C D เข้าไปนี่คำตอบมันจะออกมาแนวไหน เฮ่อๆใครมีวิธีที่ดีกว่านี้ก็ช่วยบอกด้วยแล้วกันนะครับ แต่ถ้าต้องทำแบบนี้จริงๆก็ตัวใครตัวมันแล้วกันนะ ;D

ป.ล. โพกำลังพยามพิสูจน์ integral ตัวนี้อยู่ คิดได้รึยังโพ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ampan on April 21, 2006, 05:36:25 PM
ป.ล. โพกำลังพยามพิสูจน์ integral ตัวนี้อยู่ คิดได้รึยังโพ ;D

ตัวไหนเหรอ  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: coppy on April 22, 2006, 12:58:20 AM
.....
พิจารณา \displaystyle{v(t)} ที่จุดเริ่มต้นในรูปจากโจทย์
 \displaystyle{\vec{v}=vcos\theta\hat{i}+(vsin\theta cos\alpha -gt)\hat{j}-vsin\theta sin\alpha\hat{k}}

ดังนั้น   \displaystyle{v(t)=\sqrt{{v^2-2vgt\sin\theta\cos\alpha+g^2t^2}}}

.....
ทำไมถึงไม่คิดความเร่งเนื่องจากองค์ประกอบของแรงปฏิกิริยาตั้งฉากในแนวดิ่ง N\sin\alpha และในแนวระดับ N\cos\alpha อะครับ ???

ขอบคุณคับสำหรับคำแนะนำ ลองแก้แล้วนะคับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 12:17:16 AM
คำถามข้อที่ 8 : มวล M จำนวน 2 ก้อน ติดอยู่คนละข้างของสปริงที่มีมวล m วางราบอยู่บนพื้นในแนวระดับ ถูกกระตุ้นด้วยแรงเล็กน้อย ทำให้เกิดการสั่น จงหาคาบการสั่นนั้น โดยไม่คิดแรงเสียดทาน  สปริงมีค่าคงตัวสปริงเป็น K และมีมวลสม่ำเสมอ
จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และความสมมาตรของระบบทำให้เราทราบว่า ความเร็วของมวล \displaystyle{M} ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้าม สำหรับจุดศูนย์กลางมวลของสปริง (อยู่ตำแหน่งเดียวกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบ) อยู่นิ่ง กำหนดให้อยู่ที่จุดกำเนิดซึ่งเราจะพิจารณาในกรอบอ้างอิงนี้

พิจารณาพลังงานของระบบ
ซึ่งประกอบด้วยพลังงานจากการเคลื่อนที่ของมวล \displaystyle{M} 2 ก้อน และพลังงานจลน์ของสปริง และพลังงานศักย์สปริง
ระยะยืดของสปริงคือ \displaystyle{2x} ยืดไปฝั่งละ \displaystyle{x}
\displaystyle{E = 2\times{\frac{1}{2}}MV^2 + {\int_{-L-x}^{L+x}{{\frac{1}{2}}v^2dm}+{\frac{1}{2}}K(2x)^2}

เมื่อ \displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}} และ \displaystyle{L} คือ ความยาวธรรมชาติของสปริง

\displaystyle{E= 2\times{\frac{1}{2}}MV^2 + {\int_{-L-x}^{L+x}{{\frac{1}{2}}v^2\lambda dl}+{\frac{1}{2}}K(2x)^2} .......................... สมการที่ 1

เราสามารถแสดงได้ว่า
\displaystyle{v=(\frac{l}{L})V}...........................สมการที่ 2

แทนสมการที่ 2 ลงใน สมการที่ 1
\displaystyle{E= 2\times{\frac{1}{2}}MV^2 + {\int_{-L-x}^{L+x}{{\frac{1}{2}}(\frac{l}{L}V)^2\lambda dl}+{\frac{1}{2}}K(2x)^2}....................สมการที่ 3

เมื่อพิจารณาเป็น small oscillation \displaystyle{x<<L} และ จากสมบัติเบื้องต้นในการ integral ฟังก์ชันพหุนามที่ดีกรีคี่ \displaystyle{ \int_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int_{0}^{a}{P(x)dx}

เพราะฉะนั้น สมการที่ 3 จะกลายรูปเป็น
\displaystyle{E= 2\times{\frac{1}{2}}MV^2 +2 {\int_{0}^{L}{{\frac{1}{2}}(\frac{l}{L}V)^2\lambda dl}+{\frac{1}{2}}K(2x)^2}
\displaystyle{E= MV^2 + {\frac{V^2\lambda}{L^2}}(\frac{L^3}{3})+2Kx^2}

แทน \displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}} แล้วจัดรูป
\displaystyle{E= MV^2 + {\frac{V^2m}{3}}+2Kx^2} ..................สมการที่ 4

Differentiate สมการที่ 4 เทียบเวลา ได้
\displaystyle{\frac{dE}{dt}= 2MV\frac{dV}{dt}+ {\frac{m}{3}\times 2V\frac{dV}{dt}}+2K\times 2x\frac{dx}{dt}}

กฎการอนุรักษ์พลังงานบ่งว่า \displaystyle{\frac{dE}{dt}=0}

\displaystyle{\therefore 0= 2MV\frac{dV}{dt}+ {\frac{m}{3}\times 2V\frac{dV}{dt}}+2K\times 2x\frac{dx}{dt}}

ในที่นี้ \displaystyle{\frac{dx}{dt}=V} และ \displaystyle{\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{dV}{dt}

นำสิ่งที่ไปใช้แล้วจัดรูปสมการโดยคูณ \displaystyle{\frac{1}{2V}} ตลอดสมการ
\displaystyle{\therefore 0= (M+\frac{m}{3})\frac{d^2x}{dt}+2Kx}
\displaystyle{0= \frac{d^2x}{dt}+(\frac{2K}{M+\frac{m}{3}})x}.......................สมการที่ 5

สมการที่ 5 เป็นสมการการเคลื่อนที่ซึ่งอยู่ในรูปสมการอนุพันธ์ เมื่อเราแก้สมการจะได้
จะทำให้เราทราบว่า \displaystyle{\omega=\sqrt{ \frac{2K}{M+\frac{m}{3}}}}
ระลึก \displaystyle{\omega=\frac{2\pi}{T}}

\displaystyle{\therefore T=2\pi{\sqrt{ \frac{M+\frac{m}{3}}{2K}}}}

สรุปคาบการสั่น \displaystyle{2\pi{\sqrt{ \frac{M+\frac{m}{3}}{2K}}}}


 ต้องขอโทษที่ไม่ได้แสดงวิธีโดยละเอียดในบางช่วงเนื่องจากทักษะการใช้ latex ของผมยังไม่ปีกกล้าขาแข็ง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 01:07:16 AM
คำถามข้อที่ 9 Limitations on Laboratory Scattering Angle(Kleppner) จากภาพพิจารณาการกระเจิงอย่างยืดหยุ่นของมวล\displaystyle{m_1} ที่เริ่มต้นวิ่งด้วยความเร็ว\displaystyle{v_1}� ชนมวล\displaystyle{m_2} ที่หยุดนิ่งตอนเริ่มต้น มุมของการกระเจิงเป็น \displaystyle{\Theta} ในกรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางมวล(มุมที่ความเร็วของ\displaystyle{m_1}หลังชนทำกับความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล) อย่าไรก็ตามมุมกระเจิง\displaystyle{\theta_1} ในกรอบของห้องปฏิบัติการจะมีลิมติอยู่ในกรณีหนึ่ง
1) จงหา\displaystyle{\tan\theta_1} ในรูป \displaystyle{\Theta,m_1,m_2}
2)กรณีใดระหว่าง \displaystyle{m_1<m_2}หรือ\displaystyle{m_1>m_2} ที่มุมกระเจิง\displaystyle{\theta_1}จะถูกกำหนดลิมิต
3) จงหา \displaystyle{\theta_{1,max}} ในกรณีนั้น

 :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 01:13:00 AM
ไม่มี
Problems Solving Marathon : Thermodynamics
Problems Solving Marathon : Electromagnetism
.
..
...
....
บ้างเหรอ PoWii


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 23, 2006, 11:31:32 AM
คุยกะโพเรื่องนี้แล้วครับ เห็นบอกว่าจะรอกระทู้นี้บูมก่อน ค่อยทำหัวข้ออื่น
(หรือถ้ากระทู้นี้แป็ก ก็จะได้แป็กแค่กระทู้นี้กระทู้เดียว)

ป.ล.Mwitish  คือพี่เอิงเปล่่าคับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 23, 2006, 02:36:39 PM
ผมงงนิดหน่อยครับ  >:A
จากสมบัติเบื้องต้นในการ integral ฟังก์ชันพหุนาม \displaystyle{ \int_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int_{-a}^{a}{P(x)dx}
ผมเข้าใจว่าน่าจะเป็น \displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx} ใช่ป่ะครับ แล้วมันใช้ได้ในทุกพหุนามหรอครับ
แทน \displaystyle{\lambda = \frac{M}{L}} แล้วจัดรูป
อันนี้คงเป็น \displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}}
แล้วเราสามารถประมาณ  \displaystyle{(L+x)^3 \approx L^3} ได้เลยหรอครับ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 23, 2006, 07:11:19 PM
ผมยังไม่ค่อยเข้าใจเรื่องลิมิตของมุมกระเจิงเท่าไหร่อะครับ
พี่ Mwitishช่วยมาอธิบายด้วยได้ไม๊ครับ ;D >:A >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 09:36:53 PM
ผมงงนิดหน่อยครับ  >:A
จากสมบัติเบื้องต้นในการ integral ฟังก์ชันพหุนาม \displaystyle{ \int_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int_{-a}^{a}{P(x)dx}
ผมเข้าใจว่าน่าจะเป็น \displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx} ใช่ป่ะครับ แล้วมันใช้ได้ในทุกพหุนามหรอครับ
แทน \displaystyle{\lambda = \frac{M}{L}} แล้วจัดรูป
อันนี้คงเป็น \displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}}
แล้วเราสามารถประมาณ  \displaystyle{(L+x)^3 \approx L^3} ได้เลยหรอครับ  >:A

\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}
ใช้ได้ในฟังก์ชันพหุนามที่ดีกรี \displaystyle{x}เป็นคี่ ถ้าดีกรีคู่จะได้ 0

\displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}}

สำหรับอื่นๆวิธีทำแก้แล้วครับเพิ่มให้ละเอียดขึ้นนิดหน่อย

ขอโทดนะฮับที่พิมพ์ผิด(เมาไปหน่อย)  >:A ขอบคุณมากๆที่ช่วยเตือน


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 23, 2006, 09:49:35 PM
\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}
ใช้ได้ทุกฟงก์ชันพหุนามครับ
แล้วถ้าสมมติ \displaystyle{P(x) = x^3+x^2+x+1}
จะได้ \displaystyle{\int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = \frac{2a^3}{3}+2a = 2\times (\frac{a^3}{3}+a)}
แต่ \displaystyle{2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx = 2\times (\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}+a)}
จะได้ \displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx \ne 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx} ครับ  :'(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 09:51:17 PM
ผมยังไม่ค่อยเข้าใจเรื่องลิมิตของมุมกระเจิงเท่าไหร่อะครับ
พี่ Mwitishช่วยมาอธิบายด้วยได้ไม๊ครับ ;D >:A >:A

มวลสองก้อนมันวิ่งมาใชนกันแล้วกระเจิงออกไป จะมีกรณีนึงมุมกระเจิงของ \displaystyle{m_1} นี่จะมีลิมิตอยู่ว่าจะไม่เกิน\displaystyle{\theta_{1,max}} ลองหาความสัมพันธ์ระหว่าง \displaystyle{\Theta} กับ \displaystyle{\theta_1} ออกมาก่อนจะเห็นภาพชัดขึ้น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 10:02:25 PM
\displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx}
ใช้ได้ทุกฟงก์ชันพหุนามครับ
แล้วถ้าสมมติ \displaystyle{P(x) = x^3+x^2+x+1}
จะได้ \displaystyle{\int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = \frac{2a^3}{3}+2a = 2\times (\frac{a^3}{3}+a)}
แต่ \displaystyle{2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx = 2\times (\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}+a)}
จะได้ \displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx \ne 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx} ครับ  :'(

แก้ให้แล้วครับ โทดทีมือพาไปใจไม่ได้สั่ง ทีหลังจะรอบคอบกว่านี้  ](*,)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 23, 2006, 10:31:43 PM
คุยกะโพเรื่องนี้แล้วครับ เห็นบอกว่าจะรอกระทู้นี้บูมก่อน ค่อยทำหัวข้ออื่น
(หรือถ้ากระทู้นี้แป็ก ก็จะได้แป็กแค่กระทู้นี้กระทู้เดียว)

ป.ล.Mwitish  คือพี่เอิงเปล่่าคับ

ตัวตนที่แท้จริงของป๋ม ดูในชื่อเอ็มก้อรู้ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 24, 2006, 12:57:15 AM
ข้อ 9
จาก Conservation of Momentum and Energy จะได้ว่า
1. m_1 v^\prime_1\sin\theta_1=m_2 v^\prime_2\sin\theta_2
2. m_1 v_1=m_1 v^\prime_1\cos\theta_1+m_2 v^\prime_2\cos\theta_2
3. \displaystyle{\frac{1}{2}m_1 v^2_1=\frac{1}{2}m_1 {v^\prime}^2_1+\frac{1}{2}m_2 {v^\prime}^2_2}

จากสมการที่ 2 ได้ว่า
m_1 v_1-m_1 v^\prime_1\cos\theta_1=m_2 v^\prime_2\cos\theta_2
ทำการยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้
4. m^2_1 v^2_1-2m^2_1 v_1 v^\prime_1\cos\theta_1+m^2_1 {v^\prime}^2_1\cos^2\theta_1=m^2_2 {v^\prime}^2_2\cos^2\theta_2

จากสมการที่ 1 นำมายกกำลังสองเช่นกัน จะได้
5. m^2_1 {v^\prime}^2_1\sin^2\theta_1=m^2_2 {v^\prime}^2_2\sin^2\theta_2

นำสมการ 4 และ 5 มาบวกกัน แล้วอาศัย Trigonometric Identity \sin^2A+\cos^2A=1 จะได้
6. m^2_1 v^2_1-2m^2_1 v_1 v^\prime_1\cos\theta_1+m^2_1 {v^\prime}^2_1=m^2_2 {v^\prime}^2_2

นำสมการที่ 3 มาคูณสอง จะได้
m_1 v^2_1=m_1 {v^\prime}^2_1+m_2 {v^\prime}^2_2}
7. m_1 v^2_1-m_1 {v^\prime}^2_1=m_2 {v^\prime}^2_2}

จับสมการ 6 และ 7 มาเท่ากัน แล้วจัดรูปให้เป็น Quadratic Eqution ax^2+bx+c=0 แล้วหารด้วย m_1 ทั้งสองข้าง จะได้
8. (m_1+m_2){v^\prime}^2_1-(2m_1 v_1\cos\theta_1) v^\prime_1+(m_1-m_2)v^2_1=0

แก้สมการนี้ด้วย form ที่ได้เรียนมาตอน ม.3 ;D

\displaystyle{v^\prime_1=\frac{2m_1 v_1\cos\theta_1 \pm \sqrt{4m^2_1 v^2_1\cos^2\theta_1-4(m^2_1-m^2_2)v^2_1}}{2(m_1+m_2)}}
\displaystyle{v^\prime_1=\frac{2m_1 v_1\cos\theta_1 \pm 2v_1\sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1}}{2(m_1+m_2)}}

9. \displaystyle{v^\prime_1=v_1[\frac{m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1}}{(m_1+m_2)}]}

สมการนี้ทำให้เราสามารถข้ามไปตอบคำถามข้อ 2 และ 3 ได้เลย
พิจารณาว่าค่าที่ได้นี้ต้องเป็น real number
ดังนั้น m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1\geq 0 จะแก้อสมการได้สองคำตอบดังนี้
10.1 m_2\geq m_1\sin\theta_1
10.2 m_2\leq -m_1\sin\theta_1
(เราจะไม่พิจารณากรณี 10.2 นี้เนื่องจากสมการบ่งว่ามุม \theta_1 เป็นลบหรือมีค่ามากกว่า \pi ซึ่งไม่ใช่กรณีในโจทย์ข้อนี้)

จาก 10.1 จะได้ว่า
\displaystyle{\sin^{-1}(\frac{m_2}{m_1})\geq \theta_1}
ค่า \theta_1 นี้จะถูกลิมิตเมื่อ m_1 > m_2 แต่ถ้าหากว่า m_1 <m_2 \theta_1 จะมีค่าเป็นเท่าไรก็ได้  ตอบ 2
และ \displaystyle{\theta_{max}=\sin^{-1}(\frac{m_2}{m_1})} ตอบ 3

หันกลับมาทำข้อ 1 ต่อ
พิจารณา v_{cm} โดยหาจากช่วงก่อนการชนเพราะง่ายกว่า และมีค่าเท่ากันเนื่องจากไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ จะได้ว่า
\displaystyle{v_{cm}=\frac{m_1 v_1}{m_1+m_2}} ซึ่งมีในแนวแกน X เท่านั้น(ตามรูปในโจทย์)
พิจารณาความเร็วสัมพัทธ์ ได้ว่า
11. \displaystyle{\tan\Theta=\frac{v^\prime_1 \sin\theta_1}{v^\prime_1 \cos\theta_1-\frac{m_1 v_1}{m_1+m_2}}}

แทนค่า v^\prime_1 จากสมการที่ 9 ลงในสมการที่ 11 ตัดทอนเศษส่วน จะได้ว่า
12. \displaystyle{\tan\Theta=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\sin\theta_1}{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\cos\theta_1-m_1}}

จากปีทากอรัสจะได้ว่า

13. \displaystyle{\sin\Theta=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\sin\theta_1}{m_2}}

14. \displaystyle{\cos\Theta=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\cos\theta_1-m_1}{m_2}}
เราก็จะหยุดตรงนี้เพราะไม่รู้จะทำอะไรต่อ !!!
เนื่องจากผมเห็นคำตอบที่สวยงามจากผู้ post โจทย์แล้ว เราสามารถจัดรูปสมการต่อได้ เพื่อกำจัดเครื่องหมาย \pm ที่กวนใจอยู่ดังนี้

จากสมการที่ 14 ย้ายข้าง
15. \displaystyle{\cos\Theta+\frac{m_1}{m_2}=\frac{(m_1 \cos\theta_1 \pm \sqrt{m^2_2-m^2_1\sin^2\theta_1})\cos\theta_1}{m_2}}

หารสมการที่ 13 ด้วย 15 ได้ว่า
\displaystyle{\tan\theta_1=\frac{\sin\Theta}{\cos\Theta+\frac{m_1}{m_2}}} ตอบ 1

                                                                                               


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on April 24, 2006, 01:26:28 AM
ข้อ 10
ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ-Special Relativity นั้นจะมีการแปลงค่าของระยะทาง เวลา ความเร็วในทิศต่างๆ ที่สังเกตได้ระหว่างๆ กรอบอ้างอิงนั้นๆ ที่เคลื่อนที่สัมพัทธ์กัน
เมื่อให้กรอบอ้างอิง S^\prime เคลื่อนที่สัมพัทธ์ในแนวแกน X กับกรอบอ้างอิง S ด้วยอัตราเร็ว u
จะมีสมการการแปลงแบบลอเรนต์ซของความเร็วในแนวแกน X, Y,Z ดังนี้
\displaystyle{v^\prime_x}=\frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}}
\displaystyle{v^\prime_y}=\frac{v_y}{\gamma(1-\frac{uv_x}{c^2})}}
\displaystyle{v^\prime_z}=\frac{v_z}{\gamma(1-\frac{uv_x}{c^2})}}
จงทำการพิสูจน์สมการการแปลงโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ
\displaystyle{\boxed{P^\prime_x=\gamma(P_x-\frac{VE}{c^2}), P^\prime_y=P_y, P^\prime_z=P_z}}
เมื่อ \displaystyle{\vec P=\frac{m_0\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ampan on April 24, 2006, 05:02:35 AM
แล้วถ้าสมมติ \displaystyle{P(x) = x^3+x^2+x+1}
จะได้ \displaystyle{\int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx = \frac{2a^3}{3}+2a = 2\times (\frac{a^3}{3}+a)}
แต่ \displaystyle{2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx = 2\times (\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}+a)}
จะได้ \displaystyle{ \int\limits_{-a}^{a}{P(x)dx \ne 2\times\int\limits_{0}^{a}{P(x)dx} ครับ  :'(
เหอๆๆ มันหมายความแบบนี้ที่ไหนเหรอ สับสน
เราบอกว่า ถ้า เป็น  x^3 จะใช้ที่เขียนได้ แต่ x^2 มันจะเป็น 0 ไป เพราะฉะนั้น .......  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 24, 2006, 03:11:43 PM
ข้อ10

ขั้นแรกเปลี่ยนกลับเป็น
cdt^\prime=\gamma(cdt-\displaystyle{\frac{vdx}{c^2}})
dx^\prime=\gamma(dx-vdt
dy^\prime=dy
dz^\prime=dz

จากนั้นเราก็เขียนเป็น
 \left( \begin{array}{*{20}c} cdt^\prime \\ dx^\prime \\ dy^\prime \\ dz^\prime \\\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}c} \gamma & -\displaystyle{\frac{v}{c}} & 0 & 0 \\ -\displaystyle{\frac{v}{c}} & \gamma & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {cdt} \\ {dx} \\ {dy} \\ dz  \\\end{array}} \right)

ซึ่งเราเรียกตัวนี้ว่า 4-vector เขียนแทนด้วย dX จากนั้นเรารู้ว่า V=\displaystyle{\frac{d}{d\tau}}Xโดยที่ \tauเป็น proper-time ของกรอบที่กำลังวิ่ง ซึ่งเท่ากับ \gamma d\tau=dt เราจะได้ว่า
V =\left( \begin{array}{*{20}c} c \\ v_{x^\prime} \\ v_{y^\prime} \\ v_{z^\prime} \\\end{array}} \right)=\gamma \left( {\begin{array}{*{20}c} \gamma & -\displaystyle{\frac{v}{c}} & 0 & 0 \\ -\displaystyle{\frac{v}{c}} & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {c} \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_z \\\end{array}} \right)

และเรารู้อีกว่า P=mV โดยที่ Pเป็น 4-momentum และ m เป็น rest massเราจะได้ว่า

P =\left( \begin{array}{*{20}c} mc \\ mv_{x^\prime} \\ mv_{y^\prime} \\ mv_{z^\prime} \\\end{array}} \right)=m\gamma \left( {\begin{array}{*{20}c} \gamma & -\displaystyle{\frac{v}{c}} & 0 & 0 \\ -\displaystyle{\frac{v}{c}} & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {c} \\ v_{x} \\ v_{y} \\ v_z \\\end{array}} \right)

แตก Matrix ตัวนี้ให้เป็น 4 สมการจากนั้น เราคิดเฉพาะสามสมการล่างตามที่โจทย์สั่ง จะได้ว่า
{P_x}^\prime=-\gamma mv+{\gamma}^2mv_x
และเรารู้ว่า E=\gamma mc^2
{P_x}^\prime=\gamma(mv_x-\displaystyle{\frac{Ev}{c^2}})----------------------------------------------(1)
และในแถวที่ 3 และ 4 จะได้เป็น
m{v_y}^\prime={P_y}^\prime=\gamma m{v_y}^\prime=P_y--------------------------------------------(2)
และ
m{v_z}^\prime={P_z}^\prime=\gamma m{v_z}^\prime=P_z---------------------------------------------(3)


ป.ล.ถ้า Matrix มันเบี้ยวเล็กๆก้อขออภัยด้วยนะครับ คิดซะว่ามือใหม่หัดพิมพ์


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 24, 2006, 03:29:53 PM
ใครเห็นที่ผิด หรือไม่เข้าใจ กรุณาติดต่อทาง Personal Message นะครับ เนื้อที่ในบอร์ดจะได้มีไว้แค่ทำโจทย์ข้อต่อไป

ข้อ 11)
ทีเวลา t=0 แท่งวัตถุตรงบางสม่ำเสมอยาว L=2R และมีมวล M แท่งหนึ่งถูกปล่อยจากหยุดนิ่งภายใต้สนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอ g โดยที่ปลายล่างแตะกับพื้นระดับลื่นตลอดเวลา ที่เวลา t ใดๆ แท่งวัตุเอียงทำมุม \theta กับแนวดิ่ง โดยที่  \theta=\theta_0 ที่เวลา t=0 จงหาความสมการ(แค่สมการเดียว)ที่บอกความสัมพันธ์ระหว่าง {\theta},\displaystyle{\frac{d}{dt}}\theta,\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\theta ในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้

แนะนำ: หา \displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}\thetaในรูปของ {\theta},\displaystyle{\frac{d}{dt}}\theta


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 24, 2006, 07:54:34 PM
ข้อ 11
ในเมื่อไม่มีแรงในแนวระดับกระทำต่อแท่งจึงไม่มีความเร่งในแนวระดับ
ความเร่งในแนวดิ่ง  \displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}y=R[\sin\theta\frac{d^2}{dt^2}\theta+\cos\theta(\frac{d}{dt}\theta)^2}]
สมการนิวตันในแนวดิ่ง ทิศลงใช้เครื่องหมายบวก \displaystyle{Mg-N=M\frac{d^2}{dt^2}y}
ได้  \displaystyle{N=M[g-R\sin\theta\frac{d^2}{dt^2}\theta-R\cos\theta(\frac{d}{dt}\theta)^2}]          
สมการทอร์กรอบศูนย์กลางมวล \displaystyle{(\frac{1}{3}MR^2)\frac{d^2}{dt^2}\theta=RN\sin\theta}            
แทนค่าและจัดรูปได้ \displaystyle {\frac{R}{g}\frac{d^2}{dt^2}\theta=\frac{\sin\theta-\frac{R}{g}\cos\theta\sin\theta(\frac{d}{dt}\theta)^2}{\frac{1}{3}+\sin^2\theta}}
เป็นอันจบ
                                                                                                                                    \mathfrak{By\;PoWii}\spadesuit


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on April 24, 2006, 08:09:43 PM
ข้อ 12
ยิงโปรเจกไทล์มวล mขึ้นในแนวดิ่งด้วยความเร็ว u ผ่านอากาศแรงต้าน kv^2 เมื่อ vคือความเร็วขณะนั้น
แล้วกลับลงมาถึงพื้นด้วยความเร็ว w จงแสดงว่า \displaystyle{\frac{1}{w^2}=\frac{1}{u^2}+\frac{k}{mg}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 24, 2006, 10:37:19 PM
ข้อ 12 แยกช่วงคิดคือ 1.ขาขึ้น 2.ขาลง สมมติให้ระยะทางที่ยิงไปถึงจุดสูงสุดสูง \displaystyle{h}
1. ขาขึ้น ตั้งสมการแรงได้เป็น
\begin{array}{rcl}\displaystyle{-mg-kv^2} & = & \displaystyle{m \dfrac{dv}{dt}} \\ \displaystyle{ & = & m \dfrac{dv}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dt}} \\ \displaystyle{ & = & mv \dfrac{dv}{dy}} \\ \end{array}
เมื่อจัดรูปแล้วจะได้เป็น
\begin{array}{rcl}\displaystyle{-\frac{dy}{m} & = & \displaystyle{\frac{1}{2k} \cdot \frac{d(mg+kv^2)}{(mg+kv^2)}} \\ \displaystyle{\int \limits_0^h -\frac{dy}{m} & = & \displaystyle{\frac{1}{2k} \int \limits_{v=u}^{v=0} \frac{d(mg+kv^2)}{(mg+kv^2)}} \\ \displaystyle{- \frac{h}{m} & = & \displaystyle{\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{mg}{mg+ku^2}\right)} \\ h & = & \displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg}{mg+ku^2}\right)}\end{array}
2. ขาลง ตั้งสมการแรงได้เป็น \displaystyle{mg-kv^2 = m \frac{dv}{dt}} จัดรูปตามแบบช่วงแรกจะได้
\begin{array}{rcl}\displaystyle{\frac{dy}{m} & = & \displaystyle{-\frac{1}{2k} \cdot \frac{d(mg-kv^2)}{(mg-kv^2)}} \\ \displaystyle{\int \limits_0^h \frac{dy}{m} & = & \displaystyle{-\frac{1}{2k} \int \limits_{v=0}^{v=w} \frac{d(mg-kv^2)}{(mg-kv^2)}} \\ \displaystyle{\frac{h}{m} & = & \displaystyle{-\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{mg-kw^2}{mg}\right)} \\ h & = & \displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg-kw^2}{mg}\right)}\end{array}
จับ \displaystyle{h} ในช่วงขาขึ้น \displaystyle{=} ช่วงขาลง
\begin{array}{rcl}\displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg}{mg+ku^2}\right)} & = & \displaystyle{- \frac{m}{2k} \ln \left( \frac{mg-kw^2}{mg}\right)} \\ \displaystyle{\frac{mg}{mg+ku^2}} & = & \displaystyle{\frac{mg-kw^2}{mg}} \\ \displaystyle{(mg)^2 & = & (mg)^2 -mgkw^2+mgku^2-(kuw)^2 \\ \displaystyle{\frac{1}{w^2} & = & \dfrac{1}{u^2}+\dfrac{k}{mg}} \\  & \spadesuit & \end{array}
\mathfrak{By        Tung}
ปล.ย่อรูปยังไงครับ รูปใหญ่มาก :-[


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 24, 2006, 11:18:32 PM
ข้อ 13 หาระยะกด มวล \displaystyle{m_1} และ \displaystyle{m_2} ติดอยู่ที่แต่ละข้างของสปริง ที่มีค่านิจ \displaystyle{k} วางอยู่ดังรูป ถ้าเรากดมวล \displaystyle{m_1} ไปเป็นระยะ \displaystyle{x} จงหาค่า \displaystyle{x} ที่น้อยที่สุด ที่ทำให้มวลทั้ง 2 ก้อนลอยจากพื้น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 24, 2006, 11:48:01 PM
ข้อ 13 หาระยะกด มวล \displaystyle{m_1} และ \displaystyle{m_2} ติดอยู่ที่แต่ละข้างของสปริง ที่มีค่านิจ \displaystyle{k} วางอยู่ดังรูป ถ้าเรากดมวล \displaystyle{m_1} ไปเป็นระยะ \displaystyle{x} จงหาค่า \displaystyle{x} ที่น้อยที่สุด ที่ทำให้มวลทั้ง 2 ก้อนลอยจากพื้น

เงื่อนไขที่สปริงจะฉุดมวล \displaystyle{m_2}
ขึ้นจากพื้นได้
\displaystyle{ky=m_2g}
\displaystyle{\therefore y=\frac{m_2g}{k}}.......................สมการที่ 1
(กำหนดให้ \displaystyle{y}เป็นระยะยืดของสปริงที่น้อยสุดทีสามารถฉุด \displaystyle{m_2}ขึ้นได้)

ให้ตอนแรกสปริงหดลงไป \displaystyle{l} ซึ่งระยะหดนี้ส่วนหนึ่งเกิดจากการกดของเราอีกส่วนเกิดจากน้ำหนัก \displaystyle{m_1} กดทับ
กฎการอนุรักษ์พลังงานบ่งว่า
\displaystyle{\frac{1}{2}kl^2=m_1g(y+l)+\frac{1}{2}ky^2+\frac{1}{2}mv^2}
เมื่อขึ้นจากพื้นพอดี \displaystyle{v=0}
นำสมการที่ 1 มาแทนลงไป จะได้
\displaystyle{\frac{1}{2}kl^2=m_1g(\frac{m_2g}{k}+l)+\frac{1}{2}k(\frac{m_2g}{k})^2}
\displaystyle{kl^2=\frac{2m_1m_2g^2}{k}+2m_1gl+\frac{(m_2g)^2}{k}}
\displaystyle{kl^2-2m_1gl-\frac{2m_1m_2g^2}{k}-\frac{(m_2g)^2}{k}=0}
\displaystyle{kl^2-2m_1gl-\frac{m_2(2m_1+m_2)g^2}{k}=0}....................... สมการที่ 2

ขณะนี้สมการอยู่ในรูป \displaystyle{ax^2+bx+c=0}
จากความรู้พื้นฐานเราทราบว่าคำตอบของสมการเป็น \displaystyle{x={\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}

ดังนั้นคำตอบของสมการที่ 2 คือ
\displaystyle{l={\frac{-(-2m_1g)\pm\sqrt{(-2m_1g)^2-4(k)(-\frac{m_2(2m_1+m_2)g^2}{k})}}{2k}}}

นึกถึงความเป็นจริงในที่นี้ \displaystyle{l\in R^+}


\displaystyle{\therefore l={\frac{-(-2m_1g)+\sqrt{(-2m_1g)^2-4(k)(-\frac{m_2(2m_1+m_2)g^2}{k})}}{2k}}}
จัดรูปอีกที
\displaystyle{l={\frac{2m_1g+\sqrt{4{m_1}^2g^2+4{m_2(2m_1+m_2)g^2})}}{2k}}}
\displaystyle{l={\frac{2m_1g+\sqrt{4g^2({m_1}^2+(2m_1m_2+{m_2}^2))}}{2k}}}
\displaystyle{l={\frac{2m_1g+\sqrt{4g^2({m_1+m_2})^2)}}{2k}}}
\displaystyle{l={\frac{2m_1g+2g({m_1+m_2})}}{2k}}}
\displaystyle{\therefore l={\frac{2m_1g+m_2g}{k}}}

นี่คือระยะที่สปริงหดจากความยาวธรรมชาติก่อนจะกระเด้งขึ้น

ถ้าจะหาระยะที่กดเพิ่ม

ในตอนแรกสปริงกดอยู่แล้ว \displaystyle{\therefore l_0={\frac{m_1g}{k}}}
ดังนั้นต้องกดเพิ่ม
\displaystyle{x=l-l_0=\frac{m_1g+m_2g}{k}}




Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on April 25, 2006, 01:09:28 AM
ลองเป็นโจทย์เกี่ยวกะสปริงอีกสักข้อละกัน ::)

ข้อ 14 สปริงมีมวล (ที่มา: สสวท.ค่ายตุลา'48) สปริงมวล \displaystyle{m} ค่านิจ \displaystyle{k} เอามาแขวนในแนวดิ่งที่หัวนอน มันจะยืดออกเท่าไร ให้ความเร่งอันเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก \displaystyle{=g}

(เป็นโจทย์ที่อ.วิจิตรทิ้งไว้ให้คิด)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 25, 2006, 12:40:53 PM
ข้อ 14

คนที่อ่านตอนกลางวันขอโทษทีนะครับ ตอนนั้นเมาๆ ขอแก้เป็นอย่างนี้แล้วกันครับ
เราสร้าง model บอกว่า ความเร็วของมวลก้อนเล็กๆในสปริง แปรผันตรงกับระยะห่าง ทำให้เราสามารถบอกได้ว่า พลังงานของระบบมีค่าเป็น
E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2+\displaystyle{\frac{1}{2}}\int \rho c^2 x^2dx-\int \rho(x+\delta x)gdx
โดยอินทเกรตตั้งแต่0 ถึง L+\delta x
ส่วนพจน์ของพลังงานศักย์ เราคิดเป็นมวลส่วนเล็กๆ dx แต่ละตัวอยู่ที่ระยะ x ขณะนั้นสปริงยืดไปเป็น  L+\delta x
จากนั้นในกรณีที่วัตถุอยู่ที่จุดสมดุล เราจะบอกว่า ความเร็วของวัตถุเป็น 0 จากนั้นเราจะได้ว่า
E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2-\int \rho(x+\delta x)gdx
โดยอินทเกรตตั้งแต่ 0 ถึง L+\delta xจากนั้นอินทิเกรตตัวที่ติดอยู่ให้เรียบร้อยจะได้
E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2-\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho g (L+\delta x)^2
E=\displaystyle{\frac{1}{2}}k{\delta x}^2-\displaystyle{\frac{1}{2}}mg (L+\delta x)
ดิฟเฟอเรนทิเอท สมการนี้เทียบ \delta x จะได้
0=k\delta x-\displaystyle{\frac{1}{2}}mg
\delta x =mg/2k

ผมก็ยังไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับ (มันดูง่ายไปนิดหนึ่งอะ เหมือนจะคุ้นๆว่ามันจะไม่ตอบแค่นี้) ใครเห็นที่ผิดช่วยติดต่อทาง personal message นะครับ

\mathfrak{By\;G}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 25, 2006, 01:34:34 PM
ข้อใหม่ค้าบ
ข้อ15) ถ้ามีวัตถุทรงกลม จำนวน 2 ก้อน ก้อนใหญ่สุดอยู่กับพื้น มีมวล m_1 รัศมี  R_1 ก้อนที่ 2 มีมวล m_2 รัศมี  R_2 ถ้าเรายกจุดศูนย์กลางมวลของมวลก้อแรกขึ้นจากพื้นเป็นระยะ h ถ้าหากวัตถุก้อนที่สองจะเด้งไปสูงเท่าไหร่(เทียบกับความสูงเดิม)

ถ้าหากทำได้แล้ว เราบอกว่า ถ้ามีวัตถุ n ก้อน ก้อนที่ n มีมวล \displaystyle{\frac{m}{2^{n-1}}} มีรัศมี \displaystyle{\frac{R}{2^{n-1}}}  ถามว่าวัตถุก้อนที่ n จะเด้งไปได้สูงเท่าไหร่

แนะนำ การชนทุกครั้งเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์






Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 26, 2006, 03:21:52 PM
คือ มีคนทักมาว่าโจทย์ยากมาก
แล้วผมก็เห็นว่ามีคนมาทำแค่5-6 คนเอง
มีความคิดอะไรดีๆที่จะให้คนมาทำกันเพิ่มรึเปล่าครับ



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 26, 2006, 05:31:40 PM
----- >:A >:A >:A ขอโทษด้วยครับ ผมทำข้อนี้ไม่สำเร็จครับ ขอความกรุณาผู้ที่ทำได้ช่วยเฉลยให้ทีครับ ขอโทษครับ >:A >:A >:A -----
.
.
.

ข้อ15ครับ(ไม่แน่ใจมากๆครับ)  :'(

1) 2ก้อนชนกัน

เมื่อปล่อยทั้ง2ก้อน ที่ความสูงของ m_1 = h
ขณะที่ m_1 ถึงพื้นพอดีทั้งคู่จะมีความเร็ว \sqrt {2g(h - r_1 )} ในทิศลง และในตอนนั้นนั่นเอง...
ขณะนั้นได้เกิดเหตุการณ์สำคัญขึ้นพร้อมกันคือ
-m_1ชนพื้น และจากการอนุรักษ์พลังงานมันจึงต้องกระเด้งขึ้นมาด้วยความเร็วเท่าเดิม \sqrt {2g(h - r_1 )} แต่เป็นทิศขึ้น
-และก็ตอนที่เก่าเวลาเดิมแหละ m_1ชน m_2เพราะมันมีความเร็วไม่เท่ากันแต่ดันอยู่ติดกัน
คำนวนความเร็วของ m_2 จากการอนุรักษณ์พลังงานและโมเมนตัม
ได้ว่า v_2 = \frac{{2u_1 m_1 - u_2 (m_1 + m_2 )}}{{m_1 + m_2 }} ........1
และแทนค่า
u_2คืออัตราเร็วหลังชนพื้นของ m_1
u_1คืออัตราเร็วจากการตกอย่างเสรีของ m_2
โดยให้ทิศขึ้นเป็นบวก

ได้ว่า v_2 = \frac{{2\sqrt {2g(h - r_1 )} m_1 + \sqrt {2g(h - r_1 )} (m_1 + m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}
v_2 = \frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 + m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}
ซึ่งน่าจะผิดเพราะไม่ตรงกับของเดิมที่ผมทำไว้และเมื่อแทนมวลทั้งคู่เท่ากันมันดันเด้งขึ้นแรงมากไปหน่อย ดังนั้นกลับไปเช็คหาที่ผิดทำให้ได้ว่า.........1 ผิด
เอาใหม่ v_2 = \frac{{2u_1 m_1 - u_2 (m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}
ได้เป็น v_2 = \frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}
จากนั้นนำ v_2 = \frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }}
ไปแทนใน v^2 = v_0^2 + 2a\Delta y ว่าตำแหน่งสูงสุด v เป็น0
ได้ว่า 2g\Delta y=(\frac{{\sqrt {2g(h - r_1 )} (3m_1 - m_2 )}}{{m_1 + m_2 }})^2
การกระจัดจากตำแหน่งที่ชน(ซึ้งเป็นตำแหน่งเดียวกับตอนแรกที่เราตั้งมันทิ้งไว้และเป็นตำแหน่งที่โจทย์ให้ใช้อ้างอิงตอนตอบ)
\Delta y=(h - r_1 )(\frac{{ 3m_1 - m_2 }}{{m_1 + m_2 }})^2

ตอบวัตถุก้อน2จะเคลื่อนที่ขึ้นไปได้สูง =(h - r_1 )(\frac{{ 3m_1 - m_2 }}{{m_1 + m_2 }})^2
ปล.1ส่วนมวลหลายอันเดี๋ยวจะมาทำครับ(ถ้าทำได้)
ปล.2ถามข้อสปริงด้านบนนิดหนึ่งครับ เรามามารถใช้ความสัมพันธ์ \frac{k}{{\delta k}} = \frac{{dl}}{l}ได้ไหมครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 26, 2006, 05:50:11 PM
ข้อ16(ขอเอาแบบง่ายๆสักข้อเถอะครับ)
นายสมpopนั่งหลับอยู่ท้ายเรือของเขาและปล่อยให้เรือเล่นไปกลางทะเล
สุดท้ายเรือแล่นไปชนภูเขาน้ำแข็งทำให้เครื่องดับและสมpopตื่นขึ้นมา
เมื่อตื่นขึ้นมาเค้าก็เห็นบนภูเขาน้ำแข็งมีคางคกSurinam จึงเดินเข้าไปดู
ถามว่าสมpopจะอยู่ใกล้ชิดคางคก Surinam ได้มากสุดเท่าใด
ให้สมpopมีมวล m_p_o_p
เรือมีมวล m_b_o_a_t
เรือยาว L

ปล.ข้อนี้กวนนิดหนึ่งครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 26, 2006, 06:28:49 PM
ข้อ16)
ก็ใช้โมเมนตัมทำมะด๊าทำมะดา
เราบอกว่า คนเดินไปได้ระยะทาง x และเดินด้วยความเร็ว v_x ส่วนเรือถอยหลังเป็นระยะทาง X ด้วยความเร็ว v_X
และเราบอกว่า ถ้าน้ำในกรณีนี้ ไม่มีแรงหนืดของน้ำ เราจะได้ว่าโมเมนตัมของระบบคงที่

m_{pop}v_x=m_{boat}v_X

คิดความเร็วสัมพัทธ์จะได้ว่า
(v_x+v_X)\delta t=L
และปลายริมสุดเรือจะถอยไปเป็นระยะ
\delta x =v_X\delta t
เราจะได้ว่า
(\displaystyle{\frac{v_x}{v_X}+1)v_X\delta t=L
(\displaystyle{\frac{m_{boat}}{m_{pop}}}+1)\delta x=L
\delta x =\displaystyle{\frac{Lm_{pop}}{m_{boat}+m_{pop}}}
ซึ่ง\delta x เป็นระยะที่ใกล้ที่สุดที่คนจะเข้าไปใกล้คางคกได้

ป.ล.เวลาจะทำต่อกดที่ปุ่ม modify นะครับ toaster



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 26, 2006, 06:40:47 PM
ข้อ17)
ข้อใหม่นะครับ มีทรงกระบอกกลวงผนังบาง รัศมี a มีความสูง h ภายในใส่น้ำ จนเต็มถึงความสูง \displaystyle{\frac{2}{3}h} ถ้าหาก หมุนรอบแกนจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เป็นฐาน ด้วยความเร็วเชิงมุม \omega_1และหมุนอีกครั้งโดยหมุนรอบแกนที่ปักอยู่ที่ขอบของทรงกระบอกด้วยความเร็วเชิงมุม \omega_2
จงหาว่า อัตราส่วนระหว่าง \omega_1และ \omega_2ที่มากที่สุดที่น้ำจะไม่กระจอกออกจากทรงกระบอก

มีคนเข้าใจผิดว่าผมหมายถึงหมุนทั้งสองแกนพร้อมๆกัน ถ้ามีคนเข้าใจอย่างนี้ก็ขอโทษด้วยครับ หมุนครั้งแรกด้วยความเร็วเชิงมุม
\omega_1 และหมุนอีกครั้งรอบแกนที่อยู่บนขอบของทรงกระบอก  ด้วยความเร็วเชิงมุม \omega_2
อีกครั้งหนึ่ง แล้วให้หาอัตราส่วน


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 28, 2006, 11:43:18 PM
ท่านเจ้าของกระทู้ตกลงจะเอาไง
ให้ยืดเวลา อีกซักวันไหม หรือถ้าไม่งั้นพรุ่งนี้เข้าผมจะมาลงวิธ๊ทำทั้ง 3 แบบ ทั้งอยู่นิ่ง
 หมุนรอบแกนที่ขอบ แล้วก้อหมุนทั้ง 2 แกนแบบที่เค้าเข้าใจกันเลย

งั้นถ้าไม่มีใครมาตอบก่อน พรุ่งนี้ตอน เช้า ผมจะโพสหมดทั้ง 3 แบบ แล้วจะเอาข้อใหม่มาลงด้วยแล้วกันครับ

ป.ล.แก้คณิตศาสตร์ถึกมากเลยขอบอก :oops:





Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 29, 2006, 08:53:43 PM
ขอโทษที่เอามาลงช้าครับ
เริ่มต้นโดยที่บอกว่า จารูป 1 เราจะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dx}}y=\displaystyle{\frac{\omega^2}{g}}xจะได้ y=\displaystyle{\frac{\omega^2}{2g}}x^2
ถ้าหากน้ำไม่กระฉอกออกมาจากอ่าง เราจะได้ว่า ปริมาตรของน้ำในอ่างมีค่าคงที่ และสมมติว่า จุดศูนย์กลางของพาราโบลา อยู่สูงจากก้นอ่าง h-yโดยที่ y เป็นควาสูงทั้งหมดของพาราโบลา จะทำให้เราได้ว่า
\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi a^2h=\pi a^2(h-y)+\int 2\pi xydx

ขอแก้คณิตศาสตร์เร็วๆจะเลย จะได้ว่า
\displaystyle{\frac{\pi \omega_1^2a^4}{4g}}=\displaystyle{\frac{1}{3}}\pi a^2h
\omega_1=\displaystyle{\frac{2}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{gh}{3}}

สำหรับในกรณีที่เป็นการหมุนรอบแกนกลาง เราดูรูปที่ 2 จะได้ว่า
r=2R_i cos\thetaโดยที่ R_i เป็นรัศมีของวงกลมแต่ละวงที่ซ้อนๆกันอยู่ดังรูป
และใช้หลักการเดียวกันได้ว่า
\displaystyle{\frac{\pi \omega_1^2a^4}{4g}=\pi a^2(h-\displaystyle{\frac{2\omega^2a^4}{g}})+\int\int yrd\theta dr
โดยที่ r เป็น position vector ที่ชี้จากจุดหมุนจะทำให้เราได้ว่า
\displaystyle{\frac{\pi \omega_1^2a^4}{4g}=\pia^2h-\displaystyle{\frac{2\pi\omega^2a^4}{g}}+\displaystyle{\frac{\omega^2a^4}{g}}\int cos^4\theta d\theta
และเรารู้ว่า
cos^4\theta=\displaystyle{\frac{1}{8}}(3+4cos2\theta+cos4\theta)
แทนค่าลงไปจะได้
\displaystyle{\frac{1}{3}}\pi a^2h=(2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi)\displaystyle{\frac{\omega_2^2 a^4}{g}}
จะได้
\omega_2=\displaystyle{\frac{1}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi gh}{3(2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi)}}}
สำหรับอัตราส่วน ระหว่าง \omega_2ต่อ \omega_1จะได้ว่าเปน
\displaystyle{\frac{\omega_2}{\omega_1}}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{1}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi gh}{3(2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi)}}}}{\displaystyle{\frac{2}{a}}\sqrt{\displaystyle{\frac{gh}{3}}}}=\displaystyle{\frac{1}{2}}\sqrt{\displaystyle{\frac{\pi}{2-\displaystyle{\frac{3}{4}}\pi}}}

สำหรับใครที่อยากจะทำ แบบหมุนพร้อมกันสองอันนะครับ ผมกำหนดโอเมก้า 1 มาให้ แล้วใช้หลักการซ้อนทับเอานะครับ ลองคิดที่จุดใดๆ ว่าถ้าหมุนรอบตัวเองจะขึ้นไปสูงเท่าไหร่ และถ้าหมุนรอบแกนขอบ จะขึ้นไปสูงเท่าไหร่ ใช้หลักการเดียวกันครับ แต่คณิตศาสตร์จะยากมาก

\mathfrak{By\;G}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 29, 2006, 09:51:20 PM
ข้อ18) จาก 200 Puzzling Physics Problem
พอดีหนังสือผมตอนนี้อยู่ที่ร้านเมตตาหน่ะครับเลยไม่ได้พิมโจดภาษาอังกิดมาให้

ตั้กแตนขี้เกียจตัวหนึ่ง ต้องการโดดข้ามท่อนซุงรัศมี R ที่อยู่บนพื้นท่อนซุงไม่มีการกลิ้งไม่มีการจมวางไว้เฉยๆ ส่วนตั๊กแตนก้อตัวเล็กแสนเล็ก จนคิดเหมือนเป็นจุดอนุภาคได้ อืมๆ ทีนี้ ก็ให้เราหาความเร็วเค้าเรียกว่า take off velocity ที่น้อยที่สุดในการโดดข้ามท่อนซุงนี้ครับ

ถ้าใครไม่เข้าใจโจทย์รีบๆบอกผมนะครับ เดี๋ยวจะมีผิดพลาดแบบข้อที่แล้วอีก

แนะนำอาจจะเป็นรูปไหนซักรูปตามรูปข้างล่างนี้


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 01, 2006, 10:16:33 AM
ผมคงได้แต่หวังว่าจะมีคนมาทำกันนะครับ :(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: milky on May 02, 2006, 12:14:09 AM
ทำไมมันยากมากๆ
ลองทำมา3วันแล้ว แต่ก็ยังไม่ได้คำตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 02, 2006, 11:15:05 AM
ทำไมมันยากมากๆ
ลองทำมา3วันแล้ว แต่ก็ยังไม่ได้คำตอบ
นั่นสิ ลองทำมาหลายวันแล้วเหมือนกัน  :'(
G ใบ้เพิ่มหน่อยได้มั้ย  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 02, 2006, 11:36:55 AM
ผมใบ้ต่อให้อีกแล้วกัน หวังมากๆว่าจะไม่ต้องมาโพสเฉลยเอง :'(

ก็เราก็ลองนึกภาพดูว่า ถ้า take off velocity น้อยที่สุดนี่ การเคลื่อนที่มันควรจะเฉียดวงกลมไปมากๆ
แล้วเฉียดไปเท่าไหร่
-ลองสมมติตัวแปรว่า มุมที่เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางไปจุดที่เริ่มสัมผัสทำกับแนวดิ่ง เป็นมุมซักมุมนึง
-ถ้าหากความเร็วเริ่มต้นน้อยๆนี่ มันน่าจะมีความเร็วแนวดิ่งที่จุดสูงสุดเป็น 0 ใช่รึเปล่า ถ้ารู้ตรงนี้แล้วเราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง มุมที่ยิงกับความเร็วทียิงรึเปล่า
-การเคลื่อนที่ของส่วนที่สัมผัสกับวงกลม จะมีความสัมพันธ์แบบ x^2+y^2=R^2


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 02, 2006, 08:41:42 PM
ข้อ 18
พิจารณาการเคลื่อนที่ดังนี้
ให้ x เป็นระยะในแนวราบจากจุดยิงถึงจุดสัมผัส \theta เป็นมุมที่เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางท่อนไม้ไปที่จุดสัมผัสทำกับแนวดิ่ง
t เป็นเวลาที่ใช้ขึ้นไปจุดสัมผัส T เป็นเวลาที่ใช้ขึ้นไปจุดสูงสุดของพาราโบลา \phi เป็นมุมที่ทำกับพื้นตอนยิง
ดังรูป จะได้สมการดังนี้
a) x+R\sin\theta=v\cos\phi T
b) 0=v\sin\phi-gT
1. \displaystyle{x+R\sin\theta=\frac{v^2\sin\phi\cos\phi}{g}}
c) x=v\cos\phi t
d) R(1+\cos\theta)=v\sin\phi t-\frac{1}{2}gt^2
2. \displaystyle{R(1+\cos\theta)=x\tan\phi-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v^2\cos^2\phi}}
e) \displaystyle{\tan\theta=\frac{v\sin\phi-gt}{v\cos\phi}}
3. \displaystyle{\tan\theta=\tan\phi-\frac{gx}{v^2\cos^2\phi}}

นำค่า x จากสมการ 1 แทนลงใน 3 จะได้ว่า
\displaystyle{\cos\theta=\frac{v^2}{gR}\cos^2\phi}

คูณ \frac{x}{2} ในสมการที่ 3 แล้วนำไปลบกับสมการที่ 2 จะได้ว่า
\displaystyle{x=\frac{2R(1+\cos\theta)}{\tan\theta+\tan\phi}}

นำค่า x ที่ได้นี้แทนในสมการที่ 3 จะได้ว่า
\displaystyle{\tan\phi-\tan\theta=\frac{g}{v^2\cos^2\phi}\frac{2R(1+\cos\theta)}{(\tan\theta+\tan\phi)}}
\displaystyle{\tan^2\phi-\tan^2\theta=\frac{2gR(1+\cos\theta)}{v^2\cos^2\phi}}

แทนค่า \cos^2\phi ในรูปของ \cos\theta ให้หมดโดยใช้สมการความสัมพันธ์ที่ทิ้งไว้ตะกี้
และอาศัยว่า \displaystyle{\tan^2\phi=(\frac{1}{\cos\phi})^2-1} จะได้ว่า

\displaystyle{\frac{v^2}{gR\cos\theta}-\frac{1}{\cos^2\theta}=\frac{2(1+\cos\theta)}{\cos\theta}}

\displaystyle{v=\sqrt{gR\{2(1+\cos\theta)+\frac{1}{\cos\theta}\}}}
ทำการหาค่าต่ำสุดโดยใช้ Calculus โดยทำการ differentiate
ได้ว่า \displaystyle{\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}}
แทนค่ากลับจะได้ว่า v=\sqrt{2gR(\sqrt{2}+1)}   ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 02, 2006, 09:04:24 PM
ข้อ 18
d) R(1+\cos\theta)=v\sin\phi t+\frac{1}{2}gt^2
แหม่งๆ ทำไมเคลื่อนที่ขึ้น ใช้ความเร่งอยู่ในทิศเดียวกับความเร็วนะ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 02, 2006, 09:28:46 PM
ข้อ 18
d) R(1+\cos\theta)=v\sin\phi t+\frac{1}{2}gt^2
แหม่งๆ ทำไมเคลื่อนที่ขึ้น ใช้ความเร่งอยู่ในทิศเดียวกับความเร็วนะ
พิมพ์ผิดขออภัย แก้ให้แล้ว


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 02, 2006, 10:31:54 PM
ข้อ 19

ต้นฉบับ : Assume that a cloud consists of tiny water doplets suspended (uniformly distributed, and at rest) in air, consider a raindrop falling through them. What is the acceleration of the raindrop? Assume that the raindrop is initially of negligible size and that when it hits a water droplet's water gets added to it. Assume that the raindrop is spherical at all times.

แปล : เมฆประกอบด้วยละอองน้ำลอยกระจายสม่ำเสมออยู่นิ่งอยู่ในอากาศ จงหาความเร่งของหยดน้ำฝนที่ตกผ่านละอองน้ำเหล่านั้น ถ้าตอนเริ่มต้นหยดน้ำนี้ไม่มีขนาด และเมื่อมันตกลงมา ละอองน้ำก็จะพอกตัวมันขึ้นเรื่อย โดยให้สมมติว่าหยดน้ำนี้เป็นทรงกลมตลอดเวลา

แนะ : ไม่ยากถ้าหาเฉลยเจอ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: mekunka (มีคุณค่า) on May 03, 2006, 12:15:53 PM
ถ้าผมตอบแล้วไม่เอาโจทย์ข้อใหม่มาขึ้นจาเป็นรายมั้ยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 03, 2006, 09:55:54 PM
เป็นแน่นอนครับ เพราะกฎต้องเป็นกฎ แล้วถ้าจะตอบจะตอบเท่าไรหละครับ ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 04, 2006, 09:10:09 AM
หวังว่าคงมีคนมาทำนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 04, 2006, 04:20:50 PM
วิธีทำข้อ 19
เมื่อหยดน้ำตกลงมาเรื่อยๆ หยดน้ำเล็กๆที่อยู่ในปริมาตรที่มันครอบ(ดังรูป)จะถูกดูดเข้ามารวมกับหยดน้ำใหญ่ สมมติให้อากาศ 1ลูกบาศ์กเมตร มีมวลเท่ากับ \rho_0 และเราสมมติว่า รัศมีเป็นฟังก์ชั่นของระยะทางที่มันเคลื่อนลงมา R=f(x) และน้ำมีความหนาแน่นที่อุณหภูมินั้นเท่ากับ\rho
เราจะบอกได้ว่า
\rho_0{\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi (f(x))^3+\rho_0\int \pi (f(x))^2dx}=\rho\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi(f(x))^3
\rho_0 (f(x))^2dx=d\displaystyle{\frac{1}{3}}(4\rho-2\rho_0)(f(x))^3
จะได้ว่า f(x)=cx โดยที่ c เท่ากับ \displaystyle{\frac{\rho_0}{4\rho-2\rho_0}}

จากนั้นก็ใช้กฎข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้
F=m\displaystyle{\frac{d}{dt}}v+v\displaystyle{\frac{d}{dt}}m
เราแทนค่าm ด้วย\displaystyle{\frac{4}{3}}\rho \pi R^3จะได้
R^3g =R^3\displaystyle{\frac{d}{2dx}}v^2+3v^2R^2
2g=\displaystyle{\frac{d}{dx}}v^2+\dispaystyle{\frac{6}{cx}}v^2
เราเอาe^\int{\frac{6}{cx}dx =x^{6/c}คูณเข้าไปในสมการนี้จะได้
2gx^{6/c}=\displaystyle{\frac{d}{dx}}x^{6/c}v^2
อินทิเกรตสมการนี้จะได้
\displaystyle{\frac{2c}{6+c}}gx^{\frac{6}{c}+1}+c_1=x^{6/c}v^2
v^2=\displaystyle{\frac{2c}{6+c}}gx+\displaystyle{\frac{c_1}{x^{6/c}}}
ดิฟเฟอเรนทิเอท สมการนี้เทียบ 2dx จะได้
a=\displaystyle{\frac{gc}{6+c}}-{\displaystyle{\frac{c_1c}{2(6+c)x^{\frac{6}{c}+1}}}}
เราบอกว่าตอนเริ่มต้นที่ตำแหน่ง x=x_0(ไม่บอกว่า x=0เพราะไม่งั้นจะมีส่วนเป็น0)และความเร่งตอนเริ่มต้นเป็นการตกแบบอิสระ คือมีความเร่ง a=g จะได้ว่า
c_1=-\displaystyle{\frac{12}{c}}g{x_0}^{\frac{6+c}{c}}
เราจะเห็นว่าในสมการที่บอก v^2 จะแสดงให้เห็นว่า ช่วงแรกๆความเร็วจะตกลงมากๆๆ เมื่อตกไปแล้วนานๆจะเห็นว่า ความเร็วไม่ค่อยเปลี่ยน
ส่วนความเร่ง เพิ่มขึ้นตามระยะทางที่เคลื่อนที่ไปได้ และก็สอดคล้องกับผลที่ว่า ช่วงหลังๆความเร่งจะไม่ค่อยเปลี่ยน




\mathfrak{By� �G}



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 04, 2006, 05:11:14 PM
ข้อ 20
ผมเอาข้อง่ายๆลงมั่งแล้วกัน เดี๋ยวจะบ่นกัน ว่ายากเกิน
แล้วก็ อีก2-3 วัน ผม โพ มิว แล้วก็คนที่มาทำโจทย์จะไม่อยู่ข้อนี้อาจจะเป็นข้อสุดท้ายที่ผมจะได้โพสในช่วงสองอาทิตย์

ปัญหาข้อ74 จาก 200 Puzzling Physics Problems
A jet of water strikers a horizontal gutter of semicircular cross-section obliquely, as shown in figure. The jet lie lines in the vertical plane that certains the centre-line of the gutter.Calculate the ratio of quantities of water flowing out at two ends of the gutter as a function of the angle of incidence \alphaof the jet

ก็มี ลำน้ำ ยิงทำมุม \alphaกับรางดังรูป ถ้าหากลำน้ำชนตรงจุดกึ่งกลางของรางจงหา อัตราส่วนของน้ำที่แก้วที่รองน้ำจากปลายทั้งสองข้างของรางน้ำ
แนะนำ 1. รางน้ำอยู่กับที่ ไม่มีการขยับ
แนะนำ 2.ถ้าหาฉีดน้ำลงไปที่ตำแหน่งเดียวกัน ในแนวตั้งฉากกับรางน้ำ จะหาอัตราส่วนของปริมาณน้ำเป็นเท่าไหร่


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 05, 2006, 12:45:52 PM
เฉลยข้อ 19
ข้อนี้ถ้าใครจะใช้กฎ Conservation of Energy จะผิดทันที เพราะการที่หยดน้ำตกลงมาชนละอองน้ำแล้วพาไปนั้น เหมือนกับการชนแล้วติดกันไป ซึ่งมีการศูนย์เสียพลังงาน โดยน้ำอาจจะมีอุณหภูมิสูงขึ้น
ให้ถือว่าแรงลอยตัวและแรงต้านอากาศมีผลต่อการเคลือนที่น้อยมาก สนใจเฉพาะแรงเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก
พิจารณาสมการ Momentum เมื่ออยู่ในระบบที่มวลไม่คงที่(กำหนดให้ทิศลงเป็นบวก)
\displaystyle{F_{ext}=m\frac{d}{dt}v+v\frac{d}{dt}m}
สมมติให้ความหนาแน่นของหยดน้ำเป็นและละอองน้ำเป็น \rho และ \rho_s ตามลำดับ
จะได้ว่า \displaystyle{m=\rho\frac{4}{3}\pi r^3, \frac{d}{dt}m=4\rho\pi r^2 \frac{d}{dt}r}
พิจารณาการกวาดเศษละอองน้ำเล็กๆ ขณะที่หยดน้ำนั้นเคลื่อนที่ จะได้ว่า
\displaystyle{\frac{d}{dt}m=\rho_s\pi r^2 v}
ดังนั้น \displaystyle{\frac{4\rho}{\rho_s}\frac{d}{dt}r=v} ได้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับรัศมี
และ \displaystyle{\frac{4\rho}{\rho_s}\frac{d^2}{dt^2}r=\frac{d}{dt}v

กลับไปที่สมการ Momentum ที่ทิ้งไว้
\displaystyle{\rho\frac{4}{3}\pi r^3 g=\rho\frac{4}{3}\pi r^3\frac{d}{dt}v+\rho_s\pi r^2 v^2}
แทนค่าจากสมการต่างๆ ที่เราสะสมมาลงไป ให้เหลือ r เพียงตัวแปรเดียว จะได้ว่า
\displaystyle{\frac{\rho_s}{\rho}rg=4r\frac{d^2}{dt^2}r+12(\frac{d}{dt}r)^2}

ระลึกว่า \displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}r=\frac{1}{2}\frac{d}{dr}(\frac{d}{dt}r)^2}
และให้ \displaystyle{(\frac{d}{dt}r)^2\equiv A} จะได้สมการ
\displaystyle{\frac{\rho_s g}{2\rho}=\frac{d}{dt}A+\frac{6A}{r}}
ทำการแก้สมการแบบ First order โดยใช้ initial condition จากสมการความสัมพันธ์ระหว่าง r กับ v
ซึ่งก็คือ A=0 เมื่อ r=0
ได้ \displaystyle{\frac{d}{dt}r=\sqrt{\frac{r\rho_s g}{14\rho}}}
ทำการแก้สมการต่อ โดยใช้ initial condition ของรัศมี จะได้
\displaystyle{r=\frac{\rho_s g}{56\rho}t^2}
เมื่อแทนค่ากลับในสมการ "และ" จะได้ผลที่ต้องการออกมาว่า
\displaystyle{\frac{d}{dt}v=\frac{g}{7}} ซึ่งคงที่   ตอบ

ขออภัยด้วยครับที่ไม่ละเอียดเพราะแอบทำในห้องสมุดโรงเรียนในขณะเข้าค่าย                                                       
                                                                                                                               \mathfrak{MwitStu.}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 06, 2006, 11:50:46 PM
ข้อ 20
ถ้ายิงลำน้ำลงมาตรงๆ ปริมาณน้ำจะแยกออกไป 2 ด้านเท่าๆกันจากความสมมาตร
สมมติให้อัตราการไหลของน้ำที่ยิงลงมาเป็น \vec{Q_0} เมื่อแตกเวกเตอร์
จะได้ Q_1 เกิดจาก Q_0 \cos \alpha ที่ลงมาในแนวดิ่งแยกออกไป 2 ข้าง เพราะฉะนั้น Q_1 = \dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2}
และ Q_2 เกิดจาก Q_0 \cos \alpha ที่แยกออกมารวมกับ Q_0 \sin \alpha เพราะฉะนั้น Q_2 = \dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2} + Q_0 \sin \alpha
จากโจทย์ให้หา \dfrac{V_2}{V_1}
\begin{array}{rcl}\dfrac{V_2}{V_1} & = & \dfrac{Q_2}{Q_1} \\ & = & \dfrac{\dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2} + Q_0 \sin \alpha}{\dfrac{Q_0 \cos \alpha}{2}} \\ & = & 1+2 \tan \alpha \\ \end{array}
ลองเช็คโดยการ แทนค่า \alpha คร่าวๆ ถ้า \alpha = 0 แทนเข้าไปจะได้คำตอบเท่ากับ 1 หรือ Q_1 = Q_2 นั่นเอง
ลองแทนค่า \alpha = \dfrac{\pi}{2} จะได้ คำตอบเป็น \infty ซึ่งก้อคือ Q_1 = 0 นั่นเอง
ปล. อาจหา \dfrac{V_1}{V_2} ก้อได้ เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดว่าปริมาณด้านไหนต่อด้านไหน



***  ข้อนี้เฉลยผิดนะ  :o  Admin


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 07, 2006, 12:47:02 AM
ข้อ 21
Show that the final kinetic energy E of a neutron after a head-on elastic collistion with a stationary nucleus of nucleon (mass) number A is given by  E = E_0 {\left( \dfrac{(A-1)}{(A+1)} \right)}^2 ,where E_0 is the initial neutron kinetic energy.
On the basic of this calculation, state with reasons which types of material you consider most suitable for neutron shielding.


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: non-self on May 07, 2006, 11:45:40 PM
คือผมสงสัยว่า ทำไมถึงคิดเป็นปริมาณเวกเตอร์ได้ ในเมื่อที่แตกออกเป็นองค์ประกอบนั้นเป็นแค่องค์ประกอบของความเร็ว ซึ่งมันน่าจะคำนึงถึงมวลน้ำของแต่ละสายที่เราแตกองค์ประกอบด้วย ถึงแม้ในตอนที่เราหาอัตราส่วนมันจะตัดกันเองก็ตาม


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on May 08, 2006, 11:29:40 AM
ข้อ 21
Show that the final kinetic energy E of a neutron after a head-on elastic collistion with a stationary nucleus of nucleon (mass) number A is given by  E = E_0 {\left( \dfrac{(A-1)}{(A+1)} \right)}^2 ,where E_0 is the initial neutron kinetic energy.
On the basic of this calculation, state with reasons which types of material you consider most suitable for neutron shielding.

หลังจากหายไปนาน(ไปกู้ชาติ!) ล้อเล่นๆ เผอิญคาบว่างพอดีมาเปิดเว็บเห็นโจทย์เลยลองทำดู

ข้อนี้ตอนแรกคิดแบบสัมพัทธภาพแล้วได้คำตอบไม่ตรงเลยหันมาคิดแบบกลศาสตร์คลาสสิกธรรมดาแล้วตรง ในที่นี้จึงขอเสนอวิธีแบบคลาสสิกแล้วกัน

Sol.
เราทราบกันดีว่า
E_k=\frac{1}{2}mv^2
P=mv
\therefore P=\sqrt{2mE_K}

พิจารณาปรากฎการณ์ในโจทย์ด้วยกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เราจะได้
\sqrt{2mE_0}=\sqrt{2mE}+\sqrt{2AE_{nucleus}} (กำหนดให้มวลนิวตรอน=m)..............................สมการที่ 1
ในการชนแบบยืดหยุ่นพลังงานจลน์ไม่สูญหาย
\therefore E_{nucleus}=E_0-E............................. สมการที่2

แทนสมการที่ 2 ลงในสมการที่ 1 จะได้
\sqrt{2mE_0}=\sqrt{2mE}+\sqrt{2A(E_0-E)}
ได้สมการติดรุ้ดท่าทางน่ากลัว รวมพลังแล้วลุย!

นำ\frac{1}{\sqrt{2}}คูณตลอดสมการ ได้
\sqrt{mE_0}=\sqrt{mE}+\sqrt{A(E_0-E)}

ย้ายข้างดึงตัวร่วม
\sqrt{m}(\sqrt{E_0}-\sqrt{E})=\sqrt{A(E_0-E)}

ยกกำลังสองตลอดสมการ
m(E_0+E-2\sqrt{E_0E})=A(E_0-E)}

คูณ\frac{1}{m}ตลอดสมการ
E_0+E-2\sqrt{E_0E}=\frac{A(E_0-E)}{m}}
E_0+E-2\sqrt{E_0E}=\frac{AE_0}{m}-\frac{AE}{m}}

ย้ายข้างจัดรูปดึงตัวร่วม
E_0(1-\frac{A}{m})+E(1+\frac{A}{m})=2\sqrt{E_0E}

ให้1-\frac{A}{m}=Q และ1+\frac{A}{m}=R

ระเบิดสมการด้วยการยกกำลังสองอีกครั้งจะได้
Q^2E_0^2+2E_0QER+E^2R^2=4E_0E

จัดรูป(ใจเย็นๆ) รวมพลังทำต่อไป
ฮึด!

จากการต่อสู้ได้
Q^2E_0^2+E^2R^2=2E_0E(2-QR)

จาก ที่เคยให้1-\frac{A}{m}=Q และ1+\frac{A}{m}=R
ดังนั้น1-2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2}=Q^2 และ1+2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2}=R^2

เอาสิ่งที่ได้มาใส่สมการแล้วสู้ต่อ
(1-2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2})E_0^2+E^2(1+2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2})=2E_0E(2-(1-\frac{A^2}{m^2}))

ใช้พลังลมปรานที่มีจัดรูปสมการให้ดูดีขึ้น
(1+\frac{A^2}{m^2})E_0^2+E^2(1+\frac{A^2}{m^2})-2\frac{A}{m}E_0^2+2\frac{A}{m}E^2=2E_0E(1+\frac{A^2}{m^2})

ย้ายข้าง ใช้ตาทิพย์ดึงตัวร่วม จะได้
(1+\frac{A^2}{m^2})(E_0^2-2E_0E+E^2)=2\frac{A}{m}(E_0^2-E^2)
(1+\frac{A^2}{m^2})(E_0-E)^2=2\frac{A}{m}(E_0+E)(E_0-E)

พิจารณาด้วยความรู้ทางฟิสิกส์เราจะทราบว่า
E_0-Eไม่เท่ากับ 0 เราจึงนำ\frac{1}{E_0-E} คูณตลอดสมการได้

เราจะได้
(1+\frac{A^2}{m^2})(E_0-E)=2\frac{A}{m}(E_0+E)

ระเบิดอีกที
E_0-E+\frac{A^2}{m^2}E_0-\frac{A^2}{m^2}E=2\frac{A}{m}E_0+2\frac{A}{m}E
E_0(1-2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2})=E(1+2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2})
E_0(1-2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2})=E(1+2\frac{A}{m}+\frac{A^2}{m^2})
E_0(1-\frac{A}{m})^2=E(1+\frac{A}{m})^2
\therefore E=E_0\frac{(1-\frac{A}{m})^2}{(1+\frac{A}{m})^2}

ยังคงจำกันได้ในตอนแรกว่าเราได้ กำหนดให้มวลนิวตรอน=m
จากการรู้มาว่า\frac{A}{m} \approx A

เราก้อจะได้
E=E_0(\frac{(1-A)}{(1+A)})^2
อย่างไรก็ตาม(1-A)^2=(A-1)^2
\therefore E=E_0(\frac{(A-1)}{(A+1)})^2
ตามต้องการ เย่!
 ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on May 08, 2006, 11:45:13 AM
ข้อ 22 ไม้กระดานหกแห่งโรงเรียนอนุบาลหมีน้อย ประกอบด้วยแท่งไม้มวล m (มวลกระจายสม่ำเสมอ)กว้าง 2b ยาว 2a วางบนครึ่งทรงกลมรัศมี R ซึ่งถูกตรึงอยู่กับพื้น มีสุนัขพันธุ์อะไรก้ไม่รู้ตัวหนึ่งเอาเท้าหน้าซ้ายไปสกิดเบาๆ แล้วเดินจากไป ไม้กระดานหกจะสั่นด้วยคาบเท่าไร  พิจารณาเป็น small oscillation
ให้โมเมนต์ความเฉื่อนรอบจุดศูนย์กลางของแท่งไม้นี้เป็น  I


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 08, 2006, 09:32:39 PM
เดี๋ยวนี้ delete ข้อความที่ตัวเองโพสไม่ได้แล้วหรอครับ  :'( ผม delete rep นี้ไม่ได้ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on May 10, 2006, 01:30:22 PM
ผมว่าผมยังไม่นำsolutionมาลงดีกว่า รอให้พวกเทพที่กลับจากเชียงใหม่มาลองทำดูก่อน (ผมว่าพวกเทพทำได้แน่นอน) :D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 14, 2006, 01:33:37 PM
ขอฝากรูปไว้ก่อนนะครับ เดี๋ยวเข้าหอแล้วเอาไปด้วยไม่ได้เพราะใช้คอมฯห้องสมุด  :( แล้วจะมาทำ ถ้าทำได้นะครับ :-\  ผมยังงงๆกับการประมาณข้อนี้อยู่ :'(
ใครจะทำก็ทำไปเลยนะครับไม่ต้องสนใจผม   ;)
ปล.รูปถูกรึเปล่่าก็ยังไม่แน่ใจ ผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on May 14, 2006, 06:52:32 PM
ผมทำได้ \displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{mb^2+I}{mg(R-b)}}} แต่ไม่ชัวร์เท่าไหร่ รอดูของ TUNG ดีกว่า แล้ว TUNG ก็โพสโจทย์ข้อต่อไปเลยนะ ;)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 14, 2006, 07:58:48 PM
ข้อ 22
ตอนแรกผมทำแบบใช้พลังงาน ยาวมาก+มั่วมาก  :-[
ตั้งสมการทอร์กรอบจุดสัมผัส จะได้ว่า
- (mgR \theta \cos \theta - mgb \sin \theta ) = I_0 \ddot \theta
โดยที่ I_0 คือ I รอบจุดสัมผัส จากทฤษฎีแกนขนาน จะได้ I_0 = I+mb^2
แทนค่า I_0 ลงไปในสมการทอร์ก และประมาณ \cos \theta \approx 1 และ \sin \theta \approx \theta จะได้
- mg(R-b) \theta = (I+mb^2) \ddot \theta
จะได้  \omega = \sqrt{\dfrac{mg(R-b)}{I+mb^2}}} และ \displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{mb^2+I}{mg(R-b)}}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on May 14, 2006, 08:34:17 PM
...
ตอนแรกผมทำแบบใช้พลังงาน ยาวมาก+มั่วมาก  :-[
...
พี่ก็ทำโดยใช้พลังงานนะ ไม่ยาวมาก 8บรรทัดเอง ;) (ยาวรึเปล่า แต่สำหรับพี่ถือว่าสั้นนะ เหอๆ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 14, 2006, 08:36:28 PM
ข้อ 23
วัตถุก้อนหนึ่งเริ่มเคลื่อนที่จากหยุดนิ่ง วัตถุนี้จะมีความเร่ง g=9.80665  m/s^2 เทียบกับกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งเทียบกับมันเสมอ จงหาว่าเมื่อเวลาผ่านไป 1  year=365.25  day วัตถุนี้จะเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางเท่าใดเทียบกับจุดเริ่มต้น
แนะ : ถ้าคิดแบบกลศาสตร์คลาสิก วัตถุจะมีความเร็วเกินแสงซึ่งเป็นไปไม่ได้

\mathfrak{MwitStu.} ฝากมาครับ
                                                             


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on May 14, 2006, 08:40:12 PM
เฮย โจทย์ผมหนิ วนกลับมาหาได้ไง ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 14, 2006, 08:41:14 PM
เหอๆ โจทย์นี้พี่ให้ผมมาเองไง ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on May 14, 2006, 09:05:59 PM
สำหรับข้อมูลที่จำเป็นสำหรับข้อนี้

สำหรับการเคลื่อนที่ใน1มิติ  กรอบอ้างอิงที่วิ่งด้วยความเร็ว V จะสังเกตของที่กำลังวิ่งด้วยความเร็ว u กำลังวิ่งด้วยความเร็ว \displaystyle{\frac{u-V}{1-\frac{uV}{c^2}}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 14, 2006, 10:26:16 PM
ข้อ 23
...วัตถุนี้จะมีความเร่ง g=9.80665   m/s^2 เทียบกับกรอบอ้างอิงที่อยู่นิ่งเทียบกับมันเสมอ ...

\mathfrak{MwitStu.} ฝากมาครับ
                                                                                                                         


ถ้ามันอยู่นิ่งเทียบกับกรอบนั้น แล้วมันจะมีความเร่งเทียบกับกรอบนั้นอย่างไร  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on May 14, 2006, 10:36:39 PM
อื้ม พอโจทย์ผ่านหลายปากแล้วมันก็ผิดเพี้ยนไปบ้าง :P

จริงๆแล้วต้องเป็น กรอบเฉื่อยที่มีความเร็วเท่ากับจรวด จะสังเกตว่าจรวดวิ่งด้วยความเร่ง g


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 15, 2006, 08:22:58 AM
อื้ม พอโจทย์ผ่านหลายปากแล้วมันก็ผิดเพี้ยนไปบ้าง :P

จริงๆแล้วต้องเป็น กรอบเฉื่อยที่มีความเร็วเท่ากับจรวด จะสังเกตว่าจรวดวิ่งด้วยความเร่งg
ขอบคุณครับ >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 15, 2006, 08:33:42 AM
อื้ม พอโจทย์ผ่านหลายปากแล้วมันก็ผิดเพี้ยนไปบ้าง :P

จริงๆแล้วต้องเป็น กรอบเฉื่อยที่มีความเร็วเท่ากับจรวด จะสังเกตว่าจรวดวิ่งด้วยความเร่งg

งงง่ะ  ???  จรวดแล่นด้วยความเร่ง แล้วกรอบเฉื่อยเคลื่อนที่เร็วเท่าจรวด ก็แปลว่ากรอบนั้นมีความเร่งด้วย แล้วกรอบที่มีความเร่งจะเป็นกรอบเฉื่อยได้ไง  หรือว่ามีหลายกรอบเปลี่ยนไปตลอดเวลา  งงง่ะ  ???  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 15, 2006, 08:42:33 AM
.....
งงง่ะ ??? จรวดแล่นด้วยความเร่ง แล้วกรอบเฉื่อยเคลื่อนที่เร็วเท่าจรวด ก็แปลว่ากรอบนั้นมีความเร่งด้วย แล้วกรอบที่มีความเร่งจะเป็นกรอบเฉื่อยได้ไง หรือว่ามีหลายกรอบเปลี่ยนไปตลอดเวลา งงง่ะ ??? ???
มีหลายกรอบเฉื่อยเปลี่ยนไปเรื่อยๆ โดยกรอบนั้นมีความเร็วเท่ากับวัตถุชั่วขณะ อย่างนี้ได้มั้ยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 15, 2006, 08:59:09 AM
.....
งงง่ะ ??? จรวดแล่นด้วยความเร่ง แล้วกรอบเฉื่อยเคลื่อนที่เร็วเท่าจรวด ก็แปลว่ากรอบนั้นมีความเร่งด้วย แล้วกรอบที่มีความเร่งจะเป็นกรอบเฉื่อยได้ไง หรือว่ามีหลายกรอบเปลี่ยนไปตลอดเวลา งงง่ะ ??? ???
มีหลายกรอบเฉื่อยเปลี่ยนไปเรื่อยๆ โดยกรอบนั้นมีความเร็วเท่ากับวัตถุชั่วขณะ อย่างนี้ได้มั้ยครับ

แล้วมันแปลว่าอะไร  ถ้าบอกว่าจรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเทียบกับกรอบเฉื่อยกรอบหนึ่งล่ะ ความหมายจะเปลี่ยนไปไหม  แล้วถ้าจรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง การแปลงความเร็วในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจะยังใช้ได้อยู่หรือเปล่า  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on May 15, 2006, 08:28:53 PM
.....
งงง่ะ ??? จรวดแล่นด้วยความเร่ง แล้วกรอบเฉื่อยเคลื่อนที่เร็วเท่าจรวด ก็แปลว่ากรอบนั้นมีความเร่งด้วย แล้วกรอบที่มีความเร่งจะเป็นกรอบเฉื่อยได้ไง หรือว่ามีหลายกรอบเปลี่ยนไปตลอดเวลา งงง่ะ ??? ???
มีหลายกรอบเฉื่อยเปลี่ยนไปเรื่อยๆ โดยกรอบนั้นมีความเร็วเท่ากับวัตถุชั่วขณะ อย่างนี้ได้มั้ยครับ

แล้วมันแปลว่าอะไร ถ้าบอกว่าจรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเทียบกับกรอบเฉื่อยกรอบหนึ่งล่ะ ความหมายจะเปลี่ยนไปไหม แล้วถ้าจรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง การแปลงความเร็วในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจะยังใช้ได้อยู่หรือเปล่า ???
ถ้าบอกว่าจรวดเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเทียบกับกรอบเฉื่อยกรอบหนึ่ง จะสื่อว่า กรอบเฉื่อยนี้จะเห็นวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งค่าหนึ่งในขณะใดๆ
แต่สำหรับในโจทย์ข้อนี้ ความเร่งที่มองจากกรอบเฉื่อยนิ่ง(มีความเร็วเท่ากับความเร็วตั้งต้นของวัตถุซึ่งกำหนดให้มีค่าเป็นศูนย์) ไม่ได้มีค่าเป็น g ทุกๆ ขณะ
กรอบเฉื่อยที่มีความเร็วเท่ากับวัตถุในขณะใดๆ เท่านั้นจึงจะเห็นวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง g
ขออภัยด้วยครับ ไม่รู้จะสื่อความหมายอย่างไรดี >:A
ถ้าโจทย์ไม่เหมาะสม จะเปลี่ยนข้อใหม่มาลงให้ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on May 16, 2006, 09:39:22 AM
ขอโทษครับที่ทำให้สับสน  >:A ขอเปลี่ยนข้อใหม่เลยแล้วกัน
ข้อ 23
A thin ring of radius R is made of mterial of density \rho and Young's modulus E. It is spun in its own plane, about an axis through its centre, with angular velocity \omega. Determine the amount (assumed small) by which its circuference increases.
แปล
วงแหวนบางรัศมี R ความหนาแน่น \rho และ ค่าYoung's modulus E หมุนรอบจุดศูนย์กลางของวงแหวนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega จงหาว่าเส้นรอบวงจะยาวเพิ่มขึ้นเท่าใด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 16, 2006, 08:44:17 PM
ในข้อนี้ เราบอกว่า แรงปฏิกิริยาที่เกิดจากการหมุนทำให้วงแหวนยืดออก และเราสามารถหาได้โดยคิดมวลในช่วง \delta \thetaเล็กๆและบอกว่า จะมีแรงปฏิกิริยา ที่เกิดการจากยึดเหนี่ยวกันของมวลก้อนเล็กๆแต่ละก้อนในวงแหวน สมมติว่าแรงนั้นเป็นT
จากรูปเราบอกได้ว่า
2Tsin\displaystyle{\frac{\theta}{2}}=\rho r^2\theta {\omega}^2
ที่\theta น้อยๆ เราจะบอกได้ว่า
sin\displaystyle{\frac{\theta}{2}}\approx \displaystyle{\frac{\theta}{2}}
จะได้
T=\rho A{\omega}^2r^2
จากนั้นเราบอกว่า แรงที่ดึงวงแหวนเล็กๆนี่ให้ยืด คือ T เราจะได้ว่า ส่วนของวงแหวนส่วนเล็กๆที่เราประมาณว่าเป็นเส้นตรงนี่
ใช้นิยามของ Elastic Modulus จะได้
E=\displaystyle{\frac{T(rd\theta)}{A\delta l}}
E=\displaystyle{\frac{\rho A{\omega}^2r^2(rd\theta)}{Adl}}
dl=\displaystyle{\frac{\rho {\omega}^2r^2(rd\theta)}{E}}
เราอินทิเกรตเทต้า ตั้งแต่ 0 ถึง2\pi
\Delta l=\displaystyle{\frac{1}{E}}2\pi \rho r^3 {\omega}^2

ถ้าผิดไงก็ขอโทษนะครับ พอดีพิมพ์สดหน้าคอมเลย
\mathfrak{By� �G}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 16, 2006, 08:59:00 PM
ข้อใหม่นะครับ เป็นข้อที่โพให้มา อยู่ในหนังสือ Cambridge Problems in Physics
หน้า 13 ข้อ M17
ต้นฉบับคือ
A body is travekking in a circular orbit of radius r under the influence of a force that the is
directed towards the circle and is propertional to 1/r^n.By consudering the effect of a small increase in radius to (r+dr),or otherwise,show that the orbit is unstable if n\geq3

แปลไทยนะครับ
วัตถุก้อนนึง เคลื่อนที่เป็นวงโคจรรอบๆดาวเคราะห์ดวงหนึ่ง ซึ่งมีแรงโน้มถ่วงแปรผัรกับ 1/r^nแล้วถ้าเรารบกวน
รัศมีให้รัศมีมากขึ้นเล็กๆน้อยๆ เราบอกว่า วงโคจรนี้จะไม่เสถียรถ้าn\geq3



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 16, 2006, 10:28:32 PM
สมมุติให้ดาวเคราะห์มีมวล M วัตถุที่โคจรรบดาวเคราะห์มีมวล m
ความเร็วตอนเริ่มต้นของมาล m คือ u ความเร็วในแนวสัมผัสกับรัศมีหลังถูกรบกวนของมวล m คือ v
ให้ระยะที่ถูกรบกวนคือ x โดยที่ x/r มีค่าน้อยๆ
เนื่องจากทอร์ครอบจุด CM เป็นศูนย์ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM เป็นคงที่จะได้
 mur=mv(r+x)
เนื่องจากในตอนเริ่มต้นมวล m อยู่ในสภาพสมดุล ดังนั้น
 mu^2/r=GMm/r^n
ในตอนหลังจากรบกวนมาล m แล้ว ถ้าสมมุติให้ความเร่ง a มีทิศชี้ออกจากจุด CM จะได้
 mv^2/(r+x)-GMm/(r+x)^n=ma
 mu^2r^2/(r+x)^3-GMm/(r+x)^n=ma
 mu^2/r(1+x/r)^3-GMm/r^n(1+x/r)^n=ma
ทำการประมาณจะได้
 mu^2/r-3mu^2x/r^2-GMm/r^n+nGMmx/r^{n+1}=ma
จากสมการที่ 2 จะได้
 (n-3)GMmx/r^{n+1}=ma

 a=(n-3)GMx/r^{n+1}

จากสมการที่ได้นี้ถ้า  n<3 จะได้ว่า
มวล m จะเคลื่อนที่แบบ Simple Harmonic ในแนวรัศมี
ถ้า  n=3 จะได้ว่า
มวล m จะอยู่ในวงโคจรที่เราดึงมันไปโดยจะอยู่ในวงโคจรนั้นโดยตลอดถ้าเราไม่ไปรบกวนมันอีก (มันจะไม่กลับไปยังวงโคจรตอนเริ่มต้นเอง)
และถ้า  n>3 จะได้ว่า
มวล m จะมีความเร่งไปทางเดียวกับ x นั่นคือถ้าเรารบกวนมันไปทางไหน มันจะมีความเร่งไปทางนั้นเลย โดยมีความเร็วเพิ่มขึ้นเรื่อยๆในทิศเดียวกับ x

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าถ้า  n>=3 วงโคจรจะไม่เสถียร


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 16, 2006, 11:16:33 PM
โจทย์ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 17, 2006, 09:17:42 PM
***วิธีทำผิดนะครับ ขอไปแก้พรุ่งนี้นะครับ ขอโทษคับ >:A >:A >:A
วิธีทำข้อ 25
เราบอกว่า แรงที่กระทำกับตาชั่ง จะเกิดจากน้ำหนักของพื้นเอียงมวล 2m ตรงๆส่วนหนึ่ง
กับส่วนที่เกิดจากมวล 2 ก้อนที่วางไว้บนพื้นเอียงอีกส่วนหนึ่ง
สำหรับส่วนที่เกิดจากมวลสองก้อนนั้นเราต้องหักลบด้วยแรงปฏิกิริยา ที่พื้นเอียงกระทำ และหักลบแรงตึงเฃือกด้วย
โดยที่เราบอกว่า แรงปฏิกิริยาที่ดันมวลทางซ้ายและทางขวาเป็น N_1และN_2ตามลำดับ
โดยที่N_1=mgcos\thetaและN_2=3mgsin\theta
ส่วนองค์ประกอบในแนวแกน x ของN_1และN_2ได้เป็น
{N_1}_x=mgcos^2 \thetaและ{N_2}_x=3mgsin^2 \theta

และเราหาแรงตึงเชือกได้จาก
3mgcos \theta -mgsin \theta=4ma
a=\displaystyle{\frac{1}{4}}g(3cos\theta -sin\theta)
และั สมมติว่า วัตถุก้่อนทางซ้ายเคลื่อนที่ขึ้นด้วยแรงตึงเชือกจะได้
T=ma+mgsin\theta
T=\displaystyle{\frac{3}{4}}mg(cos\theta +sin\theta )
และเรารู้ว่าแรงตึงเชือกที่กระทำในแนวดิ่งต่อวัตถุทั้งสองก้อนรวมกันจะได้ T(sin\theta + cos\theta )
เราจะได้ว่า
{T_x}=\displaystyle{\frac{3}{4}}mg(cos\theta +sin\theta )^2

สุดท้ายนี้เราก็เอาแรงทั้งหมดมาบวกกันจะได
W=6mg+\displaystyle{\frac{3}{4}}mg(cos\theta +sin\theta )^2+mgcos^2 \theta+3mgsin^2 \theta

ถ้าผิดยังไงก็ขอโทษนะครับ ทำสดหน้าคอมอีกแล้ว

\mathfrak{By� �G}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 17, 2006, 09:35:47 PM
ข้อ26
วัตถุก้อนหนึ่งมีมวล m อยู่ระหว่างสปริงที่มีค่าคงที่ k 2ตัว ตอนเริ่มต้น สปริงทั้งสองตัวมีความยาวเท่ากับความยาวธรรมชาติ
และเราก็สั่นสปริงไปด้วยแอมพลิจูด d เมื่อสั่นๆไปถึงแอมพลิจูด d/2เราก็เอาสปริงออกไปอันนึง จงหาว่า แอมพลิจูดของการสั่นจะเปลี่ยนเป็นเท่าไหร่


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 17, 2006, 09:59:01 PM
วิธีทำข้อ 25 ที่ทำมานั้นได้ทำในกรณีที่ มวล 2m อยู่ติดกับตาชั่ง แต่จริงๆแล้ว
โจทย์บอกว่า "ทุกพื้นผิวลื่น" ซึ่งหมายถึง มวล 2m ไม่ได้อยู่ติดกับตาชั่งนะ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 17, 2006, 10:24:59 PM
วิธีทำข้อ 25 ที่ทำมานั้นได้ทำในกรณีที่ มวล 2m อยู่ติดกับตาชั่ง แต่จริงๆแล้ว
โจทย์บอกว่า "ทุกพื้นผิวลื่น" ซึ่งหมายถึง มวล 2m ไม่ได้อยู่ติดกับตาชั่งนะ
งงแ้ล้วครับ ทุกผิวลื่น แล้วทำไม ไม่มวล 2m ไม่ติดอยู่กับตาชั่งหล่ะครับ
ผมคิดว่า แรงเสียดทานไม่น่าจะมีผลต่อโมเมนตัมเชิงเส้นในแนวดิ่งนะครับ
หรือถ้าจะบอกว่า มวล 2m ไม่ติดอยู่กับตาชั้ง ไม่ติดคือไม่ติดยังไงครับ ถ้าไม่ติดก็
หมายความว่าแรงปฏิกิริยาที่พื้นตาชั่งกับมวล 2m เป็น0 ก็คือ น้ำหนักที่ตาชั่งอ่านได้ก็เป็น 0 อย่างงั้นหรอครับ :-\

ช่วยอธิบายมาให้เคลียขึ้นอีกนิดนึงได้มั้ยครับ ขอบคุณมากครับ >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 17, 2006, 10:36:30 PM
คำว่าไม่ติดนั้นหมายถึง ไม่ได้ fix อยู่บนตาชั่งจนขยับไม่ได้ในแนวระดับ มันยังสามารถขยับได้ในแนวระดับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 17, 2006, 10:41:15 PM
ขอบคุณมากครับจะรีบแก้ไขครับ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 17, 2006, 10:42:27 PM
พิจารณาพลังงานกลของระบบตอนแรก
เนื่องจากสปริงแต่ละตัวมีค่าคงที่สปริง k และเราสั่นสปริงไปด้วยแอมพลิจูด d
แสดงว่าในตอนแรกเราขยับสปริงไปจากระยะสมดุลเป็นระยะ d
จะได้พลังงานกลของระบบตอนแรกคือ
 E_i=kd^2/2+kd^2/2=kd^2
เนื่องจากแรงที่กระทำต่อระบบสปริง-มวลเป็นแรงอนุรักษ์ทั้งหมด ดังนั้น พลังงานกลคงที่
สมมุติให้พลังงานจลน์ตอนที่มวล m อยู่ที่ตำแหน่ง  d/2 คือ  E_k
จะได้ว่า
 E_i=kd^2=kd^2/8+kd^2/8+E_k
 E_k=3kd^2/4
ถ้าเรานำสปริงออกอันนึงในขณะนี้เราจะได้พลังงานกลรวมตอนหลังคือ
 E_f=E_k+kd^2/8=7kd^2/8
หาแอมหลิจูดในตอนหลัง
แอมพลิจูดคือตำแหน่งที่วัตถุไปได้ไกลสุดจากจุดสมดุลซึ่งมีเงื่อนไขคือพลังงานจลน์เป็นศูนย์ชั่วขณะ
และเนื่องจากแรงที่กระทำต่อระบบสปริง-มวลเป็นแรงอนุรักษ์ทั้งหมด ดังนั้น พลังงานกลคงที่
สมมุติให้แอมพลิจูดเป็น A จะได้
 kA^2/2=E_f=7kd^2/8
 A=\sqrt{7}d/2

ตอบ แอมพลิจูดการสั่นเปลี่ยนไปเป็น  \sqrt{7}d/2


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 17, 2006, 10:48:09 PM
ขอบคุณมากครับ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 17, 2006, 11:06:52 PM
ข้อ 27 ไม้กระดานมวล M วางอยู่บนพื้นลื่น บนไม้กระดานแผ่นนั้นมีทรงกลมตันมวล m วางอยู่นิ่งๆ โดยที่แรงเสียดทานระหว่าง ไม้กระดานกับทรงกลมตันมีค่ามหาศาล ถ้าเราดึงไม้กระดานด้วยแรง F ในแนวระดับ ความเร่งของไม้กระดานและความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของทรงกลมตันเป็นเท่าไร


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: pakky on May 18, 2006, 09:13:16 PM
วิธีทำข้อ 25 ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 18, 2006, 10:40:13 PM
ขอบคุณคุณ pakky นะครับที่เอาวิธีทำมาลง(กำลังขี้เกียจทำ math พอดี)
วิธีทำข้อ 27 นะครับ
ตกลงกันก่อนว่าให้ x_2เป็นระยะที่แผ่นกระดานเคลื่อนที่ไปได้ และ x_1เป็นระยะที่ทรงกลมเคลื่อนที่เทียบกับแผ่นกระดาน ในทิศทางตรงข้ามกับ x_2ความเร่งจริงๆของทรงกลมที่คนใน Lab Frame
เห็นก็คือ x_2-x_1 ส่วนความเร่งก็จะเปลี่ยนจาก x เป็น a นะครับ
*ผมคิดว่าโจทย์น่าจะหมายถึงทรงกลมสม่ำเสมอ
**ตรงที่บอกว่าแรงเสียดทานมีค่ามาก น่าจะเปลี่ยนเป็น สัมประสิทธิ์ความเสียดทานมากกว่า
คิดโมเมนตัมของระบบก่อนนะครับ เราบอกว่า
F=Ma_2+m(a_2-a_1)
(1)
จากนั้นแรงที่กระทำกับมวล m สามารถเขียนได้เป็น
m(a_2-a_1)=f
(2)
และคิดทอร์กรอบC.M.ของ mจะได้ว่า
fR=\displaystyle{\frac{2}{5}}mRa_1
(3)
จาก(2)และ(3)จะได้ว่า
a_1=\displaystyle{\frac{5}{7}}a_2
(4)
เอาไปแทนค่าในสมการ(1) จะได้
F=(M+\displaystyle{\frac{2}{7}}m)a_2
a_2=\displaystyle{\frac{F}{M+\displaystyle{\frac{2}{7}}m}}
เอา a_2 กลับไปแทนค่าใน (4)จะได้
a_2-a_1=\displaystyle{\frac{2}{7}}\displaystyle{\frac{F}{M+\displaystyle{\frac{2}{7}}m}}

\mathfrak{By  G}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 18, 2006, 10:54:47 PM
ข้อ28
One end of the steel rectangular girder is embedded into the wall.Due to the gravity it sags slightly.
Find the radius of curvature of neutral layer (See the dotted line in the figure) in the vicinity of point O if the length of protruding section of the girder is equal to l and the thickness of girder equals h.

เวอร์ชั่นภาษาไทย
มีไม้ซึ่งไม่แข็งเกร็งมีมวลกระจายสม่ำเสมอ อันนึง ยาว l หนา h จากนั้นไม้ก็จะงอๆลงมา จงหารัศมีความโค้งของไม้ที่งอนี้ที่จุด O
มีรูปนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on May 20, 2006, 07:03:39 PM
ข้อ28

ไม่ให้ข้อมูลเพิ่มหน่อยเหรอ  :-\


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 20, 2006, 08:10:16 PM
คือ ในเฉลยมันมีค่า Young Modulus มาด้วยอะคับ
ผมแต่ในโจทย์มันไม่บอก
เอาเป็นว่า ค่า Elastic Modulus มีค่าเท่ากับ E แล้วกันครับ
แล้วก็ความหนาแน่นมีค่าเป็น \rho

ผมเดาว่าเหตุผลที่เฉลยเค้ามี Elastic Modulus กับความหนาแน่น คงเพราะว่า โจทย์มีคำว่า steel อยู่แล้วมั้งครับ
เอาเป็นว่า ยกผลประโยชน์ให้คนอยากทำแล้วกัน ยืดเวลาทำให้อีก 1 วันครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 21, 2006, 11:11:38 PM
...ยังไม่มีใครมาทำ ผมจะเฉลยเลยแล้วกันนะครับ
จริงๆข้อนี้มาจาก irodov ข้อ 1.300
เราบอกว่า แบ่งแท่งนี้ออกเป็น 2 ส่วนโดนส่วนบนจะยืดออก ส่วนล่างจะหดลง ซึ่งทำให้เราได้ว่า คานส่วนบนจะมีแรงปฏิกิริยาดึงเข้าและส่วนล่างจะมีแรงปฏิกริยาดึงออก นิยามก่อนว่า R\theta =l
เราบอกว่ากลางของแท่ง และ x คือความลึก(ตามที่มองจากในรูปนะ) และเราหาค่า N ได้จากนิยามของ Elastic Modulus ซึ่งคิดที่ ช่วงความหนา zถึง z+dzซึ่งจะได้ว่า
E=\displaystyle{\frac{dNxdz}{(R+z)\theta -l}} โดยที่ z คือความสูงที่วัดจากตรงกลาง
และ dN คือแรงปฎิกิริยาน้อยๆที่ทำในช่วง zถึง z+dz
จัดรูปสมการนี้จะได้ว่า
dN=\displaystyle{\frac{E\theta zxdz}{l}}

เงื่อนไขอีกอย่างหนึ่งคือทอร์กทั้งหมดของระบบรวมกันแล้วเท่ากับ 
\tau_1 - \tau_2=mg\sin\theta /2โดยที่ \tau_1เป็นผลรวมของทอร์กที่ดึงขึ้น และ \tau_2เป็นผลรวมของทอร์กที่ดึงลงโดยที่ ทอร์กเล็กๆมีค่าเท่ากับ
d\tau_1= (R+z)dNและ
d\tau_2=(R+z)dN
เราจะได้ว่า
\int (R+z)dN-\int (R-z)dN=\displaystyle{\frac{\rho lghRx\theta}{2}} **ประมาณว่า sin\displaystyle{\frac{\theta}{2}}\approx \displaystyle{\frac{\theta}{2}}
\int \displaystyle{\frac{2Ez^2dz}{l}}=\displaystyle{\frac{\rho lghR}{2}}
อินทิเกรตตั้งแต่ z=0ถึง \displaystyle{\frac{h}{2}}จะได้ว่า
R=\displaystyle{\frac{Eh^2}{6\rho gl^2}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 21, 2006, 11:18:26 PM
ต่อนะครับ ข้อนี้มาจากอาจารย์สุจินต์ ครับ โจทย์มีอยู่ว่า
3. A small body is placed on the top of a smooth sphere of radiusR . Then the sphere is imparted a constant acceleration a in the horizontal direction and the body begins sliding down. Find:
---a) the velocity of the body relative to the sphere at the moment of break-off;
---b) the angle \theta_0 between the vertical and the radius vector drawn from the center of the sphere to the break-off point;

วัตถุขนาดเล็กถูกวางอยู่บนสุดของทรางกลมผิวลื่นรัศมี R จากนั้นมีแรงผลักทรงกลมให้เคลื่อนที่ (ไม่กลิ้ง) ไปตามแนวระดับด้วยความเร่ง a และวัตถุก็เริ่มไถลลงไปตามผิวของทรงกลม จงหา
---a) ความเร็วของวัตถุเทียบกับทรงกลมในขณะที่วัตถุหลุดออกจากผิวทรงกลมพอดี
---b) มุม \theta_0 ระหว่างแนวดิ่งกับเส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางทรงกลมถึงจุดที่วัตถุหลุดพอดี


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 26, 2006, 08:43:54 PM
เฉลยครับ เอามาจาก http://www.posn.or.th/index.php?mod=Forums&op=show_question&cid=&tid=611&sid=
เราบอกว่าถ้าทรงกลมไม่เคลื่อนที่จะได้
v^2gR(1-\cos\theta)
ถ้าหากเรามองว่ามีแรงเทียมซึ่งมีค่าเท่ากับ ma มากระทำกับกระบบ โดยคิดเหมือนว่าเป็นแรงภายนอกจะได้ว่า
v^2gR(1-\cos\theta)+2aR\sin\theta----- (1)
จากนั้นที่จุดซึ่ง N=0 คิดแรงที่กระทำในแนวรัศมีจะได้ว่า
\displaystyle{\frac{mv^2}{R}}=mg\cos\theta-ma\sin\theta----- (2)
เราเอา(1)ไปแทนค่าใน(2)จะได้ว่า
v^2=2gR-2v^2
v=\sqrt{\displaystyle{\frac{2}{3}}gR}
จากนั้นเราแทนค่า v ลงไปในสมการ(2)จะได้ว่า
0=(a^2+g^2)\cos^2\theta-\displaystyle{\frac{4}{3}}g^2\cos\theta+\displaystyle{\frac{4}{9}}g^2+a^2
แก้สมการ quadratic จะได้ว่า
\cos\theta=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\frac{4}{3}}g^2+\sqrt{\displaystyle{\frac{16}{9}}-4((a^2+g^2))(\displaystyle{\frac{4}{9}}g^2+a^2)}}{2(a^2+g^2)}}
ทำmathแบบลัดขั้นตอนเร็วๆมากๆจะได้ว่า
\cos\theta=\displaystyle{\frac{2g^2+\sqrt{9a^4+5a^2g^2}}{3(a^2+g^2)}}
หรือ
 \displaystyle \cos \theta_0 = \frac{2+\eta \sqrt{5+9\eta^2}}{3(1+\eta^2)}
เมื่อ  \displaystyle \eta = a/g





Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on May 30, 2006, 01:05:26 PM
โจทย์ข้อใหม่ละ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on May 31, 2006, 02:15:55 AM
อย่าปล่อยให้กระทู้นี้ล่มสลายเลย เพราะเป็นกระทู้ที่มีประโยชน์และน่าสนใจ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 31, 2006, 06:28:55 PM
ใจเย็นครับพี่
เอาง่าย มั่งแล้วกัน
ข้อนี้มาจาก Cambridge Physics Problems ข้อ SM10
ต้นฉบับผมลืมเอาไว้ที่โรงเรียนอะครับ เดี๋ยวจะเอามาลงให้นะครับ

แปลไทย
มีมวล สามก้อนมีมวล M 2ก้อน และ m 1 ก้อนมวลทั้งสามก้อนถูกยึดกันไว้ด้วยสปริงค่าคงที่ k 2 อัน ดังรูป
จงหาความถี่ของการสั่นเมื่อ
a.มวล M ทั้งสองก้อนเคลื่อนที่ไปคนละทิศกัน ทำให้มวล m ไม่เคลื่อนที่
b.มวล M ทั้งสองก้อนเคลื่อนที่ไปทางเดียวกัน

ป.ล. รูปสปริงเส็งเคร็งไปหน่อย(หรือจิงๆแล้ว...มากๆเลยแหละ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: The Sentinel on June 04, 2006, 03:30:31 PM
ไม่มีโจทย์ใหม่หรอครับ  คืออยากบอกว่าที่มา post ไม่กี่คนนะเพราะว่าคนอื่นเค้าไม่รู้จะหาแหล่งโจทย์ดีๆเหล่านี้มาจากไหน   ความจริงมีคนที่ทำโจทย์ในกระทู้นี้มากเลยหละ รอข้อใหม่อยู่นะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 04, 2006, 03:57:43 PM
ไม่มีโจทย์ใหม่หรอครับ  คืออยากบอกว่าที่มา post ไม่กี่คนนะเพราะว่าคนอื่นเค้าไม่รู้จะหาแหล่งโจทย์ดีๆเหล่านี้มาจากไหน  ความจริงมีคนที่ทำโจทย์ในกระทู้นี้มากเลยหละ รอข้อใหม่อยู่นะครับ

ข้อใน reply #134 ทำหรือยังล่ะ  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on June 04, 2006, 05:17:23 PM
ไม่มีโจทย์ใหม่หรอครับ คืออยากบอกว่าที่มา post ไม่กี่คนนะเพราะว่าคนอื่นเค้าไม่รู้จะหาแหล่งโจทย์ดีๆเหล่านี้มาจากไหน ความจริงมีคนที่ทำโจทย์ในกระทู้นี้มากเลยหละ รอข้อใหม่อยู่นะครับ
ขอบคุณมากๆนะครับ สำหรับคำพูดที่เป็นกำลังใจ ให้เจ้าของกระทู้+คนทำ+คนลงโจทย์
แต่ว่าอยากให้หลายๆคนมาช่วยทำครับ สองสามข้อที่ผ่านมา ผมทำเอง ลงเฉลยเองเลย มันก็ห่อเหี่ยวอะครับ
ช่วยๆลองทำกันหน่อยก็ได้ครับ ถ้าใครใช้ Latex ไม่เป็นก็เปิดดูในนี้http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,32.0.html
หรือไม่ก็สแกน แล้วเอารูปมาลงก็ได้ครับ

ถ้าหากว่าอีก 2 วัน ยังไม่มีใครมาทำผมจะลงเฉลยนะครับ

ป.ล. พี่ Mwitish อ่า บอกว่าจะมาลงแล้วก็ไม่ยอมมาลง ให้ผมลงอยู่คนเดวเลย :'(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: The Sentinel on June 04, 2006, 06:04:33 PM
ข้อสปริงครับ ไม่รู้ถูกเปล่่า เช็คให้หน่อยครับ  อืมแล้ว scanner ผมมันไม่ยอมปรับความละเอียดด้วยดิ่ ไฟล์มันเลยเกือบ 2 เม็ก

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/firstpart.jpg)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: The Sentinel on June 04, 2006, 06:06:18 PM
ครึ่งหลัง

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/lastpart.jpg)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: The Sentinel on June 04, 2006, 06:09:10 PM
แก้นิดหน่อยครับ ตอนท้อยต้องเป็น บวก 2k/m ไม่ใช่ -2k/m


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 04, 2006, 06:17:12 PM
...อืมแล้ว scanner ผมมันไม่ยอมปรับความละเอียดด้วยดิ่ ไฟล์มันเลยเกือบ 2 เม็ก


แก้ให้แล้ว  แต่อย่าไปโทษเครื่องสแกนเลย ใช้โปรแกรมอื่นลดขนาดได้   ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on June 04, 2006, 09:11:50 PM
The Sentinel
ช่วยลงข้อใหม่ด้วยคร้าบ
ขอบคุณมากครับ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: The Sentinel on June 04, 2006, 09:30:47 PM
ครับผม  จะพยายามหาโจทย์มาแต่ผมไม่ค่อยมี ถ้ามีเดี๋ยวเอามาลง ถ้าใครมีก็ลงก่อนเลยนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on June 04, 2006, 09:37:50 PM
ครับผม  จะพยายามหาโจทย์มาแต่ผมไม่ค่อยมี ถ้ามีเดี๋ยวเอามาลง ถ้าใครมีก็ลงก่อนเลยนะครับ

เชิญคุณThe Sentinel ดีกว่าตามกติกาคนที่มาทำโจทย์ข้อก่อนหน้า จะต้องเอาข้อใหม่มาลง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: The Sentinel on June 04, 2006, 10:25:50 PM
ข้อที่ 30 ครับ เกี่ยวกับแรงต้าน ส่วนที่มานั้นคือมีเพื่อนเอามาให้นานมาแล้วครับ เลยไม่รู้จากหนังสือเล่มไหน

* ให้ t = Ax^2 + Bx + C (อนุภาคเคลื่อนที่โดยมีแรงต้าน)  จงพิสูจน์ว่า F \propto -v^3
โดยที่ F คือแรงกระทำ และ v คือความเร็วของอนุภาค
 
*แก็ไขจากภาพที่สแกน ลองหัดใช้ LaTeX ดูสิ มีประโยชน์นะ ไม่ได้ยากอะไรเลย - Head Admin

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/resistive_force.jpg)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on June 05, 2006, 01:17:38 AM
ข้อ 30 อนุภาคเคลื่อนที่ในแรงต้านโดย t=Ax^2+Bx+c A,B,C = constant
จงแสดงว่า F\varpropto -v^3

Sol.
โจทย์กำหนด t=Ax^2+Bx+c
\frac{dt}{dx}=\frac{d(Ax^2+Bx+c)}{dx}
\frac{dt}{dx}=2Ax+B

จากคุณสมบัติของอนุพันธ์ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
ในที่นี้จะได้ \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2Ax+B}
ระลึก v=\frac{dx}{dt}
\therefore v=\frac{1}{2Ax+B}........................................สมการที่1

พิจารณา a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}........................................สมการที่2

จากสมการที่1 หา \frac{dv}{dx}
\frac{dv}{dx}=\frac{d(\frac{1}{2Ax+B})}{dx}=-\frac{2A}{(2Ax+B)^2}........................................สมการที่3

แทนสมการที่ 1และ3 ลงในสมการที่2
ได้ a=\frac{-2A}{(2Ax+B)^2}\frac{1}{2Ax+B}
a=\frac{-2A}{(2Ax+B)^3}
จากสมการที่ 1 \therefore v=\frac{1}{2Ax+B}
\therefore a=-2Av^3........................................สมการที่4

พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุภายใต้แรงต้านซึ่งสมมติให้มีขนาดเป็น F
จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน
\Sigma \vec F=m\vec a
ในที่นี้
F=ma
จากสมการที่4 จะได้
F=m(-2Av^3)
F=-(2mA)v^3
เมื่อ 2mAเป็นค่าคงที่
เราสรุปได้ว่า
F\varpropto -v^3สมใจ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on June 05, 2006, 01:36:01 AM
ข้อที่ 31(IPhO11th 1973 Moscow USSR)

English Version
A space rocket with mass M=12ton is moving around the Moon along the circular orbit at the height of h =100 km. The engine is activated for a short time to pass at the lunar landing orbit. The velocity of the ejected gases u = 10^4 m/s. The Moon radius R_M = 1,700 km, the acceleration of gravity near the Moon surface g_M = 1.7 m/s^2
1). What amount of fuel should be spent so that when activating the braking engine at point A of the trajectory, the rocket would land on the Moon at point B (Fig.1)?
2). In the second scenario of landing, at point A the rocket is given an impulse directed towards the center of the Moon, to put the rocket to the orbit meeting the Moon surface at point C (Fig.2). What amount of fuel is needed in this case?

เวอร์ชัน ภาษาไทย
ยานอวกาศมวล M=12ตัน กำลังโคจรรอบดวงจันทร์เป็นวงกลม ที่ระดับความสูง h =100 km.จากผิวดวงจันทร์ ในช่วงเวลานิดเดียวเครื่องยนต์เจ๊ตได้ทำงานเพื่อนำยานลงจอดโดยขับแก๊สออกมาจากท่อ โดยแก๊สที่ถูกขับออกมามีความเร็ว u = 10^4 m/s. ให้รัศมีของดวงจันทร์เป็น R_M = 1,700 km, และความเร่งของการตกอย่างเสรีที่ผิวดวงจันทร์มีค่า g_M = 1.7 m/s^2
1). ต้องใช้เชื้อเพลิงเท่าไร หากยานอวกาศเริ่มต้นลงที่จุด A และจะลงจอด ณ ผิวดวงจันทร์มี่จุด B ดู (Fig.1)
2). แล้วถ้าต้องการให้ยายอวกาศลงจอดที่จุด C  ดู(Fig.2). จะต้องใช้เชื้อเพลิงเท่าไร

ในกรณีแรกยิงเชื้อเพลิงในทิศเดียวกับที่จรวดเคลื่อนที่
ในกรณีสองยิงเชื้อเพลิงในแนวตั้งฉากกับที่จรวดเคลื่อนที่





Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on June 07, 2006, 12:30:00 PM
ผมว่าเปิดเทอมแล้วตอนนี้ทุกคนคงยุ่งกันพอควรเวลามาทำโจทย์จะน้อยลง ผมว่าเพิ่มเวลาเป็นข้อละ5-7วันดีกว่า ในช่วงเปิดเทอมทุกคนจะได้มีโอกาสทำ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: milky on June 10, 2006, 03:09:46 PM
rep 146
ตรงสมการที3 มันแปลกๆยังไงไม่รู้คับ
มันน่าจะเป็น      \frac{dv}{dx}=\frac{d(\frac{1}{2Ax+B})}{dx}=\frac{-2A}{(2Ax+B)^2}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on June 10, 2006, 04:11:40 PM
rep 146
ตรงสมการที3 มันแปลกๆยังไงไม่รู้คับ
มันน่าจะเป็น      \frac{dv}{dx}=\frac{d(\frac{1}{2Ax+B})}{dx}=\frac{-2A}{(2Ax+B)^2}
แก้ไขแล้ว! :D ขอบคุณมาก >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on June 11, 2006, 08:39:47 PM
ถ้าไง พี่เอิงช่วยใบ้ข้อ 31 ด้วยจะเป็นพระคุณมากครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on June 12, 2006, 12:16:52 AM
ข้อ 31
กรณีที่ 1 การลงจอดที่จุด B
จากกฎแรงโน้มถ่วง เมื่อพิจารณาที่ผิวดวงจันทร์ จะได้ว่า
1. g_M=\dfrac{G\mu}{R^2_H} หรือ G\mu=g_M R^2_H เมื่อกำหนดให้ \mu แทนมวลของดวงจันทร์

หาความเร็วเริ่มต้นของจรวดจาการเคลื่อนที่แบบวงกลม ตามสมการ
\dfrac{G\mu M}{(R_H+h)^2}=\dfrac{Mv^2_0}{(R_H+h)} ได้ว่า
2. v_0=R_H \sqrt{\dfrac{g_M}{(R_H+h)}}

พิจารณา Momentum ในช่วงการยิงเชื้อเพลิง
สมมติก้อนเชื้อเพลิงที่หลุดออกไปแทนด้วย \delta M
Mv_0=(M-\delta M)v_A+\delta M u
3. -M(v_A-v_0)=\delta M(u-v_A)

พิจารณา Angular Momentum and Energy ของจรวด หลังการยิงเชื้อเพลิงจนลงเฉียดผิวดาว
4. v_A(R_H+h)=v_B R
5. \dfrac{1}{2}Mv^2_A-\dfrac{G\mu M}{(R_H+h)}=\dfrac{1}{2}Mv^2_B-\dfrac{G\mu M}{R_H}

จากสมการ 1,4,5 จะได้ว่า
6. v_A=\sqrt{\dfrac{2g_M R^3_m}{(R_H+h)(2R_H+h)}}

แทนค่าจากสมการ 2,6 ลงใน 3 เมื่อแทนค่าต่างๆ ลงไป ก็จะสามารถหาค่า \delta M ออกมาได้
ซึ่งจะไม่แสดงในที่นี้(แสดงไม่ไหว ;D)

กรณี 2 การลงจอดที่จุด C
ใช้หลักการในทำนองเดียวกัน โดยลองสมมติว่าหลังยิงเชื้อเพลิงจรวดเบนไปจากเดิมเข้าหาดวงจันทร์เป็นมุม \theta
ซึ่งองค์ประกอบนี้จะมีผลต่อการคิด Angular Momentum
น่าจะได้ว่า \delta M=\dfrac{Mh}{u}\sqrt{\dfrac{g_H}{(R_H+h)}   ตอบ

ขอมาทำต่อให้ละเอียดขึ้นทีหลังนะครับ ตอนนี้ง่วงจนเห็นคอมพิวเตอร์เป็นจระเข้ไปแล้ว >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on July 01, 2006, 07:22:51 PM
ขออภัยด้วยครับที่ไม่ได้เอาโจทย์ใหม่มาลง เนื่องจากไม่ว่างเลย(งานล้นมือเหอๆ :'() กระทู้จึงเงียบไป >:A

ข้อ 32
ถ้าหากโลกถูกสั่งให้หยุดหมุนรอบดวงอาทิตย์ทันที มันจะถูกแรงโน้มถ่วงดูดเข้าไปจนถึงดวงอาทิตย์ในเวลากี่ปี
(ให้พิจารณาว่าวงจรของโลกรอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลม ระยะห่างระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่ารัศมีของดวงอาทิตย์มากๆ และโลกมีมวลน้อยกว่าดวงอาทิตย์มากๆ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on July 01, 2006, 07:49:13 PM
ที่ให้รัศมีของดวงอาทิตย์น้อยมากๆ อาจจะไม่เจอในสมการ แต่ต้องการให้ทราบว่า ระยะจากโลกถึงดวงอาทิตย์ไม่ต้องคำนึงถึงรัศมีของดาวทั้งสองดวง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on July 08, 2006, 07:25:11 PM
ข้อ 32
จากกฏของนิวตันจะได้ความเร่ง a = \dfrac{Gm}{r^2}
\dfrac{dv}{dr} \cdot \dfrac{dr}{dt} = \dfrac{Gm}{r^2}
ให้ที่ v=0 \to r=r_0 และ v=v \to r=r
\displaystyle{\int_v^0 -v dv=\int_{r_0}^r \dfrac{Gm}{r^2} dr จะได้
v = \sqrt{2Gm \left( \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r_0} \right)} ซึ่ง v = - \dfrac{dr}{dt} จะได้
\displaystyle{\int_t^0 -dt = \int_0^{r_0} \sqrt{\dfrac{r_0 r}{2Gm(r_0 - r)}} dr
t = \sqrt{\dfrac{r_0}{2Gm}} \displaystyle{\int^{r_0}_0 \sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}}} dr
พิจารณา \displaystyle{\int_0^{r_0}\sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}} dr ให้ r = r_0 \sin^2 \theta จะได้
\begin{array}{rcl}\displaystyle{\int_0^{r_0}\sqrt{\dfrac{r}{r_0-r}} dr & = & \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{r_0 \sin^2 \theta}{r_0-r_0 \sin^2 \theta}} 2 \sin \theta \cos \theta d \theta \\ & = & 2r_0 \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 \theta d \theta \\ & = & 2r_0 \left( \dfrac{\pi}{4} \right) \\ & = & \dfrac{r_0 \pi}{2}\end{array}
แทนค่ากลับไป จะได้ t = \dfrac{\pi {r_0}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{2Gm}}
แต่จากการพิจารณาการเคลื่อนที่ของโลกรอบดวงอาทิตย์จะได้
\begin{array}{rcl} \dfrac{Gm}{{r_0}^2} & = & \dfrac{{v^2}_{tan}}{r_0} \\ v_{tan} & = & \sqrt{\dfrac{Gm}{r_0}} \\ \dfrac{2 \pi r_0}{T} & = & \sqrt{\dfrac{Gm}{r_0}} \\ T & = & \dfrac{2 \pi {r_0}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{Gm}} \\ \dfrac{T}{4 \sqrt{2}} & = & \dfrac{\pi {r_0}^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{2Gm}} \end{array}
เพราะฉะนั้นจะได้ t = \dfrac{T}{4\sqrt{2}} ซึ่ง T คือ เวลาในการเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์ เท่ากับ 1 ปี
เพราะงั้นเวลาที่โลกจะถูกดูดเข้าไปจึงเป็น t = \dfrac{1}{4\sqrt{2}} ปี Ans
ข้อนี้นั่งอินทิเกรตอยู่หลายวัน  :oops:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on July 08, 2006, 07:53:34 PM
ข้อ 33
ดาวเคราะห์ก๊าซซึ่งหมุนรอบตัวเองด้วยคาบ T จะมีความหนาแน่นเท่าใด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on July 09, 2006, 11:14:54 AM
เราบอกว่าแรงลัพธ์ที่กระทำ ต่อจุดใดๆในดาวเคราะห์ก๊าซนี้มีค่าเท่ากับ 0
สมมติว่า ที่รัศมี rใดๆ และทำมุม \thetaดังรูป
เราบอกว่าแรงลัพธ์ที่กระทำ ต่อจุดใดๆในดาวเคราะห์ก๊าซในแนวตั้งฉากกับแกนหมุนค่าเท่ากับ 0 จะได้ว่า
dm\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}x=\displaystyle{\frac{GMdm}{r^2}}cos\theta -dm(\displaystyle{\frac{2\pi}{T}})^2x
โดยที่ xเป็นระยะตั้งฉากกับแกนหมุน ซึ่งมีค่าเท่ากับ rcos\theta
และ Mเป็นมวลในช่วง r=0ถึง r=r เนื่องจาก มวลที่อยู่นอกรัศมี r
ไม่ส่งแรงมากระทำกับมวลที่รัศมี rโดยที่ค่าเท่ากับ \displaystyle{\frac{4}{3}}\pi r^3 \rho
ถ้า ดาวเคราะห์ก๊าซ ไม่มีการขยายตัวจะได้ว่า dm\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2}}x=0จะได้ว่า
\displaystyle{\frac{4\pi Gr^3\rho}{3r^2}}=\displaystyle{\frac{4\pi^2r}{T^2}}
\rho=\displaystyle{\frac{3\pi}{GT^2}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on July 09, 2006, 11:31:29 AM
ข้อ 34
แท่งไม้มีมวลต่อความยาว \rhoวางไว้บนวงกลมรัศมี Rโดยวางไม้ทำมุม \thetaและปลายข้างหนึ่งสัมผัสกับทรงกลมดังรูปโดยมีแรงเสียดทานที่ทุกผิวสัมผัส
1)ถ้าหากมีแรงเสียดทานมากพอที่จะทำให้ระบบอยู่นิ่ง จงหาแรงเสียดทานระหว่างพื้นละ วงกลม
2)ถ้าหากระบบอยู่นิ่งจงแสดงว่า
-สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่าง แท่งและวงกลมมีเป็น
\mu \geq\displaystyle{\frac{sin\theta}{1+cos\theta}}
-สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่าง แท่งและพื้นมีค่าเป็น
\mu \geq\displaystyle{\frac{sin\theta cos\theta}{(1+cos\theta)(2-cos\theta)}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on July 25, 2006, 06:41:47 PM
ข้อ 34
จากรูป ถ้าวัตถุสมดุลจะได้ว่าแรงเสียดทานที่พื้นทำกับทรงกลมจะเท่ากับแรงเสียดทานที่แท่งไม้ทำกับทรงกลม เนื่องจากทอร์กรอบจุด cm ของทรงกลมเท่ากับ 0
สมมติให้แท่งไม้ยาว  l และมวล  m จากการตั้งสมการทอร์กรอบจุดที่ไม้สัมผัสพื้นจะได้
\begin{array}{rcl} \sum \vec \tau & = & 0 \\ mg \dfrac{l}{2} \cos \theta - N_2 l & = & 0 \\ N_2 & = & \dfrac{1}{2} mg \cos \theta \end{array}
และจากการตั้งสมการแรงที่กระทำกับทรงกลมในแนวระดับ จะได้
\begin{array}{rcl} \sum \vec F_x & = & 0 \\ N_2 \sin \theta - f_2 - f_2 \cos \theta & = & 0 \\ f_2 & = & \dfrac{N_2 \sin \theta}{1+ \cos \theta} \\ & = & \dfrac{mg \sin \theta \cos \theta}{2(1+ \cos \theta)} \end{array}
ซึ่งมวลของแท่งไม้มีค่าเท่ากับ
\begin{array}{rcl}m & = & \rho l \\ & = & \rho R \cot \dfrac{\theta}{2} \\ & = & \dfrac{\rho R (1+\cos \theta)}{\sin \theta} \end{array}
แทนค่าเข้าไปจะได้
\boxed{f_2 = \dfrac{1}{2} \rho R g \cos \theta}
เพราะฉะนั้น จะได้สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างไม้และทรงกลม คือ
\begin{array}{rcl}f_2 & \le & \mu_2 N_2 \\ \dfrac{N_2 \sin \theta}{1+ \cos \theta} & \le & \mu_2 N_2 \\ \mu_2 & \geq & \dfrac{\sin \theta}{1+ \cos \theta} \end{array}
ตั้งสมการแรงที่กระทำกับแท่งไม้ในแนวดิ่งจะได้
\begin{array}{rcl}\sum \vec F_y & = & 0 \\ N_1 + N_2 \cos \theta + f_2 \sin \theta - mg &  = & 0 \\ N_1 & = & mg \left( 1-\dfrac{1}{2} \cos^2 \theta - \dfrac{\sin^2 \theta \cos \theta}{2(1+\cos \theta)} \right) \\ & = & mg \left( \dfrac{2+2 \cos \theta - \cos^2 \theta - \cos^3 \theta - \sin^2 \theta \cos \theta}{2(1+\cos \theta)} \right) \\ & = & mg \left( \dfrac{2+ \cos \theta - \cos^2 \theta}{2(1+\cos \theta)} \right) \\ & = & \dfrac{1}{2} mg (2- \cos \theta) \end{array}
และจากการตั้งสมการแรงในแนวระดับของแผ่นไม้เทียบกับของทรงกลม จะได้ว่า
 \boxed{f_1 = f_2 = \dfrac{mg \sin \theta \cos \theta}{2(1+ \cos \theta)}}
เพราะฉะนั้น จะได้ค่าสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างแท่งไม้กับพื้น คือ
\begin{array}{rcl}f_1 & \le & \mu_1 N_1 \\ \dfrac{mg \sin \theta \cos \theta}{2(1+\cos \theta)} & \le & \mu_1 mg(2-\cos \theta) \\ \mu_1 & \geq & \dfrac{\sin \theta \cos \theta}{(1+\cos \theta)(2- \cos \theta)} \end{array}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on July 25, 2006, 07:17:33 PM
ข้อ 35 ช่วยมดสาว
มีหนังยางยืดได้ไม่จำกัด ผูกติดกับท้ายรถ แล้วอีกด้านผูกติดกับต้นเสา เมื่อแรกเริ่มท้ายรถและต้นเสาห่างกัน l_0 มีมดสาวสวยตัวหนึ่งเกาะอยู่ที่ท้ายรถ จะหล่นไม่หล่นแหล่ และที่ปลายยางด้านต้นเสามีมดหนุ่มหล่อเหล่าอีกตัวหนึ่งเกาะอยู่ แล้วต้องการวิ่งไปช่วยมดสาว รถเคลื่อนไปด้วยอัตราเร็ว u ในแนวเส้นตรง มดวิ่งบนยางได้ด้วยอัตราเร็ว v_0 สัมพัทธ์กับยาง ถามว่า มดหนุ่มจะวิ่งถีงท้ายรถหรือไม่ ? ถ้าถีง มดสาวจะต้องคอยด้วยเวลานานเท่าไหร่ ?


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on July 26, 2006, 09:22:10 AM
ข้อ 35(รูปมดน่ารักจัง ;D)
จากโจทย์อาศัยแนวคิดในทำนองเดียวกับสามเหลี่ยมคล้าย จะได้สมการบรรยายการเคลื่อนที่ดังนี้
1. \dfrac{x}{l_0+ut}=\dfrac{v}{u}
2. \dfrac{d}{dt}x=v+v_0

เมื่อ x ,v คือตำแหน่งของมดหนุ่มเทียบกับกำแพงและความเร็วของพื้นยาง ณ ตำแหน่งที่มดหนุ่มยืนอยู่ตามลำดับ
แก้สมการดังนี้
\dfrac{d}{dt}x=\dfrac{xu}{l_0+ut}+v_0
\dfrac{1}{l_0+ut}\dfrac{d}{dt}x-\dfrac{xu}{(l_0+ut)^2}=\dfrac{v_0}{l_0+ut}
\displaystyle{\int \dfrac{d}{dt}(\dfrac{x}{l_0+ut})dt=\int (\dfrac{v_0}{l_0+ut}) dt+Const.}

ใช้ initial condition ว่า x=0 เมื่อ t=0 จะได้ว่า Const.=0
\dfrac{x}{l_0+ut}=\dfrac{v_0}{u}\ln(1+\dfrac{ut}{l_0})

เมื่อมดหนุ่มไปถึงรถ x=l_0+ut จะได้ว่า
t_{reach}=\dfrac{l_0}{u}(e^{\frac{u}{v_0}}-1)   ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on July 28, 2006, 10:21:19 PM
ข้อ 36
ก้อนลูกบาศก์ยาวด้านละ a จงหาว่าแมลงสาบตัวหนึ่งตัวเล็กมากๆ จะเดินทางจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกัน โดยใช้ระยะทางน้อยที่สุดเป็นเท่าใด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on August 05, 2006, 01:40:23 AM
ข้อ 36 เนื่องจากไม่มีใครมาทำ :'( ขอเฉลยเลยนะครับ
จินตนาการว่าเรามองผิวด้านต่างๆ ของลูกบาศก์อยู่บนระนาบเดียวกันโดยกางลูกบาศก็ออกดังรูป ระยะทางที่ใกล้ที่สุดระหว่างจุดสองจุด จะอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่ลากเชื่อมจุดสองจุดนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทปีทากอรัส จะได้ว่าระยะทางนี้เท่ากับ \sqrt 5 a โดยสังเกตว่าไม่ว่าจะพับลูกบาศก์กลับไปเป็นเหมือนเดิมก็ไม่มีเส้นทางไหนสั้นกว่าเส้นทางนี้แล้ว เพราะเจ้าแมลงสาบเดินทะลุก้อนลูกบาศก์ไม่ได้(ยกเว้นเป็นแมลงสาบนินจาคอคโรโชริ ;D)   ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: smallgolf on August 05, 2006, 09:04:44 AM
ข้อ 31
กรณีที่ 1 การลงจอดที่จุด B

จากสมการ 1,4,5 จะได้ว่า
6. v_A=\sqrt{\dfrac{g_M R^3_m}{(R_H+h)(2R_H+h)}}

แทนค่าจากสมการ 2,6 ลงใน 3 เมื่อแทนค่าต่างๆ ลงไป ก็จะสามารถหาค่า \delta M ออกมาได้
ซึ่งจะไม่แสดงในที่นี้(แสดงไม่ไหว ;D)

v_A=\sqrt{\dfrac{2g_M R^3_m}{(R_H+h)(2R_H+h)}}



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: MwitStu. on August 05, 2006, 07:56:55 PM
ข้อ 31
กรณีที่ 1 การลงจอดที่จุด B

จากสมการ 1,4,5 จะได้ว่า
6. v_A=\sqrt{\dfrac{g_M R^3_m}{(R_H+h)(2R_H+h)}}

แทนค่าจากสมการ 2,6 ลงใน 3 เมื่อแทนค่าต่างๆ ลงไป ก็จะสามารถหาค่า \delta M ออกมาได้
ซึ่งจะไม่แสดงในที่นี้(แสดงไม่ไหว ;D)

v_A=\sqrt{\dfrac{2g_M R^3_m}{(R_H+h)(2R_H+h)}}


ขออภัยครับ แก้ให้แล้วครับ >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on October 04, 2006, 11:04:47 PM
ผมขออนุญาต โพสข้อใหม่นะครับ มัน..นานเกินไปแล้ว

ข้อ 37 อนุภาค A มีมวลนิ่ง(rest mass)m_0วิ่งเข้าชนอนุภาค B ชนิดเดียวกันด้วยความเร็ว uโดยการคิดผลของ สัมพัทธภาพ จงแสดงว่า \theta \rightarrow 0เมื่อu\rightarrow cและ\theta \rightarrow \dfrac{\pi}{2}เมื่อu<< c
โดยที่cคืออัตราเร็วแสง

แนะนำ คิดในกรอบของ จุดศูนย์กลางมวล


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 21, 2006, 10:58:50 PM
เราใช้ 4-VECTOR จะได้ว่า
(E_1,p_1)+(E_2,0)=({E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime},{p_1}^{\prime}+{p_2}^{\prime})
ในกรณีที่เป็นการชนแบบยืดหยุ่น จะได้ว่า
E_1={E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime
จากนั้นเราคิดขนาดของ 4-VECTOR จะได้ว่า
E_1^2-{P_1}^2=({E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime})^2+p_1^2+p_2^2+2p_1p_2cos\theta
p_1^2=p_1^{\prime}^2+p_2^{\prime}^2+2p_1^{\prime}p_2^{\prime}cos\theta --------------(0)

ทีนี้ในกรณีที่ วัตถุวิ่งด้วยความเร็วสูงมากๆจะได้ว่า
E=pc
เมื่อพลังงานคงที่จะได้ว่า
p_1=p_1^\prime +p_2^\prime
จะได้ว่าcos\theta \rightarrow 1
\theta \rightarrow 0^\circ

สำหรับกรณีที่วัตถุมีความเร็วน้อยๆจะได้ว่า
E=\dfrac{p^2}{2m}
เมื่อพลังงานคงที่จะได้ว่า
p_1^2=p_1^{\prime}^2+p_2^{\prime}^2
จะได้ว่า
cos\theta \rightarrow 0
\theta \rightarrow 90^\circ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 21, 2006, 11:27:04 PM
ข้อ 38
ที่มา P108** 200 Puzzling Physics Problems
A fire hose of mass M and length L is colied into a roll of radius R( R << L ). The hose is sent rolling across level ground with initial speed v_0 ( angular velocity v_0/R ), while the free of the hose is held at a fixed point on a ground. The hose unrolls  and becomes straight
จริงๆมันมีสองคำถามอะ แต่ว่า เอาแค่ข้อเดียวก่อนแล้วกัน
How much time does it take for the hose to completely unroll?

แปล
ก็มี แผ่นอะไรซักอย่างมวล M  ม้วนๆดังรูป ตอนแรกมันมีความยาว L และเมื่อถูกม้วนก็จะกลายเป็น วงกลม รัศมี R  ปลายข้างนึง ถูกปักไว้กับพื้น
จากนั้นก็ดีดไปด้วยความเร็วต้น v_0( ความเร็วเชิงมุม [tex]v_0/R ), จงหาเวลาที่แผ่นม้วน จะคลายตัวออกจนหมด

ปล. เหมือนจะยาก


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on November 22, 2006, 09:24:05 AM
ข้อ 38
ที่มา P108** 200 Puzzling Physics Problems
A fire hose of mass M and length L is colied into a roll of radius R( R << L ). The hose is sent rolling across level ground with initial speed v_0 ( angular velocity v_0/R ), while the free of the hose is held at a fixed point on a ground. The hose unrolls  and becomes straight
จริงๆมันมีสองคำถามอะ แต่ว่า เอาแค่ข้อเดียวก่อนแล้วกัน
How much time does it take for the hose to completely unroll?

แปล
ก็มี แผ่นอะไรซักอย่างมวล M  ม้วนๆดังรูป ตอนแรกมันมีความยาว L และเมื่อถูกม้วนก็จะกลายเป็น วงกลม รัศมี R  ปลายข้างนึง ถูกปักไว้กับพื้น
จากนั้นก็ดีดไปด้วยความเร็วต้น v_0( ความเร็วเชิงมุม v_0/R ), จงหาเวลาที่แผ่นม้วน จะคลายตัวออกจนหมด

ปล. เหมือนจะยาก

หลังจากหายไปนาน วันนี้ว่างๆขอลองมาทำเล่น

Sol.พิจารณามวลส่วนที่ยังไม่คลี่ออก(ยังเคลื่อนที่)มีความสัมพันธ์กับระยะทางที่เคลื่อนที่ไปแล้วx ดังสมการที่ 1
\displaystyle m(x)=\frac{M}{L}(L-x)
\displaystyle m(x)=M(1-\frac{x}{L}) .................................. สมการที่ 1

ในที่นี้พลังงานอนุรักษ์เพราะความเร็วเทียบพื้นของจุดสัมผัสเท่ากับศูนย์
จากกฏการอนุรักษ์พลังงานบ่งว่า
\displaystyle \frac{1}{2}Mv_0^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v_0}{R})^2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2
\displaystyle \frac{3}{4}Mv_0^2=\frac{3}{4}mv^2
\displaystyle Mv_0^2=mv^2 .................................. สมการที่ 2

จากสมการที่ 1 และ 2 จะได้
\displaystyle Mv_0^2=mv^2
\displaystyle Mv_0^2=M(1-\frac{x}{L})v^2
\displaystyle v_0^2=(1-\frac{x}{L})v^2
\displaystyle v_0=(1-\frac{x}{L})^{\frac{1}{2}}v

ระลึกได้ว่า\displaystyle v=\frac{dx}{dt}
\displaystyle \therefore v_0=(1-\frac{x}{L})^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{dt}
\displaystyle \int_0^t v_0 dt=\int_0^L (1-\frac{x}{L})^{\frac{1}{2}} dx
\displaystyle \int_0^t v_0 dt=-L\int_{x=0}^{x=L} (1-\frac{x}{L})^{\frac{1}{2}} d(1-\frac{x}{L})
\displaystyle  v_0t=-L\frac{(1-\frac{L}{L})^{\frac{3}{2}}-(1-\frac{0}{L})^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}
\displaystyle  v_0t=\frac{2L}{3}
\displaystyle  \therefore t=\frac{2L}{3v_0} ........................................................................................ Ans.



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on November 22, 2006, 09:35:05 AM
ข้อ 39 จากภาพมวล M ไถลบนรางที่ลื่นด้วยความเร็ว v_0 ต่อมารบกวน ลูกตุ้มมวล m ที่ห้อยด้วยเชื่อกยาว L ให้สั่นออกจากตำแหน่งสมดุลเล็กน้อย จงหาคาบการสั่นของลูกตุ้ม ถ้า v_0=0 ผลจะเป็นเช่นไร


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 22, 2006, 08:28:06 PM
คิดแรงที่กระทำต่อมวล mที่มุม\thetaใดๆ(\thetaเป็นมุมที่ลูกต้มทำกับแนวดิ่งมีค่าไม่มากนัก) จะได้ว่า
m\dfrac{d^2}{dt^2}(x+X)=-Tsin\theta -------------(1)
T=mgcos\theta -M(\dfrac{d^2}{dt^2}X)sin\theta
เมื่อมุมน้อยๆจะได้ว่า
T=mg-M(\dfrac{d^2}{dt^2}X)sin\theta ----------------(2)
สำหรับแรงที่กระทำต่อมวล M จะหาได้ว่า
Tsin\theta =M\dfrac{d^2}{dt^2}X---------------(3)

เอา(1)มารวม(2)จะได้ว่า
m\dfrac{d^2}{dt^2}(x+X)=-(mg-M(\dfrac{d^2}{dt^2}X)sin\theta)sin\theta
และแก้สมการ(1)และ(3)จะได้ว่า
m\dfrac{d^2}{dt^2}(x+X)=-M\dfrac{d^2}{dt^2}X
m\dfrac{d^2}{dt^2}x=-(M+m)\dfrac{d^2}{dt^2}X
เอาไปแทนค่าจะได้ว่า
(m-\dfrac{m^2}{M+m})\dfrac{d^2}{dt^2}x=-mgsin\theta
\dfrac{Mm}{M+m}\dfrac{d^2}{dt^2}x=-mgsin\theta
\dfrac{d^2}{dt^2}\theta=-\dfrac{(M+m)g}{ML}\theta

จะได้ว่า
T=2\pi \sqrt{\dfrac{ML}{(M+m)g}
เราจะเห็นว่า ในสมการที่แก้ ไม่มีเทอมของความเร็วต้นเลย ดังนั้น ไม่ว่าv_0เป็นเท่าไหร่ คาบการสั่นก็เท่ากัน


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 23, 2006, 04:30:33 PM
ข้อ 40
มีจรวดลำหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้น v_0 เมื่อผ่านเข้าใกล้ดาวเคราะห์มวล M ซึ่งมีมวลมากกว่าจรวดมากๆ แนวการเคลื่อนที่ของจรวดก็ถูกเบี่ยงไป โดยที่แนวการเคลื่อนที่ของจรวดเมื่อพ้นจากสนามความโน้มถ่วงของดาวเคราะห์แล้ว ทำมุมกับแนวเดิม
60^\circ จงหาระยะทางระหว่างจรวดตอนแรก ในแนวตั้งฉากกับความเร็วของจรวด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on November 25, 2006, 01:04:33 PM
ข้อ 40
มีจรวดลำหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้น v_0 เมื่อผ่านเข้าใกล้ดาวเคราะห์มวล M ซึ่งมีมวลมากกว่าจรวดมากๆ แนวการเคลื่อนที่ของจรวดก็ถูกเบี่ยงไป โดยที่แนวการเคลื่อนที่ของจรวดเมื่อพ้นจากสนามความโน้มถ่วงของดาวเคราะห์แล้ว ทำมุมกับแนวเดิม
60^\circ จงหาระยะทางระหว่างจรวดตอนแรก ในแนวตั้งฉากกับความเร็วของจรวด

Sol.  
ในที่นี้เราพิจารณาว่าดาวเคราะห์มีมวลมากกว่าจรวดมากๆ จนใช้เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยได้
พิจารณาการดลในแนวแกน  X ในขณะใดๆ
\displaystyle \delta P_x = \frac{GMm}{r^2}cos\phi \delta t
พิจารณาในช่วงเวลา\delta tน้อยมากๆๆๆๆ
\displaystyle d P_x = \frac{GMm}{r^2}cos\phi dt .......................................... สมการที่ 1
จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมจะได้
\displaystyle mr^2 \frac{d\phi}{dt}=mv_0d
\displaystyle \therefore dt=\frac{r^2}{v_0d}d\phi........................................... สมการที่ 2

แทนสมการที่ 2 ลงในสมการที่ 1
\displaystyle d P_x = \frac{GMm}{r^2}cos\phi (\frac{r^2}{v_0d}d\phi)
\displaystyle d P_x = \frac{GMm}{v_0d}cos\phi d\phi
\displaystyle \Delta P_x = \int_{0}^{240^o}\frac{GMm}{v_0d}cos\phi d\phi
จากภาพเราทราบได้ว่า \displaystyle \Delta P_x = mv_0(cos60^o-1)
และตอนเริ่ม\phi = 0และ\phi=240^o ในตอนท้าย
\displaystyle \therefore mv_0(cos60^o-1)=\frac{GMm}{v_0d}sin240^o
\displaystyle v_0(cos60^o-1)=\frac{GM}{v_0d}sin240^o
\displaystyle v_0(-\frac{1}{2})=\frac{GM}{v_0d}(-\frac{\sqrt 3}{2})
\displaystyle \therefore d=\frac{\sqrt 3GM}{v_0^2}

dคือระยะห่างระหว่างจรวดในตอนแรกในแนวตั้งฉากกับความเร็วของจรวด มีค่า\frac{\sqrt 3GM}{v_0^2}                Ans.



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwitish on November 25, 2006, 01:55:13 PM
ข้อ 41 โซ่สม่ำเสมอมวล  M ยาว Lห้อยลงมาในแนวดิ่ง ที่เวลา t=0 ปลายล่างของโซ่สัมผัสพื้น ต่อมาปล่อยให้มันตกอย่างเสรี เมื่อเวลาผ่านไป t โซ่กองอยู่ที่พื้น l
a.)จงหาแรงที่โซ่กระทำต่อพื้น ณ เวลาใดๆ
b.)แรงสูงสุดที่โซ่กระทำต่อพื้นเป็นเท่าไร ที่เวลาใด
ตอบในรูปตัวแปรที่โจทย์กำหนดให้และค่าคงตัวที่จำเป็น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 25, 2006, 03:29:39 PM
ข้อ 41
a)
เราบอกว่า แรงที่โซ่กระทำต่อพื้น หรือแรงที่กระทำให้โซ่ส่วนที่สัมผัสพื้นหยุด ไม่กระทำต่อโซ่ส่วนที่กำลังเคลื่อนที่
(เพราะโซ่ดึงได้อย่างเดียวแต่ผลักไม่ได้) จะได้ว่าสมการการเคลื่อนที่ของโซ่ส่วนที่เคลื่อนที่คือ
y=\dfrac{1}{2}gT^2
จะได้ว่าโซ่ส่วนที่ตกพื้น มีความยาวเท่ากับ y
และเมื่อโซ่ตกมาได้ y จะมีความเร็ว
v^2=2gy
ดังนั้นที่เวลาใดๆ แรงที่โซ่กระทำต่อโต๊ะมีค่าเป็น
F=\dfrac{M}{L}gx+\dfrac{M}{L}v^2
F=\dfrac{M}{L}(3gx)

b)
เราจะเห็นว่า Fมีค่าขึ้นกับxดังนั้น xที่จะทำให้ค่า Fมีค่าสูงสุดคือ
x=Lนั่นเอง
แทนค่าลงไปจะได้
F=3Mg
แรงที่กระทำจะมีค่ามากที่สุดที่เวลา
T=\sqrt{\dfrac{2l}{g}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 25, 2006, 03:51:22 PM
ข้อ 42)
มีเชือก มวล M ยาว L ปลายข้างนึงแขวนไว้กันเพดาน ปลายอีกข้างถูกดึงขึ้นไปดังรูป ตอนแรกไม่มีเชือกห้อยอยู่เลย (ถูกดึงขึ้นไปทั้งเส้น) จากนั้นที่เวลา t=0 ก็ปล่อยเชือก จงหาแรงตึงเชือกที่จุดแขวนในรูปของเวลา


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on November 25, 2006, 09:48:49 PM
ข้อ 42
จากกฏข้อที่ 2 ของนิวตันจะได้ว่า แรงตึงที่จุดแขวน จะเท่ากับน้ำหนักของโซ่ที่ห้อยลงมารวมกับแรงกระตุกที่ทำให้โซ่ส่วนที่กำลังเคลื่อนที่หยุดนิ่ง
จะได้น้ำหนักของส่วนที่ห้อยลงมาเป็นระยะ x คือ W(t) = Mg \dfrac{x(t)}{L}
ซึ่งเมื่อปลายโซ่ตกลงมาเป็นระยะ y(t) = \dfrac{1}{2} gt^2 จะได้ส่วนที่ห้อยตกลงมาเป็นระยะ x(t)=\dfrac{y(t)}{2}=\dfrac{1}{4}gt^2
\therefore W(t) = \dfrac{Mg^2 t^2}{4 L}
ในช่วงเวลา \delta t มวลของโซ่ที่ถูกทำให้หยุดจะเท่ากับ \delta m = \dfrac{M}{L}  \delta x = \dfrac{M}{L} v \delta t
ซึ่ง v คือความเร็วของปลายส่วนที่ห้อยจะเท่ากับ ครึ่งหนึ่งของความเร็วส่วนที่ตกลงมา v=\dfrac{1}{2}gt
เพราะฉะนั้นจะได้แรงที่ทำให้ส่วนที่กำลังเคลื่อนที่หยุดนึ่งเท่ากับ
f=\dfrac{\delta P}{\delta t}=\dfrac{(0) \delta m - v \delta m}{\delta t} = -\dfrac{Mgvt}{2L}
ซึ่ง v คือความเร็วของส่วนที่ตกมีค่าเท่ากับ gt และจากกฏข้อที่ 3 ของนิวตัน F_{1,2} = - F_{2,1}
ทำให้ได้แรงกระตุกโซ่ที่ส่วนที่หยุดนิ่งกระทำเพื่อทำให้ส่วนที่กำลังเคลื่อนที่หยุดนิ่ง
\therefore F(t) = \dfrac{Mg^2 t^2}{2L}
ทำให้ได้แรงตึงที่จุดแขวน
\begin{array}{rcl} T(t) & = & W(t)+F(t) \\ & = & \dfrac{Mg^2 t^2}{4 L} + \dfrac{Mg^2 t^2}{2L} \\ & = & \dfrac{3Mg^2 t^2}{4 L} \end{array}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on November 25, 2006, 10:14:25 PM
ข้อ 43 เชือกบนลูกบอล
เชือกความยาว l เส้นหนึ่ง มีปลายเชือกติดไว้กับยอดของทรงกลมรัศมี R ดังรูป ถ้าแรงเสียดทานมีค่าน้อยมาก จงหาความเร่งของเชือกขณะที่ถูกปล่อยพอดี


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 27, 2006, 09:59:48 PM
สมมติให้เชือกมีความหนาแน่น\lambda
คิดทอร์กรอบจุดศูนย์กลางจะได้ว่า
\lambda (l-(\dfrac{\pi}{2}-\theta)R)g+\tau=\lambda(\dfrac{\pi}{2}R^2\alpha -\theta)+\lambda(l-(\dfrac{\pi}{2}-\theta))a
\lambda (l-(\dfrac{\pi}{2}-\theta)R)g+\tau=\lambda lR^2\alpha
โดยที่ tauเป็นทอร์กที่เกิดจากเชือกส่วนที่ห้อยอยู่ซึ่งหาได้จาก
d\tau =\lambda gR sin\theta d\theta
โดยที่ \thetaเป็นมุมที่ทำกับแนวดิ่ง จะได้ว่า
d\tau =\lambda gR sin\theta d\theta
\tau =\lambda gRcos\theta
จะได้ว่า
\lambda (l-(\dfrac{\pi}{2}-\theta)R)g+\lambda gRcos\theta=\lambda l R a
จากนั้นแทนค่า \theta =0 ตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกจะได้ว่า
(l-(\pi/2) R+R)g= l a
a=(l-(\pi /2)R+R)g/l


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 27, 2006, 10:19:38 PM
ข้อ 44)
Cavendish Problems 33*
A uniform plank stands on a smooth floor vertically against a smooth wall; its lower end is pushed gently so as toslide freely away from the wall. Show that when it makes an angle \sin^{-1}\dfrac{2}{3}with the horizontal its upper end leaves the wall.

แปลไทย
คานสม่ำเสมออันนึง วางพิงกำแพงลื่นบนพื้นลื่น จงแสดงว่า เมื่อคานทำมุม \sin^{-1}\dfrac{2}{3} กับแนวระดับ ปลายบนของคานจะหลุดจากกำแพง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on December 28, 2006, 07:41:01 PM
ท่าน G ขอรับ  ข้อเรือ (นาย สมPOP ) ครับ  ทำไมผมได้คำตอบว่า \displaystyle{x=\frac{m_{pop}L}{m_{boat}+m_{pop}} ข้าพเจ้าดูวิธีทำท่าน G แล้วไม่เข้าใจครับ   ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,)



โปรดชี้แนะด้วยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on February 18, 2007, 08:41:49 PM
ขอบคุณ Mwit_Psycoror ที่มาบอกครับ ผมทำผิดเองแหละ  :buck2:
ขอบคุณที่บอกนะครับ ผมไปแก้วิธีทำของผมแล้วครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on February 19, 2007, 02:08:46 PM
ข้อ 44

สมการการเคลื่อนที่แนวราบ

\displaystyle N=m\frac{d^2}{dt^2 }\left( \frac{l}{2}\cos \theta \right)
\displaystyle N=m\left(\ddot{\theta}\sin \theta+(\dot{\theta})^2\cos \theta  \right)

ปลายบนหลุดเมื่อ \displaystyle N=0ดังนั้น

\ddot{\theta}\sin \theta+(\dot{\theta})^2\cos \theta=0  --------(1)

สมการพลังงาน
\displaystyle mg\frac{l}{2}=mg\frac{l}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt }\frac{l}{2}\sin \theta\right)^2+\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt }\frac{l}{2}\cos \theta  \right)^2 +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{12}ml^2  \right) (\dot{\theta})^2

แทนค่าและจัดรูปได้

\displaystyle (\dot{\theta})^2=\frac{3g}{l}(1-\sin \theta)  --------(2)
\displaystyle \ddot{\theta}=\frac{1}{2}\frac{d}{d\theta}(\dot{\theta})^2=-\frac{3g}{2l}(\cos \theta)  --------(3)

นำ (2) และ (3) แทนใน (1) จะได้ \displaystyle \theta=\sin ^{-1} \frac{2}{3}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on February 19, 2007, 02:37:22 PM
ข้อ 45

ปั่นลูกบอลให้หมุนรอบแกนที่ขนานกับพื้นและลากผ่านจุดศูนย์กลางมวล (แกน \displaystyle AB ในรูป)

แล้วปล่อยบอลให้ตกจากที่สูง h พบว่าลูกบอลจะกระดอนขึ้นได้สูงสุดเป็น \displaystyle \alpha เท่าของ h

ถ้าลูกบอลหมุนขูดพื้นตลอดเวลาที่มันสัมผัสพื้น  และสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน์ระหว่างผิวลูกบอลกับพื้นเป็น \mu _k

จงหาว่าลูกบอลจะกระดอนออกจากพื้นด้วยมุม \theta  เป็นเท่าไร


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on February 19, 2007, 08:47:13 PM
ข้อ45

ให้ความเร็วหลังกระทบพื้นตามแกนดิ่งเป็นv_y จะได้ v_y = \sqrt{2gh\alpha}
ขณะที่ลูกบอลกระทบพื้น ให้แรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่พื้นกระทำเป็น \overrightarrow{N}(t)
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า \int_{\Delta t}N(t) dt = m(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) (ให้ทิศขึ้นเป็นบวก)

แรงเสียดทานจลทีค่าเป็น \mu N(t) และให้ความเร็วแนวระดับตอนหลังเป็นv_x
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า \int_{\Delta t} \mu N(t) dt = \mu m(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) = mv_x (ให้ทิศขึ้นเป็นบวก)

\theta = \arctan v_y/v_x = \sqrt{2gh\alpha}/\mu(\sqrt{2gh\alpha}+\sqrt{2gh}) = \sqrt{\alpha }/\mu (\sqrt{\alpha }+1) ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on February 19, 2007, 09:12:11 PM
ข้อ 46
วางเชือกสม่ำเสมอไว้บนแผ่น2แผ่นที่ต่างทำมุม \theta กับพื้นดังรูป ให้ส.ป.ส.ความเสียดมานสถิตย์ระหว่างเชือกกับพื้นเป็น 1
และระบบมีความสมมาตร 1.ให้หาเศษส่วนของเชือกที่ไม่แตะกับพื้นแผ่นต่อเชือกทั้งหมด 2.หามุม \theta ที่ทำให้ค่าจากข้อ 1.โตสุด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on February 19, 2007, 10:54:14 PM
วิธีทำข้อ 46
1.)
สมมติให้เชือกทั้งหมดยาว lและส่วนที่ไม่แตะกับพื้นยาว x
ถ้าหากเชือกอยู่นิ่งเราสามารถบอกได้ว่า แรงลัพธ์ที่กระทำต่อเชือกทั้งส่วนที่สัมผัสพื้น และไม่สัมผัสพื้นมีค่าเป็นศูนย์
คิดแรงที่กระทำต่อส่วนที่ไม่สัมผัสพื้นจะได้
2T\sin\theta =\lambda x gโดยที่ \lambdaเป็นมวลต่อความยาวของเชือก
คิดแรงที่กระทำต่อเชือกส่วนที่สัมผัสกับพื้นด้านใดด้านหนึ่ง จะได้ว่า
T+\lambda (\dfrac{l-x}{2})g\sin\theta =\mu \lambda (\dfrac{l-x}{2})g\cos\theta
แทนค่า mu=1ลงไปจะได้
2T+\lambda(l-x)g\sin\theta=\lambda(l-x)g\cos\theta
แทนค่า 2Tจากสมการแรกลงไปจะได้
\dfrac{x}{\sin\theta}+(l-x)sin\theta=(l-x)\cos\theta
x\cos^2\theta+l\sin^2\theta=(l-x)\sin\theta\cos\theta
x\cos\theta (\sin\theta +\cos\theta)=l\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)
\dfrac{x}{l}=\dfrac{\tan\theta (\cos\theta-\sin\theta)}{\sin\theta +\cos\theta}

2.)
เราสามารถหาค่ามุมที่ทำให้ ค่า \dfrac{x}{l}โตสุดได้โดยการ ดิฟเฟอเรนทิเอท เทียบกับตัวแปรอะไรซักตัวและจับเท่ากับศูนย์ เราลองจัดรูท เทอม \dfrac{x}{l}จะได้ว่า
\dfrac{x}{l}=\dfrac{\cos\theta}{\cos\theta}\times\dfrac{\tan\theta (\cos\theta-\sin\theta)}{\sin\theta +\cos\theta}
\dfrac{x}{l}=\dfrac{\tan\theta (1-\tan\theta)}{tan\theta +1}
ดิฟเฟอเรนทิเอทเทียบกับ \tan\thetaจะได้
(1+\tan\theta)(1-2\tan\theta)=\tan\theta(1+\tan\theta)
1-\tan\theta-2\tan^2\theta=\tan\theta+\tan^2\theta
0=3\tan^2\theta+2\tan\theta-1
\tan\theta=\dfrac{1}{3},-1
แต่เราเลือกเฉพาะค่า \tan\thetaที่มีค่าเป็นบวก ดังนั้น สรุปได้ว่า
\theta_{(x/l)max}=\tan^{-1}\dfrac{1}{3}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on February 19, 2007, 11:17:59 PM
ข้อ 47
ข้อนี้ไม่ยากเท่าไหร่ครับ เป็นโจทย์ที่อาจารย์เอามาปล่อยในค่าย
มีลูกตุ้มอันหนึ่ง แขวนด้วยเชือกเบายาว lไว้ที่เพดานรถคันหนึ่งดังรูป หากรถคันนี้ ถูกทำให้เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง Aในทันที จงหามุมมากที่สุด ที่ลูกตุ้มนี้กระทำกับแนวดิ่ง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on February 20, 2007, 01:12:03 PM
วิธีทำข้อ 47

สมการการเคลื่อนที่แนวราบ

\displaystyle T\sin \theta = m \left(A + \frac{d^2}{dt^2 }x\right) =m\left(A + \frac{1}{2}\frac{d}{dx}v_x^2\right) ------(1)

แต่ \displaystyle dx=d(-l sin\theta)=-l \cos\theta d\theta

ทำการ \displaystyle Integrate สมการ (1) เทียบกับ  -l \cos\theta d\theta จะได้ว่า

\displaystyle -\int_{0}^{\theta}Tl sin\theta\cos\theta d\theta +mAl\sin \theta=\frac{1}{2}mv_x^2 ------(2)

สมการการเคลื่อนที่แนวดิ่ง

\displaystyle T\cos \theta - mg = \frac{1}{2}m \frac{d}{dy}v_y^2 --------(3)

\displaystyle dx=d(l -l\cos\theta)=l \sin\theta d\theta

ทำการ \displaystyle Integrate สมการ (3) เทียบกับ   l \sin\theta d\theta จะได้ว่า

\displaystyle \int_{0}^{\theta}Tl sin\theta \cos\theta d \theta -mgl(1-\cos \theta)=\frac{1}{2}mv_y^2 ------(4)

นำสมการ (2) +(4) โดยระลึกว่า v_x^2+v_y^2 = v^2   จะได้ว่า

\displaystyle mAl\sin \theta = mgl(1-\cos \theta)+\frac{1}{2}mv^2

ที่ตำแหน่งซึ่ง \displaystyle \theta มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0  ดังนั้น

\displaystyle mAl\sin \theta_{m} = mgl(1-\cos \theta_{m})
\displaystyle \frac{A}{g}= \cosec \theta_{m} - \cot \theta_{m} = \tan \left(\frac{\theta_{m}}{2}\right)

\displaystyle \therefore \theta_{m}=2\tan ^{-1}\left( \frac{A}{g}\right)



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on February 20, 2007, 05:31:13 PM
ข้อ 48

ท่อนไม้มวลสม่ำเสมอยาว \displaystyle l = 30 \; \text{cm} วางเอียงทำมุม  \displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}\;  \text{rad} กับพื้นลื่น

เมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าใด  ปลายบนของท่อนไม้จึงจะชนกับพื้น (ให้ใช้ค่า g = 9.8 \text{ m/s}^2 )


ปล. สามารถใช้เครื่องคำนวณในการอินทิเกรตได้


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 20, 2007, 07:23:01 PM
...
ที่ตำแหน่งซึ่ง \displaystyle \theta มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0  ดังนั้น
...

ลูกตุ้มมีความเร็วเป็นศูนย์ แล้วมันไปกับรถที่กำลังเคลื่อนที่ได้อย่างไร  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on February 20, 2007, 07:54:19 PM
...
ที่ตำแหน่งซึ่ง \displaystyle \theta มีค่ามากสุด ลูกตุ้มย่อมมีความเร็วเป็น 0  ดังนั้น
...

ลูกตุ้มมีความเร็วเป็นศูนย์ แล้วมันไปกับรถที่กำลังเคลื่อนที่ได้อย่างไร  ???

ความเร็วในสมการมันหมายถึงความเร็วของลูกตุ้มเทียบกับรถครับ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on February 21, 2007, 08:27:37 PM
เสียวๆว่ามันจะกระดก เหอะๆ แต่คิดว่าไม่น่าจะกระดกเพราะเคยพิสูจน์แล้วว่าไม่กระดก :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on February 22, 2007, 06:15:25 PM
ปลายไม้อันล่างไม่กระดก - ต้องพิสูจน์ไหม?? เอาเป็นว่ายังไม่ต้องก่อนละกัน

ให้ \theta เป็นมุมที่ไม้กระทำต่อพื้นระดับ

ความสูงของ cm เท่ากับ \dfrac{l\sin\theta}{2}  
ทำให้ทราบความเร็วแนว y เท่ากับ \dfrac{l\cos\theta}{2}\dfrac{d}{dt}\theta

จากสมการอนุรักษ์พลังงาน และไม่มีแรงในแนวระดับทำให้ไม่มีความเร็วในแนวระดับ

mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha=mg\dfrac{l}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}mv_y^2+\dfrac{1}{2}I_c_m(\dfrac{d}{dt}\theta)^2

mg\dfrac{l}{2}\sin\alpha=mg\dfrac{l}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{8}ml^2\cos^2\theta(\dfrac{d}{dt}\theta)^2+\dfrac{1}{24}ml^2(\dfrac{d}{dt}\theta)^2
ตัด \frac{ml}{2}ทั้ง2ข้าง
g\sin\alpha=g\sin\theta+\dfrac{1}{4}l\cos^2\theta(\dfrac{d}{dt}\theta)^2+\dfrac{1}{12}l(\dfrac{d}{dt}\theta)^2

-\dfrac{d}{dt}\theta=\sqrt{(\dfrac{g}{12l})(\dfrac{\sin\alpha-\sin\theta}{1+3\cos^2\theta})}

T\sqrt{\dfrac{g}{12l}}=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\dfrac{1+3\cos^2\theta}{\sin\frac{\pi}{4}-\sin\theta}}d\theta

กดเครื่องคิดเลขๆๆได้ว่า

T\sqrt{\dfrac{g}{12l}}=3.54

T=3.54\times 0.606s=2.15s


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on February 22, 2007, 08:46:58 PM
ข้อ49

เริ่มที่ทุกผิวสัมผัสไม่มีแรงเสียดทานเกิดขึ้นเลย

ลิ่มมวล Mทำมุม \thetaกับแนวระดับ  ตั้งอยู่บนพื้นระดับ ติดสปริง kกับมวล mไว้ดังรูป หาคาบการสั่น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on February 24, 2007, 07:04:36 PM
ขอลองเสี่ยงทำนะครับ(ด้วยความไม่มั่นใจอย่างแรงกล้า)

ตามภาพ ให้ขณะที่พิจารณา สปริงยืดออกเป็นระยะ \displaystyle s ลิ่ม Mมีความเร็ว \displaystyle w มวล \displaystyle mมีความเร็ว \displaystyle v และมีความเร็วเทียบลิ่มเป็น \displaystyle \dot{s}

จากหลักการอนุรักษ์พลังงาน จะได้ว่า

\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Mw^2 +\frac{1}{2}ks^2-mgs\sin \theta = E = Constant

จากความรู้เรื่องความเร็วสัมพัทธ์ จะได้ว่า

\displaystyle \vec{\dot{s}} = \vec{v} - \vec{w}
ซึ่งในรูปของขนาดของเวกเตอร์คือ
\displaystyle \dot{s} \sin \theta = v \sin \alpha
\displaystyle \dot{s}\cos \theta =v \sin \alpha + w

เนื่องจากระบบมวลทั้ง2นี้ ไม่มีแรงมากระทำในแนวระดับ
จากหลักการอนุรักษ์โมเมนตัม จะได้ว่า
Mw = mv\cos \theta

แก้สามสมการข้างต้น จะได้ว่า
\displaystyle \tan \alpha = \frac{M+m}{M} \tan \theta
\displaystyle v = \dot{s} \frac{\sin \theta}{\sin \alpha }
\displaystyle w = \dot{s}\frac{m}{M} \frac{\sin \theta}{\tan \alpha }

จากนั้นทำการหาอนุพันธ์ของสมการพลังงานเทียบกับเวลา จะได้ว่า

\displaystyle mv\dot{v}+Mw\dot{w} +ks\dot{s}-mg\dot{s}\sin \theta = 0

แทนค่า ข้างต้นลงไป จะได้ว่า

\displaystyle m\dot{s} ( \frac{\sin \theta}{\sin \alpha })^2 \ddot{s} + \frac{m^2}{M}\dot{s}(\frac{\sin \theta}{\tan \alpha })^2\ddot{s} + ks\dot{s}-mg\dot{s}\sin \theta = 0

แทนค่า \tan^2 \alpha และ \displaystyle \sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha }{1+\tan^2 \alpha  } ลงไป พร้อมจัดรูปสมการให้สวยงาม??? จะได้ว่า

\displaystyle -\frac{(M+m)^2}{m(mM(1+\sin^2 \theta)+M^2+m^2 \sin^2 \theta)}(ks -mg \sin \theta) = \ddot{s}
\displaystyle -\frac{(M+m)^2k}{m(mM(1+\sin^2 \theta)+M^2+m^2 \sin^2 \theta)}(ks -mg \sin \theta) = \frac{d^2}{dt^2}(ks-mg \sin \theta)

ดังนั้นคาบ \displaystyle T = \frac{2\pi}{m+M}\sqrt{\frac{m(mM(1+\sin^2 \theta)+M^2+m^2 \sin^2 \theta)}{k}}

*สังเกตเมื่อ m\ll M จะได้ว่าคาบ \displaystyle T =  2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
 


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on February 24, 2007, 09:18:42 PM
ข้อ 50

ไม้บางๆยาว l ถูกแบ่งเป็น 3 ส่วน แล้วนำส่วนตรงกลางออกไป เหลือ2ส่วนซ้ายขวา จากนั้นก็ทำการแบ่งส่วนด้านซ้ายออกเป็น3ส่วนอีก แล้วนำตรงกลางออกไปอีก และทำเช่นเดียวกับกับด้านขวา จากนั้นก็ทำแบบนี้กับส่วนที่เหลือจากการแบ่งไปเรื่อยๆ ดังภาพ
ถ้าสุดท้ายแล้ว ไม้ที่เหลือมีมวล m จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่าน cm และตั้งฉากกับไม้
แก้ไขครับ
รูปนี้หมายถึงว่าไม้ถูกแบ่งอย่างไรนะครับ คือจากเดิมมีไม้อันเดียว แล้วก็เอาตรงกลางทิ้งออกไป เหลือสองข้าง สองข้างนั้นก็เอาชิ้นตรงกลางของแต่ละข้างทิ้งออกไป เหลือสี่ชิ้น แล้วก็เอาตรงกลางท้งออกไปซ้ำๆเรื่อยๆๆๆๆจนพรุน โดยสุดท้ายไม้ที่ถูกเอาตรงกลางทิ้งออกไปจนพรุนแล้วนี้ เหลือมวลเป็นm แล้วก็ให้หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนตรงกลางไม้ที่พรุนๆนี้น่ะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on February 25, 2007, 03:22:36 PM
ดังนั้นคาบ\displaystyle T = \frac{2\pi}{m+M}\sqrt{\frac{m(mM(1+\sin^2 \theta)+M^2+m^2 \sin^2 \theta)}{k}}

ยังไม่ได้ดูวิธีทำแต่คำตอบถูกแล้ว แต่ขอจัดรูปใหม่ให้เป็น

\displaystyle T=2\pi\sqrt{\dfrac{M+m\sin^2\theta}{k(1+\frac{M}{m})}}
หรือ
\displaystyle T=2\pi\sqrt{\dfrac{\mu(1+\frac{m}{M}\sin^2\theta)}{k}} เมื่อ \mu คือมวลลดทอนของระบบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on February 25, 2007, 06:32:17 PM
วิธีทำข้อ 50 ถ้าหากว่า ไม้ทั้งหมดมีมวล m
ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด โจทย์สั่งให้หาโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปนี้นะครับ
สมมติให้แท่งบนสุดมีมวลเท่ากับ m_1
จะได้ว่า มวลช่วงด้านซ้าย กับด้านขวาทั้งหมดมีค่าดังสมการ
\dfrac{m}{2}=m_1 (1+2((\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{1}{3})^3+...))
จะได้ว่า
\dfrac{m}{2}=2m_1
จะได้ว่า
m_1=\dfrac{m}{4}
พิจารณาเฉพาะส่วน m_1
โดยสมมติว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบนี้คือ
I_2=\dfrac{1}{12}m_1l^2+....
แต่สังเกตว่า โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนจุดศูนย์กลางของชิ้นที่อยู่ด้านลา่งมีค่าเป็น
\dfrac{1}{12}\dfrac{m_1}{3}(\dfrac{l}{3})^2+...=\dfrac{1}{27}ของ I
มวลทั้งหมดของระบบเราหาได้จาก
\sum m=m_1+\dfrac{2}{3}m_1(1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^2(\dfrac{1}{3})^3(\dfrac{1}{3})^4+...)
จะได้ว่า
\sum m =\dfrac{m}{2}
ดังนั้น มวลตั้งแต่แถวทีหนึ่งลงมามีค่าเท่ากับ \dfrac{m}{2}
จากทฤษฎีแกนขนานจะได้ว่า
I_2=\dfrac{1}{12}\dfrac{m}{2}(\dfrac{l}{3})^2+2(\dfrac{I_2}{27}+\dfrac{m}{2}(\dfrac{l}{3})^2)
\dfrac{25}{27}I_2=\dfrac{11}{36}\dfrac{m}{2}(\dfrac{l}{3})^2)
I_2=\dfrac{33}{100}\dfrac{m}{2}(\dfrac{l}{3})^2)
จากนั้นไปหาโมเมนต์ความเฉื่ยรอบแกน 1 จะได้ว่า
I=2I_2+m\dfrac{l^2}{9}
I=\dfrac{166}{900}ml^2


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on February 25, 2007, 10:12:10 PM
ข้อ 22
ตอนแรกผมทำแบบใช้พลังงาน ยาวมาก+มั่วมาก  :-[
ตั้งสมการทอร์กรอบจุดสัมผัส จะได้ว่า
- (mgR \theta \cos \theta - mgb \sin \theta ) = I_0 \ddot \theta
โดยที่ I_0 คือ I รอบจุดสัมผัส จากทฤษฎีแกนขนาน จะได้ I_0 = I+mb^2
แทนค่า I_0 ลงไปในสมการทอร์ก และประมาณ \cos \theta \approx 1 และ \sin \theta \approx \theta จะได้
- mg(R-b) \theta = (I+mb^2) \ddot \theta
จะได้  \omega = \sqrt{\dfrac{mg(R-b)}{I+mb^2}}} และ \displaystyle{T=2\pi\sqrt{\frac{mb^2+I}{mg(R-b)}}}


ผมสงสัยว่าที่จุดสัมผัสใช้เป็นจุดอ้างอิงได้เพราะมีคุณสมบัติอะไรหรอครับ (ไม่จำเป็นต้องเป็นTungที่มาตอบนะ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on February 25, 2007, 10:28:42 PM
ข้อ 50

ไม้บางๆยาว l ถูกแบ่งเป็น 3 ส่วน แล้วนำส่วนตรงกลางออกไป เหลือ2ส่วนซ้ายขวา จากนั้นก็ทำการแบ่งส่วนด้านซ้ายออกเป็น3ส่วนอีก แล้วนำตรงกลางออกไปอีก และทำเช่นเดียวกับกับด้านขวา จากนั้นก็ทำแบบนี้กับส่วนที่เหลือจากการแบ่งไปเรื่อยๆ ดังภาพ
ถ้าสุดท้ายแล้ว ไม่เหลือมวลm จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านcmและตั้งฉากกับไม้

แก้ไขครับ
รูปนี้หมายถึงว่าไม้ถูกแบ่งอย่างไรนะครับ คือจากเดิมมีไม้อันเดียว แล้วก็เอาตรงกลางทิ้งออกไป เหลือสองข้าง สองข้างนั้นก็เอาชิ้นตรงกลางของแต่ละข้างทิ้งออกไป เหลือสี่ชิ้น แล้วก็เอาตรงกลางท้งออกไปซ้ำๆเรื่อยๆๆๆๆจนพรุน โดยสุดท้ายไม้ที่ถูกเอาตรงกลางทิ้งออกไปจนพรุนแล้วนี้ เหลือมวลเป็นm แล้วก็ให้หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนตรงกลางไม้ที่พรุนๆนี้น่ะครับ

ช่วยอะไรหน่อยได้มั้ยครับ หากไม่แน่ใจว่าตัวเองจะแปลได้ถูกต้องและสื่อให้คนอื่นเข้าใจแจ่มแจ้งได้ ช่วยกรุณาใส่ต้นฉบับที่เป็นภาษาอังกฤษไปด้วย 

แล้วเวลาแก้โจทย์ ก็แก้ไปเลยสิครับ ทำไมต้องมีฉบับแก้ไขแนบด้วย อ่านแล้วไม่รู้เรื่อง 

แล้วสุดท้ายไม่เหลือมวล m นี่แปลว่าอะไรครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 25, 2007, 10:35:55 PM
...
แล้วสุดท้ายไม่เหลือมวล m นี่แปลว่าอะไรครับ

คิดว่าเขาพิมพ์ผิด น่าจะเป็น ไม้ที่เหลือมีมวล m  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on February 25, 2007, 11:22:56 PM
ข้อ 51
จาก irodov ข้อ 1.388
โจทย์ภาษาอังกฤษ
A relativistic rocket emit a ges jet with non-relativistic velocityu
constant relative to the rocket. Find how the velocityvof the rocket
depends on its reat mass mif initial rest mass of the rocket equal m_0

แปลเป็นภาษาไทยนะครับ
จรวดลำหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง(มาก) ได้ปล่อยแก็สที่มีความเร็ว uเทียบกับจรวด ซึ่งuน้อยมากเมื่อเทียบกับความเร็วแสง จงหาความเร็วของจรวดที่ในรูปของมวลmขณะใดๆ โดยที่มวลเริ่มต้นของจรวดมีค่าเท่ากับm_0


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on March 05, 2007, 05:39:31 PM
ข้อ 51

วิธีทำ

สมมติว่าจรวดมวล \displaystyle m กำลังเคลื่อนที่ตามแกน \displaystyle +X ของกรอบอ้างอิงเฉื่อย \displaystyle S ด้วยความเร็วสัมพัทธ์ \displaystyle v

เมื่อเวลาผ่านไปสั้นๆ  จรวดได้ปล่อยแก็สออกไป   ทำให้มีจรวดมีมวล \displaystyle m+dm  ความเร็ว \displaystyle v+dv

ในกรอบจรวด  แก็สที่ปล่อยไปมีพลังงาน \displaystyle E^{\prime}  = -\frac{c^2}{\sqrt{1-(u/c)^2}}dm โมเมนตัม \displaystyle p_{x}^{\prime}  = \frac{u}{\sqrt{1-(u/c)^2}}dm

โมเมนตัมของแก็สในกรอบ \displaystyle S หาได้จากการแปลงแบบลอเรนซ์

\displaystyle p_x = \gamma \left(p_{x}^{\prime} +\frac{v}{c^2}E^\prime  \right)  , \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}

แทนค่าได้  \displaystyle p_x \approx \gamma (u-v)dm

กฎการคงตัวของโมเมนตัมในกรอบ \displaystyle S บ่งว่า

\displaystyle \frac{mv}{\sqrt{1-(v/c)^2}}= \gamma(u-v)dm + \frac{(m+dm)(v+dv)}{\sqrt{1-(v+dv)^2 /c^2}}

\displaystyle \gamma (u-v)dm + d(\gamma m v) = 0

กระจายอนุพันธ์  แล้วจะได้ว่า

\displaystyle \gamma (u-v)dm + \gamma v dm + m{\gamma}^3 dv  = 0

จัดรูปเป็น

\displaystyle \frac{2u}{m}dm + \left[\frac{1}{1-v/c} + \frac{1}{1+v/c}dv \right]  = 0

อินทิเกรตแล้วจัดรูป

\displaystyle v= c\left(\frac{1-(m/m_0)^{2u/c}}{1+(m/m_0)^{2u/c}}\right)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on March 05, 2007, 05:54:46 PM
ข้อ 52

นำรองเท้าไปผูกติดกับดาวเทียมด้วยเชือกเบา  โดยจัดให้เชือกวางตัวอยู่ในแนวรัศมีโลก พบว่ารองเท้าและดาวเทียมโคจรรอบโลกด้วยคาบ \displaystyle T

ถ้าขณะที่รองเท้าโคจรรอบโลกนั้น  มันถูกรบกวนจนเชือกเบนออกจากแนวรัศมีโลกเป็นมุมเล็กๆ  จงหาคาบการสั่นของรองเท้า


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on March 06, 2007, 04:46:45 PM
ผมขอกำหนดตัวแปรเอง(ตามอำเภอใจ)นะครับ
ให้ R คือระยะห่างจากโลกถึงจรวด r คือระยะห่างจากโลกถึงรองเท้า l  คือความยาวเชือก M_ \otimesคือ มวลโลก \omega คือความเร็วเชิงมุมที่จรวดโคจรรอบโลก M คือมวลจรวด m  คือมวลรองเท้า
\theta คือมุมที่ลูกตุ้มแกว่ง

เราได้ว่า \displaystyle {m\omega ^2 R = \frac{{GM_ \otimes  M}}{{R^2 }}}
ดังนั้น                                       \displaystyle {\boxed{\omega  = \sqrt {\frac{{GM_ \otimes  }}{{R^3 }}}}}

เราเขียนสมการการเคลื่อนที่ของรองเท้าได้ดังนี้
 \displaystyle { - m\ddot x = \frac{{GM_ \otimes  m}}{{r^2 }}\sin \theta  - m\omega ^2 r\sin \theta}

โจทย์บอกว่ารบกวนนิดหน่อย  


ดังนั้น \displaystyle {\sin \theta  \approx \theta  \approx \frac{x}{l}}

ก็จะได้
 \displaystyle {- m\ddot x = \frac{{GM_ \otimes  m}}{{r^2 }}\left( {\frac{x}{l}} \right) - m\omega ^2 r \left( {\frac{x}{l}} \right)}
 \displaystyle {- m\ddot x = \left( {\frac{{GM_ \otimes  m}}{{r^2 l}} - \frac{{m\omega ^2 r}}{l}} \right)x}


สู้โว้ยยย


จากรูปแบบ

\displaystyle {\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}\xi  =  - \Omega ^2 \xi}

เราก็จะได้ \displaystyle {\Omega = \sqrt  {\dfrac{{\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{r^2 }} - \omega ^2 r}}{l}}}


แต่ว่า  r = R - l ดังนั้น  r^2  = R^2 \left( {1 - \dfrac{l}{R}} \right)^2

ตามหลักที่ว่า (1 + \zeta )^n  = 1 + n\zeta  ถ้า \zeta \ll 1

เราก็จะได้
\Omega  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{R^2 }}\left( {1 + 2\dfrac{l}{R}} \right) - \left\{ {\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{R^3 }}} \right\}\left( {1 - \dfrac{l}{R}} \right)R}}{l}}

พจน์ \left\{ {...} \right\}คือ \omega^2

จัดรูปให้สวยงามได้  \Omega  = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{3GM_ \otimes  l}}{{R^2 }}}}{l}}  = \sqrt 3 \sqrt {\dfrac{{GM_ \otimes  }}{{R^3 }}}  \equiv \sqrt 3 \omega


ดังนั้น ได้คาบการแกว่งรองเท้าคือ \tau  = \dfrac{{2\pi \sqrt 3 }}{{3\omega }}

แต่เรารู้ว่า \omega  = \dfrac{{2\pi }}{T}

ดังนั้น คาบการแกว่งของรองเท้า คือ \tau  = \dfrac{T}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{T\sqrt 3 }}{3}

ซู้ดยอดดดดด
ขอบพระคุณ


ผิดพลาดประการใดโปรดชี้แนะ  ส่วนโจทย์ข้อต่อไปข้าพเจาขอโพสต์กลางคืนนี้นะครับ

\mathfrak{Mwit  Psychoror}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on March 06, 2007, 07:53:37 PM
ข้อ 53
 ยานจิ้งเหลนมีมวลm_0วิ่งด้วยความเร็วต้น v_0 ปล่อยตดความเร็วwออกมาตั้งฉากกับตัวจรวด จนกระทั่งมวลของยานเหลือ  m จงหามุมที่ยานเบี่ยงเบนไป



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on March 06, 2007, 10:11:40 PM
ข้อ 53

วิธีทำ

(เนื่องจากผมคิดว่าปล่อยก๊าซลงมาในแนวดิ่งตลอด  วิธีทำข้างล่างนี้จึงยังไม่ถูก
เพราะโจทย์หมายถึงปล่อยก๊าซออกมาทิศตั้งฉากกับความเร็วจรวด  ณ ขณะใดๆ  ซึ่งในกรณีหลังมีวิธีทำอยู่ในหน้าถัดไปนะครับ)

สมมติว่าความเร็วแนวดิ่งและแนวราบของจรวด ณ ขณะใดๆ เทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย คือ \displaystyle v_y

เมื่อเวลาผ่านไปสั้นๆ ก๊าซไข่เน่าถูกปล่อยออกไปด้วยความเร็วแนวดิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็น  \displaystyle v_y -w

ทำให้จรวดมีมวล  \displaystyle m+dm ความเร็ว  \displaystyle v_y +dv_y

กฎการคงตัวของโมเมนตัมแนวดิ่งในกรอบอ้างอิงเฉื่อย  บ่งว่า

\displaystyle mv_y = (m+dm)(v_y+dv_y)+(-dm)(v_y-w)

ทำการกระจาย  แล้วทิ้งพจน์  \displaystyle dm dv_y เพราะมันน้อยมาก  จะได้ว่า

\displaystyle mdv_y = -wdm

อินทิเกรต
\displaystyle v_y = wln(m_0/m)

มุมเบี่ยงเบน \displaystyle \theta = \tan^{-1}(v_y/v_0) = \tan^{-1}\left(\frac{w}{v_0}ln(m_0/m)\right)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on March 06, 2007, 10:50:16 PM
ข้อ 54


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on March 06, 2007, 11:26:23 PM
ที่คุณPeeravit ตอบมาไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับ แต่นี่น่าจะเป็นวิธีทำที่ถูกครับ(ซึ่งภายหลังรู้ว่าผิด)

เราได้ว่า F=w \dfrac{d}{dt}m+m \dfrac{d}{dt}w\equiv \dfrac{mv^2}{r} ซึ่งพจน์ m \dfrac{d}{dt}wเป็นศูนย์ (เพราะว่าแรงที่กระทำตั้งฉากนั้นเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง)

ได้สมการ  w \dfrac{dm}{m}=\dfrac{v^2}{r}dt

อินทีเกรทซะ จะได้
\displaystyle {\int  \dfrac{w}{m} dm =\int \dfrac{v^2}{r}dt

ก็จะได้ t=\dfrac{wr}{v^2}\ln (\dfrac{m}{m_0})

ราจะหามุมเบี่ยงเบนโดยการคูณ \omega = \dfrac{v}{r}

จะได้ \theta =\dfrac{w}{v}\ln (\dfrac{m}{m_0})


จบอย่าง ผิดๆ

ข้อนี้ผมทำผิดครับ ที่ถูกขอให้ดูที่ REP 219 ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on March 07, 2007, 06:34:54 PM
ที่คุณPeeravit ตอบมาไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับแต่นี่คือวิธีทำของพี่ \mathfrak{Mwitish} ครับ

ไม่ถูกครับ   :'(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on March 12, 2007, 12:11:38 PM
ที่คุณPeeravit ตอบมาไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับแต่นี่คือวิธีทำของพี่ \mathfrak{Mwitish} ครับ

ไม่ถูกครับ   :'(

สรุปผมไม่ถูกหรือคุณ peeravit ไม่ถูกกันแน่ครับ  ??? 


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on March 12, 2007, 05:43:13 PM
ที่คุณPeeravit ตอบมาไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับแต่นี่คือวิธีทำของพี่ \mathfrak{Mwitish} ครับ

ไม่ถูกครับ   :'(

สรุปผมไม่ถูกหรือคุณ peeravit ไม่ถูกกันแน่ครับ  ???  แต่ถึงผมผิด พี่ mwitish ก็ผิดด้วยสิครับ  ;D  (  รู้สึกว่าตัวเองเลวจังเลย ](*,))

ผมทำไม่ถูกครับ  แล้วลองย้อนกลับไปอ่านวิธีทำของผมในหน้าที่แล้วดูนะ  ผมได้อธิบายที่ผิดของผมไว้แล้ว ](*,) ](*,)

ส่วนคำตอบของ Mwit_Psycoror ผมรู้สึกว่ามันแปลกๆ  เพราะเมื่อมวลจรวดน้อยลง  มุม \displaystyle \thetaจะติดลบ  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 05, 2007, 12:46:17 PM
ทรงกระบอกกลิ้งลงแบบไม่ไถลเหรอครับ??


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on April 05, 2007, 01:35:46 PM
ทรงกระบอกกลิ้งลงแบบไม่ไถลเหรอครับ??
ใช่  :)

ปล. ช่วยอธิบายคำตอบของข้อ 53 ด้วย ว่าทำไมพอมวลจรวดน้อยลง  มุมมันถึงติดลบ 


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 06, 2007, 10:13:39 PM
ตามเข็มนาฬิกาครับ  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 07, 2007, 08:26:44 AM
ที่คุณPeeravit ตอบมาไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับแต่นี่คือวิธีทำของพี่  \mathfrak{Mwitish} ครับ

เราได้ว่า F=w \dfrac{d}{dt}m+m \dfrac{d}{dt}w\equiv \dfrac{mv^2}{r} ซึ่งพจน์ m \dfrac{d}{dt}wเป็นศูนย์ (เพราะว่าแรงที่กระทำตั้งฉากนั้นเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง)

...


รู้ได้อย่างไรว่าอัตราเร็วพอดีที่ทำให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงทำตั้งฉากก็จริง แต่อัตราเร็วมันเหมาะพอดีกับขนาดของแรงที่จะทำให้เป็นวงกลมหรือเปล่า  :o


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 07, 2007, 07:24:24 PM
ทำอย่างนี้ได้ไหมครับ

เมื่อเวลาผ่านไป dt มวล -dm(เป็น-เพื่อให้สอดคล้องกับในวิชาแคลคูลัส ซึ่ง dm คือมวลของยานที่เปลี่ยนไป) จะหลุดออกจากยาน และมีความเร็วเพิ่มขึ้นอีก u แสดงว่ายานออกแรงต่อมัน -u\frac{dm}{dt} ในทิศที่มันมีความเร็วเพิ่มขึ้น คือตั้งฉากกับแนวที่ยานวิ่งไป จากกฎข้อที่3ของนิวตัน ยานจึงถูกกระทำด้วยแรง -u\frac{dm}{dt} ในอีกทิศหนึ่ง สมมติตอนนั้นยานเบี่ยงไปจากแนวเดิม \theta ให้ \hat{u}_{\theta} เป็นเวกเตอร์หน่วยชี้ทิศเดียวกะแนวยาน และให้ \hat{u}_{\perp  } เป็นเวกเตอร์หน่วยชี้ทิศตั้งฉากกับ \hat{u}_{\theta} ในทางเดียวกับที่แรงกระทำ

จากกฎข้อที่2ของนิวตันได้ว่า
\displaystyle -u\frac{dm}{dt} \hat{u}_{\perp  } = m \frac{d (v\hat{u}_{\theta})}{dt}
\displaystyle -u\frac{dm}{dt} \hat{u}_{\perp  } = m (\hat{u}_{\theta}\frac{dv}{dt}+v\frac{d \hat{u}_{\theta}}{dt})
\displaystyle -u\frac{dm}{dt} \hat{u}_{\perp  } = m (\hat{u}_{\theta}\frac{dv}{dt}+v \hat{u}_{\perp}\frac{d\theta }{dt})
\displaystyle -u\frac{dm}{dt} \hat{u}_{\perp  } = mv \hat{u}_{\perp}\frac{d\theta }{dt} และ 0 = m \hat{u}_{\theta}\frac{dv}{dt}
หา"ปริพันธ์"ของอันหลังได้ผลว่า \displaystyle v=v_0 อันแรกได้ว่า \displaystyle \theta = \frac{u}{v_0} \ln \frac{m_0}{m}




Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 08, 2007, 10:35:17 AM
ทำอย่างนี้ได้ไหมครับ

...
จากกฎข้อที่2ของนิวตันได้ว่า 
\displaystyle -u\frac{dm}{dt} \hat{u}_{\perp} = m \frac{d (v\hat{u}_{\theta})}{dt}
...


สำหรับโจทย์ใน rep#207

สมการการเคลื่อนที่ของจรวดซึ่งมีมวลไม่คงตัวคือ (ดูที่ rep#222)

m\dfrac{d\vec v}{dt}= \vec F_{\text{ext}} + \vec u_r \dfrac{dm}{dt}

โดยที่ \vec u_rคือความเร็วสัมพัทธ์ของเชื้อเพลิงเทียบตัวจรวด

ในปัญหาข้อนี้แรงภายนอกเป็นศูนย์ ดังนั้น m\dfrac{d\vec v}{dt}=\vec u_r \dfrac{dm}{dt}

เนื่องจาก \vec u_r มีทิศตั้งฉากกับความเร็วเดิมของจรวด (โจทย์กำหนด) ความเร็วของจรวดจึงมีขนาดคงตัว v_0 ซึ่งแสดงได้ดังนี้

\dfrac{d\left(v^2\right)}{dt}=\dfrac{d \left(\vec v \cdot \vec v\right)}{dt}=2\vec v \cdot \dfrac{d \vec v}{dt} = 2 \vec v \cdot \left(\dfrac{\vec u_r}{m}\right)  \dfrac{dm}{dt}=0

ความเร็วของจรวดจึงเปลี่ยนทิศอย่างเดียว

จาก \dfrac{d\vec v}{dt} = \dfrac{d \left(v \hat v\right)}{dt} = \dfrac{dv}{dt}\hat v + v\dfrac{d\hat v}{dt} เมื่อแทนค่า \dfrac{d\vec v}{dt} จากสมการการเคลื่อนที่ และใช้ความจริงที่ว่าขนาดความเร็วไม่เปลี่ยนตามเวลา เราจะได้

\left(\dfrac{\vec u_r}{m}\right)\dfrac{dm}{dt} = v\dfrac{d\hat v}{dt}  หรือ \dfrac{d\hat v}{dt} = \left(\dfrac{\vec u_r}{mv}\right)  \dfrac{dm}{dt}

ปริมาณ \dfrac{d\hat v}{dt} คืออัตราการเปลี่ยนทิศทางต่อเวลา  ในเวลา dt น้อย ๆ มุมที่ทิศทางความเร็วเปลี่ยนไปมีขนาดเท่ากับ

d\theta = \left| \dfrac{d\hat v}{dt} \right| dt = \left| d\hat v} \right| = \left| \left(\dfrac{u_r}{mv}\right)  dm \right| = \left(\dfrac{u_r}{mv}\right) \left| dm \right| = -\left(\dfrac{w}{mv_0}\right)dm

ในตอนสุดท้้ายเราได้ใช้ความจริงที่ว่ามวลจรวดลดลง ดังนั้น \left| dm \right| = -dm และได้แทนค่าสิ่งที่โจทย์กำหนดมา

หาปริพันธ์ของ d\theta ตั้งแต่เริ่มต้นเมื่อจรวดมีมวล m_0 จนกระทั่งมีมวล m ใด ๆ จะได้ว่า

\displaystyle{\theta = \int_{0}^{\theta}d\theta = -\left(\dfrac{w}{v_0}\right) \int_{m_0}^{m}\dfrac{dm}{m}=\left(\dfrac{w}{v_0}\right)\ln\left(\dfrac{m_0}{m}\right)}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 08, 2007, 01:21:50 PM
ทำอย่างนี้ได้ไหมครับ

...
จากกฎข้อที่2ของนิวตันได้ว่า
\displaystyle -u\frac{dm}{dt} \hat{u}_{\perp} = m \frac{d (v\hat{u}_{\theta})}{dt}
...



สมการการเคลื่อนที่ของจรวดซึ่งมีมวลไม่คงตัวคือ

m\dfrac{d\vec v}{dt}= \vec F_{\text{ext}} + \vec u_r \dfrac{dm}{dt}

โดยที่ \vec u_rคือความเร็วสัมพัทธ์ของเชื้อเพลิงเทียบตัวจรวด



ไม่ทราบว่ามันต่างกันอย่างไรเหรอครับ ในเมื่อข้อนี้ไม่มีแรงภายนอกกระทำ แล้ว \displaystyle -u \hat{u}_{\perp} มันก็คือความเร็วเชื้อเพลิงเทียบกับจรวดนี่ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 08, 2007, 05:19:19 PM
...
ไม่ทราบว่ามันต่างกันอย่างไรเหรอครับ ในเมื่อข้อนี้ไม่มีแรงภายนอกกระทำ แล้ว \displaystyle -u \hat{u}_{\perp} มันก็คือความเร็วเชื้อเพลิงเทียบกับจรวดนี่ครับ

ต่างตรงที่เราใช้สัญลักษณ์สับสนกับที่เขาใช้กันทั่วไป มีที่ไหนให้ \hat \theta เป็นทิศทางของความเร็ว \vec v ของวัตถุ  ;D

ลองกลับขึ้นไปอ่านวิธีทำโดยละเอียด  แล้วลองพิสูจน์สมการการเคลื่อนที่ของจรวดที่ยกมาดูหน่อย  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 08, 2007, 07:14:35 PM
จรวด เมื่อเวลา t มีมวล (m+dm)+(-dm) มีความเร็ว \overrightarrow{v} ผ่านไป dt ดีดมวล (-dm) ออกไป เหลือมวล (m+dm) มีความเร็วเป็น \overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}
พิจารณาส่วน (m+dm) เดิมมีความเร็ว \overrightarrow{v} ในเวลา dt ความเร็วเปลี่ยนไปเป็น \overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}
สมมติแรงภายนอกที่กระทำต่อส่วนนี้เป็น \overrightarrow{F}_{ext}^{m+dm} และแรงที่มวล(-dm)ผลักมันเป็น \overrightarrow{f}_1 จากกฎของนิวตันได้สมการการเคลื่อนที่ของมันเป็น
 \displaystyle \overrightarrow{F}_{ext}^{m+dm} + \overrightarrow{f}_1 = (m+dm)\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}
\displaystyle \overrightarrow{F}_{ext}^{m+dm} + \overrightarrow{f}_1 = m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}+\cancelto{0}{dm\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}} ---- A
พิจารณาส่วน -dm เดิมมีความเร็ว \overrightarrow{v} ในเวลา dt ความเร็วเปลี่ยนไปเป็น \overrightarrow{v}+d\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}
สมมติแรงภายนอกที่กระทำต่อส่วนนี้เป็น \overrightarrow{F}_{ext}^{-dm} และแรงที่มวล(m+dm)ผลักมันเป็น \overrightarrow{f}_2 จากกฎของนิวตันได้สมการการเคลื่อนที่ของมันเป็น
 \displaystyle \overrightarrow{F}_{ext}^{-dm} + \overrightarrow{f}_2 = (-dm)\frac{d\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}}{dt}
\displaystyle \overrightarrow{F}_{ext}^{-dm} + \overrightarrow{f}_2 = \cancelto{0}{-dm\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}+(-\overrightarrow{u}\frac{dm}{dt}) ----- B

นำสมการ A + B และอาศัยกฎข้อที่3ของนิวตันที่บ่งว่า \overrightarrow{f}_1 = -\overrightarrow{f}_2 และความจริงที่ว่า \overrightarrow{F}_{ext}^{m+dm}+\overrightarrow{F}_{ext}^{-dm}=\overrightarrow{F}_{ext} โดย \overrightarrow{F}_{ext} คือแรงภายนอกต่อจรวดมวล m นี้

\displaystyle \overrightarrow{F}_{ext} = m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}}+(-\overrightarrow{u}\frac{dm}{dt})
\displaystyle m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}=\overrightarrow{F}_{ext}+\overrightarrow{u}\frac{dm}{dt}

ป.ล. ขออภัยเรื่องสัญลักษณ์ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 09, 2007, 10:34:13 PM
ที่คุณPeeravit ตอบมาไม่แน่ใจว่าถูกรึเปล่านะครับแต่นี่คือวิธีทำของพี่  \mathfrak{Mwitish} ครับ

เราได้ว่า F=w \dfrac{d}{dt}m+m \dfrac{d}{dt}w\equiv \dfrac{mv^2}{r} ซึ่งพจน์m \dfrac{d}{dt}wเป็นศูนย์ (เพราะว่าแรงที่กระทำตั้งฉากนั้นเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง)

...


รู้ได้อย่างไรว่าอัตราเร็วพอดีที่ทำให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงทำตั้งฉากก็จริง แต่อัตราเร็วมันเหมาะพอดีกับขนาดของแรงที่จะทำให้เป็นวงกลมหรือเปล่า  :o

ผมไม่เข้าใจครับ ว่าถ้ามันไม่เป็นวงกลมแล้วมะนควรจะเป็นรูปอะไรครับ
ขอความกรุณาด้วยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 10, 2007, 06:59:31 AM
...

Quote
รู้ได้อย่างไรว่าอัตราเร็วพอดีที่ทำให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม แรงทำตั้งฉากก็จริง แต่อัตราเร็วมันเหมาะพอดีกับจาดของแรงที่จะทำให้เป็นวงกลมหรือเปล่า  :o

ผมไม่เข้าใจครับ ว่าถ้ามันไม่เป็นวงกลมแล้วมะนควรจะเป็นรูปอะไรครับ
ขอความกรุณาด้วยครับ

ตอบคำถามเดิมก่อนว่าอัตราเร็วของจรวดกับแรงที่ทำต่อจรวดมีขนาดพอดีกันที่จะทำให้จรวดเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้อย่างไร  มันจะเป็นรูปร่างอะไร หรือแม้แต่วงกลมนั้นเป็นอีกประเด็นหนึ่ง  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 10, 2007, 10:25:41 AM
รบกวนอาจารย์อีกครั้งนะครับ  >:A
คือผมไม่ทราบว่า นอกจากวงกลมแล้วมันสามารถเป็นรูปอื่นๆได้ด้วยเหรอครับ ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) แล้วในกรณีที่ไม่เป็นวงกลมมันคืออะไรครับ

ขอความกรุณาด้วยขอร้าบ >:A >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 10, 2007, 05:01:41 PM
รบกวนอาจารย์อีกครั้งนะครับ  >:A
คือผมไม่ทราบว่า นอกจากวงกลมแล้วมันสามารถเป็นรูปอื่นๆได้ด้วยเหรอครับ ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) ](*,) แล้วในกรณีที่ไม่เป็นวงกลมมันคืออะไรครับ

ขอความกรุณาด้วยขอร้าบ >:A >:A

คำถามเดิมยังไม่ได้ตอบ  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: PARADOX on April 16, 2007, 07:49:36 PM
ข้อ55 จาก Bullen วัตถุ P เเละ Q โคจรเป็นวงกลมรอบจุด O โดยที่รัศมีเท่ากับ 2a เเละa โดยความเร็วเท่ากับ V เเละ 2V ตามลำดับ จงเเสดงว่าตอนที่ความเร็วสัมพัทธ์ของวัตถุ P เทียบ Q ขนานกับ เส้น PQ เเล้วมุม POQ เท่ากับ arctan (3/4) เเละ ความเร็วสัมพัทธ์ เท่ากับเท่าไหร่


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on April 16, 2007, 09:21:51 PM
ข้อ55
............

ข้อ 54 ยังไม่มีคนมาทำเลย

ข้อ 54
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.msg12000.html#msg12000 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.msg12000.html#msg12000)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 17, 2007, 07:52:19 AM
ข้อ55 จาก bullen วัตถุ q เเละp โคจรเป็นวงกลมรอบจุด O โดยที่รัศมีเท่ากับ a เเละ2a โดยความเร็วเท่ากับ V เเละ 2V ตามลำดับ จงเเสดงว่าตอนที่ความเร็วสัมพัทของวัตถุ Pเทียบq ขนาดกับ เส้น pq เเล้วมุม poq เท่ากับ\arctan 3/4 เเละ ความเร็วสัมพัท เท่ากับเท่าไหร่

ช่วยตรวจทานโจทย์ด้วย  ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: PARADOX on April 17, 2007, 10:07:07 AM
ข้อ55 จาก bullen วัตถุ q เเละp โคจรเป็นวงกลมรอบจุด O โดยที่รัศมีเท่ากับ a เเละ2a โดยความเร็วเท่ากับ V เเละ 2V ตามลำดับ จงเเสดงว่าตอนที่ความเร็วสัมพัทของวัตถุ Pเทียบq ขนาดกับ เส้น pq เเล้วมุม poq เท่ากับ\arctan 3/4 เเละ ความเร็วสัมพัท เท่ากับเท่าไหร่

ช่วยตรวจทานโจทย์ด้วย  ???
เเก้เเล้วครับ ขอบคุณครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 17, 2007, 10:48:54 AM
ข้อ55
............

ข้อ 54 ยังไม่มีคนมาทำเลยอ่ะ

ข้อ 54
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.msg12000.html#msg12000 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.msg12000.html#msg12000)

จัดให้ครับ  ;D แต่ไม่รู้ว่าผิดไหนนะครับ พอดีผมมั่วๆมา แต่ผิดก็คงไม่มากล่ะ

ข้อ 54

ก.)
ให้ความเร่งของ m เทียบพื้นเอียงเป็น w

"เลือกกรอบอ้างอิงที่ติดไปกับพื้นเอียง" ใช้การแปลงกฏของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่ง ได้ว่า

\displaystyle m\vec{g} + \vec{N}-m\vec{a} = m\vec{w} ---(1)

พิจารณองค์ประกอบของเวกเตอร์ในสมการ (1) ในแนวขนานพื้นเอียง และตั้งฉากกับพื้นอียง

ในแนวตั้งฉากพื้นเอียง จากความสมดุล ได้ว่า

\displaystyle ma \sin \theta + mg \cos \theta = N ---(2)

ในแนวขนานพื้นเอียง ได้ว่า

mg \sin \theta - ma \cos \theta = mw
w = g \sin \theta - a \cos \theta ---(3)
ตอบ ก.)  g \sin \theta - a \cos \theta

ข.)
พิจารณาพื้นเอียง แรงที่ทำต่อพื้นเอียงได้แก่ แรง F แรง N จากm แรงMgจากน้ำหนักของมัน แรง N^\prime จากพื้นดันมัน

เนื่องจากสมดุลในแนวดิ่ง N^\prime = N \cos \theta + Mg
แทนค่าจาก (2) N^\prime = ma \sin \theta \cos \theta + mg \cos^2 \theta + Mg

สมการของการเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็นF - N \sin \theta = Ma
แทนค่าจาก (2) F = Ma + ma \sin^2 \theta + mg \cos \theta \sin \theta

ตอบ ข.)
แรง F = Ma + ma \sin^2 \theta + mg \cos \theta \sin \theta
แรงจากน้ำหนัก Mg
แรงที่พื้นดันมัน ma \sin \theta \cos \theta + mg \cos^2 \theta + Mg
แรงที่mดันมัน \displaystyle ma \sin \theta + mg \cos \theta

ค.)
ถ้าทรงกระบอกไม่กลิ้งขึ้นหลือลงเทียบพื้นเอียง แสดงว่าความเร่งของมันเทียบพื้นเอียงwต้องเป็น0
จาก(3) w=w = g \sin \theta - a \cos \theta=0 ดังนั้น a =g \tan \theta นำไปแทนค่าใน Fจากข.) ได้ว่า
ตอบ ค.) F = {M \tan \theta + m (\tan \theta \sin^2 \theta + \cos \theta \sin \theta)}g


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: PARADOX on April 17, 2007, 11:09:03 AM
ช่วยอธิบายการเเปลงกฎนิวตันในกรอบอ้าอิงที่มีความเร่งหน่อยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 17, 2007, 12:19:35 PM
ข้อ 55

ใช้ความรู้คณิตศาสตร์เรื่องเรขาคณิตเล็กน้อย จะแสดงได้ว่ามุมต่างๆจะเท่ากันดังภาพ โดยv* เป็นความเร็วของPเทียบกับQ

จากภาพ เมื่อตอนที่ความเร็วสัมพัทธ์ของวัตถุ PเทียบQ ขนานกับ เส้น PQ แสดงว่า  B = C+ \pi /2 เนื่องจากA + B + C = \pi และ(The law of sine)\sin B=2\sin C แก้ทั้ง3สมการได้ผลว่า A = \tan^{-1}3/4 และโดยใช้The law of cosine
ได้ว่า v*^2 =V^2+(2v)^2-2V(2V)\cos A v* =\frac{3}{\sqrt{5}}V

ป.ล.เดาว่าน่าจะมีวิธีทำที่ใช้คณิตศาสตร์น้อยกว่านี้ สังเกตุจาก A = \tan^{-1}3/4 จะไปลองคิดมาอีกทีครับ
ป.ล.2 การแปลงกฏของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่ง ถ้าเต็มๆลองอ่านจากหนังสือของป๋าดูนะครับ แต่ส่วนที่ข้อ54ใช้แสดงได้ง่ายๆคือ
ให้เวกเตอร์บอกตำแหน่งของวัตถุที่พิจารณาอ้างอิงกับจุดOของกรอบเฉื่อยกรอบหนึ่งเป็น \vec{r} กฎของนิวตันในกรอบอ้างอิงเฉื่อยกรอบนั้น \vec{F}_{ext}=m\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}
เวกเตอร์บอกตำแหน่งของกรอบที่มีความเร่งที่พิจารณาอ้างอิงกับจุดOของกรอบเฉื่อยกรอบหนึ่งเป็น \vec{R} เวกเตอร์บอกตำแหน่งของของวัตถุที่พิจารณาอ้างอิงกับกรอบที่มีความเร่งเป็น \vec{r}-\vec{R}\equiv \vec{r^*} ทำการหาอนุพันธ์2ครั้งเทียบเวลาได้ว่า \frac{d^2}{dt^2} \vec{r^*} = \frac{d^2}{dt^2}\vec{r}-\frac{d^2}{dt^2}\vec{R}  และกรอบที่มีความเร่งที่เราพิจารณานี้มีความเร่งเชิงเส้นอย่างเดียว ไม่มีการเปลี่ยนทิศของความเร่งนั้น ทิศของความเร่งจึงอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์บอกตำแหน่งเสมอ
คือ \frac{d^2}{dt^2}\vec{R} = \vec{a} นำสมการทั้งหลายผสมกันและจัดรูป ได้ว่า \vec{F}_{ext}-m\vec{a}=m\frac{d^2}{dt^2} \vec{r^*}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 17, 2007, 12:48:43 PM
ข้อ 56 (จาก200 Puzzling Physics Problems)

A small object is at rest on the edge of a horizontal table. It is pushed in such a way that it falls off the other side of the table, which is 1 m wide, after 2 s. Does the object have wheels.

แปลไทย โดย Toaster

วัตถุเล็กๆซึ่งอยู่นิ่งที่ขอบหนึ่งของโต๊ะราบ ถูกไม้แยง(ถูกดล)ในแบบที่ทำให้มันไปตกที่อีกฝั่งหน่งของโต๊ะซึ่งกว้าง1m ในเวลา2s
วัตถุนั้นมีล้อหรือไม่
ป.ล.ในความเข้าใจของผมก็คือถามว่ามันมีการกลิ้งหรือไม่น่ะครับ

ยืดเวลาถึงพรุ่งนี้ครับ

Hint
ลองหาสัมประสิทธิความเสียดทานที่ทำให้มันไถลไปตกอีกขอบได้ดูว่าเป็นอย่างไร


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 20, 2007, 07:11:12 PM
เฉลยข้อ56

สมมติว่ามันเคลื่อนที่โดยไถลไปกับพื้นโต๊ะตลอด
ถ้ามันเคลื่อนที่โดยไถลไปกับพื้นโต๊ะตลอด แล้วมันจะมีแรงเสียดทานจลน์ทำให้มีความเร่ง -\mu g = Const. ตลอด
แล้วความเร็วเฉลี่ยจะ v_{av} \equiv \frac{\Delta s}{\Delta t} = 1/2 \mbox{m/s}=(u + v)/2
แล้วด้วยความที่มันกลิ้งตกพื้นได้ ดังนั้น v \geq 0 \mvox{m/s} ดังนั้น u \leq 1 \mbox{m/s}
เนื่องจากv = u+at =u-2\mu g \geq 0 2\mu g \leq u \leq 1 \mbox{m/s} \mu \leq \frac{1}{2g}\approx 0.05 ซึ่ง"โดยทั่วไป"สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างวัตถุกับโต๊ะ ไม่ใช่ค่าที่\approx 0.05 เป็นแน่แท้
แต่เนื่องจากการคำนวณที่ผ่านมา เราไม่ได้ทำอะไรผิดไป(โดยประมาณ) ดังนั้นสิ่งที่ผิดจึงเป็นไปได้อย่าเดียวคือ สมมติฐานเราผิด
แสดงว่ามันต้องไม่ได้เคลื่อนที่โดยไถลไปกับพื้นโต๊ะตลอด แสดงว่ามันจะต้องมีการกลิ้งด้วย ตอบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on April 20, 2007, 08:56:06 PM
ข้อ 57

"How high would the male world-record holder jump (at an indoor competition!) on the moon?"

"ชายที่เป็นเจ้าของสถิติโลกกระโดดสูง จะกระโดดได้สูงเท่าไรบนดวงจันทร์?" (10 คะแนน)



ข้อมูล
1.สถิติโลกกระโดดสูงของชายคือประมาณ 240 cm และนักกระโดดสูงประมาณ 190 cm มีมวล 80 kg โดยCMของอยู่สูงประมาณ 110 cm
2.ในการกระโดดสูง ร่างของนักกระโดดจำเป็นจะต้องข้ามผ่านบาร์ขวางไป แต่CMของเขาไม่จำเป็น ดังเช่นที่จะเห็นทั่วไปในการกระโดดปัจจุบัน ที่เขาจะแอ่นหลังหงายตัวข้ามบาร์ไป ซึ่งโดนทั่วไปเทคนิคนี้จะทำให้เขาผ่านบาร์ได้ทั้งๆที่CMของเขาจะอยู่ใต้บาร์ไปประมาณ 20 cm
3.ในการย่อตัวเพื่อกระโดด CMของเขาจะต่ำลงไปจากตอนยืนประมาณ 40 cm
4.ค่านิจความโน้มถ่วงที่ดวงจันทร์มีค่าประมาณ1ใน6ของค่านิจความโน้มถ่วงบนโลก

จงทำการแสดงวิธีทำประกอบ เพื่อตอบทำถามย่อยต่อไปนี้ โดยใช้ข้อมูลข้างต้น เพื่อพิจารณาหาคำตอบของคำถามหลัก

1.) จงหาว่าCMของชายผู้นี้มีการเคลื่อนในการกระโดดขึ้นสูงจากตอนที่ย่อตัวเพื่อกระโดดเท่าไร (1คะแนน)
2.) จงหาว่าชายผู้นี้ต้องทำงานเท่าใด ในการกระโดดให้ได้ดังสถิติ (1คะแนน)
3.) จงอาศัยสมมติฐานว่ากล้ามเนื้อของชายผู้นี้ยังคงทำงานได้เท่าเดิมบนดวงจันทร์ เพื่อหาว่าCMของชายผู้นี้จะเคลื่อนขึ้นได้สูงเท่าใด (2คะแนน)
4.) จงหาว่าชายผู้นี้จะทำสถิติได้เท่าไรบนดวงจันทร์ (2คะแนน)
5.) จงเปรียบเทียบการคำนวณข้างต้น กับการคำนวณโดยง่ายที่ถือว่าในการกระโดดทั้งสองที่มีความเร็วต้นเท่ากัน สถิติที่ได้มีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่ (4คะแนน)



*ไม่ต้องสนใจว่าบนดวงจันทร์ไม่มี indoor competition ให้พิจารณาในทำนองเดียวกับบนโลก

ป.ล. คะแนนใส่เล่นๆครับ




Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on July 30, 2007, 07:42:19 PM
ตอบข้อ 57 ตามความเข้าใจของผมแล้ว โจทย์น่าจะบอกว่านักกระโดดที่สูงที่สุดในโลกสามารถกระโดดข้ามบาร์สูง 2.4 เมตร ได้(คนเดียวในโลก) โดยที่คนจะงอตัวข้ามบาร์ทำให้เมืองอตัวจุด cm จึงอยู่ใต้บาร์(ลองนึกภาพสะพานโค้งที่ CM ไม่ได้อยู่ในเนื้อสะพาน)

1)เนื่องจากตอนที่เขาย่อตัวนั้น CM ของเขาจากเดิมอยู่ที่ 110 cm.ต่ำลงไป 40 cm แล้ว เขาจำงกระโดดข้ามบาร์โดยที่ CM จะอยู่ใต้บาร์ 20cm (บาร์สูง 240 cm.)
ดังนั้น CM ของเขาจะสูงขึ้น 220-70 = 150 cm= 1.5 เมตร Ans(1)

2)งานที่ทำไปนั้นคือการทำพลังงานของตัวเองเพิ่มขึ้นก็คือ  W=mgh=(80)(10)(1.5)= 120 \; joule   Ans(2)โดยที่นักกระโดด ทำให้ CM ของตัวเองสูงขึ้น 1.5 เมตร และ ให้การค่านิจความโน้มถ่วงของนโลกคือ 10 \; m/s^2

3) เนื่องจาก กล้ามเนื้อสามารถทำงานได้เท่าเดิม แสดงว่า 120=W=mg_{moon}h_{moon}  ดังนั้น  h_{moon}=\dfrac{w}{mg_{moon}}=\dfrac{120}{(80)(10/6)}=9\;m แต่ว่า ถามว่า CM สูงเท่าไร เราต้องบวกด้วยค่าความสูง CM ตอนที่ย่อลงไปเป็น 9.7\;m\;\;\;\;Ans(3)

4)จากสถิติ เห็นว่า CM ของนักกระโดดสูงจะอยู่ใต้บาร์เป็นระยะ 20 cm เราจะได้ว่า ความสูงของนักกระโดดเป็น 9.7+0.2=9.9 \; m   Ans(4)

5)ผมไม่ค่อยแน่ใจว่าที่คุณ Toaster บอกว่าการคำนวณโดยง่ายนั้นหมายถึงให้คนเหมือนจุดมวลรึเปล่า แต่ผมทึกทักเอาเองว่าเป็นเช่นนั้น (ถ้าผมทึกทักผิดขอให้กรุณาส่ง Personal Massage มาหาผมด้วยจะรีบแก้ไขโดยทันท่วงที) ผมจะให้ว่าเนื่องจากความสูงของการที่โยนโพรเจคไทล์ขึ้นตามแนวระดับเป็น h=\dfrac{u^2}{2g}ดังนั้นถ้า g น้องลง 6 เท่า แล้ว ความสูงจะเพิ่งขึ้น 6 เท่า ซึ่งนั่นก็คือ 2.4\times 6 = 14.4 \; m

สถิติที่ได้นั้นแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญเพราะว่าการคำนวณแบบแรกนั้นคือการคำนวณพลังงานศักย์ของ CM บ่งบอกว่าจุด cm นั้นไม่ได้ขึ้นสูง 240 cm แต่การคำนวณแบบที่  2 นั่นคิดว่า cm ขึ้นสูง 240 cm ซึ่งผิด

จบอย่าง ไม่แน่ใจว่าจะสวยงามรึเปล่า

ปล. หลังจากที่ข้าพเจ้าได้ไตร่ตรองข้อ 53 โดยละเอียด ผมพบว่าข้อ  53 นั้นผมเฉลยผิด  โดยที่มุมที่เบนไปไม่จำเป็นต้องเป็นวงกลมเนื่องจากความเร่งสู่ศูนย์กลางไม่คงที่   ขออภัยอย่างสูงต่อท่านอาจารย์และเพื่อนๆชาว MPEC ทุกคน >:A >:A >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on July 30, 2007, 08:08:41 PM
...
โดยที่นักกระโดด ทำให้ CM ของตัวเองสูงขึ้น 1.5 เมตร และ ให้การค่านิจความโน้มถ่วงของนโลกคือ 10 \; m/s
...
ผมว่ามันแปลกๆอยู่น้า ตกลงมันคือค่านิจโน้มถ่วงG(สากล) หรือ ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก  g=9.8 \mbox{m/s^2} หรือว่าเป็นอย่างอื่น :idiot2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on July 30, 2007, 08:16:54 PM
g ประมาณว่า 10 ครับ ค่า G  นั้นเป็นค่าคงที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ครับ  ส่วนค่าที่น้อยกว่าโลก 6 เท่านั้นคือ ค่า g ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on July 30, 2007, 08:21:09 PM
g ประมาณว่า 10 ครับ ค่า G  นั้นเป็นค่าคงที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ครับ  ส่วนค่าที่น้อยกว่าโลก 6 เท่านั้นคือ ค่า g ครับ
ผมกำลังงงว่า ค่านิจโน้มถ่วงที่Mwit_Psycoror อ้างถึง มันประมาณ 10 m/s <----(หน่วยก็แปลกๆ) ผมว่าน่าจะเปลี่ยนคำว่า ค่านิจโน้มถ่วงของโลก เป็น ....ของโลก จะดีกว่านะครับ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on July 30, 2007, 08:48:23 PM
อ้ะจึ๊ย  ส่งสัยว่าพิมพ์ผิดครับ ขออภัย


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on July 30, 2007, 08:55:06 PM
ข้อ 58

จากรูป แผ่นโลหะรูปสามเหลี่ยม(ใดๆไม่ต้องเป็นด้านเท่า)มวล M น้ำหนัก w ถูกผูกด้วยเชือกทั้งสามมุมยาว \ell_1\; \ell_2\; \ell_3 ตามลำดับโดยที่ CM.อยู่ต่ำกว่าจุดแขวน h จงหาค่าความตึงเชือกของทั้ง 3 เส้น

Hint: CM ต้องอยู่แนวเดียวกับจุดแขวนมิเช่นนั้นจะเกิดทอร์ก


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on July 30, 2007, 09:45:33 PM
ข้อนี้(58)ตอบแบบนี้หรือปล่าวอ่ะครับ(ถ้าตอบถูกจะมาโพสวิธีทำ...ถ้าผิดจะได้กลับไปทำมาใหม่ ;D)
\left| {\overrightarrow {T_1 } } \right| = {l_1 \over {3h}}w
\left| {\overrightarrow {T_2 } } \right| = {l_2 \over {3h}}w
\left| {\overrightarrow {T_3 } } \right| = {l_3 \over {3h}}w

ช่วยเช็คคำตอบด้วยครับ ถ้าถูกวิธีทำจะตามมา :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on July 30, 2007, 11:35:36 PM
ผมทำวิธีทำไปเลยแล้วกันนะครับ ถูกผิดยังไงก็ช่วยแนะนำด้วยครับ
ข้อนี้ใช้เรื่องสมดุลของแรง4แรงคือ T1 T2 T3 และ W
จากการที่มันสมดุลอยู่ได้
\overrightarrow {T_1 }  + \overrightarrow {T_2 }  + \overrightarrow {T_3 }  + \overrightarrow W  = \overrightarrow 0---->(1)
และพบว่าแรงตึงเชือกอยู่ในแนวของความยาวเชือก และ ความยาวเชือกก็มีความสัมพันธ์กับปริมาณต่างๆดังนี้
\overrightarrow l  = \overrightarrow h  - \overrightarrow r--->(1.5 :2funny:)<---ลืมใส่ตอนแรก-*-
\therefore \overrightarrow {T_n }  = \Psi _n (\overrightarrow h  - \overrightarrow {r_n } )--->(2)เมื่อ n คือลำดับ1,2,3และ\Psi _nคือค่าคงที่ค่าหนึ่ง(จากที่รู้ว่าแรงตึงเชือกมันอยู่แนวเดียวกับความยาวเชือก ก็เอาค่าคงที่คูณเวกเตอร์ความยาวไปก่อนก็ไม่น่าจะเสียหายอะไร :laugh:)
และ \overrightarrow {r_1 }  + \overrightarrow {r_2 }  + \overrightarrow {r_3 }  = \overrightarrow 0--->(3)
(ลองเอามาบวกกันดูจริงๆก็จะได้ว่ามันจะวนกลับมาที่เดิมจริงๆ :))
เอา(3)ย้ายข้างได้ว่า \overrightarrow {r_3 }  =  - (\overrightarrow {r_1 }  + \overrightarrow {r_2 } )--->(4)
และจากรูป+ที่โจทย์บอก ได้ว่า W อยู่ในแนวเดียวกับ h และ จุดแขวน จะได้ว่า W= ค่าคงที่ คูณ h โดยที่ค่าคงที่นั้นเป็นค่าคงที่ลบ(ทิศของh กับ W ตรงกันข้ามกัน) สมมติให้ค่านั้นคือ \Upsilon ก็แล้วกัน(ดูขลังดี ;D)
แทนค่า W กับ (2) และ (4) ลงใน(1) แล้วดึงตัวร่วมเอา r1 r2 และ h ออกมา จะได้ว่า
\left( {\Psi _1  + \Psi _2  + \Psi _3  + \Upsilon } \right)\overrightarrow h  + \left( {\Psi _3  - \Psi _1 } \right)\overrightarrow {r_1 }  + \left( {\Psi _3  - \Psi _2 } \right)\overrightarrow {r_2 }  = \overrightarrow 0--->(5)
สมการนี้ จะเป็นจริงได้ถ้าทั้ง3ก้อนรวมกันเป็น 0 แต่ถ้าดูดีๆจะเห็นว่า r1 r2 กับh นั้นไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน การที่มันจะรวมกันเป็น0ได้นั้น แสดงว่า ก้อนที่อยู่ข้างหน้ามันต้องมีค่าเป็น0(ทางการเรียกก้อนนั้นว่าสัมประสิทธิ์ซึ่งผมมักจะไม่ค่อยได้เรียก :uglystupid2:)
และจากเงื่อนไขนี้จะได้ว่า \Psi _1  = \Psi _2  = \Psi _3  = \Psi---->(6)
(แก้นะครับ(ขอบคุณtoasterที่เตือนครับ^^))
แล้วนำ(6)ไปแทนใน(2) หาค่าของแต่ละแรงแล้วนำค่าที่ได้ไปแทนใน(1) แล้วใช้สมการ(3)ช่วยแก้ไขจะได้ว่า
\Psi  = {w \over {3h}}
เอาไปแทนค่ากลับใน(2)จะได้คำตอบออกมา
\left| {\overrightarrow {T_1 } } \right| = {l_1 \over {3h}}W
\left| {\overrightarrow {T_2 } } \right| = {l_2 \over {3h}}W
\left| {\overrightarrow {T_3 } } \right| = {l_3 \over {3h}}W

รบกวนเจ้าของคำถามเช็คด้วยว่าถูกหรือเปล่า(คิดว่าไม่น่าจะผิด :buck2:) ถ้าถูกแล้วจะโพสโจทย์ข้อ59ต่อไป :angel:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on July 31, 2007, 12:00:38 AM
เยี่ยมมากเลยครับ  :gr8 

\therefore \overrightarrow {T_n }  = \Psi _n (\overrightarrow h  - \overrightarrow {r_n } )--->(2)เมื่อ n คือลำดับ1,2,3และ\Psi _nคือค่าคงที่ค่าหนึ่ง(จากที่รู้ว่าแรงตึงเชือกมันอยู่แนวเดียวกับความยาวเชือก ก็เอาค่าคงที่คูณเวกเตอร์ความยาวไปก่อนก็ไม่น่าจะเสียหายอะไร :laugh:)

เป็นวิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่คาดไม่ถึง  สุดยอดเลยครับ

ท่าน Great เป็นใครครับนี่ (อย่าบอกนะว่าท่านพี่ พิเชฐ  หนะ) ^  ^


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on July 31, 2007, 12:24:02 AM
เยี่ยมมากเลยครับ  :gr8 

\therefore \overrightarrow {T_n }  = \Psi _n (\overrightarrow h  - \overrightarrow {r_n } )--->(2)เมื่อ n คือลำดับ1,2,3และ\Psi _nคือค่าคงที่ค่าหนึ่ง(จากที่รู้ว่าแรงตึงเชือกมันอยู่แนวเดียวกับความยาวเชือก ก็เอาค่าคงที่คูณเวกเตอร์ความยาวไปก่อนก็ไม่น่าจะเสียหายอะไร :laugh:)

เป็นวิธีการแก้โจทย์ปัญหาที่คาดไม่ถึง  สุดยอดเลยครับ

ท่าน Great เป็นใครครับนี่ (อย่าบอกนะว่าท่านพิเชษฐ์ หนะ) ^  ^
ท่านพิเชษฐ์คือใครหลอครับ  ??? ผมชื่อเกรท(อาจารย์ปิยพงษ์ชอบเรียกนามสกุลผม :laugh:)ครับ เป็นเด็กสอวน.ค่ายม.4(ปีล่าสุด) ตอนนี้รอสอบสสวท.รอบ2อ่ะครับ :)(หาโจทย์ทำไปเรื่อยๆ :reading)
(ก่อนโพสวิธีทำลองให้พี่แชมป์ตรวจให้ดูก่อนรอบนึงครับ ส่วนข้อนี้ผมคุ้นๆว่าเคยเจอใน200PuzzlingPhysProblemsของCambridgeฯ (เห็นรูปคล้ายๆกัน)
(ขอบคุณสำหรับคำชมครับ แต่วิธีทำข้อนี้ผมก็คิดตั้งนาน(เกือบชั่วโมง-*-)กว่าจะออกมาอย่างที่เห็นครับ(บางอันตอนแรกก็มั่วไปก่อนแล้วพอออกมาตอนหลังก็เพิ่งจะได้ออกมา))

ส่วนข้อที่59เดี๋ยวพรุ่งนี้(อังคารที่31ก.ค.)จะนำมาโพสให้ครับ(ตอนนี้ง่วงแล้วขอไปนอนก่อนครับ :buck2:)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on July 31, 2007, 01:18:37 PM
ข้อ59:เมื่อกิ๊กของฟิล์มรัฐภูมิถูกลักพาตัว :o (ผมคิดได้ตอนนอนพอดี 555+ ข้อนี้โจทย์อาจจะยาวหน่อย ไม่ยากแต่อาจทำให้มึนได้)
มีอยู่วันหนึ่ง"ป่อย"กิ๊กสาว(ประเภท2)ของนักร้องชื่อดัง ฟิล์ม ได้ถูกลักพาตัวโดยนพ.ตะหงิด...(คุณก็รู้ว่าใคร ;D) ไปไว้บนยอดตึกใบหยัก ซึ่งป่อยได้ถูกนำไปขังไว้ที่ชั้นเกือบบนสุด สูงจากพื้นโลก h เมื่อฟิล์มทราบเรื่องก็ได้เรียกซูเปอร์แมนมาช่วย โดยเขาได้กอดซูเปอร์แมนเหาะที่ห่างจากตึก x โดยซ.แมนมีความสามารถในการเหาะได้ด้วยความเร่งคงที่ a และเมื่อเหาะขึ้นได้ความเร็วVs ฟิล์มได้ตัดสินในถีบซูเปอร์แมนออกไปในแนวระดับด้วยความเร็วค่าหนึ่งเทียบพื้นโลก(ให้เป็นVfilm)(ถึงตอนนี้ปล่อยซ.แมนทิ้งไปเลย :2funny:) พบว่าเขาจะลอยเข้าหน้าต่างห้องขังได้พอดี จงหาความเร็วVfilm นั้นในรูปของ Vs x a h หรือตัวแปรอื่นๆที่อาจต้องมี
แต่เรื่องมันไม่จบแค่นี้ เมื่อฟิล์มกับป่อยได้มาถึงประตูทางออก เขาได้พบกลไกที่นพ.ตะหงิด ได้วางเอาไว้ กลไกนั้นเป็นมวลm 3ก้อน ติดกันด้วยสปริงอเส็งเคร็ง(ที่เป็นไปตามกฎของHooke)ที่มีค่าคงที่สปริงkวางบนแท่นราบลื่นในแนวระดับ(ไม่ต้องสนใจmg) และมีเงื่อนไขว่าเขาจะต้องรบกวนระบบให้มันมีความถี่\omega ค่าเดียว(นั่นคือความถี่ของนอร์มอลโหมด)ประตูทางออกจึงจะเปิด ถามว่า ฟิล์มจะรบกวนระบบให้ได้เงื่อนไขดังกล่าวได้กี่วิธี และรบกวนอย่างไร ได้ความถี่ระบบของการรบกวนแบบนั้นมีค่าเท่าไร(ตอบในรูปตัวแปรที่ให้มา)
สมมติให้คุณเป็นฟิล์ม และช่วยเขาในการแก้ปัญหาเหล่านี้ ถ้าคุณแก้ภายใน3วันได้เรื่องทุกอย่างจะHappy Ending แต่ถ้าแก้ไม่ได้(หรือไม่มีใครแก้-*-) นพ.ตะหงิดจะทำการทรมาณด้วยโจทย์ข้อที่60ทันที(ซึ่งถ้าไม่มีใครมาทำ ผมก็คงต้องโพส^^) ขอให้โชคดี
Hint: ข้อแรก สมมติตัวแปรเพิ่มนิดหน่อย แล้วมันจะหายไปเอง(ถ้าผมตั้งโจทย์ถูก :uglystupid2:)
        ข้อสอง ลองดูรูปภาพจะพบกับสิ่งที่ฟิล์มได้บอกไว้ให้ ข้อนี้ผมทำโดยเปิดหนังสือเล่มนั้น(ไปซื้อตามคำแนะนำของพี่Physics_Puccaในกระทู้แนะนำหนังสือฟิสิกส์) เรื่อง eigen value(หรือใครจะไม่ใช้ก็ได้ไม่ว่ากัน ;))
ถ้าโจทย์ไม่ดีไม่น่าทำ กรุณาติชมด้วยครับ เพราะผมก็ไม่เคยตั้งโจทย์ลักษณะนี้มาก่อน ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on July 31, 2007, 02:03:23 PM
โจทย์มันส์มากเลยครับ   :2funny:

ผมจะลองทำดูนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 01, 2007, 12:37:23 PM
ได้เห็นmarathonกลับมาฟื้นฟูอีกครั้ง  :)

เห้นน้องๆทำวิธียากๆกันจัง พี่ดูแล้วมึน  :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 02, 2007, 07:36:12 PM
ยังไม่มีใครสนใจทำโจทย์ข้อ59เลยหรอ ???
หรือเพราะยังไม่หยุดเสาร์อาทิตย์... :idiot2:
งั้นเพิ่มเป็นถึงวันเสาร์ตอนค่ำๆแล้วกันนะครับ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: nklohit on August 03, 2007, 11:36:17 PM
วิธีทำข้อ 59 ครับ ช่วยแนะนำด้วยนะครับ
Film & Superman
สมมติให้ความสูงจากพื้นจนถึงจุดที่ฟิล์มถีบซูเปอร์แมนเป็น s
จากที่ซูเปอร์แมนมีความเร่งคงที่ a เราจะหาระยะ s ได้จาก
    v ^{2}=u^{2}+2as
    v_{s}^{2}=2as
  \therefore s=\dfrac{v_{s}^{2}}{2a}
ให้ y เป็นระยะห่างระหว่าง h กับ s
  \therefore y=h-\frac{v_{s}^{2}}{2a}
จากสมการการเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์
x=v_{f}t.........................1
y=v_{s}t-\dfrac{1}{2}gt^{2}.............2
จะได้ t=\dfrac{x}{v_{f}}  นำไปแทนค่าใน ...2  ได้เป็น
y=v_{s}\dfrac{x}{v_{f}}-\dfrac{gx^{2}}{2v_{f}^{2}}
\dfrac{gx^{2}}{2}\left(\dfrac{1}{v_{f}}\right)^{2}-v_{s}x\left(\dfrac{1}{v_{f}}\right)+\left(h-\dfrac{v_{s}^{2}}{2a}\right)=0
แก้สมการแล้วจะได้
v_{f}=\dfrac{gx}{v_{s}\pm \sqrt{v_{s}^{2}(1+\dfrac{g}{2a})-2gh}}

ระบบมวลกับสปริง
ให้ระยะยืดของมวลแต่ละก้อนจะซ้ายไปขวาเป็น    x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}   ตามลำดับ
เขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวลทั้งสามก้อนได้เป็น
m\ddot{x_{1}}=-k(x_{1}-x_{2}).............................1
m\ddot{x_{2}}=-k(x_{2}-x_{1})-k(x_{2}-x_{3})........2
m\ddot{x_{3}}=-k(x_{3}-x_{2}).............................3
จากความรู้ที่สั่งสมมาเราสันนิษฐานว่าคำตอบควรเป็นดังนี้
\begin{array}{rcl} x_{1}(t) &=& A_{1}e^{i\omega t} \cr x_{2}(t) &=& A_{2}e^{i\omega t} \cr x_{3}(t) &=& A_{3}e^{i\omega t} \end{array}
แล้วนำกลับไปแทนในสมการการเคลื่อนที่ทั้งสาม จะได้ว่า
\begin{array}{rcl}(k-\omega^{2}m)A_{1}-kA_{2} &=& 0 \cr -kA_{1}+(2k-\omega^{2}m)A_{2}-kA_{3} &=& 0 \cr -kA_{2}+(k-\omega^{2}m)A_{3} &=& 0\end{array}
หรือเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้ว่า
\begin{bmatrix}k-\omega^{2}m&-k&0 \cr -k&2k-\omega^{2}m&-k \cr 0&-k&k-\omega^{2}m  \end{bmatrix}\begin{pmatrix}A_{1} \cr A_{2} \cr A_{3} \end{pmatrix} =0
จากความรู้เรื่องดิเทอร์มิแนนท์  ดิเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์จัตุรัสทางด้านซ้ายต้องเท่ากับศูนย์
\left| \begin{matrix}k-\omega^{2}m&-k&0 \cr -k&2k-\omega^{2}m&-k \cr 0&-k&k-\omega^{2}m  \end{matrix} \right|  =0
เราจะได้
(k-\omega^{2}m)[(k-\omega^{2}m)(2k-\omega^{2}m)-2k^{2}]=0
กรณีที่ 1
k-\omega^{2}m=0
\therefore \; \; \; \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}
กรณีที่ 2
(k-\omega^{2}m)(2k-\omega^{2}m)-2k^{2}=0
2k^{2}-3k\omega^{2}m+\omega^{4}m^{2}=2k^{2}
\cancelto{\omega^{2}m}{\omega^{4}m^{2}}=3k\cancel{\omega^{2}m}
\omega^{2}=\dfrac{3k}{m}
\therefore \; \; \; \omega=\sqrt{\dfrac{3k}{m}}

ความถี่เชิงมุมของระบบ
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\sqrt{\dfrac{3k}{m}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 04, 2007, 09:44:56 AM
...
ดังนั้นระบบจึงมีความถี่เชิงมุมเป็น    \sqrt{\dfrac{3k}{m}}
(ยังตอบไม่ครบนะครับ ง่วงแล้วครับ ขอตอบแค่นี้ก่อน) :reading :reading :reading :reading :reading
...
คำตอบไม่ครบจริงๆด้วย ;D(เหมือนกับว่าคำตอบบางตัวหายไป :o...รีบมาโพสแล้วกันนะครับ)
ข้อ1ดูจากสมการแล้วน่าจะถูก แต่คำตอบผมก็ไม่ทราบว่าถูกหรือปล่าวเพราะว่าผมก็ไม่ได้คิดคำตอบไว้ตอนตั้งโจทย์ ^-^
ส่วนข้อสองมาทำต่อให้ครบแล้วกันนะครับ :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 04, 2007, 08:31:09 PM
...
ความถี่เชิงมุมของระบบ
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},\sqrt{\dfrac{3k}{m}}

ในเมื่อฟิล์ม nklohit รู้แล้วว่ามีความถี่แบบใดได้บ้าง แล้วทีนี้จะทำอย่างไรกับระบบให้มันได้ความถี่แบบนั้นหละ :idiot2:(รู้สึกว่าผมจะถามในโจทย์ด้วยนะครับนี่ :o)
แต่คำตอบความถี่ก็ถูกแล้วนะครับ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 04, 2007, 10:21:14 PM
สะกิดให้มวลตรงกลางอยู่นิ่งครับ :2funny:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 04, 2007, 10:47:51 PM
สะกิดให้มวลตรงกลางอยู่นิ่งครับ :2funny:
ถูก...แต่ไม่จำเป็นนะครับ(แม้นั่นจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดก็ตาม :o) ดูดีๆ มันมีตั้งสองคำตอบ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 05, 2007, 10:02:23 AM
สะกิดให้มวลตรงกลางอยู่นิ่งครับ :2funny:
ถูก...แต่ไม่จำเป็นนะครับ(แม้นั่นจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดก็ตาม :o) ดูดีๆ มันมีตั้งสองคำตอบ ;D

1.  สะกิดให้มวลตรงกลางอยู่นิ่งจะได้ความถี่  \sqrt{\dfrac{k}{m}}
2.  สะกิดให้มวลตรงกลางเคลื่อนที่ไปคนละทิศกับมวลิีก 2 ก้อน(2ก้อนริมไปทางเดียวกัน) จะได้ความถี่  \sqrt{\dfrac{3k}{m}}  ครับ :coolsmiley:

รู้สึกว่าเรื่องนี้มันเกินหลักสูตรโอลิมปิคไปรึเปล่าครับนี่???

ปล. โจทย์ข้อ 58 นั้นไม่ทราบว่าเอามาจากไหน แต่ปล่อยโดยท่าน Mwitstu. ครับ  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 05, 2007, 11:16:18 AM
...
รู้สึกว่าเรื่องนี้มันเกินหลักสูตรโอลิมปิคไปรึเปล่าครับนี่???
...
วิธีนี้เกินหรือปล่าวไม่รู้ แต่ถ้าอยากเห็นวิธีที่ไม่เกินแน่ๆก็อยู่หน้า10ครับ(อันนั้นเป็นกรณีที่มวล3ก้อนไม่เท่ากัน :o)

nklohitโพสข้อ60เลยครับๆ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 06, 2007, 07:49:17 PM
ทำไมคุณ nklohit ไม่มาโพสต์ต่อล่ะครับ 

เดี๋ยวกระผมจะแย่งกรรมสิทธิ์  ;D ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 06, 2007, 09:52:33 PM
ทำไมคุณ nklohit ไม่มาโพสต์ต่อล่ะครับ 

เดี๋ยวกระผมจะแย่งกรรมสิทธิ์  ;D ;D
nklohitเค้าคงยังไม่ว่างครับ สงสัยกำลังศึกษาควอนตัมอยู่เลยยังไม่ได้มาโพสโจทย์ ;D รออีกไม่นานคงมาโพส แต่ ระวังเค้าเอากลศาสตร์ควอนตัมมาลงแล้วกันนะครับ :o คงจะสยองขวัญน่าดู :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 06, 2007, 10:24:46 PM
nklohitเค้าคงยังไม่ว่างครับ สงสัยกำลังศึกษาควอนตัมอยู่เลยยังไม่ได้มาโพสโจทย์ ;D รออีกไม่นานคงมาโพส แต่ ระวังเค้าเอากลศาสตร์ควอนตัมมาลงแล้วกันนะครับ :o คงจะสยองขวัญน่าดู :buck2:

 :o :o :o  ไม่ยากไปหน่อยเหรอครับ >>>> ตามกติกาไม่ได้ห้าม Quamtum Mechanic ซะด้วยสิ   :tickedoff:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 06, 2007, 10:52:22 PM
...
 :o :o :o  ไม่ยากไปหน่อยเหรอครับ >>>> ตามกติกาไม่ได้ห้าม Quamtum Mechanic ซะด้วยสิ   :tickedoff:
นั้นแหละครับที่ผมคิดไว้ตอนแรก :buck2: แต่nklohitเค้าก็ชอบลากรางเหมือนกัน(เห็นตอนไปแข่งที่อุบลฯได้มีการพูดถึงด้วย)(แต่กติกาเค้าสงวนไว้ซะแล้ว ;D)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: nklohit on August 07, 2007, 08:46:30 PM
พี่ Mwit_Psycoror ช่วยโพสต์ต่อไปได้เลยครับ ช่วงนี้การบ้านที่โรงเรียนเยอะมากเลยครับ ยังไม่ว่างตั้งโจทย์เลย


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 07, 2007, 08:53:16 PM
รู้สึกว่าเรื่องนี้มันเกินหลักสูตรโอลิมปิคไปรึเปล่าครับนี่???

ไม่เกินแน่นอนครับ เคยเป็นข้อสอบฟิสิกส์โอลิมปิกครั้งที่23ที่ฟินแลนด์ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 07, 2007, 08:55:36 PM
แล้วก็ครั้งนั้นมวลตรงกลางมีค่ามวลต่างจากอีก2ก้อนด้วย ฮ่าๆ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 07, 2007, 09:55:32 PM
พี่ Mwit_Psycoror ช่วยโพสต์ต่อไปได้เลยครับ ช่วงนี้การบ้านที่โรงเรียนเยอะมากเลยครับ ยังไม่ว่างตั้งโจทย์เลย
ผมขอโพสข้อต่อไปแทนแล้วกันนะครับ(Mwit_Psycoror คงไม่ว่ากัน ;D)
ข้อที่60 The Revenge
เนื่องจากนพ.ตะหงิดคนเดิมรู้สึกอับอายอย่างมากที่ปล่อยให้ฟิล์มมาช่วยแฟนของเขาหลุดพ้นการลักพาตัวไปได้ เขาจึงได้วางแผนให้รอบคอบกว่าเดิม คราวนี้เหยื่อคือนักร้องสาวขวัญในหนุ่มๆ Four ได้โดนจับมาแขวนไว้กับระบบสปริงไว้ดังรูป(ได้กำหนดค่ามวลและค่าคงที่สปริงในรูปแล้ว) โดยมีเงื่อนไขเดิมคือต้องทำให้ระบบสั่นด้วยความถี่เชิงมุมเดียวกันทั้งระบบ โฟร์จึงจะพ้นจากระบบสปริงได้ แต่เนื่องจากพอแฟนของโฟร์มาช่วย โฟร์ได้ชู2นิ้วให้เป็นกำลังใจ แต่แฟนเธอกลับนึกว่าโฟร์ต้องการลิโพไปดื่ม เขาจึงโยนลิโพมวลm' ให้โฟร์ โฟร์อยากจะโยนลิโพขวดนั้นใส่หัวแฟนเขาใจแทบขาด แต่ว่าทำไม่ได้เพราะว่านพ.ตะหงิดจะรู้เพราะเกิดเสียงดังผิดปรกติ เธอจึงต้องจำใจถือลิโพขวดนั้นไว้ขณะสั่นสปริงด้วย ถามว่าความถี่ที่เธอจะต้องสั่นจะเป็นแบบใดได้บ้างและเท่าไร Note: ข้อนี้ไม่ยากอย่างที่คิด และสมมติว่าตอนที่โฟร์รับขวดลิโพมา ได้รอให้ระบบสมดุลก่อนแล้วจึงรบกวนระบบ
ปล. ข้อนี้ผมยังไม่เคยคิดคำตอบมาก่อน(เคยแต่คิดข้อคล้ายๆนี้) ลองแสดงวิธีทำมาแล้วจะดูครับ^^


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 07, 2007, 10:44:34 PM
คือหาเรื่องให้มวลเป็น  m_{four}+m^\prime ว่างั้นเหอะ - -*


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 07, 2007, 11:27:03 PM
คือหาเรื่องให้มวลเป็น  m_{four}+m^\prime ว่างั้นเหอะ - -*
;D แหะๆครับๆ กลัวว่าถ้าเป็น m_{four} อย่างเดียวมันจะดูง่ายไปอ่ะครับ  :laugh:(ทั้งๆที่เพิ่มไปก็ไม่ได้ทำอะไรให้มันยากขึ้นเลย^^)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on August 08, 2007, 10:44:03 AM
ยากแฮะครับ  :idiot2: ทำไปทำมาเหมือนทำคณิตศาสตร์เลย  ](*,)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 08, 2007, 08:44:43 PM
ท่าน GREAT มาเย่งกรรมสิทธ์เฉยเลย  :tickedoff: เขาอุตส่าห์มอบให้ผมแล้ว  :'(

รู้สึกว่าท่าน Great ชอบ  สปริง  มากเลยนะครับ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 08, 2007, 09:28:03 PM
แนะว่าให้กำจัด g ทิ้งให้เร็วที่สุดเท่าที่จะทำได้


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 08, 2007, 10:07:34 PM
ท่าน GREAT มาเย่งกรรมสิทธ์เฉยเลย  :tickedoff: เขาอุตส่าห์มอบให้ผมแล้ว  :'(

รู้สึกว่าท่าน Great ชอบ  สปริง  มากเลยนะครับ ;D
ท่านMwit_Psycoror ก็ลองทำดูสิครับ พอทำได้ปุ๊ป กรรมสิทธิ์ก็ตกเป็นของMwit_Psycoror ปั๊ป ;D
ที่ลงสปริงอีกเพราะว่ามันเป็นข้อต่อเนื่องจากที่ผมลงไปก่อนหน้านี้(59) น่าจะทำให้อะไรๆดูดีขึ้น :smitten:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 08, 2007, 10:54:58 PM
เหอๆ ตอนคิดในกระดาษทดไม่นึกว่าเขาจะให้คิดในสนามโน้มถ่วงครับ  ขอลงแบบไม่คิดในสนามโน้มถ่วงนะครับ[รู้สึกว่าจะไม่ได้บอกว่าอยู่ในสนามโน้มถ่วงนิครับ] (แต่ไม่ขอกรรมสิทธิ์ในการลงข้อใหม่ ;D) ช่วยดูด้วยนะครับว่าถูกรเปล่า

จากกฏของนิวตัน ได้
\displaystyle {M\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x_1  =  - 2kx_1 + k(x_2  - x_1 )} ..............(1)   โดย\displaystyle {x_1,x_2} คือการกระจัดของ\displaystyle {M,M^\prime}     โดยที่ \displaystyle {M^\prime =m_{four}+m^\prime } (เพื่อลดความถึก :2funny:)

และได้ว่า\displaystyle {M^\prime\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x_2  =  - k(x_2  - x_1 )}  .................(2)

แก้สมการ Differential Equation โดยการลองแทน x_1  = A_1 e^{i\omega t} และ  x_2  = A_2 e^{i\omega t}
แทนลงในสมการที่    (1) และ (2)
จะได้
\left( {3k - M\omega ^2 } \right)A_1  - kA_2  = 0.............(3)  และ
- kA_1  + \left( {k - M^\prime\omega ^2 } \right) = 0...............(4)

\left( {\begin{array}{*{20}c}   {3k - M\omega ^2 } & { - k}  \\ { - k} & {k - M^\prime \omega ^2 }  \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}  {A_1 }  \\   {A_2 }  \\ \end{array}} \right) = 0  

จะได้

\left| {\begin{array}{*{20}c}{3k - M\omega ^2 } & { - k}  \\ { - k} & {k - M^\prime \omega ^2 }  \\\end{array}} \right| = 0

แก้สมการแล้วได้

M^\prime M\omega ^4  - \left( {3M^\prime - M} \right)k\omega ^2  + 2k^2  = 0

จาก \displaystyle {x=\frac{{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} }}{{2a}}}  จะได้ว่า

\displaystyle {\omega  = \sqrt {\frac{{\left( {3M^\prime - M} \right)k \pm \sqrt {\left[ {\left( {3M^\prime - M} \right)k} \right]^2  - 8k^2 M^\prime M} }}{{2MM^\prime}}}}

น่าจะผิด เพราะว่าถึกเกินไป  แต่ว่า ถ้าเราลองพิจารณาเมื่อ M=M' น่าจะไม่ถึก  ;D  ง่วงแล้วครับ ไปนอนแล้ว  ขอบคุณที่ชี้แนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 08, 2007, 11:12:38 PM
เหอๆ ตอนคิดในกระดาษทดไม่นึกว่าเขาจะให้คิดในสนามโน้มถ่วงครับ  ขอลงแบบไม่คิดในสนามโน้มถ่วงนะครับ {รู้สึกว่าจะไม่ได้บอกว่าอยู่ในสนามโน้มถ่วงนิครับ} (แต่ไม่ขอกรรมสิทธิ์ในการลงข้อใหม่ ;D) ช่วยดูด้วยนะครับว่าถูกรเปล่า
...
จากกฏของนิวตัน ได้
\displaystyle {M\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x_1  =  - 2kx_1 + k(x_2  - x_1 )} ..............(1)   โดย \displaystyle {x_1,x_2} คือการกระจัดของ \displaystyle {M,M^\prime}    โดยที่ \displaystyle {M^\prime =m_{four}+m^\prime } (เพื่อลดความถึก :2funny:)
...
เผอิญว่าข้อนี้อยู่ในสนามโน้มถ่วงของโลกซะด้วย(ไม่งั้นโฟร์กะแฟนของเขาคงจะลอยตุ๊ปป่องไปซะแล้ว :2funny:)
ส่วน2สมการแรกปรากฏว่าตั้งออกมาถูกแล้ว :gr8(แต่ไม่รู้ถูกโดยบังเอิญหรือปล่าวเพราะว่าตอนแรกอ้างว่าไม่อยู่ในสนามโน้มถ่วง)
แล้ววิธีทำต่อไปดูแล้วก็น่าจะไม่มีปัญหาอะไรแต่คำตอบอย่างที่บอกคือผมก็ไม่เคยลองคิดมาก่อน :embarassed:(รอสอบสสวท.ก่อนแล้วจะมาดูละเอียดอีกที...แต่ถ้ามีคนใจบุญมาดูให้จะขอบคุณมากๆ >:A)
ส่วนที่ว่าทำไม2สมการแรกถึงไม่มีmg ผมได้"Note"ไว้ในโจทย์คำถามชัดเจนแล้ว
(ตอนแรกที่ผมคิดข้อนี้ผมใส่mgเข้าไปด้วยทำให้สมการออกมาน่ากลัวมากๆ :uglystupid2:)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 09, 2007, 12:15:03 AM
กลับมาหลังจากงีบไป 1 ตื่น  ;D


ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด เราคิดที่สมดุลเมื่ออยู่ในสนามโน้มถ่วงแล้วก็ไม่จำเป็นต้องบวก mg เมื่อเราไม่ได้พิจารณาขนาดของการกระจัด (พิจารณาเฉพาะความถามเชิงมุม) mg ก็จะไม่มีความหมาย  จึงสามารถตัดออกจากสมการได้ (ข้อนีคิดเลขยากครับ คิดแบบธรรมดาไม่ออกต้องใช้ความรู้เรื่องเมทริกเข้าช่วย)

อันที่จริงแล้ว เราลองพิจารณาสมการใหม่  เมื่ออยู่ในสนามโน้มถ่วง  จะได้สมการของนิวตันใหม่ว่า (ทิศลงเป็นบวก) ได้
\displaystyle {M\frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x_1  =  - 2kx_1  + k\left( {x_2  - x_1 } \right) + Mg}  และ
\displaystyle {M^\prime \frac{{d^2 }}{{dt^2 }}x_2  =  - k\left( {x_2  - x_1 } \right) + M^\prime g}   

แต่เราสมมติ Solution ให้ต่างจากเดิม คือ

\displaystyle {x_1  = A_1 e^{i\omega t}  + \frac{{\left( {M + M^\prime } \right)}}{{2k}}g}     และ
\displaystyle {x_2  = A_2 e^{i\omega t}  + \frac{{M^\prime g}}{k} + \frac{{\left( {M + M^\prime } \right)}}{{2k}}g}

คำตอบได้ดังเดิมครับ

แอบหวังว่าการแทน Solution แบบนี้คงไม่ผิดประเพณีอะไร   :2funny:

โอยยยย  ตอนนี้ง่วงแบบเห็นคอมเป็นหมอนข้างแล้วครับ ถ้าถูกเดี๋ยวจะขอกรรมสิทธิ์ในการโพสต์ต่อครับ ;D

ขอบคุณครับ



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 09, 2007, 12:00:55 PM


\displaystyle {\omega= \sqrt {\frac{{\left( {3M^\prime - M} \right)k \pm \sqrt {\left[ {\left( {3M^\prime - M} \right)k} \right]^2-8k^2 M^\primeM} }}{{2MM^\prime}}}}
 

ตรง 8k^2 M^\primeM พิมพ์ผิดนิดหน่อยครับ

แต่ที่เหลือจากที่ดูๆน่าจะถูก

ถ้าทำตรงไปตรงมาโดยมีแรงโน่มถ่วงด้วยก็จะพบว่า แรงที่มีขนาดคง่ที่ไม่มีผลต่อความถี่การสั่นในทุกๆกรณีของการสั่น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 09, 2007, 12:56:55 PM
ขอโทษครับ   >:A แก้แล้วครับ  ขอบคุณครับ  :smitten:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 09, 2007, 10:43:37 PM
พรุ่งนี้ถ้าท่าน GREAT ไม่มาโพสโจทย์ข้อต่อไปจะขอกรรมสิทธ์ "คืน"    :2funny:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 09, 2007, 11:25:23 PM
พรุ่งนี้ถ้าท่าน GREAT ไม่มาโพสโจทย์ข้อต่อไปจะขอกรรมสิทธ์ "คืน"    :2funny:
ท่านMwit_Psycoror  ทำได้แล้วไม่ใช่หลอครับ ก็โพสข้อต่อไปเลยครับๆ(ช่วงนี้เหนื่อยมากเลยครับ ใกล้สอบสสวท.แล้ว^^)

 :reading :reading :reading


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 10, 2007, 12:07:25 PM
ข้อ 61 ดาวอิสโพรราทิเพตุสเป็นดาวเคราะห์แก๊ส มีลักษณะเป็นทรงกลมตันความหนาแน่นสม่ำเสมอ จะต้องมีความหนาแน่น \rho มากที่สุดเท่าไร  จึงจะไม่ยุบตัวกลายเป็นหลุมดำ  ตอบในรูปตัวแปรที่จำเป็น 


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 10, 2007, 09:04:00 PM
อืมม... แล้วจะมีคนทำได้มั้ยนี่  เคยเห็นแต่คตวามหนาแน่นที่ทำให้เกิดดาวได้  อยากเห็นเฉลยจัง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 10, 2007, 09:08:59 PM
โจทย์ข้อนี้ ท่าน Mwitstu ปล้อยครับ  ;D อันที่จริงแล้วจะแก้โจทย์นิดหน่อยครับ (แก้ใน rep เดิมครับ) เพราะว่าโจทย์อาจจะกำกวม


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on August 10, 2007, 10:41:13 PM
คิดประมาณว่าถ้าจะเป็นหลุมดำคือ ความเร็วของหลุดพ้นของดาวเคราะห์นี้มากกว่าความเร็วแสง แสงเลยไม่สามารถเดินทางออกมาได้ เพราะฉะนั้นเงื่อนไขที่ทำให้ดาวเคราะห์นี้ไม่เป็นหลุมดำคือ
\sqrt{\dfrac{2 G M}{R}}\leqslant c
2 G \rho \left( \dfrac{4}{3} \pi R^2 \right) \leqslant c^2
\rho \leqslant \dfrac{3 c^2}{8 G \pi R^2}
\rho_{max} = \dfrac{3 c^2}{8 G \pi R^2}
รึเปล่่าครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 11, 2007, 02:32:21 PM
ถูกแล้วครับ 

เชิญ tung โพสต์ข้อต่อไปเลยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on August 11, 2007, 07:05:43 PM
ข้อ 62 อนุภาคมวล Mวิ่งเข้าชนอนุภาคมวล mอย่างยืดหยุ่น แล้วเบนออกไปจากแนวการเคลื่อนที่เดิมดังรูป จงพิสูจน์ว่า \tan \left( \theta + \phi \right) = k \tan \phi แล้ว จงหาค่า k


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on August 13, 2007, 12:43:57 AM
 ข้อ 62  กำหนดพิกัดอ้างอิง \displaystyle YOX ดังรูป

อนุรักษ์โมเมนตัมตามแนว \displaystyle Y และ  \displaystyle X ได้

\displaystyle Mv_{2}\sin (\theta  + \phi )=Mu\sin\phi ------\displaystyle (1)

\displaystyle Mv_{2}\cos (\theta  + \phi )=Mu\cos\phi - mv_{1} ------\displaystyle (2)

อนุรักษ์พลังงาน \displaystyle \frac{1}{2}Mu^{2}=\frac{1}{2}Mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2} ------\displaystyle (3)

\displaystyle (1)\div (2) \Rightarrow \tan(\theta  + \phi )=\left( \frac{1}{1-\dfrac{mv_1}{Mu\cos\phi  }} \right) \tan(\phi )   ------\displaystyle (4)

\displaystyle (1)^{2}+(2)^{2} \Rightarrow  M^{2}v_{2}^{2}=M^{2}u^{2}+m^{2}v_{1}^{2}-2Mmv_{1} u \cos\phi ------\displaystyle (5)

นำ \displaystyle (3) และ \displaystyle (5) มากำจัด \displaystyle v_{2}

จะได้ \displaystyle \dfrac{mv_1}{Mu\cos\phi}=\frac{2m}{M+m} นำไปแทนใน \displaystyle (4) ได้

\displaystyle \tan(\theta  + \phi )=\frac{M+m}{M-m}\tan \phi

\displaystyle \therefore  k=\frac{M+m}{M-m}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Peeravit on August 13, 2007, 01:01:04 AM
ข้อ 63
ถ้าต้องการยิงโพรเจกไทล์ให้เคลื่อนที่ในอากาศได้ระยะทางมากที่สุด (หมายความว่าให้เส้นสีเขียวในรูป  ยาวมากสุด) 
ต้องยิงด้วยมุม\displaystyle \theta  เท่าใด

Hint

\displaystyle \int_{0}^{\theta  }\frac{1}{\cos ^{3}\alpha }d\alpha =\frac{1}{2}\left( \frac{\sin \theta }{\cos ^{2}\theta }+\ln \left( \frac{1+\sin \theta }{\cos \theta } \right)  \right)

สมการ \displaystyle \sin \theta \ln \left( \frac{1+\sin \theta }{\cos \theta } \right) = 1 มีคำตอบคือ \displaystyle \theta \approx 56.5^{o}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 13, 2007, 11:04:16 PM
เฉลยข้อ 63 ครับ

เราทราบมาว่าสมการโพรเจคไทล์คือ
\displaystyle {y = \tan \theta x - {g \over {2u^2 \cos ^2 \theta }}x^2}  .................(1)
ดังนั้นเราก็จะได้ว่า
\displaystyle {{d \over {dx}}y = \tan \theta-{g \over {u^2 \cos ^2 \theta }}x}.........................(2)
พิจารณาระยะทางเล็กๆจะได้ว่า
\displaystyle {ds = \sqrt {(dx)^2 + (dy)^2 } }
และจะได้ว่า
\displaystyle {s = \int\limits_0^x {\sqrt {1 + \left( {{d \over {dx}}y} \right)^2 } dx} }........................(3)
นำ (2) แทนใน (3) จะได้
\displaystyle {s = \int\limits_0^x {\sqrt {1 + \left( {\tan \theta - {g \over {u^2 \cos ^2 \theta }}x} \right)^2 } dx} }..................(4)
เราทราบว่า \displaystyle {x = {{u^2 \sin 2\theta } \over g}}
เราสามารถจะจัดรูปใหม่ได้โดยให้ \displaystyle {\xi = {d \over {dx}}y = \tan \theta - {g \over {u^2 \cos ^2 \theta }}x} ...................(5)
เราก็จะได้ว่า
\displaystyle {s = - {{u^2 \cos ^2 \theta }\over g}\int\limits_{x = 0}^{{{u^2 \sin 2\theta } \over g}} {\sqrt {1+\left( \xi\right)^2 } d\xi } }
ปัญหาคือเราจะอินทีเกรทจะโดนอินทีเกรท \displaystyle {I=\int\limits_{x = 0}^{{{u^2 \sin 2\theta } \over g}} {\sqrt {1 +\left(\xi\right)^2 }d\xi } }ยังไง
ต่อไป  พิจารณาสามเหลี่ยมดังรูป  เราจะได้ว่า \displaystyle{\sqrt {1+\left(\xi\right)^2 }={1\over{\cos\alpha}}}
และเราก็จะได้ต่อไปว่า \displaystyle {\xi={{\sin\alpha}\over{\cos\alpha}}}
เราจะได้ว่า \displaystyle{d\xi={1\over{\cos^2\alpha}}d\alpha}
ดังนั้นเราจะได้ว่า \displaystyle{I=\int\limits_{x=0}^{{{u^2 \sin 2\theta }\over g}}{{1\over{\cos^3\alpha}}d\alpha}}
ต่อไปพิจารณาลิมิต จาก \displaystyle{\xi=\tan\theta-{g\over{u^2\cos ^2\theta}}x}  เมื่อ x = 0
จะได้ว่า \displaystyle{\xi=\tan\theta}
และเมื่อ \displaystyle{x={{u^2\sin 2\theta}\over g}}
จะได้ว่า \xi=- \tan\theta  จะได้
\displaystyle{I=\int\limits_{\xi=\tan \theta}^{-\tan\theta }{{1\over{\cos^3\alpha}}d\alpha}=2\int\limits_{\xi=\tan\theta }^0 {{1 \over{\cos^3\alpha}}d\alpha}}

ขอพลังจงสถิตอยู่กับข้า ย้ากกกกก

พิจารณาต่อไปว่า \xi=\tan\alpha ดังนั้น
\displaystyle{I=-2\int\limits_{\alpha =0}^\theta{{1\over{\cos^3\alpha}}d\alpha }}  

จากที่ท่าน peeravit ให้สูตรอินทีกราลมาได้

\displaystyle {s={{u^2 \cos^2 \theta }\over g}\left({{{\sin\theta}\over{\cos^2 \theta}} + \ln \left({{{1+\sin\theta} \over{\cos\theta}}}\right)}\right)}
หา \theta _{max} โดย \displaystyle{{\partial\over{\partial\theta}}s=0}
ขอไม่แสดงวิธีการดิฟให้ดูมิเช่นนั้นข้าพเจ้าคงต้องพิมพ์ลาเท๊กซ์จนมือหักก่อนที่จะได้ไปเล่นเปียโนแน่ๆ
\displaystyle{{\partial\over{\partial\theta}}s={{u^2 }\over g}\left({\cos\theta-\cos\theta\sin\theta\ln\left({{{1+\sin\theta}\over{\cos\theta}}}\right)}\right)\equiv 0}
จะได้ว่า
\displaystyle {\sin\theta\ln\left({{{1+\sin\theta}\over{\cos\theta}}}\right)=1}
ตรงกับที่ท่าน peeravit ให้มา
จะได้ว่า \theta\approx 56.5^\circ

จบอย่าง สวยงามที่สุดเท่าที่ได้เคยทำมา  เย่


โจทย์ข้อต่อไปขอพรุ่งนี้ครับ  

ขอบพระคุณที่ชี้แนะ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 14, 2007, 12:31:29 PM
ข้อที่ 64

สมมุติว่าโลกเป็นรูปทรงกลมเกลี้ยงความหนาแน่นคงที่  พระเจ้านำมีดมาตัดให้โลกแยกออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆกัน แต่มันไม่ยอมแยกเนื่องจากแรงดึงดูดระหว่างมวล จงหาว่าพระเจ้าต้องออกแรงเท่าไรจึงจะทำให้โลกแยกออกจากกัน ตอบในรูปตัวแปรที่จะเป็นเช่น มวลของโลก รัศมีโลก หรืออื่นๆ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 14, 2007, 09:10:57 PM
พระเจ้าออกแรงดึงซีก2สองในทิศตรงข้ามขนาดเท่ากันใช่มั้ยครับ  ไม่ใช่ว่าออกแรงที่ซีกเดียว

ผมถามเพื่อความกระจ่างเพราะมีคนสงสัย  ;)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 14, 2007, 11:13:21 PM
ใช่แล้วครับ อันที่จริงตอนแรกกะจะให้โจทย์บอกว่า  ต้องใช้แรงน้อยที่สุดเท่าไรจึงจะดึงออกได้  ดังนั้น พระเจ้าต้องดึงในแนวตั้งฉากกับระนาบรอยมีดและดึงทั้ง 2 ข้าง
(ถ้าพระเจ้าดึงข้างเดียวคงเหนื่อย  :2funny:)

ปล. "ห้ามดึงเฉือน" กำหนดให้สัมประสิทธ์ความเสียดทานระหว่างแต่ละซีกโลกเข้าใกล้อนันต์  ;D  ดังนั้นไม่สามารถดึงเฉือนได้


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 14, 2007, 11:16:16 PM
เริ่มจากแบ่งโลกเป็นทรงกลมกลวงซ้อนๆๆๆๆๆๆกัน แล้วพิจารณาอันที่มีรัศมี r (ดูรูป1)
แล้วพิจารณาแค่ครึ่งบนของทรงกลมกลวงนั้น เหมือนกับว่ามันครอบทรงกลมตันที่มีรัศมี r อยู่(ดูรูป2)
แล้วทรงกลมตันที่ถูกครอบอยู่ก็เปรียบเสมือนจุดมวลอันหนึ่งที่มีมวลเท่ากัน ให้เป็น m
และจากความสัมพันธ์ที่ว่า m = ความหนาแน่นโลก คูณ ปริมาตรของ m จะได้ว่า m=M(r/R)^3 เมื่อ M คือมวลโลกทั้งใบ (ให้ข้าคนเดียว :2funny:)
แล้วก็มาดูรูปที่3
ก็ซอยครึ่งทรงกลมตันเป็นวงแหวนบางๆ(แต่ก็ไม่บางมากเพราะมีพื้นที่)ซ้อนๆๆๆๆกัน(แน่นอนว่าต้องมีอินทิเกรตตามมา-*-) และก็ดูวงแหวนที่รัศมีทำมุมกับแกนกลาง \theta แล้วดูจากรูป ดูแรงที่กระทำระหว่างวงแหวนที่เราซอยกับ มวล m คือ dF แล้วแตกแรง จะพบว่า dF\sin\theta จะตัดกันหมดรอบทิศ เหลือแต่ dF\cos\theta ในแนวแกนy และ dm(มวลของแถบวงแหวน)ก็หาได้จาก ค่ามวลต่อพื้นที่(sigma) คูณ เส้นรอบวงแหวน(2\pi r\sin \theta) คูณ ความหนาวงแหวน(rd\theta) และจากสมการโน้มถ่วงของนิวตันจะได้ว่า
\displaystyle{dF\cos \theta  = \left( {{{Gm} \over {r^2 }}dm} \right)\cos \theta}
แทนค่า dm = \sigma 2\pi r^2 \sin \theta d\theta และก็เอกลักษณ์ตรีโกณฯ \sin 2\theta=2\sin\theta{\cos\theta}
\displaystyle{F_y  = Gm\sigma \pi \int\limits_0^{\pi /2} {\sin 2\theta d\theta }}
\displaystyle{F_y  = Gm\sigma \pi \left[ {{{ - \cos 2\theta } \over 2}} \right]_0^{\pi /2}}
\displaystyle{F_y  = Gm\sigma \pi \left( 1 \right)}
และก็กลับมาที่ภาพที่2ด้านขวาอีกที สนใจค่ามวลต่อพื้นที่ของครึ่งทรงกลมกลวง รู้ว่าในทรงกลวงมีมวลอยู่ \rho Adr
จะได้ว่า \sigma =\rho dr แทนค่ามวล m และ ค่ามวลต่อพื้นที่จะได้ว่า
\displaystyle{dF_{south,north}  = G\pi \left( {{{Mr^3 } \over {R^3 }}} \right)\left( {\rho dr} \right)}
\displaystyle{F_{south,north}  = G\pi \left( {{M \over {R^3 }}} \right)\left( {{M \over {{4 \over 3}\pi R^3 }}} \right)\int\limits_0^R {r^3 dr}}
\displaystyle{F_{south,north}  = G\pi \left( {{M \over {R^3 }}} \right)\left( {{M \over {{4 \over 3}\pi R^3 }}} \right)\left[ {{{R^4 } \over 4}} \right]}
\displaystyle{\therefore F_{south,north}  = {3 \over {16}}{{GM_E ^2 } \over {R_E ^2 }}}
อาจจะทำไม่ละเอียดมากเพราะตอนนี้เหนื่อยมากๆๆๆๆๆเลย(โดนทหารรด.รับประทาน :buck2:(นศท.รู้กันว่าคืออะไร ;D))
พระเจ้าได้ทราบค่าแรงที่ต้องออกแล้ว แต่ยังไม่แน่ใจว่าจะออกแรงอย่างไร :idiot2:
คาดว่า...พระเจ้าคงต้องแยกร่างแล้วเหาะไปที่ขั้วโลกทั้ง2แล้วดึงด้วยแรงค่านั้น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on August 15, 2007, 08:04:53 AM
^^^ ไม่เข้าใจ ต้องหาแรงโน้มถ่วงที่ครึ่งหนึ่งทำต่ออีกครึ่งหนึ่งไม่ใช่หรือ  ??? ??? ???  อธิบายให้กระจ่างหน่อยสิ  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 15, 2007, 08:44:32 PM
^^^ ไม่เข้าใจ ต้องหาแรงโน้มถ่วงที่ครึ่งหนึ่งทำต่ออีกครึ่งหนึ่งไม่ใช่หรือ  ??? ??? ???  อธิบายให้กระจ่างหน่อยสิ  :coolsmiley:
ก็คือตอนที่ผมหา Fy ออกมาได้นั้น ผมได้หาแรงที่กระทำกับแค่ ครึ่งทรงกลมกลวงท่อนบนเท่านั้น เพราะฉะนั้นแรงที่ได้ออกมาก็เป็นแรงที่ทำกับครึ่งทรงกลมกลวงด้านบนโดย ทรงกลมตันที่มันครอบไว้แล้วก็อินทิเกรตเพื่อคิดให้แรงที่ทำครึ่งทรงกลมกลวงที่ซอยไว้เป็นแรงที่ทำกับครึ่งทรงกลมตัน( ความจริงแรงที่หาออกมาได้ แม้ว่าจะเป็นแรงที่รวมเอาแรงที่ครึ่งบนทำกันเอง แต่ว่าแรงที่ครึ่งบนทำกันเองเป็นแรงภายในระบบ ซึ่งรวมกันก็ได้ 0(คิดทิศทางแล้ว)(ถ้าไม่งั้นครึ่งทรงกลมตันด้านบนคงจะเคลื่อนที่ไปเองแล้วเพราะมีความเร่งถ้าแรงภายในไม่เป็นศูนย์) แรงที่ออกมาจึงเป็นแค่แรงที่ครึ่งล่างทำกับครึ่งบนเท่านั้น) เพราะฉะนั้นแรง Fsouth,north จึงเป็นแรงที่ครึ่งล่างกระทำกับครึ่งบน(ถ้าผมเข้าใจไม่ผิดนะครับ :))
ถ้าเกิดผมมีแนวคิดที่ผิดหรืออธิบายไม่สมบูรณ์ อาจารย์ช่วยแนะนำด้วยครับ >:A
ปล. ถ้า south,north ควรเป็น north,south ก็ขออภัยด้วยครับเพราะว่าผมก็ไม่ทราบว่าจะต้องให้อะไรอยู่ก่อนหลัง(จะสื่อว่า แรงที่ทำโดยsouthที่ทำกับnorth) แต่ผมคิดว่า north,south น่าจะดูเหมาะกว่า(แรงที่ทำกับnorthโดยsouth) ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 16, 2007, 06:09:49 PM
ข้อ65(ข้อนี้ผมเจอตอนสอวนค่าย1 แต่ต้องเปลี่ยนตัวละครเพื่อให้เกิดความสับสนกับผู้ทำและผู้โพส-*- เล็กน้อย)

มีอยู่วันหนึ่งแบทแมนเหาะไปบนถนนอันโล่งเตียนของเมืองผี ด้วยอัตราเร็วคงตัวค่าหนึ่ง(สมมติเป็น Vo) ซึ่งเมืองผีมีแรงต้านจากแก๊สไข่เน่าซึ่งแปรผันตรงกับกำลังสองของอัตราเร็วสัมพัทธ์ของแบทแมน เทียบกับลม แต่ว่าอยู่ดีๆก็มีปีศาจนกคอคไคเบิร์ด บินมาหวังจะมากินขี้ฟันของแบทแมนด้วยอัตราเร็วVoเหมือนกัน และปีศาจนกตัวนี้เป็นปีศาจที่แรงต้านแก๊สไข่เน่าไม่สามารถจะทำให้อัตราเร็วของมันเปลี่ยนไปได้เลย(แน่นอนว่าปีศาจมักทำเรื่องที่เป็นไปไม่ได้(เว่อร์ๆ)ให้เป็นไปได้ได้เสมอ) ปรากฏว่าแบทแมนผู้โชคร้ายโดนลมพัดตั้งฉากกับถนนซ้ำเติมอีก ซึ่งพัดลงมาด้วยความเร็ว Vg(เทียบถนน) ถามว่า แบทแมนต้องเพิ่มอัตราการทำงานเป็นกี่เท่าของเดิม เพื่อให้เขาไม่โดนปีศาจนกคอคไคเบิร์ด มาจิกกินขี้ฟันของเขา(ซึ่งก็คือเหาะด้วยอัตราเร็วเป็นVoเหมือนเดิม เทียบกับพื้นถนน)

(ข้อนี้เอามาจากหนังสือแบบฝึกหัดสอวนค่าย1ม.4 ถ้าหากว่าโจทย์ผมเปลี่ยนตัวละครและเรียบเรียงใหม่ ทำให้ความหมายของโจทย์(วิธีการทำ)ผิดเพี้ยนไปจากเดิม ให้รีบแจ้งด้วยครับ ผมจะได้เอาโจทย์จริงมาลง   ;) (ตอนนี้ผมเบลอๆอยู่ครับ :buck2:))


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 18, 2007, 12:17:49 AM
เท่าที่ผมดูมารู้สึกว่า GREAT ทำผิดอะครับ แต่ว่าไม่รู้ว่าจริงๆแล้วทำอย่างไรเหมือนกันครับ :'( ตอนนี้กำลังพยายามทำอยู่ครับ  ;D ถ้าได้แล้วเดี๋ยวจะเอามาลงครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 18, 2007, 12:36:59 AM
เท่าที่ผมดูมารู้สึกว่า GREAT ทำผิดอะครับ แต่ว่าไม่รู้ว่าจริงๆแล้วทำอย่างไรเหมือนกันครับ :'( ตอนนี้กำลังพยายามทำอยู่ครับ  ;D ถ้าได้แล้วเดี๋ยวจะเอามาลงครับ

ทำผิดตรงไหนหรอครับ  ช่วยระบุที่ผิดให้ผมทราบด้วยครับ

ผมว่าถูกแล้วนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 19, 2007, 11:47:05 PM
ตามที่ผมคิด(ซึ่งอาจจะผิด)  Great คิดแบบนำแรงของมวลของตัวเองมาพิจารณาด้วย

เราลองพิจารณาง่ายๆโดยที่เราจะตัดแท่งไม้แต่มันไม่ยอมหลุดออกจากกัน(เพราะแรงดึงดูดระหว่างมวล) แล้วจะหาว่าแรงที่กระทำต่อกันเป็นเท่าไร เราจะพิจารณาเฉพาะแรงที่แท่งไม้ส่วนที่ 1 กระทำต่อส่วนเล็กๆ ของส่วนที่ 2 แล้วอินทีเกรทออกมา

แต่ที่ Great ทำนั้นเอาแรงที่ครึ่งทรงกลมส่วนที่ 1 มากระทำกับผวิครึ่งทรงกลมบางๆของตัวเอง ด้วยครับ  (ไม่รู้ว่าผมผิดเองรึเปล่าครับ) 

กรุณาชี้แนะด้วยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 20, 2007, 12:12:49 AM
ตามที่ผมคิด(ซึ่งอาจจะผิด)  Great คิดแบบนำแรงของมวลของตัวเองมาพิจารณาด้วย

เราลองพิจารณาง่ายๆโดยที่เราจะตัดแท่งไม้แต่มันไม่ยอมหลุดออกจากกัน(เพราะแรงดึงดูดระหว่างมวล) แล้วจะหาว่าแรงที่กระทำต่อกันเป็นเท่าไร เราจะพิจารณาเฉพาะแรงที่แท่งไม้ส่วนที่ 1 กระทำต่อส่วนเล็กๆ ของส่วนที่ 2 แล้วอินทีเกรทออกมา

แต่ที่ Great ทำนั้นเอาแรงที่ครึ่งทรงกลมส่วนที่ 1 มากระทำกับผวิครึ่งทรงกลมบางๆของตัวเอง ด้วยครับ  (ไม่รู้ว่าผมผิดเองรึเปล่าครับ) 

กรุณาชี้แนะด้วยครับ
ผมได้ตอบอาจารย์ปิยพงษ์ไปแล้วนิครับว่าทำไม
^^^ ไม่เข้าใจ ต้องหาแรงโน้มถ่วงที่ครึ่งหนึ่งทำต่ออีกครึ่งหนึ่งไม่ใช่หรือ  ??? ??? ???  อธิบายให้กระจ่างหน่อยสิ  :coolsmiley:
ก็คือตอนที่ผมหา Fy ออกมาได้นั้น ผมได้หาแรงที่กระทำกับแค่ ครึ่งทรงกลมกลวงท่อนบนเท่านั้น เพราะฉะนั้นแรงที่ได้ออกมาก็เป็นแรงที่ทำกับครึ่งทรงกลมกลวงด้านบนโดย ทรงกลมตันที่มันครอบไว้แล้วก็อินทิเกรตเพื่อคิดให้แรงที่ทำครึ่งทรงกลมกลวงที่ซอยไว้เป็นแรงที่ทำกับครึ่งทรงกลมตัน( ความจริงแรงที่หาออกมาได้ แม้ว่าจะเป็นแรงที่รวมเอาแรงที่ครึ่งบนทำกันเอง แต่ว่าแรงที่ครึ่งบนทำกันเองเป็นแรงภายในระบบ ซึ่งรวมกันก็ได้ 0(คิดทิศทางแล้ว)(ถ้าไม่งั้นครึ่งทรงกลมตันด้านบนคงจะเคลื่อนที่ไปเองแล้วเพราะมีความเร่งถ้าแรงภายในไม่เป็นศูนย์) แรงที่ออกมาจึงเป็นแค่แรงที่ครึ่งล่างทำกับครึ่งบนเท่านั้น) เพราะฉะนั้นแรง Fsouth,north จึงเป็นแรงที่ครึ่งล่างกระทำกับครึ่งบน(ถ้าผมเข้าใจไม่ผิดนะครับ :))
ถ้าเกิดผมมีแนวคิดที่ผิดหรืออธิบายไม่สมบูรณ์ อาจารย์ช่วยแนะนำด้วยครับ >:A
...
ที่ผมคิดครับคือแรงที่มันทำกับตัวมันเองจะหักล้างไปหมดเองนิครับ(เหมือนเอามันมาตั้งไว้เฉยๆ ถ้ามันไม่หักล้างกันมันคงเคลื่อนที่ไปได้เอง)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 20, 2007, 12:29:28 AM
ตามที่ผมคิด(ซึ่งอาจจะผิด)  Great คิดแบบนำแรงของมวลของตัวเองมาพิจารณาด้วย

เราลองพิจารณาง่ายๆโดยที่เราจะตัดแท่งไม้แต่มันไม่ยอมหลุดออกจากกัน(เพราะแรงดึงดูดระหว่างมวล) แล้วจะหาว่าแรงที่กระทำต่อกันเป็นเท่าไร เราจะพิจารณาเฉพาะแรงที่แท่งไม้ส่วนที่ 1 กระทำต่อส่วนเล็กๆ ของส่วนที่ 2 แล้วอินทีเกรทออกมา

แต่ที่ Great ทำนั้นเอาแรงที่ครึ่งทรงกลมส่วนที่ 1 มากระทำกับผวิครึ่งทรงกลมบางๆของตัวเอง ด้วยครับ  (ไม่รู้ว่าผมผิดเองรึเปล่าครับ) 

กรุณาชี้แนะด้วยครับ

 :coolsmiley:

ข้อนี้เป็นข้อที่ค่อนข้างจะใช้ทริกพอสมควรครับ

ผมสมมติให้มีอนุภาค6อนุภาค 1 2 3 4 5 6  ถ้าเราแบ่งระบบนี้เป็นระบบย่อย A (มี1 2 3)กับระบบย่อย B(มี4 5 6) แล้วเราจะหาแรงที่ระบบAกับBกระทำต่อกัน โดยให้ข้อมูลเพียงว่า แรงลัพธ์(จาก 2 3 4 5 6) ที่กระทำต่อ 1 เป็นเท่าไหร่  และเช่นเดียวกับอีก5ตัว   
เราจะหาแรงที่ระบบAกับBกระทำกันได้อย่างไร

เรารู้ว่าแรงลัพธ์ของ 1  คือผลรวมของแรงทั้งหมดที่อีก5ตัวทำคือ \vec{F}_1=\vec{F}_{1,2}+\vec{F}_{1,3}+\vec{F}_{1,4}+\vec{F}_{1,5}

ฉะนั้น ถ้าเราลอง(เล่นๆ)โดยการรวมแรงลัพธ์ที่กระทำต่อ 1 2 และ 3  โดยไม่คำนึงว่าเราดันไปรวมแรงที่มันกระทำกันเองด้วย

\\ \vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3\\=\vec{F}_{1,2}+\vec{F}_{1,3}+\vec{F}_{1,4}+\vec{F}_{1,5}+\vec{F}_{2,1}+\vec{F}_{2,3}+\vec{F}_{2,4}+\vec{F}_{2,5}+\vec{F}_{3,1}+\vec{F}_{3,2}+\vec{F}_{3,4}+\vec{F}_{3,5} \\ =\cancel{\vec{F}_{1,2}}+\cancel{\vec{F}_{2,1}}+\cancel{\vec{F}_{1,3}}+\cancel{\vec{F}_{3,1}}+\cancel{\vec{F}_{2,3}}+\cancel{\vec{F}_{3,2}}+\vec{F}_{1,4}+\vec{F}_{1,5}+\vec{F}_{2,4}+\vec{F}_{2,5}+\vec{F}_{3,4}+\vec{F}_{3,5}\\=\vec{F}_{1,4}+\vec{F}_{1,5}+\vec{F}_{2,4}+\vec{F}_{2,5}+\vec{F}_{3,4}+\vec{F}_{3,5}\\=\vec{F}_{123,456}   

ซึ่งเท่ากับแรงที่ ระบบ B กระทำต่อ ระบบA พอดี!!!!!!!!!!!!!!

ไม่ว่ากันครับ  เป็นสิ่งที่ทุกคนต้องเรียนรู้สิ่งใหม่ๆ  ทริกนี้สามารถนำไปใช้ได้เยอะครับ  ;D  จะใช้ในกรณีที่เราไม่รู้แรงที่วัตถุหนึ่งกระทำต่อวัตถุหนึ่ง  แต่รู้เพียงแรงลัพธ์ก็สามารถหาแรงที่วัตถุหนึ่งกระทำต่ออีกวัตถุหนึ่งได้

ไม่งั้นข้อนี้ถ้าหาแรงที่ส่วนที่เหลือทำ ก็ตายแน่ๆครับ  ถ้าทำออกก็แสดงว่าเก่งคณิตศาสตร์มากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ เพราะผมเคยลองทำแล้วไม่ออก


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 20, 2007, 11:04:00 AM
ขอบคุณพี่ ccchhhaaammmppp มากครับ >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 20, 2007, 12:02:38 PM
งั้นก็เริ่มข้อ65ต่อได้เลยครับ 8)
กำหนดถึงหลังสอบสสวทรอบ2ครับ ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 27, 2007, 10:14:45 PM
กลายเป็นว่าสอบเสร็จบอร์ดเงียบไปเลย :buck2: เอาเป็นว่าข้อ65ถ้าไม่มีใครทำพรุ่งนี้จะมาเฉลยนะครับ :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 28, 2007, 10:37:40 PM
เฉลยข้อ65(อ๊อดด หมดเวลา :2funny:)
โจทย์ถามอัตราส่วน กำลัง ก็คือต้องหากำลัง2เหตุการณ์มา โดยกำลังคือ แรง ดอทกับ ความเร็ว
ตอนแรก มีเพียงแรงต้านในแนวระดับ ซึ่ง
f_1  = kv_o ^2
และได้ว่า
P_1  = \vec f_1  \cdot \vec v_o  =  - kv_o ^3 ที่เห็นติดลบเพราะนี่เป็นกำลังของแรงต้าน ซึ่งถ้าต้องการที่แบทแมนทำก็ใส่ลบซ้อนก็กลายเป็น+kVo^3
และของตอนหลัง มีแรงต้านในแนวดิ่งเพิ่มเข้ามา ซึ่งแรงต้านรวมต้องคิดเป็นแรงที่คิดความเร็วสัมพัทธ์รวม และจะมีทิศเดียวกับความเร็วสัมพัทธ์นั้น
f_2  = k\left( {\vec v_g  - \vec v_o } \right)^2  = k\left( {v_g ^2  + v_o ^2 } \right)
และหากำลัง
P_2  = \vec f_2  \cdot \vec v_o  = f_2 v_o \cos \alpha
และcos หาได้จากความเร็วVo กับ Vg ซึ่งสามารถได้ความสัมพันธ์ออกมาว่า
\cos \alpha  =  - {{v_0 } \over {\sqrt {v_o ^2  + v_g ^2 } }}
เพราะฉะนั้น
P_2  = \left( {k\left( {v_g ^2  + v_o ^2 } \right)} \right)v_o \left( { - {{v_0 } \over {\sqrt {v_o ^2  + v_g ^2 } }}} \right) =  - kv_o ^2 \sqrt {v_o ^2  + v_g ^2 }
เช่นเดิม จะเอากำลังที่แบทแมนทำก็ใส่-ซ้อนได้ออกมาเป็นค่าบวก
แล้วเอา P2/P1 ก็จะได้คำตอบว่า
\displaystyle{{{P_2 } \over {P_1 }} = \sqrt {1 + \left( {{{v_g } \over {v_o }}} \right)^2 }}
ข้อ66ขอเป็นพรุ่งนี้นะครับ ขอไปค้นหาโจทย์มาก่อน^^
หวังว่าข้อ66คงจะมีคนแวะเวียนมาทำนะครับ :)
ปล.ไม่ได้วาดรูปประกอบนะครับ ขออภัยอย่างรุนแรง ](*,) และข้อนี้ก็คือข้อ สาวน้อยน่ารักขี่จักรยานในหนังสือแบบฝึกหัดสอวน.ม.4ปีการศึกษา2549นั่นเอง ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 28, 2007, 11:06:32 PM
หมดช่วงการสอบสสวท.รอบ2ไปแล้ว  บอร์ดก็คงร้างไปอีก........


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 28, 2007, 11:17:44 PM
หมดช่วงการสอบสสวท.รอบ2ไปแล้ว  บอร์ดก็คงร้างไปอีก........
หรือว่า ผมต้องโพสโจทย์+Solution ไปเรื่อยๆจนกว่าจะเปิดค่ายสสวท.หรือสอวน.หลอครับ :buck2:(ถ้าไม่มีใครมาทำจริงๆ ซักพักผมคงหยุดพักร้อน 8) 8) 8))
หวังว่าคงมีคนมาแวะเวียน"WEBเจ้าเก่า" เยอะๆนะครับ ;D(แต่ผมว่าคงยังไม่ร้างจนกว่าจะประกาศผลสอบออกมานะครับ :))


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on August 29, 2007, 10:14:09 PM
ข้อ66
ข้อนี้ให้ชื่อว่า "คุณก็รู้ว่าอาจารย์หน่ะ ชอบโซ่แค่ไหน ;D"
เป็นโจทย์ที่ผมได้มาตอนเรียนสอวน.ม.4โดยมีพี่นิสิตนักศึกษาท่านไหนจำชื่อไม่ได้ รู้แค่ว่าเขาชอบนักเรียนโรงเรียนมาฯ(ขอละชื่อเต็มไว้นะครับ กลัวโดนฟ้องร้อง :buck2:)เอามาให้ดูตอนพักกินขนม แล้วเป็นโจทย์ของสอวน.ม.4ค่าย2ปี44ที่น่าสนใจมากๆ(ตอนแรกดูน่ากลัวมากๆ :embarassed:) โจทย์มีดังนี้ครับ
ดูรูป โช่ยาวรวมทั้งเส้น lมวลรวมทั้งเส้น M ปลายBของโซ่มีความเร็วต้นเป็นศูนย์ และ BC ยาวตั้งต้นเป็นศูนย์ ดึงปลายBด้วย(ความเร็วที่ไม่คงที่) แรง F คงที่ ปลายB จะมีความเร็วสุดท้าย,เมื่อโซ่วกกลับมาหมดเป็นเท่าไร

โจทย์กำหนด initial condition ว่า เมื่อปลายB อยู่ที่ x=x_o\neq 0มีความเร็ว v_o(เมื่อให้ตอนแรกปลายBอยู่ที่พิกัด (x,y)=(0,0)) โจทย์ข้อนี้มีปัญหาตรง initial condition โดยกำหนดว่า ที่ x=0แล้ว v=0ไม่ได้ จะดีมากๆถ้าแสดงได้ด้วยว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น(ถ้ามีคนทำ  ;D)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on August 31, 2007, 06:54:12 PM
ไม่เฃ้าใจที่ initial condition ครับ มันจะบอกว่าอะไรกันแน่  ขอคำอธิบายที่แจ่มแจ้งกว่านี้หน่อบครับ  ;)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on August 31, 2007, 07:24:20 PM
ไม่เฃ้าใจที่ initial condition ครับ มันจะบอกว่าอะไรกันแน่  ขอคำอธิบายที่แจ่มแจ้งกว่านี้หน่อบครับ  ;)

คือ Great กำลังจะบอกว่า  ห้ามตั้ง initial condition ที่ตำแหน่งเริ่มต้นเพราะมันจะคิดไม่ออก  แต่ให้ตั้ง initial condition ที่ตำแหน่งถัดมาจากเริ่มต้นหน่อยๆ x_0


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on September 04, 2007, 10:33:30 PM
...
8.ถ้าไม่มีคนมาทำนานเกิน 2 วันคนโพสโจทย์มาโพส solution เองเลย แต่เร็วๆหน่อยนะ
...
ผมว่าน่าจะเปลี่ยนเป็น1สัปดาห์แทนนะครับ
เพราะว่า เดี๋ยวนี้ต้องรอนานเอามากๆๆๆ กว่าจะมีคนมาทำ >:( (อาจจะเป็นเพราะว่าช่วงนี้เปิดเทอมอยู่)
ถ้าเกิดผมมาตั้งโจทย์เองแล้วโพสSolutionเองไปเรื่อยๆก็คงจะไม่ดี :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on September 05, 2007, 01:35:16 AM
...
8.ถ้าไม่มีคนมาทำนานเกิน 2 วันคนโพสโจทย์มาโพส solution เองเลย แต่เร็วๆหน่อยนะ
...
ผมว่าน่าจะเปลี่ยนเป็น1สัปดาห์แทนนะครับ
เพราะว่า เดี๋ยวนี้ต้องรอนานเอามากๆๆๆ กว่าจะมีคนมาทำ >:( (อาจจะเป็นเพราะว่าช่วงนี้เปิดเทอมอยู่)
ถ้าเกิดผมมาตั้งโจทย์เองแล้วโพสSolutionเองไปเรื่อยๆก็คงจะไม่ดี :buck2:

อย่าเพิ่งโกรธครับ เหอๆ ผมทำมั่ง

ข้อ66

พิจารณาขณะที่โซ่ส่วนที่กำลังเคลื่อนที่อยู่มีความเร็ว v
เมื่อเวลาผ่านไป dtจะมีมวลส่วนที่เดิมอยู่นิ่งมวล \dfrac{1}{2}\dfrac{M}{l}vdtถูกเร่งให้มีความเร็ว v
จากเรื่องการดล-โมเมนตัม จะได้ว่า fdt = \dfrac{1}{2}\dfrac{M}{l}vdt \therefore f= \dfrac{1}{2}\dfrac{M}{l}v^2
โดย fเป็นแรงที่ปลายโซ่ส่วนที่ตรงข้ามกับเราดึง ดึงโซ่ส่วนที่อยู่นิ่งให้เคลื่อนที่

ดังนั้นแรงที่โซ่ที่เดิมอยู่นิ่งดึงโซ่ส่วนที่เคลื่อนที่เป็น \dfrac{1}{2}\dfrac{M}{l}v^2 ตามกฏข้อที่3
ดันนั้นจะได้สมการของการเคลื่อนที่ของโซ่(ส่วนที่เคลื่อนที่)
F-\dfrac{1}{2}\dfrac{M}{l}v^2 = \dfrac{M}{l}\dfrac{x}{2}\dfrac{d}{dt} v
โดย xเป็นตำแหน่งของปลายโซ่
แก้สมการได้ว่า \ln x^2 = -\ln (F-\dfrac{M}{2l}v^2)+C เห็นว่าถ้าแทนเงื่อนไข x=0v=0 จะแปลกๆ (\ln0ไม่นิยามในคณิตศาสตร์) หรือถ้ามองแบบฟิสิกส์คือถ้าเดิมโซ่ยาว 0 คือมันไม่มีมวล เราไม่สามารถออกแรง F ต่อมันได้
แทนเงื่อนไข x=0_0v=0_0 จะได้ C
และได้ว่าสมการของการเคลื่อนที่ของมันเป็น
\dfrac{x^2}{x_0^2} = \dfrac{F-\dfrac{M}{2l}v_0^2}{F-\dfrac{M}{2l}v^2}
เมื่อ x=2lจะวกกลับหมดพอดี หาความเร็วขณะนั้นได้ v(2l) = ...
จะมาทำต่อทีหลังครับ ถ้าข้างบนตรงไหนผิดก็เตือนด้วยนะครับ



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 05, 2007, 07:42:14 AM

ข้อ67 จงแสดงว่างานโดยแรงเสียดทานจลล์ เท่ากับระยะทางที่ผิวสัมผัสไถลคูณกับแรงเสียดทานนั้น...
(แสดงยังไงเต็มที่เลยนะครับ เพราะตอนนี้ผมสงสัยมันอยู่... เหอๆ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on December 21, 2007, 04:49:52 PM
จากข้อ37 หน้า12
เราใช้ 4-VECTOR จะได้ว่า
(E_1,p_1)+(E_2,0)=({E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime},{p_1}^{\prime}+{p_2}^{\prime})
ในกรณีที่เป็นการชนแบบยืดหยุ่น จะได้ว่า
E_1={E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime
จากนั้นเราคิดขนาดของ 4-VECTOR จะได้ว่า
E_1^2-{P_1}^2=({E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime})^2+{p_1}^2+{p_2}^2+2p_1p_2cos\theta
...
ผมว่าสมการอนุรักษ์พลังงานน่าจะเป็น
E_1+E_2 ={E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime}
และสมบัติการดอทของ 4-Vector น่าจะได้ออกมาเป็น
{(E_1+E_2)}^2-{p_1}^2=({E_1}^{\prime}+{E_2}^{\prime})^2-({{p_1}^{\prime}}^2+{{p_2}^{\prime}}^2+2{p_1}^{\prime}{p_2}^{\prime}\cos\theta)

และที่ผมสงสัยก็คือ ถ้าเกิดว่ามันเกิดไม่ยืดหยุ่นขึ้นมาจะเป็นอย่างไรเหรอครับ (ตอนทำโจทย์สัมพัทธภาพผมไม่เคยเจอแบบไม่ยืดหยุ่นน่ะครับ ปกติก็ตั้งสมการอนุรักษ์พลังงานธรรมดาน่ะครับ) ช่วยชี้แนะให้ด้วยครับ >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on December 21, 2007, 06:54:47 PM
อืม...ขอบคุณที่อุตส่าห์ขุดขึ้นมาแก้
ที่ Great ทำน่าจาถูกแล้วแหละ
ช่วยแก้ให้พี่ด้วยเลยแล้วกัน 555+

ที่บอกว่าเป็นการชนแบบยืดหยุ่น เพราะว่าทำในกรณีทั่วๆไปไง ไม่ใช่กรณีที่ึความเร็วสูงๆอย่างเดียว


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on December 21, 2007, 08:52:13 PM
อืม...ขอบคุณที่อุตส่าห์ขุดขึ้นมาแก้
ที่ Great ทำน่าจาถูกแล้วแหละ
ช่วยแก้ให้พี่ด้วยเลยแล้วกัน 555+

ที่บอกว่าเป็นการชนแบบยืดหยุ่น เพราะว่าทำในกรณีทั่วๆไปไง ไม่ใช่กรณีที่ึความเร็วสูงๆอย่างเดียว

พอดีตามลิงค์ข้อสอบของสสวท.ปลายค่าย2ของพี่พีมาแล้วเห็นน่ะครับ
คงแก้แค่ที่เกรทพิมพ์ไปครับ เพราะทำต่อแล้วได้สมการ(0) เหมือนของพี่นิค  ;)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on December 22, 2007, 12:10:29 PM
สำหรับข้อ 67 ผมคิดว่า มันน่าจะไม่ยากไม่ใช่เหรอครับ (หรือว่าผมโดนหลอก)
\displaystyle {W = \int {\vec{f}}\cdot d\vec{s} }

แรงจากแรงเสียดทานคงที่ ดังนั้น  W = fs\cos \theta  = fs
 
ตอบ  (ผมว่าคงโดนหลอกแหงๆเลย แต่ผมก็มาขุดเฉยๆครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on December 22, 2007, 12:18:02 PM
ข้อ 68  ขออนุญาตตั้งนะครับ

จงพิสูจน์ว่าสมการเชือกที่ถูกผูกไว้กับเสาสองต้นและห้อยลงมาตามสนามโน้มถ่วง g มีฟังค์ชั่นเป็น y=A\cosh {x}+B โดย A และ B เป็น ค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่โจทย์ให้มาเช่น มุมที่ปลายเชือกทำกับเสา ความหนาแนของเชือก หรืออื่นๆ ท่านสามารถกำหนดเองได้  ;D

สูตรการอินทีเกรทที่จำเป็น\displaystyle {\int {\frac{1}{{\sqrt {1 + p^2 } }}dp = \sinh ^{ - 1} p + C} }

แนะ โจทย์ข้อนี้ให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เพียงแค่สูตรการอินทีเกรทด้านบน,ความรู้ด้านแคลคูลัสเบื้องตันและเอกลักษณ์ทางฟังค์ชั่นไฮเปอร์โบลิคเล็กน้อยเท่านั้น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on December 22, 2007, 04:45:49 PM
สำหรับข้อ 67 ผมคิดว่า มันน่าจะไม่ยากไม่ใช่เหรอครับ (หรือว่าผมโดนหลอก)
\displaystyle {W = \int {\vec{f}}\cdot d\vec{s} }

แรงจากแรงเสียดทานคงที่ ดังนั้น  W = fs\cos \theta  = fs
 
ตอบ  (ผมว่าคงโดนหลอกแหงๆเลย แต่ผมก็มาขุดเฉยๆครับ
ผมขอเสริมจากไซโคเร่อร์ด้วยวิธีพิสูจน์แบบยกสถาณการณ์แล้วกันนะครับ
คือผมติดตรงคำว่า"ที่ไถลไปจริงๆ" ลองนึกถึงตัวอย่างทรงกลม กลิ้งแบบ"ไม่ไถล" จะพบว่ามัน"ไม่ได้ขูดพื้น"แสดงว่าไม่เกิดงานจากแรงเสียดทานซึ่งก็เป็นจริง
ส่วนกรณีถ้ามันเกิดไถลไปตอนกลิ้งหล่ะ ผมจะพิสูจน์ว่างานจากแรงเสียดทานคือแรงเสียดทานคูณระยะทางที่มันขูดไปจริงๆ จากตัวอย่าง(ผมยังคิดวิธีพิสูจน์กรณีทั่วๆไปไม่ได้)
                จินตนาการว่ามีวัตถุกลิ้งได้อันหนึ่ง(เช่นทรงกระบอก ทรงกลม) มีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดCMเป็น I ตอนแรกมันหมุนอยู่อย่างเดียวที่เวลา t=0และแล้วพอมันสัมผัสพื้นฝืด ก็เกิดแรงเสียดทานทำมันในทิศตรงกันข้ามกับความเร็วของผิววัตถุสัมพัทธ์กับพื้น ให้มันหมุนช้าลง (และแน่นอนว่าสุดท้ายความเร็วศูนย์กลางมวลจะคงตัว) สมมติมันหมุนไปจนถึง t=t_f เขียนสมการนิวตันก่อนออกมาได้ว่า
\displaystyle{M{d \over {dt}}v_{cm}  = \mu _k N}--->(1)
ทอร์กรอบจุด CM
\displaystyle{I{d \over {dt}}\omega  =  - \mu _k NR}--->(2)
เลยเขียนอัตราเร็วจุด CM ขณะใดๆตอนไถลอยู่ได้ว่า
\displaystyle{v_{cm} \left( t \right) = \mu _k gt}(เนื่องด้วยตอนแรก v_{cm}(0)=0)--->(3)
และอัตราเร็วเชิงมุมรอบ CM ขณะใดๆ
\displaystyle{\omega \left( t \right) = \omega \left( 0 \right) - {{\mu _k gMR} \over I}t}--->(4)

หลังจากนี้จะหางานจากแรงเสียดทาน(จลน์)ที่ว่า จากทฤษฎีงาน-พลังงาน
\displaystyle{KE_{initial}  = {1 \over 2}I\left( {\omega \left( 0 \right)} \right)^2} ...พลังงานจลน์ตอน  t=0
\displaystyle{KE_{final}  = {1 \over 2}M\left( {v\left( {t_f } \right)} \right)^2  + {1 \over 2}I\left( {\omega \left( {t_f } \right)} \right)^2}
\displaystyle{KE_{final}  = {1 \over 2}M\left( {\mu _k gt_f } \right)^2  + {1 \over 2}I\left( {\omega \left( 0 \right) - {{\mu _k gMR} \over I}t_f } \right)^2 }...พลังงานจลน์ตอน t=t_f
เลยได้ว่างานจากแรงเสียดทานเป็น
\displaystyle{W_f  = KE_{final} - KE_{initial} =- \mu _k Mg\left( {\omega \left( 0 \right)Rt_f  - {1 \over 2}\left( {{{MR^2 } \over I} + 1} \right)\mu _k gt_f ^2 } \right)}--->(*)

คราวนี้ลองมาพิจารณาทางที่"ขูดพื้น"หรือ"ไถล" ไปจริงๆ
จะได้ว่ามันขูดพื้นไปแล้วในช่วงเวลา t=0ถึง t=t_fเป็น
=\displaystyle{\int\limits_{t = 0}^{t = t_f } {\left[ {R\omega \left( t \right) - v_{cm} \left( t \right)} \right]} dt}
=\displaystyle{\int\limits_{t = 0}^{t = t_f } {\left[ {\omega \left( 0 \right)R - \left( {{{MR^2 } \over I} + 1} \right)\mu _k gt} \right]} dt}
=\displaystyle{\omega \left( 0 \right)Rt_f  - {1 \over 2}\left( {{{MR^2 } \over I} + 1} \right)\mu _k gt_f ^2 }
และก็หางานโดยเอาแรงเสียดทานจลน์ที่ทำ มาคูณกับระยะทางที่ไถลไปที่ว่านี้(แน่นอนว่าแรงเสียดทานที่ว่ามีค่าคงที่)
\displaystyle{W_f  =  - \mu _k Mg\left( {\omega \left( 0 \right)Rt_f  - {1 \over 2}\left( {{{MR^2 } \over I} + 1} \right)\mu _k gt_f ^2 } \right)}
พบว่ามันเท่ากับ(*) พอดี
แสดงว่า
งานจากแรงเสียดทาน = แรงเสียดทานนั้น คูณกับ ระยะที่มันไถลไป
(ถ้าลองเอาระยะที่CMเคลื่อนที่ไป(ระยะที่"ตัววัตถุ"เคลื่อนที่ไป)มาคูณกับแรงเสียดทาน จะได้ไม่เท่ากับงานที่คำนวณได้ทางทฤษฎีงาน-พลังงาน แสดงว่าการลองนี้ ไม่ได้ให้ผลเป็นงานจากแรงเสียดทาน)

ปล.ผมว่าที่ไซโคเร่อร์ทำมาก็ถือว่าน่าจะอยู่ในรูปทั่วไปแล้วถ้าบอกว่า s ที่ว่านั้นคือ ระยะที่แรง fทำกับผิววัตถุ ซึ่งขยายความต่อได้คือ ระยะที่ไถลไปจริงๆนั่นเอง ;D (หรือถ้าใครมีวิธีที่ทั่วไปแบบสุดๆๆๆ ช่วยโพสด้วยนะครับ  >:A)

 :reading :reading :reading


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on December 22, 2007, 07:06:49 PM
อ่าวเป็นเยี่ยงนั้นเองหรอกเหรอครับ ข้าพเจ้าคิดว่าไม่กรณีเป็นอนุภาคซะอีก 555++


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Conqueror on December 22, 2007, 09:57:34 PM
ดูแล้วสับสนๆอยู่หลายจุด เช่น ตัวนี้อะครับ ในข้อ 54 หน้า 16

...

ในแนวตั้งฉากพื้นเอียง จากความสมดุล ได้ว่า

\displaystyle ma \sin \theta + mg \cos \theta = N ---(2)

...

ทำไมถึงไม่เป็น

\displaystyle mg \cos \theta - ma \sin \theta= N

ความเร่งของพื้นเอียงกับทรงกระบอกอยู่ในทิศเดียวกันไม่ใช่หรอครับ  :idiot2:




Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on December 22, 2007, 10:48:03 PM
ดูแล้วสับสนๆอยู่หลายจุด เช่น ตัวนี้ครับ ในข้อ 54 หน้า 16

...

ในแนวตั้งฉากพื้นเอียง จากความสมดุล ได้ว่า

\displaystyle ma \sin \theta + mg \cos \theta = N ---(2)

...

ทำไมถึงไม่เป็น

\displaystyle mg \cos \theta - ma \sin \theta= N

ความเร่งของพื้นเอียงกับทรงกระบอกอยู่ในทิศเดียวกันไม่ใช่หรอครับ  :idiot2:




ความเร่งของพื้นเอียงกับทรงกระบอกอยู่ในทิศเดียวกันไม่ใช่หรอครับ ... ไม่ใช่นะครับ
สิ่งที่เป็นมันก็แค่ว่าทรงกระบอกมีความเร่งเทียบเทียบพื้นเอียงในแนวขนานกับพื้นเอียง

ทำไมถึงไม่เป็น

\displaystyle mg \cos \theta - ma \sin \theta= N  ... ไม่ทราบครับ
เอาอย่างนี้นะครับ(ไม่ใช้แรงชดเชยละ) ความเร่งทรงกลมเทียบพื้น=ความเร่งของมันเทียบลิ่ม+ความเร่งของลิ่มเทียบพื้น
ทีนี้ถ้าพิจารณาในแนวตั้งฉากกับพื้นเอียง ความเร่งของมันเทียบพื้นเอียงในแนวนี้เป็น0 จึงได้ว่า
ความเร่งทรงกลมเทียบพื้นในแนวตั้งฉากกับลิ่ม=ความเร่งของลิ่มเทียบพื้นในแนวตั้งฉากกับลิ่ม = a \cos \theta
ใช้กฏของนิวตันก็ได้ว่า N-mg \sin \theta = ma \cos \theta (ความเร่งลิ่มในแนวตั้งฉากกับผิวลิ่มมีทิศเดียวกับ N นะครับ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Conqueror on December 22, 2007, 11:22:52 PM
ก็ยังงงและสับสนอยู่ครับ :idiot2: คือ ที่ผมเข้าใจตอนแรกเป็นแบบนี้ครับ ช่วยหาจุดที่ทำให้ผมเข้าใจผิดให้ทีครับ

แรง F กระทำในทิศ +x ทำให้พื้นเอียงเคลื่อนที่ไปในทิศ +x ด้วยความเร่ง a ขณะเดียวกันทรงกระบอกก็เคลื่อนที่ลงมาด้วยความเร่ง A เทียบกับพื้นเอียงในแนวขนานกับพื้นเอียง

เขียนสมการการเคลื่อนที่ของทรงกระบอกในแนวแกน x และ y ได้ว่า

ในแนวแกน x ได้ว่าความเร่งของทรงกระบอกในแนวแกน x เทียบกับโลก = ความเร่งของทรงกระบอกเทียบพื้นเอียง+ความเร่งของพื้นเอียงเทียบกับโลก ดังนั้น ความเร่งของทรงกระบอกเทียบกับโลก = A \cos \theta + a

N \sin \theta = m(A \cos \theta + a)

ในแนวแกน y ได้ว่าความเร่งของทรงกระบอกเทียบกับโลกมีค่าเท่ากับ A \sin \theta

mg - N \cos \theta = mA \sin \theta

ได้ \boxed{A = a \cos \theta + g \sin \theta}

 :'(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on December 23, 2007, 08:14:38 AM
1.ผมทำ ผมใช้ระบบพิกัดที่ตั้งฉาหและขนานกับพื้นเอียงนะครับ สมการมันก็เลยไม่เหมือนกัน
2.คุณเข้าใจถูกแล้วครับ แต่ช่วยแก้2สมการตามกแกนx y ให้ดูหน่อยได้มั้ยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Conqueror on December 23, 2007, 08:35:17 AM
คำตอบต้องเป็นแบบที่คุณ toaster คิดถูกแล้วครับ ลองคิดใหม่ได้เหมือนคุณเลย  ](*,)

ขออภัยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ccchhhaaammmppp on December 30, 2007, 10:20:44 PM
ข้อ55
............

ข้อ 54 ยังไม่มีคนมาทำเลย

ข้อ 54
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.msg12000.html#msg12000 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.msg12000.html#msg12000)

จัดให้ครับ  ;D แต่ไม่รู้ว่าผิดไหนนะครับ พอดีผมมั่วๆมา แต่ผิดก็คงไม่มากล่ะ

ข้อ 54

ก.)
ให้ความเร่งของ m เทียบพื้นเอียงเป็น w

"เลือกกรอบอ้างอิงที่ติดไปกับพื้นเอียง" ใช้การแปลงกฏของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่ง ได้ว่า

\displaystyle m\vec{g} + \vec{N}-m\vec{a} = m\vec{w} ---(1)

พิจารณองค์ประกอบของเวกเตอร์ในสมการ (1) ในแนวขนานพื้นเอียง และตั้งฉากกับพื้นอียง

ในแนวตั้งฉากพื้นเอียง จากความสมดุล ได้ว่า

\displaystyle ma \sin \theta + mg \cos \theta = N ---(2)

ในแนวขนานพื้นเอียง ได้ว่า

mg \sin \theta - ma \cos \theta = mw
w = g \sin \theta - a \cos \theta ---(3)
ตอบ ก.)  g \sin \theta - a \cos \theta

ข.)
พิจารณาพื้นเอียง แรงที่ทำต่อพื้นเอียงได้แก่ แรง F แรง N จากm แรง Mgจากน้ำหนักของมัน แรง N^\prime จากพื้นดันมัน

เนื่องจากสมดุลในแนวดิ่ง N^\prime = N \cos \theta + Mg
แทนค่าจาก (2) N^\prime = ma \sin \theta \cos \theta + mg \cos^2 \theta + Mg

สมการของการเคลื่อนที่ในแนวระดับเป็น F - N \sin \theta = Ma
แทนค่าจาก (2) F = Ma + ma \sin^2 \theta + mg \cos \theta \sin \theta

ตอบ ข.)
แรง F = Ma + ma \sin^2 \theta + mg \cos \theta \sin \theta
แรงจากน้ำหนัก Mg
แรงที่พื้นดันมัน ma \sin \theta \cos \theta + mg \cos^2 \theta + Mg
แรงที่mดันมัน \displaystyle ma \sin \theta + mg \cos \theta

ค.)
ถ้าทรงกระบอกไม่กลิ้งขึ้นหลือลงเทียบพื้นเอียง แสดงว่าความเร่งของมันเทียบพื้นเอียง wต้องเป็น0
จาก(3) w=w = g \sin \theta - a \cos \theta=0 ดังนั้น a =g \tan \theta นำไปแทนค่าใน F จากข.) ได้ว่า
ตอบ ค.) F = {M \tan \theta + m (\tan \theta \sin^2 \theta + \cos \theta \sin \theta)}g

แล้วผิดมีผลย้อนหลังไหมครับ  ;D

ทำไมไม่มีแรงเสียดทาน


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: fermi on January 09, 2008, 11:10:51 AM
P87 (200 PUZZLING PHYSICS PROBLEMS)  Point-masses of mass m are at rest at  the corners of a regular n-gon.How does the system move if only gravitation acts between the bodies?How much time  elapses before the bodies collide if n=2,3 and 10?Examine the limiting case when n>> 1 and m=M/n, where M is a given total mass.                                                                                 


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on January 12, 2008, 09:11:40 PM
^^^ เหอๆ แล้วของกระผมล่ะขอรับ  :'(  ผมมาก่อนนะ :uglystupid2:  :tickedoff:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on January 12, 2008, 10:30:35 PM
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,49.0.html

โจท์ของตั้ว พี่พีซทำไว้ในเว็บตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ แล้ว


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on January 12, 2008, 11:12:59 PM
P87 (200 PUZZLING PHYSICS PROBLEMS) ...                              

ตั้งหมายเลขข้อให้เรียงตรงตามกติกาของบอร์ดด้วยครับ  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: FPGA on February 04, 2008, 12:35:52 PM
เนื่องจากความสมมาตรของข้อนี้น่าจะใช้ Circumscribed circle โดยให้ r คือรัศมีจากจุดศูนย์กลางถึงมวลครับ
สิ่งที่ได้จากความสมมาตรมีดังนี้
1.มวลทุกก้อนต้องมีอัตราเร็วเท่ากันที่เวลาเดีวกัน
2.มวลทุกก้อนต้องมีทิศของความเร็วชี้เข้าหาจุดศูนย์กลางวงกลมเสมอ
3.ผลจาก 1 และ 2 ทำให้ polygon มีรูปร่างคงเดิมเปลี่ยนเพียงแต่ขนาดเท่านั้น

ขนาดของผลรวมของเวกเตอร์ \vec{r} สองอันซึ่งทำมุมกัน \theta คือ
\left| R \right| = \sqrt{2r^2(1-\cos{\theta})}=\sqrt{2}r\sqrt{1-\cos{\theta}}

สำหรับมวล n ก้อน หาพลังงานศักย์ของมวลก้อนหนึ่งในขณะที่วงกลมมีรัศมี r จะได้
 U^*=-\frac{Gm^2}{\sqrt{2}r} \displaystyle \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{\sqrt{1-\cos{\frac{2\pi}{n}i}}}

หาสำหรับทั้งระบบจะได้
 U=\frac{n}{2}U^*

ใช้หลักอนุกรัษ์พลังงานจะได้
 U_i = U_f + n\frac{1}{2}m(\frac{dr}{dt})^2
 (\frac{nGm^2}{2\sqrt{2}} \displaystyle \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{\sqrt{1-\cos{\frac{2\pi}{n}i}}})(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0})=n\frac{1}{2}m(\frac{dr}{dt})^2
(\frac{dr}{dt})^2=(\frac{Gm}{\sqrt{2}} \displaystyle \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{\sqrt{1-\cos{\frac{2\pi}{n}i}}})(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0})
อย่าเพิ่งตกใจไปนะครับ เพราะ \frac{Gm}{\sqrt{2}} \displaystyle \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{\sqrt{1-\cos{\frac{2\pi}{n}i}}}=const=C=K(n)\frac{Gm}{\sqrt{2}} ; K(n)=\displaystyle \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{\sqrt{1-\cos{\frac{2\pi}{n}i}}}
เพราะฉะนั้นสิ่งที่ต้องทำคือแก้สมการ
(\frac{dr}{dt})^2=C(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0})
โดยที่ r(0)=r_0 และ  r(T)=0
สมการรูปนี้ผมเคยเห็นคนทำไว้แล้วในบอร์ด
ค่า K สำหรับรูปต่างๆไปหากันเอาเองนะครับ
K(2) = \frac{1}{\sqrt{2}}
สำหรับ n\to \infty
อาจทำได้ 2 แบบ คือ
1. หา \displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{K(n)}{n} โดยการแปลง \frac{K(n)}{n} ให้อยู่ในรูป integrate
2. integrate หา พลังงานศักย์ของเส้นวงกลมมวล M รัศมี r


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: nklohit on April 11, 2008, 10:06:10 PM
ช่วยโพสต์โจทย์ข้อต่อไปด้วยครับผม  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: P o W i i on May 08, 2008, 12:06:12 AM
มีใครอยากเสนอกติกาอะไรใหม่ๆหรือเปล่าครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 08, 2008, 11:03:21 AM
มีใครอยากเสนอกติกาอะไรใหม่ๆหรือเปล่าครับ

ก็ถ้าคนที่มาทำทิ้งไว้ไม่ยอมเอาโจทย์ข้อต่อไปมาโพสซักที(ผมว่า ให้เวลาเต็มที่ไม่เกิน 3-5 วัน) ก็ให้ "ใครก็ได้" (คนที่กระหายอยากจะปล่อยอัลติเมท  ;D) มาโพสโจทย์ต่อไปเลย

เรื่อง Marking Scheme ก็น่าสนนะ  8) แต่คงลำบากเกินไป  :laugh:



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 15, 2008, 02:25:23 AM
เนื่องจากท่านก่อนหน้านี้ไม่มาโพสโจทย์นานแล้ว ผมจะขอโพสแล้วกันนะครับ
ข้อ 70 (โจทย์ยาวหน่อย แต่ไม่ยากมาก เป็นโจทย์พื้นฐาน+วิชามาณนิดๆ อ่านให้จบนะครับ ^^)
มีอยู่วันหนึ่งกรีนกอบลินตกงานเนื่องจากหนังเรื่องสไปเดอร์แมนทำยอดขายไม่ดีพอ จึงขี่ยานคู่ใจของเขาไปกรุงโซล เกาหลีใต้ แล้วไปลักพาตัว SeoHyun (ซอฮยอน) เจ้าหญิงน้อยแสนน่ารัก หมายจะมุ่งหน้าไปดาวอังคาร แต่ว่าเจ้าชายGreatHanGyeon (เกรทฮันกยอง) ซึ่งกำลังพักร้อนอยู่ที่ไทยทราบข่าว จึงทำการแปลงร่างเป็นเทพบุตรแล้วบินตามไป แต่ด้วยความโชคร้ายเมื่อเทพเจ้าบนสวรรค์ชั้น7 1/2ดลบันดาลให้ในอวกาศดันมีของไหลความหนาแน่นสม่ำเสมออยู่เต็ม ทำให้เกิดแรงต้านต่อเจ้าชายเกรท อีกทั้งก่อนออกจากโลก ยังมีสาวๆไม่ว่าจะเป็น ริซาโกะ มิยาบิ โนมิน หรือแม้แต่โมโมโกะ (กวินอย่าว่ากันนะ  ;D) เกาะตามมาด้วย แน่นอนว่าแรงต้านจากของไหลต่อร่างกายเจ้าชายเกรทนั้นมีค่าแปรผันตรงกับกำลังสองของอัตราเร็ว ส่วนแรงต้านต่อสาวๆที่เกาะมาด้วยนั้น ด้วยเหตุผลบางประการทำให้แปรผันตามอัตราเร็วกำลังหนึ่งเท่านั้น แต่มันยังมีแรงต้านอื่นมาอีก นั่นคือแรงต้านที่ปีก ดูรูป มีแรงที่ของไหลทำต่อปีกคือแรงยกและแรงฉุดเหนี่ยวนำไปด้านหลังซึ่งถือเป็นแรงต้านแรงหนึ่ง และมีขนาดแปรผกผันกับกำลังสองของอัตราเร็ว ทำให้เขียนขนาดแรงต้านสุทธิที่ทำต่อเจ้าชายเกรทและสาวๆได้ดังนี้
f_g  = \alpha {v^2_{great}}  + \beta {v_{great}} + \gamma /{v^2_{great}}
โดย \alpha\;\; \beta \;\; \gammaเป็นค่าคงที่
ส่วนกอบลินที่จับซอฮยอนไป บินหนีด้วยความเร็ว \vec v_{seohyun}
กำหนดค่าต่างๆต่อไปนี้
\alpha  = 0.300\;{\rm{ Ns}}^{\rm{2}} {\rm{/m}}^{\rm{2}}
\beta  = 0.500\;{\rm{ Ns/m}}
\gamma  = 3.50 \times 10^7 \;{\rm{ Nm}}^{\rm{2}} {\rm{/s}}^{\rm{2}}
v_{seohyun}  = 300\;{\rm{ km/hr}}
และสมมติฐานต่อไปนี้
1.การเคลื่อนที่ทั้งหมดเป็นการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง
2.เจ้าชายเกรทมีพลังงานในตัวจำกัด และพ่นไอพ่นจากเท้า ในทิศทางที่ทำให้แรงยกนั้นถูกหักล้างพอดี (นั่นคือบินไปข้างหน้าอย่างเดียว) (นั่นคือมีปีกไว้เท่ๆเท่านั้นเอง ^^ (แล้วจะมีปีกไว้ต้านทำไมหว่า -*- ---> เพื่อให้โจทย์ดูยากขึ้นไง 555+))
3.ตั้งสมมติฐานเอาเองว่าปริมาณใดควรจะคงที่ (เพราะถ้าไม่ตั้ง ก็คงเจอโจทย์อัลติเมทดีๆนี่เอง  :uglystupid2:)
4.เริ่มคำนวณขณะที่หนีแรงดึงดูดของโลกออกมาแล้ว และยังคงอยู่ห่างจากดาวอังคารมาก
คำถาม
1.จงอธิบายสาเหตุของการเกิดแรงฉุดเหนี่ยวนำ (แนะ: ใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน)
2.จงหาว่าเจ้าชายเกรทต้อง...
 2.1)บินด้วยอัตราเร็วเท่าไรจึงจะทำให้ได้พิสัย (Range) มากที่สุด ด้วยพลังงานในตัวที่จำกัด
 2.2)บินด้วยอัตราเร็วเท่าไรจึงจะบินได้นานที่สุด (ไม่หมดแรงซะก่อน!)
 2.3)บินแบบไหนจึงจะตามไปช่วยเจ้าหญิงน้อย SeoHyun ทัน
 2.4)จำเป็นหรือไม่ที่เจ้าชายต้องสละสาวๆที่เกาะมาด้วยทิ้ง (คิดทั้งการบินทั้งสองแบบ) และถ้าจำเป็น ค่า \beta ควรจะเปลี่ยนไปเป็น"ประมาณ" เท่าใด

กำหนดเวลา 1 สัปดาห์ ถ้าท่านช่วยเจ้าชายเกรทไม่ได้ เห็นทีเจ้าชายเกรทจะต้องลงมือทำด้วยตัวเอง  ;D
(สงสัยโจทย์ ถามได้ครับ เพราะคนตั้งโจทย์ก็ยังมึนๆเอง แหะๆ)
ปล.ท่านอาจต้องใช้เครื่องคิดเลขที่มีปุ่ม "ANS" หรือถ้าเป็นเครื่องคิดเลขเทพ มีปุ่ม "SOLVE" ก็ไม่ว่ากัน  ;)  :laugh:
ปล.2 ผมดัดแปลงข้อนี้มาจากโจทย์ในเทกซ์บุคระดับมหาวิทยาลัย (จะบอกชื่อตอนมีคนทำได้แล้ว  :coolsmiley:) ถ้าพบว่าผมดัดแปลงมากเกินไปจนเกิดข้อผิดพลาดก็บอกด้วยนะครับ พอดีตอนนี้คึกจัดครับ นั่งทำโจทย์ไปเรื่อยๆอยู่ ไม่ยอมง่วง ^-^


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on May 15, 2008, 08:59:02 AM
เชดด โนมิน

แต่โพสรูปแบบนี้ไม่กลัวเว็บบอร์ดเต็มหรอ = = มันเหลืออีกไม่เท่าไหร่เองนะ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 15, 2008, 10:28:20 AM
เชดด โนมิน

แต่โพสรูปแบบนี้ไม่กลัวเว็บบอร์ดเต็มหรอ = = มันเหลืออีกไม่เท่าไหร่เองนะ
70 นิดหน่อย kb เองนะครับพี่นิค หรือว่าต้องย่อรูปอีก ???
แต่ถ้าหากใหญ่เกินไปก็ขออภัยด้วยนะครับ จะทำการย่อรูปให้ไฟล์มีขนาดเล็กลงครับ  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on May 15, 2008, 11:27:58 AM
ทำให้เกิดแรงต้านต่อเจ้าชายเกรท อีกทั้งก่อนออกจากโลก ยังมีสาวๆไม่ว่าจะเป็น ริซาโกะ มิยาบิ โนมิน หรือแม้แต่โมโมโกะ (กวินอย่าว่ากันนะ  ;D) นี้คึกจัดครับ นั่งทำโจทย์ไปเรื่อยๆอยู่ ไม่ยอมง่วง ^-^

เพ้อไปแล้ว เพื่อนเรา


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 20, 2008, 12:25:52 AM
เหลือเวลาอีกเพียง 2 วันนิดๆนะครับ ^^ ไม่เห็นมีใครมาทำเลย (หรือว่าผมแต่งโจทย์ไม่ดีเอง  :'()
ใบ้ให้เพิ่มเติมแล้วกันนะครับ
1.เนื่องจากการเคลื่อนที่เป็นไปในแนวเส้นตรง ทำให้มีเพียงแรงในแนวระดับ
2.ใช้วิชามาณว่าการเคลื่อนที่นี้ความเร็วคงที่ตลอด (ถ้าไม่อย่างนั้นก็ยุ่งน่ะสิ  ;D)
3.เงื่อนไขที่จะทำให้ Range สูงสุดคือ ...
4.เงื่อนไขที่จะทำให้บินได้นานที่สุดคือ ...

แนะ: ใช้แคลฯ นิดๆหน่อยๆ แล้วจะไม่ผิดหวัง  ;)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 21, 2008, 12:48:19 PM
ใบ้แล้วก็ยังไม่มีใครมาทำอีก  :'(
ถ้าอย่างนั้นจะบอกขั้นตอนการทำคร่าวๆให้นะครับ ถ้ายังไม่มีใครมาทำก่อน 23.00 คืนนี้ ผมก็จะเฉลยเลยนะครับ  :coolsmiley:
ขั้นตอนคร่าวๆ
1.W = {\vec{F}} \cdot {\vec{s}} สำหรับแรงซึ่งมีค่าคงตัว
2.เงื่อนไขของการเหาะที่ให้พิสัย (Range) มากสุด คือ \dfrac{d}{dv} s = 0
3.ความเร็วคงที่ s = vt
4.บินได้นานสุด \dfrac{d}{dv} t = 0
เห็นไหมว่าไม่มีอะไรเลย  :laugh:

ช่วยเจ้าชายเกรทด้วยๆๆ  >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 21, 2008, 11:23:02 PM
เนื่องจากว่า ไม่มีใครมาทำ เจ้าชายเกรท คงต้องลงมือทำเอง
1.จากรูปที่โพสไว้ เวลาเจ้าชายเกรทเหาะ จะมีแรงที่ปีกดันอากาศ และแน่นอน ด้วยกฎของนิวตันข้อที่ 3 จะต้องมีแรงปฏิกิริยาในทิศตรงกันข้ามด้วย นั่นคือ แรงที่อากาศทำต่อปีก ซึ่งแยกออกได้เป็นแรงยก และแรงต้านไปด้านหลังที่ให้ชื่อว่าแรงฉุดเหนื่ยวนำ (ฟิสิกส์ระดับอุดมศึกษา Hugh&Freedman หน้า 193)
2.1) พิจารณางานที่ระบบเจ้าชายเกรททำ (รวมสาวๆและปีกด้วย)
W = f_g s
ดิฟเฟอเรนชิเอต
\displaystyle{ {d \over {dv_g }}W = \left( {{d \over {dv_g }}f_g } \right)s + f_g \left( {{d \over {dv_g }}s} \right)}
จัดให้ (งานมีค่าคงที่ทุกอัตราเร็ว เพราะ งานนี้เท่ากับพลังงานที่เจ้าชายมีอยู่ในตัว ^^ ... วิชา"มาร" สุดๆ ;D)
\displaystyle{{d \over {dv_g }}W = 0}
และเงื่อนไข Range สูงสุด
\displaystyle{{d \over {dv_g }}s = 0}
ได้ว่า
\displaystyle{{d \over {dv_g }}f_g  = 0}
\displaystyle{{d \over {dv_g }}\left( {\alpha v_g ^2  + \beta v_g  + {\gamma  \over {v_g ^2 }}} \right) = 0}
\displaystyle{2\alpha v_g ^4  + \beta v_g ^3  - 2\gamma  = 0}
\displaystyle{2\left( {0.300\;{\rm{ Ns}}^{\rm{2}} {\rm{/m}}^{\rm{2}} } \right)v_g ^4  + \left( {0.500\;{\rm{ Ns/m}}} \right)v_g ^3  - 2\left( {3.50 \times 10^7 \;{\rm{ Nm}}^{\rm{2}} {\rm{/s}}^{\rm{2}} } \right) = 0}
แก้สมการนี้ด้วยเครื่องคิดเลข
\displaystyle{v_g  = 103\;{\rm{ m/s}} = 373\;{\rm{ km/h}}} ทำให้พิสัยมากสุด
2.2)
เนื่องด้วยความเร็วคงตัวทำให้ s = v_g t
และทำให้
\displaystyle{W = \left( {f_g v_g } \right)t
\displaystyle{0 = \left( {{d \over {dv_g }}\left( {f_g v_g } \right)} \right)t + f_g v_g \left( {{d \over {dv_g }}t} \right)}
เงื่อนไขการเหาะไปช่วย SeoHyun ที่เหาะได้นานที่สุด
\displaystyle{{d \over {dv_g }}t = 0}
ทำให้
\displaystyle{{d \over {dv_g }}\left( {f_g v_g } \right) = 0}
\displaystyle{{d \over {dv_g }}\left( {\alpha v_g ^3  + \beta v_g ^2  + {\gamma  \over {v_g }}} \right) = 0}
\displaystyle{3\alpha v_g ^4  + 2\beta v_g ^3  - \gamma  = 0}
\displaystyle{3\left( {0.300\;{\rm{ Ns}}^{\rm{2}} {\rm{/m}}^{\rm{2}} } \right)v_g ^4  + 2\left( {0.500\;{\rm{ Ns/m}}} \right)v_g ^3  - \left( {3.50 \times 10^7 \; {\rm{ Nm}}^{\rm{2}} {\rm{/s}}^{\rm{2}} } \right) = 0}
v_g  = 78.7\;{\rm{ m/s}} = 283\;{\rm{ km/h}} คืออัตราเร็วที่ทำให้เจ้าชายบินได้นานหรือยืนหยัดที่สุด  :o
2.3) บินแบบแรก ไล่ตามไปช่วยองค์หญิงน้อยSeoHyunทัน บินแบบหลังโดนกอบลินทิ้งห่างไปไกล :tickedoff:
2.4) ถ้าอยากบินแบบหลังแล้ว(แบบที่บินนานสุด) ก็คงต้องสลัดสาวๆที่เกาะมาด้วยทิ้งไปเพื่อลดแรงต้าน
ลองสมมติว่าสลัดทิ้งไปหมดเลย! นั่นคือ ให้ \beta = 0
จากข้อ 2.2 จะได้ว่า
\displaystyle{\beta  = {{\gamma  - 3\alpha v_g ^4 } \over {2v_g ^3 }}}
ลองจัด \beta = 0 พบว่า ก็ยังช้าเกินไปที่จะไล่กอบลินทัน
นั่นคือ ต่อให้สลัดสาวๆที่เกาะมาด้วยทิ้งไปก็ยังคงโดนทิ้งห่างไปอยู่ดี ถ้ายังบินแบบออมกำลัง (บินให้อึดที่สุด) อยู่

และก็พบว่า ในที่สุด เจ้าชายเกรทก็บินไปทันกอบลิน ส่วนเหตุการณ์จะเป็นอย่างไรนั้น ติดตามได้จากโจทย์ข้อต่อไป  :smitten: (หวังว่าข้อหน้าคงมีคนมาทำนะครับ ผมขอเวลา 1 วันกว่าๆ ไปคิดโจทย์สนุกๆมาก่อนครับ  :embarassed:)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 25, 2008, 09:53:55 PM
ข้อ 71
หลังจากที่เจ้าชายเกรทฮันกยอง สามารถไล่ตามกอบลินทัน ก็เกิดการต่อสู้กันขึ้น เจ้าชายตัดสินใจสลัดสาวๆที่เกาะมาด้วยทิ้งไว้ที่สถานีอวกาศแถวๆนั้น(กวินมารับโมโมโกะกลับโลกไปด้วยๆ  ;D) และฝากองค์หญิงน้อยมังเนซอฮยอนไว้กับตำรวจอวกาศหญิงที่ชื่อหลิวอี๋เฟย์ (ไม่ยอมฝากไว้กับผู้ชายเด็ดขาด!!! (ใครหว่าสาวกหลิวอี๋เฟย์  :2funny:)) และก็ไปต่อสู้กับกอบลินต่อ ไม่มีฝ่ายใดยอมเพลี้ยงพล้ำ เจ้าชายจึงตัดสินใจหยุดใช้กำลัง และท้าให้กอบลินมาสู้กันด้วยสมอง กอบลินจึงตัดสินใจปล่อยโจทย์อัลติเมทมา 1 ข้อด้วยกัน โดยมีข้อแม้ว่า ถ้าเจ้าชายเกรททำได้ กอบลินจะยอมเป็นทาสรับใช้เจ้าชาย แต่ถ้าเจ้าชายเกรททำไม่ได้ ต้องยกองค์หญิงน้อยและสาวๆให้กอบลิน เกรทคิดอยู่สักพัก (ไม่มั่นใจ 555+) และตัดสินใจรับคำท้า กอบลินปล่อยโจทย์มาดังนี้

"ในจักรวาลเอสเอ๋มทาวน์บ้านเกิดของกอบลิน เป็นฟรีสเปซว่างปล่าวห่างไปไกลโพ้น ที่มีดาวเคราะห์อยู่ด้วยกัน 3 ดวง ดวงแรกชื่อโดนบังแพลเนต (Don Bang Planet : P1 มวล M_1 ) ดวงที่สองชื่อสูจูแพลเนต (Su Ju Planet : P2 มวล M_2) ดวงที่สามชื่อวันเด๋อเกอแพลเนต (Won dEr+ Gir Planet : P3 มวล M_3) ดาวทั้งสามมีอันตรกิริยาซึ่งกันและกันด้วยแรงโน้มถ่วงตัวเองเท่านั้น ให้มีแกน \sigma เป็นแกนที่ผ่านจุดCMและตั้งฉากกับระนาบดาวทั้งสาม ปรากฎว่าระบบดาว 3 ดวงนี้ เคลื่อนที่ได้เป็นวัตถุแข็งเกร็ง (Rigid Body) รอบแกน \sigma กำหนดให้
P_1 P_2 = S_{12}
P_2 P_3 = S_{23}
P_3 P_1 = S_{31}
เป็นระยะระหว่างดาวแต่ละดวง
จงหาว่า ระบบดาว หมุนรอบแกน \sigma ด้วยความเร็วเชิงมุม \Omega มีค่าเป็นเท่าไร? และภายใต้เงื่อนไขระยะระหว่างดาวแต่ละดวงอย่างไร? ให้แสดงวิธีทำทั้งหมด!~!"

เจ้าชายเกรทอึ้งไปพักหนึ่ง กอบลินไซโคว่า ขนาดกอบลินเองก็ยังคิดไม่ออกเลย ฮ่าๆๆๆ (เข้าข่ายไซโคตัวเอง  :tickedoff:  :laugh:)

ให้เวลา2สัปดาห์ (หวังว่ามีคนหลงเข้ามาทำนะครับ 8)) ช่วยเจ้าชายเกรทให้ไม่ต้องเสียองค์หญิงและสาวๆไป แล้วท่านจะได้รางวัลคือ ได้โพสโจทย์ข้อต่อไปนั่นเอง 555+  :smitten:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on May 26, 2008, 09:43:41 AM
ไม่ได้ให้มวลมาเลยหรือครับ แล้ว P คืออะไรครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 26, 2008, 04:41:57 PM
ไม่ได้ให้มวลมาเลยหรือครับ แล้ว P คืออะไรครับ
ขออภัยครับ พอดีตอนนั้นพิมพ์ตกไป T T
P : Point ครับ คือจุดศูนย์กลางมวลของดาวแต่ละตัว จะว่าเป็นตำแหน่งของดาวแต่ละดวงก็ได้ครับ  :coolsmiley:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on May 26, 2008, 04:52:07 PM
เอ่อ แล้ว มวลล่ะครับ เท่าไหร่เหรอครับ??


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 26, 2008, 06:57:50 PM
เอ่อ แล้ว มวลล่ะครับ เท่าไหร่เหรอครับ??
โพสให้ในโจทย์ไป(ก่อนหน้านี้)แล้วครับ   ???


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on May 26, 2008, 08:19:38 PM
ตอบถูกผมจะได้สาวๆจากเจ้าชายเกรทไหมครับนี่ ;D
ให้ \vec{P_{1}},\vec{P_{2}},\vec{P_{3}}แทนเวกเตอร์ที่ชี้จากจุด CMไปยัง M_{1},M_{2},M_{3} ตามลำดับ
จาก \displaystyle \sum_{}\vec{\tau} =\frac{d}{d t}(I\omega )
ไม่มีแรงภายนอก ดังนั้น \displaystyle \sum_{}\vec{\tau} = 0 เป็นวัตถุแข็งเกร็งดังนั้น I คงที่ จึงได้ว่า \omega ต้องคงที่ด้วย
พิจารณาที่ M_{1}
\displaystyle \sum_{}\vec{F} = m\vec{a}
\frac{GM_{1}M_{2}}{(S_{12})^{3}}(\vec{P_{2}}-\vec{P_{1}})+\frac{GM_{1}M_{3}}{(S_{13})^{3}}(\vec{P_{3}}-\vec{P_{1}})=-M_{1}\Omega ^{2}\vec{P_{1}}
จากนิยามจุด CMได้
M_{1}\vec{P_{1}}+M_{2}\vec{P_{2}}+M_{3}\vec{P_{3}}=\vec{0}
จัดรูปได้้
M_{2}[\frac{GM_{1}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{2}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{3}}{(S_{13})^{3}}-\Omega ^{2}]\vec{P_{2}}+M_{3}[\frac{GM_{1}}{(S_{13})^{3}}+\frac{GM_{2}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{3}}{(S_{13})^{3}}-\Omega ^{2}]\vec{P_{3}}=\vec{0}
\vec{P_{2}}กับ \vec{P_{3}}ไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นวงเล็บด้านหน้าต้องเป็น 0 ซึ่งจะเห็นว่า S_{12}= S_{13}= S_{23} =S(ให้เป็น Sเพราะจะได้ดูสวยขึ้นเฉยๆนะครับ)
ได้ \Omega=\sqrt{\frac{G(M_{1}+M_{2}+M_{3})}{S^{3}}}
ถูกผิดยังไงช่วยดูด้วยครับผม >:A
เรื่องโพสโจทย์นี่ ผมว่าพี่เกรทโพสแทนได้ไหมนี่ ผมไม่มีอัลติเมทเลย แหะๆ  :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 26, 2008, 09:24:36 PM
...
\frac{GM_{1}M_{2}}{(S_{12})^{3}}(\vec{P_{2}}-\vec{P_{1}})+\frac{GM_{1}M_{3}}{(S_{13})^{3}}(\vec{P_{3}}-\vec{P_{1}})=-M_{1}\Omega ^{2}\vec{P_{1}}
จากนิยามจุด CMได้
M_{1}\vec{P_{1}}+M_{2}\vec{P_{2}}+M_{3}\vec{P_{3}}=\vec{0}
จัดรูปได้้
[\frac{GM_{1}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{2}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{3}}{(S_{13})^{3}}-\Omega ^{2}]\vec{P_{2}}+[\frac{GM_{1}}{(S_{13})^{3}}+\frac{GM_{2}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{3}}{(S_{13})^{3}}-\Omega ^{2}]\vec{P_{1}}=\vec{0}
\vec{P_{2}}กับ\vec{P_{1}}ไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นวงเล็บด้านหน้าต้องเป็น 0 ซึ่งจะเห็นว่า S_{12}= S_{13}= S_{23} =S(ให้เป็น Sเพราะจะได้ดูสวยขึ้นเฉยๆนะครับ)
ได้ \Omega=\sqrt{\frac{G(M_{1}+M_{2}+M_{3})}{S^{3}}}
ควรได้สมการแบบนี้ครับ  ;)
GM_1 M_2 \left( {{1 \over {S_{12} ^3 }} - {1 \over {S_{13} ^3 }}} \right)\vec P_2  + M_1 \left( {\Omega ^2  - {{GM_2 } \over {S_{12} ^3 }} - {{GM_1 } \over {S_{13} ^3 }} - {{GM_3 } \over {S_{13} ^3 }}} \right)\vec P_1  = 0
แล้วพอทำกับมวล M_2 ก็จะได้สมการรูปเหมือนๆกันเพียงแต่สลับดัชนีไปเท่านั้นเอง ก็จะได้ว่า
S_{12}= S_{13}= S_{23} =S แหละครับ
คำตอบสุดท้ายถูกแล้ว  :gr8
ในที่สุดเจ้าชายเกรทก็ได้กอบลินมาเป็นทาส และก็ได้องค์หญิงน้อยซอฮยอนและสาวๆกลับมารวมถึงตำรวจสาวด้วย  :2funny:

ตอบถูกผมจะได้สาวๆจากเจ้าชายเกรทไหมครับนี่ ;D
...
น้อง WeeBk ทำได้ เจ้าชายก็จะยกสาวๆให้ดังนี้
1.Sugaya Risako
2.Natsuyaki Miyabi
3.Tsugunaga Momoko (คุยกับกวินเอาเองนะ  :2funny:)
4.โนมิน (ฮา!!!  ;D)
5.ตำรวจสาว หลิวอี๋เฟย์ (คุยกับคุณ G เอาเองแล้วกัน  :laugh: :laugh:)
6.กอบลิน (เอาไปเหอะ ไม่อยากได้  :uglystupid2:)

แน่นอน องค์หญิงน้อยซอฮยอนเป็นของเจ้าชายเกรทแต่เพียงผู้เดียว  :)

...
เรื่องโพสโจทย์นี่ ผมว่าพี่เกรทโพสแทนได้ไหมนี่ ผมไม่มีอัลติเมทเลย แหะๆ  :buck2:
ไม่จำเป็นต้องอัลติเมทครับ (อย่างข้อนี้ความจริงก็ไม่ใช่อัลติเมต  8))
ข้อนี้ความจริงเป็นโจทย์ IPhO ที่โปแลนด์เมื่อ 19 ปีก่อนนู้น!
หาโจทย์ได้ทั่วๆไปครับ แล้วถ้าเป็นเจ้าชายเกรท ก็จะแต่งตัวละครให้โจทย์ดูยากขึ้นนิดๆ  :embarassed:

WeeBk โพสข้อ 72 ต่อได้เลยครับ  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on May 26, 2008, 09:59:38 PM
WeeBk จะเอาสาวๆไปทำอะไรดีนี่ แบ่งผมสักคนสิ
เดี๋ยวนายโพสท์โจทย์ข้อ 72 แล้วผมจะมาลองทำดู(ถ้าทำไหว)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on May 27, 2008, 09:09:49 PM
...
\frac{GM_{1}M_{2}}{(S_{12})^{3}}(\vec{P_{2}}-\vec{P_{1}})+\frac{GM_{1}M_{3}}{(S_{13})^{3}}(\vec{P_{3}}-\vec{P_{1}})=-M_{1}\Omega ^{2}\vec{P_{1}}
จากนิยามจุด CMได้
M_{1}\vec{P_{1}}+M_{2}\vec{P_{2}}+M_{3}\vec{P_{3}}=\vec{0}
จัดรูปได้้
[\frac{GM_{1}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{2}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{3}}{(S_{13})^{3}}-\Omega ^{2}]\vec{P_{2}}+[\frac{GM_{1}}{(S_{13})^{3}}+\frac{GM_{2}}{(S_{12})^{3}}+\frac{GM_{3}}{(S_{13})^{3}}-\Omega ^{2}]\vec{P_{1}}=\vec{0}
\vec{P_{2}}กับ\vec{P_{1}}ไม่ได้อยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นวงเล็บด้านหน้าต้องเป็น 0 ซึ่งจะเห็นว่า S_{12}= S_{13}= S_{23} =S(ให้เป็น Sเพราะจะได้ดูสวยขึ้นเฉยๆนะครับ)
ได้ \Omega=\sqrt{\frac{G(M_{1}+M_{2}+M_{3})}{S^{3}}}
ควรได้สมการแบบนี้ครับ  ;)
GM_1 M_2 \left( {{1 \over {S_{12} ^3 }} - {1 \over {S_{13} ^3 }}} \right)\vec P_2  + M_1 \left( {\Omega ^2  - {{GM_2 } \over {S_{12} ^3 }} - {{GM_1 } \over {S_{13} ^3 }} - {{GM_3 } \over {S_{13} ^3 }}} \right)\vec P_1  = 0
แล้วพอทำกับมวล M_2 ก็จะได้สมการรูปเหมือนๆกันเพียงแต่สลับดัชนีไปเท่านั้นเอง ก็จะได้ว่า
S_{12}= S_{13}= S_{23} =S แหละครับ
อันนี้ผมพิมพ์ผิดครับ ที่จริงต้องเป็น \vec{P}_{3}แทน \vec{P}_{1}ครับ  :buck2: แก้แล้วครับผม  >:A
WeeBk จะเอาสาวๆไปทำอะไรดีนี่ แบ่งผมสักคนสิ
เดี๋ยวนายโพสท์โจทย์ข้อ 72 แล้วผมจะมาลองทำดู(ถ้าทำไหว)
อ้าวๆ Blackmaglc ไม่ได้มีอยู่แล้วเหรอ  ;D

*แล้วเดี๋ยวจะมาโพสคร๊าบบบ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on May 28, 2008, 08:09:16 PM
ข้อ72
  ลูกบอลทรงกลมตันมวล m รัศมี R หมุนรอบแกนในแนวระดับด้วยอัตราเร็วเชิงมุม \omega _{0}ลูกบอลดังกล่าวตกลงมาจากความสูง h วัดจากผิวล่างของลูกบอล เมื่อลูกบอลกระดอนจะขึ้นได้ถึงระดับความสูง \alpha h วัดจากผิวล่างสุดของลูกบอล และช่วงเวลาที่ลูกบอลสัมผัสพื้นนั้นเป็นช่วงเวลาสั้นๆ ให้ g เป็นความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ระหว่างบอลกับพื้นเป็น\mu _{k}
1.1)ในกรณีที่ลูกบอลหมุนขูดพื้นตลอดเวลาที่ลูกบอลสัมผัสพื้น ให้หา
 ก.ค่า\tan ของมุม\thetaระหว่างแนวดิ่งกับแนวสะท้อนของลูกบอล
 ข.ระยะทางวัดตามแนวระดับที่จุดศูนย์กลางมวลเคลื่อนที่ได้ ระหว่างการตกกระทบครั้งที่ 1 กับ 2
 ค.เงื่อนไขของ\omega ที่จะทำให้การเคลื่อนที่ที่บรรยายมาเป็นจริง
1.2) กรณีที่ลูกบอลหมุนขูดพื้นนี้สิ้นสุดลงที่การกลิ้งล้วนๆก่อนกระดอนขึ้น ให้ตอบคำถามข้อ ก ข
1.3)ให้สเกตซ์กราฟของ\tan \theta เป็นฟังชั่นของ\omega_{0} สำหรับกรณีที่1.1กับ1.2


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: nklohit on May 31, 2008, 04:52:06 PM
ตอบข้อ 72
1.1ให้ v_{x} คือความเร็วในแนวระดับเมื่อลูกบอลเริ่มลอยออกจากพื้น
ความเร็วลูกบอลก่อนจะแตะพื้นพอดีเป็น \sqrt{2gh} จากหลักอนุรักษ์พลังงาน
เมื่อลูกบอลเด้งจากพื้นขึ้นไปสูง \alpha h จากตอนเริ่มออกจากพื้น ได้ว่า ความเร็วเมื่ออกจากพื้นพอดีเป็น v_{y}=\sqrt{2\alpha gh}
เขียนสมการนิวตันและสมการทอร์ก รวมถึงความสัมพันธ์ของแรงเสียดทานได้ว่า
f=\mu_{k}N-----------------------------1
N-mg = m\dfrac{dv_{y}}{dt}---------------------------2
f=m\dfrac{dv_{x}}{dt}----------------------------3
fR -I\dfrac{d\omega}{dt}--------------------------------4
จาก 1 และ 2 ได้ว่า   \dfrac{dv_{x}}{\mu_{k}dt} = g+\dfrac{v_{y}}{dt}
เปลี่ยน \dfrac{dv_{y}}{dt} เป็น \dfrac{\delta v_{y}}{\delta t} และ \delta v_{y} = \sqrt{2\alpha gh}+\sqrt{2gh} = (1+\sqrt{\alpha})\sqrt{2gh} และ \delta v_{x} = v_{x} แทนค่าไปได้
\delta t = \dfrac{1}{g}\left\{\dfrac{v_{x}}{\mu_{k}}-(1+\sqrt{\alpha})\sqrt{2gh}\right\} จากนั้นให้ \delta t \to 0 ได้
v_{x} = \mu_{k}(1+\sqrt{\alpha})\sqrt{2gh}
\tan \theta = \dfrac{v_{x}}{v_{y}}
\therfore \tan \theta = \mu_{k}\dfrac{1+\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}            Ans 1.1ก
จาก v_{y} = gt เมื่อถึงจุดสูงสุด จึงได้เวลาระหว่างการตกกระทบพื้นสองครั้งเป็น T=\sqrt{\dfrac{8\alpha h}{g}}
ระยะที่เคลื่อนที่ไปคือ
v_{x}T = 4\mu_{k}\sqrt{\alpha}(1+\sqrt{\alpha})h     Ans 1.1ข

จาก 1 2 3 และ 4 ได้ว่า \omega = \omega_{0}-\dfrac{mv_{x}R}{I} โดยที่ \omega คืออัตราเร็วเชิงมุมหลังเด้งกับพื้นพอดี และ I สำหรับทรงกลมคือ \dfrac{2}{5}mR^{2}และถ้าต้องการให้บอลขูดพื้นตลอด ต้องให้ \omega \geqslant \dfrac{v_{x}}{R} ดังนั้น
\omega_{0} \geqslant 7\mu_{k}(1+\sqrt{\alpha})\sqrt{\dfrac{gh}{2R^{2}}}             Ans 1.1ค

1.2
ให้ \omega^\prime = \dfrac{v_{x}}{R} เป็นเงื่อนไขที่จบลงแบบกลิ้งไม่ไถล จะได้ว่า v_{x}^\prime = \dfrac{2}{7}\omega_{0}R
จาก \tan\theta = \dfrac{v_{x}}{v_{y}} ได้ว่า
\tan\theta^\prime = \dfrac{\dfrac{2}{7}\omega_{0}R}{\sqrt{2\alpha gh}}                    Ans
ระยะที่เคลื่อนที่ไปคือ v_{x}^\prime T = \dfrac{2}{7}\sqrt{\dfrac{8\alpha h}{g}}\omega_{0}R                     Ans


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on May 31, 2008, 06:54:27 PM
คุ้นๆว่าเหมือนข้อสอบที่คิวบา  :o


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on June 05, 2008, 10:32:29 PM
สุดยอดจริงๆ nklohit   :gr8  :gr8  :gr8

ตอบข้อ 72
... ได้ว่า ความเร็วเมื่ออกจากพื้นพอดีเป็น v_{y}=\sqrt{2\alpha gh}
... ได้v_{x} = \mu_{k}(1+\sqrt{\alpha})\sqrt{2gh}
\tan \theta = \dfrac{v_{y}}{v_{x}}
\therfore \tan \theta = \mu_{k}\dfrac{1+\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}            Ans 1.1ก...

แต่ตรงนี้น่าจะหารสลับตัวกันนะครับ ไปหา \dfrac{v_{x}}{v_{y}} แทน
มันน่าจะได้  \tan \theta=\dfrac{\sqrt{\alpha}}{\mu_{k}(1+\sqrt{\alpha})} นะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: nklohit on June 05, 2008, 10:50:39 PM
สุดยอดจริงๆ nklohit   :gr8  :gr8  :gr8

ตอบข้อ 72
... ได้ว่า ความเร็วเมื่ออกจากพื้นพอดีเป็น v_{y}=\sqrt{2\alpha gh}
... ได้v_{x} = \mu_{k}(1+\sqrt{\alpha})\sqrt{2gh}
\tan \theta = \dfrac{v_{y}}{v_{x}}
\therfore \tan \theta = \mu_{k}\dfrac{1+\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}            Ans 1.1ก...

แต่ตรงนี้น่าจะหารสลับตัวกันนะครับ ไปหา \dfrac{v_{x}}{v_{y}} แทน

ขอบคุณคุณ BlackmagIc มากครับที่ช่วยเตือน ผมเผลอเขียนสลับที่ไป  >:A
มันน่าจะได้  \tan \theta=\dfrac{\sqrt{\alpha}}{\mu_{k}(1+\sqrt{\alpha})} นะครับ
แต่ตรงนี้ถูกอยู่แล้วครับ คือเป็น \tan \theta = \mu_{k}\dfrac{1+\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on June 05, 2008, 10:59:44 PM
...แต่ตรงนี้ถูกอยู่แล้วครับ คือเป็น \tan \theta = \mu_{k}\dfrac{1+\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\alpha}}  :)

อ๋อจริงด้วยครับ เพราะเป็นมุมที่วัดจากแกนดิ่ง  :laugh: ผมไปดูผิดเป็นมุมที่ทำกับแกนระดับ  :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: nklohit on June 17, 2008, 09:19:47 PM
ข้อ 73 ลูกบอลทรงกลมตันมวล m รัศมี  r กลิ้งแบบไม่ไถลจากหยุดนิ่งลงจากยอดเนินครึ่งทรงกลมมวล  M รัศมี R ผิวสัมผัสระหว่างลูกบอลกับเนินมีสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน \mu เนินวางตัวอยู่บนพื้นระนาบซึ่งผิวสัมผัสระหว่างเนินกับพื้นไม่มีความฝืด จงหามุม \theta ของลูกบอลวัดเทียบจากแนวเส้นดิ่งที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางและยอดของเนิน ขณะที่ลูกบอลกำลังจะหลุดออกจากพื้นพอดี


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 04, 2008, 12:05:38 AM
ตอบข้อ 73

ให้ V เป็นความเร็วของครึ่งทรงกลมเทียบกับพื้น และ v เป็นความเร็วของทรงกลมเทียบกับครึ่งทรงกลม
ได้ว่า ตอนที่ทรงกลมจะหลุด ความเร็วของทรงกลมเทียบกับพื้นคือ \sqrt{(V-v\cos\theta)^{2}+(v\sin\theta)^{2}}
=\sqrt{V^{2}-2Vv\cos\theta+v^{2}}

จากหลักการอนุรักษ์โมเมนตัมในแนวระดับ เพราะไม่มีองค์ประกอบของแรงภายนอกระบบในแนวระดับ ได้ว่า
MV=m(v\cos\theta-V)
\displaystyle V=\frac{mv\cos\theta}{m+M}

จากหลักการคงตัวของพลังงานกลได้ว่า พลังงานกลตอนเริ่ม และ ตอนจะหลุด เท่ากัน
mg(R+r)=mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}m(\sqrt{V^{2}-2Vv\cos\theta+v^{2}})^{2}+\frac{1}{2}I\omega ^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}

ทรงกลมกำลังกลิ้งอยู่บนผิวโค้งของครึ่งทรงกลม ได้ความสัมพันธ์ \displaystyle \omega=\frac{vR}{r(R+r)}
           
และเนื่องจากทรงกลม m กำลังเคลื่อนที่ในแนววงกลมรอบครึ่งทรงกลม M และตอนที่จะหลุดแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N เป็น 0 พอดี ได้ว่า
\displaystyle \frac{mv^{2}}{R+r}=mg\cos\theta
v^{2}=(R+r)g\cos\theta

จาก \displaystyle mg(R+r)=mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}m(\sqrt{(V^{2}-2Vv\cos\theta+v^{2}})^{2}+\frac{1}{2}I\omega ^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
                  \displaystyle =mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}mV^{2}-mVv\cos\theta+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{vR}{r(R+r)})^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
                  \displaystyle =mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}\frac{m^{3}}{(M+m)^{2}}v^{2}\cos^{2}\theta-\frac{m^{2}}{M+m}v^{2}\cos^{2}\theta+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{5}\frac{mR^{2}}{(R+r)^{2}}v^{2}+\frac{1}{2}\frac{m^{2}M}{(M+m)^{2}}v^{2}\cos^{2}\theta
แทน v^{2}=(R+r)g\cos\theta
                  \displaystyle =mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}\frac{m^{3}}{(M+m)^{2}}(R+r)g\cos^{3}\theta-\frac{m^{2}}{M+m}(R+r)g\cos^{3}\theta+\frac{1}{2}m(R+r)g\cos\theta+\frac{1}{5}\frac{mR^{2}}{(R+r)^{2}}(R+r)g\cos\theta+\frac{1}{2}\frac{m^{2}M}{(M+m)^{2}}(R+r)g\cos^{3}\theta
ตัด mg(R+r) ออก
\displaystyle 1=\cos\theta +\frac{1}{2}\frac{m^{2}}{(M+m)^{2}}\cos^{3}\theta-\frac{m}{M+m}\cos^{3}\theta+\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{1}{5}\frac{R^{2}}{(R+r)^{2}}\cos\theta+\frac{1}{2}\frac{mM}{(M+m)^{2}}\cos^{3}\theta
\displaystyle 1=\left( \frac{3}{2}+\frac{R^{2}}{5(R+r)^{2}}\right)\cos\theta-\left( \frac{m^{2}+mM-2m(M+M)}{2(m+M)^{2}} \right) \cos^{3}\theta
\displaystyle 1=\left( \frac{3}{2}+\frac{R^{2}}{5(R+r)^{2}}\right)\cos\theta-\left( \frac{m}{2(m+M)} \right) \cos^{3}\theta

แต่ยังคิดวิธีแก้สมการหารากจริงที่เป็นบวกและอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ไม่ออกครับ  :buck2:

MODIFY ON 15/10/2551
ถ้าไอ้ที่ทำๆมาถูก (แน่นอนว่า่มันไม่ถูกหรอก)
\displaystyle \left( \frac{3}{2}+\frac{R^{2}}{5(R+r)^{2}}\right)\cos\theta=\left( \frac{m}{2(m+M)} \right) \cos^{3}\theta+1
เขียน \cos\theta= A\cos^{3}\theta + B
ประมาณค่า  \thetaเอาไปแทนทางด้านขวามือ แล้วเอาค่าที่ได้จากการแทนไปแทนซ้ำๆ ก็จะได้ค่าประมาณของ \cos\theta


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on July 05, 2008, 08:26:07 PM
ระหว่างผิวมันจะไม่ไถลเลยหรอครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 06, 2008, 12:01:16 AM
รู้สึกว่าคำตอบเมื่อแก้สมการกำลังสามออกมา มันแปลกๆยังไงไม่รู้ครับ  :buck2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on July 06, 2008, 07:14:56 AM
ในกรอบที่คิดพลังงาน ทรงกลมมีความเร็วเท่าไหร่หรอครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 06, 2008, 10:34:29 PM
ในกรอบที่คิดพลังงาน ทรงกลมมีความเร็วเท่าไหร่หรอครับ

ขอบคุณมากครับที่ชี้แนะ  >:A
ความเร็ว \vec{v} ของทรงกลมที่ผมใช้เป็นความเร็วเทียบกับครึ่งทรงกลม
ซึ่งในกรอบที่พื้นอยู่นิ่งที่คิดพลังงาน ครึ่งทรงกลมมีความเร็ว \vec{V}
ดังนั้นทรงกลมต้องมีความเร็ว \vec{V}+\vec{v} ในกรอบนี้
สรุปว่าผมคิดผิดไป  :( เดี๋ยวจะลองทำใหม่ดูครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on July 07, 2008, 07:06:23 AM
ตอบข้อ 73
....
จาก \displaystyle mg(R+r)=mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}m(\sqrt{(V^{2}-2Vv\cos\theta+v^{2}})^{2}+\frac{1}{2}I\omega ^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
                  \displaystyle =mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}mV^{2}-mVv\cos\theta+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
...
:buck2: พลังงานในการหมุน มันไม่ใช่ \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}นะ :o


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 07, 2008, 11:40:00 PM
ตอบข้อ 73
....
จาก \displaystyle mg(R+r)=mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}m(\sqrt{(V^{2}-2Vv\cos\theta+v^{2}})^{2}+\frac{1}{2}I\omega ^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
                  \displaystyle =mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}mV^{2}-mVv\cos\theta+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
...
:buck2: พลังงานในการหมุน มันไม่ใช่ \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}นะ :o

ขอบคุณมากครับที่ช่วยชี้ข้อผิดพลาด  >:A
การหมุนบนผิวโค้งทรงกลมอย่างนี้ \omega ต้องเป็น \frac{Rv}{r(R+r)} ครับ
เดี๋ยวไปแก้ใหม่ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on July 08, 2008, 11:04:44 PM
....
 :buck2: พลังงานในการหมุน มันไม่ใช่ \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}นะ :o
เ่อ่อ คือจะบอกว่า พลังงานตรงนี้ถูกแล้วแหละ เราเมาเอง = =

แต่มีคนเจอที่ผิดที่อื่นอีก มีตรงนี้
ตอบข้อ 73
...
MV=mv\cos\theta

ความเร็ว v เป็นความเร็วเทีัยบกัับกรอบอ้างของครึ่งทรงกลบ เวลาคิดโมเมนตัมต้องคิดความเร็วเทียบกับกรอบ lab นะครับ
แล้วก็ตรงนี้
และเนื่องจากทรงกลม m กำลังเคลื่อนที่ในแนววงกลมรอบครึ่งทรงกลม M และตอนที่จะหลุดแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N เป็น 0 พอดี ได้ว่า
\displaystyle \frac{mv^{2}}{R+r}=mg\cos\theta
v^{2}=(R+r)g\cos\theta
ครึ่งทรงกลมมีความเร่งในแนวระดับด้วยนะครับ ต้องบวกเทอมอะไรมากอีกเทอม


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 08, 2008, 11:37:43 PM
....
 :buck2: พลังงานในการหมุน มันไม่ใช่ \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}นะ :o
เ่อ่อ คือจะบอกว่า พลังงานตรงนี้ถูกแล้วแหละ เราเมาเอง = =


ที่พี่แนะครั้งแรกน่าจะถูกแล้วนะครับ เพราะทรงกลมมันไม่ได้กลิ้งบนพื้นราบแต่กลิ้งบนผิวโค้งๆของครึ่งทรงกลม


แต่มีคนเจอที่ผิดที่อื่นอีก มีตรงนี้
ตอบข้อ 73
...
MV=mv\cos\theta

ความเร็ว v เป็นความเร็วเทีัยบกัับกรอบอ้างของครึ่งทรงกลม เวลาคิดโมเมนตัมต้องคิดความเร็วเทียบกับกรอบ lab นะครับ


ต้องแก้เป็น MV=m(v\cos\theta-V) จริงๆด้วย ขอบคุณมากครับ


แล้วก็ตรงนี้
และเนื่องจากทรงกลม m กำลังเคลื่อนที่ในแนววงกลมรอบครึ่งทรงกลม M และตอนที่จะหลุดแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N เป็น 0 พอดี ได้ว่า
\displaystyle \frac{mv^{2}}{R+r}=mg\cos\theta
v^{2}=(R+r)g\cos\theta
ครึ่งทรงกลมมีความเร่งในแนวระดับด้วยนะครับ ต้องบวกเทอมอะไรมากอีกเทอม


อันนี้คิดไม่ออกครับว่าเป็นยังไง mg\cos\thetaเป็นแรงสุทธิในแนวที่มีทิศเข้าหาศูนย์กลางแล้วไม่ใช่เหรอครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on July 09, 2008, 12:08:27 AM
\displaystyle \frac{mv^{2}}{R+r}=mg\cos\theta
v^{2}=(R+r)g\cos\theta
มันจะใช้ถ้าหากว่า ครึ่งทรงกลมอยู่นิ่งไง

มีวิธีอธิบายสองทางก้อคือ
วิธีแรก เราบอกว่า ครึ่งทรงกลม มีความเร่ง ดังนั้น การคิดแรงในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่งจะต้องบวกแรงเทียม ที่มีขนาดเท่ากับ mA โดยมีทิศทางตรงข้ามกับความเร่งของกรอบ

วิธีที่สอง
มันก็คือที่มาของวิธีแรกน่ะแหละ เราก็เขียนสมการกฎของนิวตัน ทั้งหมด
ถ้ากฎของนิวตันคิดในกรอบเฉื่อย มันก็จะเป็น
m\vec{a}=\dfrac{mv^2}{R}\vec{r}+m\vec{g}+\vec{N}
จริงๆมันก็ไม่ใช่กรอบเฉื่อยซะทีเดียว เพราะเราใส่เทอมแรงหนีศูนย์กลางเข้าไปด้วย แต่ทำเป็นไม่รู้ไม่ชี้ไปก่อนแล้วกัน

แต่ในกรณีนี้นี่ กรอบอ้างอิงของเรา เคลื่อนที่ไปด้วย สมมติว่าด้วยความเร่ง \vec{A}มันก็จะเป็น
m(\vec{a}+\vec{A})=\dfrac{mv^2}{R}\vec{r}+m\vec{g}+\vec{N}
m\vec{a}=\dfrac{mv^2}{R}\vec{r}+m\vec{g}+\vec{N}-m\vec{A}

เทอม m\vec{A}อาจจะเรียกว่าแรงเทียม เป็นเทอมที่ต้องบวกเข้าไปในสมการนิวตันด้วย เวลาจะใช้กฎของนิวตัน ในกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย
จำไว้ว่า กฎของนิวตันใช้ได้เฉพาะในกรอบอ้างอิงเฉื่อย หรือกรอบอ้างอิงที่ไม่มีความเร่งเท่านั้นนะครับ

เพราะฉะนั้นสมการที่ถูกต้องก็ควรจะเป็น
m\ddot{r}=0 =-mg\cos\theta +N +\dfrac{mv^2}{r}+mA\sin\theta
แทนค่า N =0 ก็จะได้
mg\cos\theta =\dfrac{mv^2}{r}+mA\sin\theta

ผมว่าข้อนี้ แค่คิดจะหา Aก็เมื่อยแล้วครับ :buck2:
ถ้าหา มุมที่หลุดอีกก็อ่วมเลยแหละ :uglystupid2:



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on July 09, 2008, 07:40:55 PM
\displaystyle \frac{mv^{2}}{R+r}=mg\cos\theta
v^{2}=(R+r)g\cos\theta
มันจะใช้ถ้าหากว่า ครึ่งทรงกลมอยู่นิ่งไง

มีวิธีอธิบายสองทางก้อคือ
วิธีแรก เราบอกว่า ครึ่งทรงกลม มีความเร่ง ดังนั้น การคิดแรงในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่งจะต้องบวกแรงเทียม ที่มีขนาดเท่ากับ mA โดยมีทิศทางตรงข้ามกับความเร่งของกรอบ

วิธีที่สอง
มันก็คือที่มาของวิธีแรกน่ะแหละ เราก็เขียนสมการกฎของนิวตัน ทั้งหมด
ถ้ากฎของนิวตันคิดในกรอบเฉื่อย มันก็จะเป็น
m\vec{a}=\dfrac{mv^2}{R}\vec{r}+m\vec{g}+\vec{N}
จริงๆมันก็ไม่ใช่กรอบเฉื่อยซะทีเดียว เพราะเราใส่เทอมแรงหนีศูนย์กลางเข้าไปด้วย แต่ทำเป็นไม่รู้ไม่ชี้ไปก่อนแล้วกัน

แต่ในกรณีนี้นี่ กรอบอ้างอิงของเรา เคลื่อนที่ไปด้วย สมมติว่าด้วยความเร่ง \vec{A}มันก็จะเป็น
m(\vec{a}+\vec{A})=\dfrac{mv^2}{R}\vec{r}+m\vec{g}+\vec{N}
m\vec{a}=\dfrac{mv^2}{R}\vec{r}+m\vec{g}+\vec{N}-m\vec{A}

เทอม m\vec{A}อาจจะเรียกว่าแรงเทียม เป็นเทอมที่ต้องบวกเข้าไปในสมการนิวตันด้วย เวลาจะใช้กฎของนิวตัน ในกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย
จำไว้ว่า กฎของนิวตันใช้ได้เฉพาะในกรอบอ้างอิงเฉื่อย หรือกรอบอ้างอิงที่ไม่มีความเร่งเท่านั้นนะครับ

เพราะฉะนั้นสมการที่ถูกต้องก็ควรจะเป็น
m\ddot{r}=0 =-mg\cos\theta +N +\dfrac{mv^2}{r}+mA\sin\theta
แทนค่า N =0 ก็จะได้
mg\cos\theta =\dfrac{mv^2}{r}+mA\sin\theta

...



ให้ \vec A เป็นความเร่งของครึ่งทรงกลมเทียบกับพื้นซึ่งอยู่นิ่ง และ {\vec a}_s เป็นความเร่งของทรงกลมเทียบกับครึ่งทรงกลม
ความเร่งของทรงกลมเทียบกับพื้นซึ่งเป็นกรอบเฉื่อยจะเป็น \vec a =\vec A + {\vec a}_s
แรงที่ทำต่อทรงกลมมี น้ำหนัก m\vec g แรงปฏิกิริยาตั้งฉากที่ผิวครึ่งทรงกลมทำ \vec N แรงเสียดทานสถิตในแนวสัมผัส \vec f  

ดังนั้นสมการของนิวตันจะเป็น

m\vec g + \vec N + \vec f = m \vec a = m (\vec A + {\vec a}_s)

จุดศูนย์กลางมวลของทรงกลมเคลื่อนที่เป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี R + r โดยที่มีขนาดความเร็วเพิ่มขึ้น
ดังนั้นความเร่ง {\vec a}_s ของทรงกลมเทียบกับครึ่งทรงกลมประกอบด้วยสองส่วน คือความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง และความเร่งในแนวสัมผัส  
ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลางมีขนาดเท่ากับ v^2/(R+r)
โดยที่ v คืออัตราเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของทรงกลมเทียบกับครึ่งทรงกลม
...



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on July 09, 2008, 08:08:41 PM
ขอบคุณที่ช่วยเติมครับอาจารย์  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 12, 2008, 12:40:03 AM
ขอบคุณมากครับอาจารย์  >:A
คิดโจทย์หนึ่งข้อได้เรียนรู้จากข้อผิดพลาดของตัวเองหลายๆอย่างจริงๆ  :laugh:
เดี๋ยวจะลองคิดใหม่อีกรอบครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on July 12, 2008, 12:08:20 PM
ขอถามข้อสงสัยอีกข้อหนึ่งนะครับ
ให้ \vec A เป็นความเร่งของครึ่งทรงกลมเทียบกับพื้นซึ่งอยู่นิ่ง
ส่วนประกอบของแรง \vec{f} และ \vec{N} ที่ทำต่อครึ่งทรงกลมในแนวระดับคือ f\cos\theta และ N\sin\theta
ได้ว่า N\sin\theta-f\cos\theta=MA
แล้วตอนที่ทรงกลมกำลังจะหลุดพอดี \vec{N}และ \vec{f}เป็นศูนย์ จึงได้ \vec{A}เป็นศูนย์ด้วย
สมการ mg\cos\theta =\dfrac{mv^2}{R+r}+mA\sin\theta จะกลับมาเป็น mg\cos\theta =\dfrac{mv^2}{R+r} ได้ไหมครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tdnet on September 22, 2008, 02:14:21 PM
 :buck2:
ขอถามข้อสงสัยอีกข้อหนึ่งนะครับ
ให้ \vec A เป็นความเร่งของครึ่งทรงกลมเทียบกับพื้นซึ่งอยู่นิ่ง
ส่วนประกอบของแรง \vec{f} และ \vec{N} ที่ทำต่อครึ่งทรงกลมในแนวระดับคือ f\cos\theta และ N\sin\theta
ได้ว่า N\sin\theta-f\cos\theta=MA
แล้วตอนที่ทรงกลมกำลังจะหลุดพอดี \vec{N}และ\vec{f}เป็นศูนย์ จึงได้ \vec{A}เป็นศูนย์ด้วย
สมการ mg\cos\theta =\dfrac{mv^2}{R+r}+mA\sin\theta จะกลับมาเป็น mg\cos\theta =\dfrac{mv^2}{R+r} ได้ไหมครับ


นั่นดิครับ ??? สิ้นแรงกระทำแล้วความเร่งมันก็เป็นไม่มีหนิไม่ใช่เหรอครับ  แล้วจะมีค่า \mu ติดมาในคำตอบด้วยรึป่าวครับแบบนี้ O o


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tdnet on September 22, 2008, 02:33:50 PM
ตอบข้อ 73
....
จาก \displaystyle mg(R+r)=mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}m(\sqrt{(V^{2}-2Vv\cos\theta+v^{2}})^{2}+\frac{1}{2}I\omega ^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
                  \displaystyle =mg(R+r)\cos\theta +\frac{1}{2}mV^{2}-mVv\cos\theta+\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}
...
:buck2: พลังงานในการหมุน มันไม่ใช่ \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^{2})(\frac{v}{r})^{2}นะ :o

ขอบคุณมากครับที่ช่วยชี้ข้อผิดพลาด  >:A
การหมุนบนผิวโค้งทรงกลมอย่างนี้ \omega ต้องเป็น \frac{Rv}{r(R+r)} ครับ
เดี๋ยวไปแก้ใหม่ครับ

อันนี้ผมไม่เข้าใจครับ พลังงานการหมุนเราคิดกรอบพื้น กับกรอบครึ่งทรงกลมมันไม่เท่ากันเหรอครับ??ชี้แนะด้วย >:A

(หายไปไหนกันหมดแว้ววว)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on October 15, 2008, 12:25:38 AM
เฉลย ข้อ 73 โดยอาจารย์วุทธิพันธุ์

>> เฉลยไปเถอะครับจะได้มีข้อใหม่ สานต่อจุดประสงค์ของผู้ตั้งกระทู้



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on October 15, 2008, 12:28:23 AM
หน้าที่ 2 ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on October 15, 2008, 12:29:37 AM
หน้าที่ 3


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on October 15, 2008, 12:30:52 AM
หน้าที่ 4


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tdnet on October 29, 2008, 12:03:03 AM
จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และความสมมาตรของระบบทำให้เราทราบว่า ความเร็วของมวล\displaystyle{M} ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แต่ทิศตรงข้าม สำหรับจุดศูนย์กลางมวลของสปริง(อยู่ตำแหน่งเดียวกับจุดศูนย์กลางมวลของระบบ)อยู่นิ่ง กำหนดให้อยู่ที่จุดกำเนิดซึ่งเราจะพิจารณาในกรอบอ้างอิงนี้

พิจารณาพลังงานของระบบ
ซึ่งประกอบด้วยพลังงานจากการเคลื่อนที่ของมวล \displaystyle{M} 2ก้อน และพลังงานจลน์ของสปริง และพลังงานศักย์สปริง
ระยะยืดของสปริงคือ \displaystyle{2x} ยืดไปฝั่งละ\displaystyle{x}
\displaystyle{E = 2\times{\frac{1}{2}}MV^2 + {\int_{-L-x}^{L+x}{{\frac{1}{2}}v^2dm}+{\frac{1}{2}}K(2x)^2}

เมื่อ\displaystyle{\lambda = \frac{m}{L}} และ\displaystyle{L} คือ ควายาวธรรมชาติชองสปริง



คือแบบว่าโจทย์ของเก่าน่ะครับ  .. ไม่รุว่าควรจะตั้งกระทู้ถามใหม่ดีไม๊ เป็นคำถามข้อที่ 8 -->  http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,861.30.html
ตามที่พี่Mwitishได้แสดงไว้ งงครับ พี่ๆ ถ้าเราให้จุดศูนย์กลางมวลระบบอยู่ที่จุดกำเนิด แล้วทำไมถึงอินทิเกรตจาก -L-x ถึง L+x แทนที่จะเป็น  จาก\frac{-L}{2}-x ถึง\frac{L}{2}+x ?


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on November 17, 2008, 08:32:51 PM
กระทู้เงียบเลย - -* ถ้าอย่างนั้นผมโพสข้อ 74 แล้วกัน (หวังว่าคงมีคนมาทำ  ;D)

ข้อ74 (คงไม่ต้องแต่งชื่อตัวละครแบบแต่ก่อน  :2funny:) (ไม่แน่ใจว่ามีคนโพสไปหรือยัง ถ้ามีโพสแล้วให้บอกด้วยจะได้เปลี่ยนโจทย์ให้ครับ :laugh:)
มีทรงกลมตัน รัศมี R วางนิ่งอยู่บนพื้นราบเรียบ ถ้าหากว่าเรามีลูกบาศก์ยาวด้านละ L มาวางไว้บนทรงกลมนี้ โดยให้จุดศูนย์กลางมวลอยู่แนวเส้นตรงดิ่งเดียวกันพอดีเด๊ะ
จงหาเงื่อนไขของค่า L ที่จะทำให้ลูกบาศก์นี้สมดุลอยู่บนทรงกลมนี้ได้
แนะ: ถ้า L มีค่ามากเกินไป เราแตะมันแค่ปลายเล็บ มันก็ล้ม  ^-^


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Blackmaglc on November 17, 2008, 10:19:42 PM
กระทู้เงียบเลย - -* ถ้าอย่างนั้นผมโพสข้อ 74 แล้วกัน (หวังว่าคงมีคนมาทำ  ;D)

ข้อ74 (คงไม่ต้องแต่งชื่อตัวละครแบบแต่ก่อน  :2funny:) (ไม่แน่ใจว่ามีคนโพสไปหรือยัง ถ้ามีโพสแล้วให้บอกด้วยจะได้เปลี่ยนโจทย์ให้ครับ :laugh:)
มีทรงกลมตัน รัศมี R วางนิ่งอยู่บนพื้นราบเรียบ ถ้าหากว่าเรามีลูกบาศก์ยาวด้านละ L มาวางไว้บนทรงกลมนี้ โดยให้จุดศูนย์กลางมวลอยู่แนวเส้นตรงดิ่งเดียวกันพอดีเด๊ะ
จงหาเงื่อนไขของค่า L ที่จะทำให้ลูกบาศก์นี้สมดุลอยู่บนทรงกลมนี้ได้
แนะ: ถ้า L มีค่ามากเกินไป เราแตะมันแค่ปลายเล็บ มันก็ล้ม  ^-^

ขอบคุณครับพี่เกรท ผมลืมกระทู้นี้ไปตั้งนานเลย  :)
ส่วนโจทย์ข้อใหม่ก่อนหน้านี้ยังไม่มีใครมาโพสครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Illussion on November 17, 2008, 11:35:21 PM
กระทู้เงียบเลย - -* ถ้าอย่างนั้นผมโพสข้อ 74 แล้วกัน (หวังว่าคงมีคนมาทำ  ;D)

ข้อ74 (คงไม่ต้องแต่งชื่อตัวละครแบบแต่ก่อน  :2funny:) (ไม่แน่ใจว่ามีคนโพสไปหรือยัง ถ้ามีโพสแล้วให้บอกด้วยจะได้เปลี่ยนโจทย์ให้ครับ :laugh:)
มีทรงกลมตัน รัศมี R วางนิ่งอยู่บนพื้นราบเรียบ ถ้าหากว่าเรามีลูกบาศก์ยาวด้านละ L มาวางไว้บนทรงกลมนี้ โดยให้จุดศูนย์กลางมวลอยู่แนวเส้นตรงดิ่งเดียวกันพอดีเด๊ะ
จงหาเงื่อนไขของค่า L ที่จะทำให้ลูกบาศก์นี้สมดุลอยู่บนทรงกลมนี้ได้
แนะ: ถ้า L มีค่ามากเกินไป เราแตะมันแค่ปลายเล็บ มันก็ล้ม  ^-^

เ่อ่อ ผมสงสัยว่า ไอ้ทรงกลมตัน วางนิ่งอยู่บนพื้นราบเรียบนี่ ถ้ามันถูกรบกวน พี่เกรทจะให้มัน นิ่ง กลิ้ง หรือไถล กันแน่ครับ
ถ้ามีต้นฉบับภาษาอังกฤษช่วยเอามาลงด้วยจะดีมากเลยครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on November 18, 2008, 06:40:54 PM
กระทู้เงียบเลย - -* ถ้าอย่างนั้นผมโพสข้อ 74 แล้วกัน (หวังว่าคงมีคนมาทำ  ;D)

ข้อ74 (คงไม่ต้องแต่งชื่อตัวละครแบบแต่ก่อน  :2funny:) (ไม่แน่ใจว่ามีคนโพสไปหรือยัง ถ้ามีโพสแล้วให้บอกด้วยจะได้เปลี่ยนโจทย์ให้ครับ :laugh:)
มีทรงกลมตัน รัศมี R วางนิ่งอยู่บนพื้นราบเรียบ ถ้าหากว่าเรามีลูกบาศก์ยาวด้านละ L มาวางไว้บนทรงกลมนี้ โดยให้จุดศูนย์กลางมวลอยู่แนวเส้นตรงดิ่งเดียวกันพอดีเด๊ะ
จงหาเงื่อนไขของค่า L ที่จะทำให้ลูกบาศก์นี้สมดุลอยู่บนทรงกลมนี้ได้
แนะ: ถ้า L มีค่ามากเกินไป เราแตะมันแค่ปลายเล็บ มันก็ล้ม  ^-^

เ่อ่อ ผมสงสัยว่า ไอ้ทรงกลมตัน วางนิ่งอยู่บนพื้นราบเรียบนี่ ถ้ามันถูกรบกวน พี่เกรทจะให้มัน นิ่ง กลิ้ง หรือไถล กันแน่ครับ
ถ้ามีต้นฉบับภาษาอังกฤษช่วยเอามาลงด้วยจะดีมากเลยครับ
ขออภัยที่ผมอาจจะแปลโจทย์มาไม่ดี (ความจริงผมจำมาครับ ไม่ได้แปลจากต้นฉบับจริงๆ  :buck2:) เอาเป็นว่า ทรงกลมอยู่นิ่งตลอดเทียบกับพื้น(อาจจะถูกตรึงไว้ หรือมวลของมันเยอะมาก)แล้วกันครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on November 19, 2008, 08:00:37 PM
ตอบ L<2R รึเปล่า ถ้าถูกจะได้มาทำ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 19, 2008, 08:40:54 PM
ผมก็คิดได้เท่า toaster นะ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on November 19, 2008, 09:12:26 PM
ตอบ L<2R รึเปล่า ถ้าถูกจะได้มาทำ
ที่เกรททำได้ตอนแรก เกรททำได้ L &lt; 2R เหมือนกัน ใช้วิธีการรบกวนเล็กๆแล้วใส่เงื่อนไขการกลับสู่สมดุล
แต่เมื่อกี๊ลองคิดอีกแบบ ใช้เรขาคณิตรวมกับเงื่อนไขการสมดุลสถิตย์พอดี เกรทได้ L &lt; \pi R / 2 แล้วยังไม่แน่ใจว่าอันไหนกันแน่ที่ถูก (คือที่เกรททำ เกรทสันนัษฐานว่ามันมีแรงเสียดทานที่จำเป็นระหว่างผิวทรงกลมกับลูกบาศก์ตลอดเวลา  :laugh:)

คือโจทย์ข้อนี้ต้นฉบับไม่มีเฉลย เกรทเอามาจากหนังสือกลศาสตร์ที่ได้มาจากโพ เห็นมันน่าสนใจดีเลยเอามาลงเพราะเห็นห้องนี้เงียบไปนาน (ขออภัยที่เอาโจทย์ที่ไม่แน่ใจคำตอบมาลงไว้  :'()

อย่างไรก็  toaster ลองแสดงวิธีคิดมาดูแล้วกันครับ  :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on November 19, 2008, 09:19:19 PM
งั้นลองทำดูละกัน ตามภาพเลย สมมติว่าลูกบาศก์มันเอียงไปทำมุม a เล็กจิ๋วๆ โดยไม่มีการไถล (ถ้าไถลได้ก็ร่วงไปแล้ว)
เงื่อนไขที่มันจะกลับเข้าสู่สมดุลก็คือCMของมันจะต้องไม่อยู่เลยตำแหน่งจุดสัมผัสออกไป(ในแนวระดับ) ก็คือถ้าเลยปุ๊ปก็จะมีทอร์กให้มันหมุนล่วงไปเลย ถ้ายังไม่เลยเมื่อลองคิดทอร์กรอบจุดสัมผัสดูจะเห็นว่าทอร์กจากน้ำหนีกลูกบากศ์จะดึงมันกลับสมดุล

ทีนี้ก็คิดสถานการที่มันแย่สุดๆละ คือเกือบจะตก ก็จะได้ว่าCMอยู่เหนือจุดสัมผัสพอดีเลย พอมาวาดดังภาพ อาศัยว่าเมื่อกลิ้งแบบไม่ไถล ผิวสัมผัสทั้งของทรงกลมและลูกบาศก์ จะต้องเลื่อนไปเท่ากัน ซึ่งเท่ากับ Ra  แล้วก็อาศัยการประมาณเล็กน้อย คือในกรณีที่มุมเล็กยิ่ง Ra / (L/2) = a จึงได้ว่าที่จะหล่นแหล่ไม่หล่นแหล่ L=2R โยงไปสู่คำตอบข้างต้น


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Great on November 19, 2008, 09:45:04 PM
งั้นลองทำดูละกัน ตามภาพเลย สมมติว่าลูกบาศก์มันเอียงไปทำมุม a เล็กจิ๋วๆ โดยไม่มีการไถล (ถ้าไถลได้ก็ร่วงไปแล้ว)
เงื่อนไขที่มันจะกลับเข้าสู่สมดุลก็คือCMของมันจะต้องไม่อยู่เลยตำแหน่งจุดสัมผัสออกไป(ในแนวระดับ) ก็คือถ้าเลยปุ๊ปก็จะมีทอร์กให้มันหมุนล่วงไปเลย ถ้ายังไม่เลยเมื่อลองคิดทอร์กรอบจุดสัมผัสดูจะเห็นว่าทอร์กจากน้ำหนีกลูกบากศ์จะดึงมันกลับสมดุล

ทีนี้คิดสถานการที่มันแย่สุดๆละ คือเกือบจะตก ก็จะได้ว่าCMอยู่เหนือจุดสัมผัสพอดีเลย ทีนี้พอมาวาดดังภาพ อาศัยว่าเมื่อกลิ้งแบบไม่ไถล ผิวสัมผัสทั้งของทรงกลมและลูกบาศก์ จะต้องเลื่อนไปเท่ากัน ซึ่งเท่ากับ Ra  แล้วก็อาศัยการประมาณเล็กน้อย คือในกรณีที่มุมเล็กยิ่ง Ra / (L/2) = a จึงได้ว่าที่จะหล่นแหล่ไม่หล่นแหล่ L=2R โยงไปสู่คำตอบข้างต้น
อืม เกรทก็ทำแบบนี้เหมือนกัน สรุปคือ น่าจะตอบแบบนี้แหละ L &lt; 2R (ถ้ามีคนทำได้แบบอื่นอีกก็ลองโพสมานะครับ)

ทีนี้ ที่เกรทบอกว่าลองทำใหม่อีกวิธีแล้วได้ L&lt; \pi R / 2 น่ะ มันผิดตรงที่เกรทคิดกรณีที่มันเกินความจริงไป คือ ไปใช้จุดสัมผัสเป็นขอบลูกบาศก์ ซึ่งถ้าลองมองจากรูปที่ toaster วาด มันก็เห็นได้แล้วว่า กรณีจะหล่นพอดี จุดสัมผัสไม่จำเป็นต้องอยู่ที่ขอบลูกบาศก์

toaster ลงโจทย์ข้อต่อไปเลย  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: toaster on November 19, 2008, 09:48:14 PM
75 จากพี่nick

A body of moment of inertia I is suspended from a torsion fibre for which its restoring torque per unit of angular dispacement is T;
when the angular velocity is \Omega it experiences a retarding torque k\Omega.
If the top end of the fibre is made to oscillate with angular displacement \theta = \theta _{0} \sin \omega t
where \omega^2= \dfrac{T}{I}, show that the maximum twist in the wire is \theta _{0}\sqrt{1+\frac{TI}{k^2}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 19, 2008, 10:01:08 PM
แปลเป็นภาษาไทยให้นะครับ

วัตถุโมเมนต์ความเฉื่อย Iแขวนอยู่บน torsion fibre (ไม่รู้จะแปลยังไงเอาว่าััมันคล้ายๆสปริงแบบบิดแล้วกัน) ซึ่งจะเกิดทอร์กต่อหนึ่งหน่วยของการกระจัดเชิงมุมเท่ากับT เมื่อวัตถุมีความเร็วเชิงมุมเท่ากับ \Omega แีรงต้านอากาศที่ทำต่อวัตถุจะมีค่าเป็น k\Omega
ถ้าหากปลายบนของ torsion fibre ถูกทำให้สั่นตามสมการ \theta =\theta_0 sin\omega t โดยที่ \omega^2 =T/I
จงแสดงว่าแอมพลิจูดของการสั่นมีค่าเป็น \theta_0 \sqrt{1+TI/k^2}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on November 20, 2008, 12:09:51 AM
ค่อนข้างงงโจทย์มากครับ คือผมสงสัยว่า show that the maximum twist in the wire is..... กับ จงแสดงว่าแอมพลิจูดของการสั่นมีค่าเป็น.... เป็นตัวเดียวกันรึเปล่าครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on November 21, 2008, 01:49:32 AM
ค่อนข้างงงโจทย์มากครับ คือผมสงสัยว่า show that the maximum twist in the wire is..... กับ จงแสดงว่าแอมพลิจูดของการสั่นมีค่าเป็น.... เป็นตัวเดียวกันรึเปล่าครับ
ตกลงค่อนข้างงง หรืองงมาก  8)
ผมอาจจะแปลไม่ดีเองแหละ เอางี้แล้วกัน

ลองนึกภาพว่ามี เส้นเชือกที่จะเกิด ทอร์กตามกฎของ Hooke ถ้าหากเราไปบิดเล่น
ปลายบนถูกหมุนไปมาตามการที่ให้ไปแล้ว
ปลายล่างแขวนของอะไรไว้ซักอย่างที่มีโมเมนต์ความเฉื่อย Iแล้วก็มีแรงต้านอากาศ

แปลให้ตรงตัวตามโจทย์ก็คือ หาการบิดมากที่สุดของเส้นเชือกนี้ = =

ถ้าทำให้ใครงงก็ขอโทษแล้วกันครับ

ps ผมว่า จริงๆแล้วก็น่าจะเข้าใจโจทย์กันนะ แต่หาคำตอบได้ไม่ตรงเลยสงสัยว่าแปลโจทย์ถูกรึเปล่ามากกว่า


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Isarapong_e on February 13, 2009, 08:21:14 PM
จากข้อ 74. ของพี่เกรทนะครับ ผมลองหาคาบการสั่นแบบแอมพลิจูดเล็กๆได้เท่ากับ
2\pi \sqrt{\frac{I+m(\frac{L}{2})^{2}}{mg(R-\frac{L}{2})}}
โดยที่ I คือ โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบาศก์รอบแกนสมมาตรผ่านจุดศูนย์กลางมวล
และ m เป็นมวลของลูกบาศก์นี้ครับ
จะเห็นว่าถ้า R&lt;\frac{L}{2} แล้วคาบการสั่นจะมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นไปไม่ได้ครับ
กล่าวคือ ถ้า 2R&lt;L แล้วเมื่อลูกบาศก์นี้ถูกสกิดเล็กน้อยจะไม่มีการสั่นเกิดขึ้น แต่จะร่วงลงไปเลยครับ
ถ้าผิดพลาดประการใด ช่วยแนะนำด้วยนะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 06, 2009, 12:37:53 AM
ทำไมไม่มีคัย ทำโจดของเราเลยอะ  :( :(


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on April 06, 2009, 08:54:30 AM
กว่าจะเข้าใจโจทย์ครับ = =
จากโจทย์ \theta = \theta _{0} \sin \omega t
และให้ที่ปลายล่างของเชือกมีการกระจัดเชิงมุมเป็น
\theta ^\prime = \theta ^\prime _{0} \sin (\omega t+\phi)
ตั้งสมการทอร์ก
-T(\theta ^\prime-\theta)-k\frac{d\theta^\prime}{dt}=I\frac{d^{2}\theta^\prime }{dt^{2} }
-T\theta ^\prime _{0} \sin (\omega t+\phi)+T\theta _{0} \sin \omega t-k\omega \theta ^\prime _{0} \cos (\omega t+\phi)=-I \omega ^{2} \theta ^\prime _{0} \sin (\omega t+\phi)
จาก \omega ^{2} = \frac{T}{I}
T\theta _{0} \sin \omega t=k\sqrt{\frac{T}{I}}\theta ^\prime _{0} \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}+\phi)
ได้ \phi= -\frac{\pi}{2} ; \theta ^\prime _{0}=\theta _{0}\sqrt{\frac{TI}{k^{2}}}
ดูการบิดสูงสุดก็เอา
\theta^\prime-\theta = \theta ^\prime _{0} \sin (\omega t+\frac{\pi}{2})-\theta _{0} \sin \omega t
แล้วก็ใช้เฟสเซอร์หาครับ หรือไม่ก็แปลงไปเป็นเชิงซ้อน
ได้ แอมพลิจูดของ \theta^\prime-\theta เป็น  \sqrt{\theta ^\prime _{0}^{2}+\theta _{0}^{2}}=\theta _{0}\sqrt{1+\frac{TI}{k^2}}

จะโพสโจทย์อะไรดีละนี่   :uglystupid2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 06, 2009, 09:58:15 AM
จะโพสโจทย์อะไรดีละนี่   :uglystupid2:

ก็เอาที่อาจารย์กุลพันธ์สอนในห้องไปเลย เช่นพวก Torsion wave หรือไม่ก็วงโคจรพาราโบล่าร์ก็ได้ ถ้าไม่กลัวน้องๆเสียวสันหลังอะนะ  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: NiG on April 06, 2009, 06:22:15 PM
กว่าจะเข้าใจโจทย์ครับ = =
จากโจทย์ \theta = \theta_{0} \sin \omega t
และให้ที่ปลายล่างของเชือกมีการกระจัดเชิงมุมเป็น
\theta^\prime=\theta^\prime_{0} \sin (\omega t+\phi)
ตั้งสมการทอร์ก
-T(\theta^\prime-\theta)-k\frac{d\theta^\prime}{dt}=I\frac{d^{2}\theta^\prime }{dt^{2} }
-T\theta^\prime _{0} \sin (\omega t+\phi)+T\theta_{0} \sin \omega t-k\theta^\prime_{0} \cos (\omega t+\phi)=-I \omega ^{2} \theta^\prime_{0} \sin (\omega t+\phi) ตรงเทอมที่สาม \omegaหายไปปะ
จาก \omega ^{2} = \frac{T}{I}
T\theta _{0} \sin \omega t=k\sqrt{\frac{T}{I}}\theta^\prime_{0} \sin (\omega t+\frac{\pi}{2}+\phi)
ได้ \phi= -\frac{\pi}{2} ; \theta^\prime_{0}=\sqrt{\frac{TI}{k^{2}}} อันนี้ \theta_0ก้อหาย
ดูการบิดสูงสุดก็เอา
\theta^\prime-\theta = \theta^\prime_{0} \sin (\omega t+\frac{\pi}{2})-\theta_{0} \sin \omega t
ได้ แอมพลิจูดของ \theta^\prime-\theta เป็น  \theta_{0}\sqrt{1+\frac{TI}{k^2}} อันนี้งง มากเลย มาได้ไงนี่

จะโพสโจทย์อะไรดีละนี่   :uglystupid2:
โอ้ พี่น้องครับ นายค่อยๆทำหน่อยได้มั้ยคับ เรางง เรางง :uglystupid2: :uglystupid2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on April 06, 2009, 07:46:26 PM
กว่าจะเข้าใจโจทย์ครับ = =
จากโจทย์ \theta = \theta_{0} \sin \omega t
   .....
   .....
โอ้ พี่น้องครับ นายค่อยๆทำหน่อยได้มั้ยคับ เรางง เรางง :uglystupid2: :uglystupid2:

โอ้ น้องพี่ครับ ผมคงพิมเีีีร็วจนเลวไปหน่อย  :buck2: ในกระดาษทดผมทำแบบใช้เชิงซ้อนด้วยครับ แหะๆ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on April 06, 2009, 08:48:27 PM
76.มีพื้นราบ ยิงลูกบอลในสนามโน้มถ่วง \vec{g}ทำมุมกับพื้น  \theta  กระดอนบนพื้นที่มีสัมประสิทธิ์การสะท้อน ในแกน x เป็น \epsilon _{x}  ในแกน y เป็น  \epsilon _{y}  ลูกบอลหยุดที่ระยะจากจุดยิง L ใช้เวลารวม t จงหา  \theta ในรูป \epsilon _{x}, \epsilon _{y}, L, t,g


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: mhe_kub on April 09, 2009, 02:49:22 PM
ผมขอลองทำนะครับ
กำหนดให้ เวลาที่ลูกบอลใช้ก่อนถึงพื้นครั้งแรกเป็น t_{1} และ t_{2},t_{3},...สำหรับครั้งถัดไปๆ
ระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ได้เป็น s_{1},s_{2},s_{3},...
ยิงลูกบอลด้วยความเร็ว v
ในช่วงเวลาแรก แนวดิ่ง
S = ut + \frac{1}{2}at^2
0 = v\sin\theta t_{1} + \frac{1}{2}(-g)t_{1}^2
t_{1} = \dfrac{2v\sin\theta}{g}
แนวราบ
S = vt
s_{1} = v\cos\theta t_{1}
s_{1} = \dfrac{2v^2\sin\theta \cos\theta}{g}
เมื่อบอลกระดอนพื้นแล้ว
แนวราบ v_{2x} = v\epsilon_{x}\cos\theta
แนวดิ่ง v_{2y} = v\epsilon_{y}\sin\theta
จะได้ t_{2} = \dfrac{2v\epsilon_{y}\sin\theta}{g}
และ s_{2} = \dfrac{2v^2\epsilon_{x}\epsilon_{y}\sin\theta \cos\theta}{g}
ในทำนองเดียวกัน t_{3} = \dfrac{2v\epsilon_{y}^2\sin\theta}{g}
และ s_{3} = \dfrac{2v^2(\epsilon_{x}\epsilon_{y})^2\sin\theta \cos\theta}{g}
เราก็จะทราบว่า t_{n} = \dfrac{2v\epsilon_{y}^{n-1}\sin\theta}{g}
และ s_{n} = \dfrac{2v^2(\epsilon_{x}\epsilon_{y})^{n-1}\sin\theta \cos\theta}{g}
เมื่อบอลหยุดนั่นคือ ลูกบอลจะกระดอน ครั้งที่ อนันต์ ครับ จะได้ว่า n เข้าหาอนันต์ครับ
t = \displaystyle \sum^{\infty }_{i=1}t_{i}
t = \dfrac{2v\sin\theta}{g}(1+\epsilon_{y} + \epsilon_{y}^2 + ... )
t = \dfrac{2v\sin\theta}{g}(\dfrac{1}{1 - \epsilon_{y}}) = \dfrac{2v\sin\theta}{g(1-\epsilon_{y})}
v = \dfrac{gt(1 - \epsilon_{y})}{2\sin\theta}
L = \displaystyle \sum^{\infty }_{i=1}s_{i}
L = \dfrac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}(1 + \epsilon_{x}\epsilon_{y} + (\epsilon_{x}\epsilon_{y})^2 + ... )
L = \dfrac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}(\dfrac{1}{1 - \epsilon_{x}\epsilon_{y}})
L = \dfrac{2(\frac{g^2 t^2 (1 - \epsilon_{y})^2}{4\sin^2\theta})\sin\theta\cos\theta}{g(1 - \epsilon_{x}\epsilon_{y})}
L = \dfrac{gt^2 (1 - \epsilon_{y})^2}{2\tan\theta(1 - \epsilon_{x}\epsilon_{y})}
\tan\theta = \dfrac{gt^2 (1 - \epsilon_{y})^2}{2L(1 - \epsilon_{x}\epsilon_{y})}
\theta = \tan^{-1}(\dfrac{gt^2 (1 - \epsilon_{y})^2}{2L(1 - \epsilon_{x}\epsilon_{y})})
ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ ขอบคุณมากๆครับ  >:A >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on April 09, 2009, 06:34:45 PM
ผมขอลองทำนะครับ
กำหนดให้ เวลาที่ลูกบอลใช้ก่อนถึงพื้นครั้งแรกเป็น t_{1} และ t_{2},t_{3},...สำหรับครั้งถัดไปๆ
ระยะทางที่ลูกบอลเคลื่อนที่ได้เป็น s_{1},s_{2},s_{3},...
...
...
...
ถูกแล้วครับโพสข้อต่อไปได้เลย :)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: mhe_kub on April 10, 2009, 10:44:20 AM
ผมขอฝากให้พี่ๆโพสโจทย์ได้ไหมครับ
คือ ผมยังอ่อนหัดอะครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 10, 2009, 07:20:20 PM
ใครอยากลองทำดูไหมครับ  ;D โจทย์คลื่นกลโหดๆ

ท่อเหล็กทรงกระบอกตันถูกบิดที่ปลายข้างหนึ่ง จะมีคลื่นวิ่งออกไป จงหาความเร็วของคลื่่นบิดนี้ กำหนดให้ท่อเหล็กมีความหนาแน่น \rho และมีความเค้นเฉือน S   ;D ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: mhe_kub on April 10, 2009, 09:01:06 PM
ดูแล้วโหดจริงครับ
พี่แนะหน่อยจะดีไหมครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 10, 2009, 09:24:16 PM
ก็คือต้องหาสมการคลื่นออกมาใหได้ก่อน เคยมีประสบการณ์หาสมการคลื่นมาบ้างรึยังหละ ถ้ายังแนะนำว่าข้อนี้อย่าทำ  ;D

แนวทางเล็กๆน้อยๆ ลองดูได้ที่ เว็บบอร์ดนี้ ข้อ 3 เรื่องท่อบิดนะครับ(ซึ่งง่ายกว่าเยอะเหมือนกัน) อาจจะช่วยอะไรได้บ้าง และเราก็ตัดท่อเป็นความยาวเล็กๆ แล้วก็ลองทำต่อดู


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Illussion on April 13, 2009, 05:49:52 PM
ขอลองทำดูมั่งนะครับ ผิดถูกยังไงบอกกันด้วย ผมยังอ่อนหัดครับ

นึกภาพให้ทรงกระบอกตันประกอบด้วย ทรงกระบอกกลวงเล็กๆหลายๆอันต่อกัน
เลือกชิ้นวงแหวนที่รัศมี rถึง r+dr และอยู่ที่ความสูง xถึง x+ dx

จากนิยาม ของ Shear Modulus S=\dfrac{F/A}{\tan\phi} โดยที่ F/Aเรียกว่า ความเค้นเฉือน
หาได้โดยเอาแรงส่วนที่ขนานกับ พื้นที่ ที่ถูกบิด
ซึ่งในกรณีนี้ เราสามารถเขียนได้เป็น
 S=\dfrac{dF/2\pi r dr}{r\psi/l} (ขอใช้สัญลักษณ์กับรูปประกอบ ของท่าน PoWii นะครับ)
จัดรูปใหม่เป็น
dF=2\pi Sr^2dr \dfrac{d\psi}{l}
แต่ว่า เรากำหนดไปในตอนแรก แล้วว่า เรากำลังพิจารณา ทรงกระบอก ที่ความสูง xถึง x+dx เพราะฉะนั้นขอเปลี่ยนจาก
lเป็น dxนะครับ
เราจะได้ว่า
F(r,x)=2\pi Sr^2dr \dfrac{\partial}{\partial x}\psi
และเนื่องจากเรากำลังพิจารณาการหมุน ดังนั้น ทอร์กที่ตำแหน่ง r,x มีค่าเป็น
\tau(r,x) =2\pi Sr^3dr \dfrac{\partial}{\partial x}\psi

พิจารณามวลเล็กๆ ที่ตำแหน่งเดียวกัน เราจะพบว่า ทอร์กที่ทำให้เกิดการบิดของวงแหวนเล็กๆนี้ คือทอร์กลัพธ์ระหว่างทอร์กที่ตำแหน่ง r,xและ r,x+dx
จากสมการ \tau=I\alpha
\tau(r,x+dx)-\tau(r,x)=r^2dm \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
โดยที่ dm=2\pi r \rho dx dr
จะได้ว่า
2\pi Sr^3dr \delta(\dfrac{\partial}{\partial x}\psi)=2\pi \rho r^3drdx \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi=\dfrac{\rho}{S}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
สอดคล้องกับสมการคลื่น
\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}y=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial ^2}{\partial t^2}y โดยที่ cคือความเร็วคลื่น
ดังนั้น
ความเร็วของคลื่นบิดมีค่าเป็น c=\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 13, 2009, 07:41:41 PM
ขอลองทำดูมั่งนะครับ ผิดถูกยังไงบอกกันด้วย ผมยังอ่อนหัดครับ

นึกภาพให้ทรงกระบอกตันประกอบด้วย ทรงกระบอกกลวงเล็กๆหลายๆอันต่อกัน
เลือกชิ้นวงแหวนที่รัศมี rถึง r+dr และอยู่ที่ความสูง xถึง x+ dx

จากนิยาม ของ Shear Modulus S=\dfrac{F/A}{\tan\phi} โดยที่ F/Aเรียกว่า ความเค้นเฉือน
หาได้โดยเอาแรงส่วนที่ขนานกับ พื้นที่ ที่ถูกบิด
ซึ่งในกรณีนี้ เราสามารถเขียนได้เป็น
 S=\dfrac{dF/2\pi r dr}{r\psi/l} (ขอใช้สัญลักษณ์กับรูปประกอบ ของท่าน PoWii นะครับ)
จัดรูปใหม่เป็น
dF=2\pi Sr^2dr \dfrac{d\psi}{l}
แต่ว่า เรากำหนดไปในตอนแรก แล้วว่า เรากำลังพิจารณา ทรงกระบอก ที่ความสูง xถึง x+dx เพราะฉะนั้นขอเปลี่ยนจาก
lเป็น dxนะครับ
เราจะได้ว่า
F(r,x)=2\pi Sr^2dr \dfrac{\partial}{\partial x}\psi
และเนื่องจากเรากำลังพิจารณาการหมุน ดังนั้น ทอร์กที่ตำแหน่ง r,x มีค่าเป็น
\tau(r,x) =2\pi Sr^3dr \dfrac{\partial}{\partial x}\psi

พิจารณามวลเล็กๆ ที่ตำแหน่งเดียวกัน เราจะพบว่า ทอร์กที่ทำให้เกิดการบิดของวงแหวนเล็กๆนี้ คือทอร์กลัพธ์ระหว่างทอร์กที่ตำแหน่ง r,xและ r,x+dx
จากสมการ \tau=I\alpha
\tau(r,x+dx)-\tau(r,x)=r^2dm \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
โดยที่ dm=2\pi r \rho dx dr
จะได้ว่า
2\pi Sr^3dr \delta(\dfrac{\partial}{\partial x}\psi)=2\pi \rho r^3drdx \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi=\dfrac{\rho}{S}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
สอดคล้องกับสมการคลื่น
\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}y=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial ^2}{\partial t^2}y โดยที่ cคือความเร็วคลื่น
ดังนั้น
ความเร็วของคลื่นบิดมีค่าเป็น c=\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}
 


สุดยอดมากๆครับ เด็ก(  ;D)เดี๋ยวนี้ไฟแรงจัง

ไม่ทราบว่าน้องชื่ออะไรครับ  :2funny: :2funny: :2funny: ;D ;D ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 13, 2009, 08:25:40 PM
...

สุดยอดมากๆครับ เด็ก(  ;D)เดี๋ยวนี้ไฟแรงจัง

ไม่ทราบว่าน้องชื่ออะไรครับ  :2funny: :2funny: :2funny: ;D ;D ;D

ชื่อเขาก็บอกอยู่แล้วว่ามันเป็นภาพลวงตา  :2funny: :2funny: :2funny:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Illussion on April 13, 2009, 08:54:19 PM
ขอโพสต์โจทย์ข้อใหม่นะครับ
ข้อ 77
จงพิสูจน์ว่า คาบของมวล m ที่เคลื่อนที่ ในสนามความโน้มถ่วงที่มี สมการของพลังงานศักย์เป็น U=U_0 \tan^2\alpha x
มีค่าเป็น T=\dfrac{\pi}{\alpha}\sqrt{\dfrac{2m}{E+U_0}}​ โดยที่ Eเป็นพลังงานรวมของมวล m

ps ถึงคุณ mhe_kub :เท่าที่ผมเห็นคุณก็เก่งพอแล้วนะครับ== ไม่ต้องกลัวว่าโจทย์มันจะยากไม่พอหรืออะไรหรอกครับ
ผมเข้าใจว่า กระทู้นี้เป็นกระทู้ที่เอาโจทย์ มาแชร์ความรู้กัน แล้วก็เอามาให้เด็กๆอย่างพวกเราฝึกทำโจทย์ ไม่ใช่ปล่อยโจทย์ยากๆมาเชือดกัน
ไม่งั้นคนที่ไม่ติด ไปแข่งฟิสิกส์แห่งชาติปีนี้ อย่างผม คงไม่กล้าเข้ามาทำหรอกครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on April 13, 2009, 11:45:26 PM
...

สุดยอดมากๆครับ เด็ก(  ;D)เดี๋ยวนี้ไฟแรงจัง

ไม่ทราบว่าน้องชื่ออะไรครับ  :2funny: :2funny: :2funny: ;D ;D ;D

ชื่อเขาก็บอกอยู่แล้วว่ามันเป็นภาพลวงตา  :2funny: :2funny: :2funny:

ทราบครับ  :2funny: :2funny: :2funny:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: mhe_kub on April 14, 2009, 09:23:17 PM
ps ถึงคุณ mhe_kub :เท่าที่ผมเห็นคุณก็เก่งพอแล้วนะครับ== ไม่ต้องกลัวว่าโจทย์มันจะยากไม่พอหรืออะไรหรอกครับ
ผมเข้าใจว่า กระทู้นี้เป็นกระทู้ที่เอาโจทย์ มาแชร์ความรู้กัน แล้วก็เอามาให้เด็กๆอย่างพวกเราฝึกทำโจทย์ ไม่ใช่ปล่อยโจทย์ยากๆมาเชือดกัน
ไม่งั้นคนที่ไม่ติด ไปแข่งฟิสิกส์แห่งชาติปีนี้ อย่างผม คงไม่กล้าเข้ามาทำหรอกครับ

ขอบคุณมากครับ ที่แนะนำ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: S.S. on April 15, 2009, 11:26:25 AM
...
ข้อ 77
จงพิสูจน์ว่า คาบของมวล m ที่เคลื่อนที่ ในสนามความโน้มถ่วงที่มี สมการของพลังงานศักย์เป็น U=U_0 \tan^2\alpha x
...
สำหรับข้อนี้ให้พิจารณาเป็น small oscillation หรือเปล่าครับ หรือว่าไม่ใช่


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Illussion on April 16, 2009, 07:02:31 AM
...
ข้อ 77
จงพิสูจน์ว่า คาบของมวล m ที่เคลื่อนที่ ในสนามความโน้มถ่วงที่มี สมการของพลังงานศักย์เป็น U=U_0 \tan^2\alpha x
...
สำหรับข้อนี้ให้พิจารณาเป็น small oscillation หรือเปล่าครับ หรือว่าไม่ใช่

ไม่ใช่ครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tip on April 18, 2009, 05:44:02 PM
ข้อที่76 ผมลองคิดแบบไม่ต้องเป็นทรงกระบอกกลวงผนังบางมากก็ได้ครับ เป็นทรงกระบอกตันยาวxถึงx+\Delta xแทนไปเลย
แต่ว่าหน้าตาของคลื่นนี้เป็นยังไงหรอครับจินตนาการไม่ออก :idiot2:


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Illussion on April 20, 2009, 03:03:44 AM
ข้อที่76 ผมลองคิดแบบไม่ต้องเป็นทรงกระบอกกลวงผนังบางมากก็ได้ครับ เป็นทรงกระบอกตันยาว xถึง x+\Delta xแทนไปเลย
แต่ว่าหน้าตาของคลื่นนี้เป็นยังไงหรอครับจินตนาการไม่ออก :idiot2:
แล้วพี่ tip คิดทอร์ที่ตำแหน่งไหนอะคับ :idiot2: :o


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tit-le on April 28, 2009, 12:14:41 AM
ข้อ77
 \mathfrak{Solution} \mathfrak{by} \mathfrak{Tit-le} & \mathfrak{Jug 10}
จากสมการพลังงาน
\frac{1}{2}(m\dot{x}^{2}) + U_{0}\tan^{2}( \alpha x) = E
จัดรูปได้
\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}(E-U_{0}\tan ^{2}( \alpha x)}
ถึงเวลาปล่อยพลังแล้ว...

\displaystyle \int_{0}^{t}dt = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{E-U_{0}\tan ^{2}(\alpha x) }}
\displaystyle t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{x}\frac{cos\alpha xdx}{\sqrt{Ecos^{2}\alpha x-U_{0}\sin ^{2}\alpha x}}
\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2}}\int_{0}^{x}\frac{dsin\alpha x}{\sqrt{E-(E+U_{0}sin^{2}\alpha x})}
\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2(E+U_{0})}}\int_{0}^{x}\frac{dsin\alpha x}{\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}}-sin^{2}\alpha x}}

ให้ \sin \alpha x=\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}}}sin\theta

ก็จะได้ก้อนข้างบนเป็น

\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2(E+U_{0})}}(\arcsin (\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}}}sin\alpha x)) .......(1)

พิจารณาที่ t=\frac{T}{4} จะให้ \dot{x}=0
แทนในสมการพลังงานตอนแรกได้
\tan \alpha x=\sqrt{\frac{E}{U_{0}}} คือได้ \sin \alpha x=\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}}}
แทนใน(1)

ได้ \displaystyle T=\frac{\pi }{\alpha }\sqrt{\frac{2m}{E+U_{0}}}       \mathfrak{QED.}



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tung on April 28, 2009, 01:13:08 AM
...

\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2(E+U_{0})}}(\arcsin (\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}}}sin\alpha x)) .......(1)

...

ต้องเป็น

\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2(E+U_{0})}}(\arcsin (\sqrt{\frac{E+U_{0}}{E}}sin\alpha x)) .......(1)

หรือเปล่าครับ


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Tit-le on April 28, 2009, 08:38:53 AM
...

\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2(E+U_{0})}}(\arcsin (\sqrt{\frac{E}{E+U_{0}}}sin\alpha x)) .......(1)

...

ต้องเป็น

\displaystyle t=\frac{\sqrt{m}}{\alpha \sqrt{2(E+U_{0})}}(\arcsin (\sqrt{\frac{E+U_{0}}{E}}sin\alpha x)) .......(1)

หรือเปล่าครับ

ใช่ครับพิมพ์พลาด


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tip on April 28, 2009, 04:49:37 PM
ข้อที่76 ผมลองคิดแบบไม่ต้องเป็นทรงกระบอกกลวงผนังบางมากก็ได้ครับ เป็นทรงกระบอกตันยาวxถึงx+\Delta xแทนไปเลย
แต่ว่าหน้าตาของคลื่นนี้เป็นยังไงหรอครับจินตนาการไม่ออก :idiot2:
แล้วพี่ tip คิดทอร์ที่ตำแหน่งไหนอะคับ :idiot2: :o
อินทิเกรตหาทอร์กสุทธิที่ทำบนหน้าตัดนั้นเลยครับน้อง (ขอโทษที่มาตอบช้านะครับ หวังว่าไม่โกรธกัน อิอิ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Jug_10 on April 28, 2009, 06:51:23 PM
มาลงโจทย์ แทน Tit-le ครับ  :)  รูปอาจจะเละไปหน่อย  :embarassed: ขออภัยด้วย เพิ่งหัดโพสต์ครับ

ข้อ 78
จากรูป  มวล M วิ่งเข้าชน มวล m ที่ติดอยู่กับสปริงซึ่งมีมวล m ติดอยุ่อีกข้าง จงหาค่า M น้อยสุดที่ทําให้่ มวล m กับ M มีการชนกัน 2 ครั้ง
 



Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Jug_10 on April 28, 2009, 07:28:36 PM
ขออภัยด้วยครับ เพราะว่าสมการที่จะได้คําตอบแก้ค่อนข้างยาก เพราะฉะนั้นแสดงแค่สมการก็ ได้ครับ  >:A >:A >:A


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tip on April 30, 2009, 05:02:18 PM
...
ข้อ 78
...
 :buck2:(ขอลองหน่อยครับ)

กำหนดให้ t=0หลังจากการชนครั้งแรกทันที
Equation of motion เขียนได้ดังนี้
k(x_{2}-x_{1}-l)=m\dfrac{d^{2}}{d t^{2}}x_{1}...(1)
-k(x_{2}-x_{1}-l)=m\dfrac{d^{2}}{d t^{2}}x_{2}...(2)
นำสมการ(2)-สมการ(1)
-k(x_{2}-x_{1}-l)-k(x_{2}-x_{1}-l)=m\dfrac{d^{2}}{d t^{2}}(x_{2}-x_{1}-l)
\dfrac{-2k}{m}(x_{2}-x_{1}-l)=\dfrac{d^{2}}{d t^{2}}(x_{2}-x_{1}-l)
x_{2}-x_{1}=l+A\cos (t\sqrt{\dfrac{2k}{m}}+B)...(3)
สิ่งที่ต้องทำต่อไป
กำหนดให้ Xแทนตำแหน่งของจุดCMที่เวลาใดๆ
              xแทนตำแหน่งของมวลก้อน2เทียบกับมวลก้อน1ที่เวลาใดๆ
X\equiv x_{cm}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}
x\equiv x_{2}-x_{1}
จะได้ว่า
x_{1}=X-\dfrac{x}{2}...(4)
x_{2}=x+\dfrac{x}{2}...(5)
ต่อไปจะหาความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล
จากกฎอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานความเร็วของมวลก้อน1หลังจากการชนทันที
v_{1}=\dfrac{2MU}{M+m}เมื่อ U คือความเร็วก่อนชนของมวล M
ดังนั้นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลหลังจากการชนทันทีคือ
V_{cm}=\dfrac{mv_{1}+mv_{2}}{m+m}=(\dfrac{M}{M+m})U
เนืองจากหลังจากการชนทันทีมวลก้อนที่2ยังอยู่นิ่งอยู่
เรารู้ว่าความเร็วของCMนั่นคงที่ตลอดเพราะว่าแรงภายนอกระบบที่ t\geq 0เท่ากับศูนย์
Xได้จากการอินทิเกรตความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลเทียบเวลา
X=(\dfrac{M}{M+m})Ut+C
ที่เวลา t=0 X=\dfrac{l}{2}
ทำให้เราได้ค่าคงที่ C จากการอินทิเกรตว่าเท่ากับ \dfrac{l}{2}
ดังนั้น
X=(\dfrac{M}{M+m})Ut+\dfrac{l}{2}...(6)
นำสมการที่(3)กับ(6)แทนลงใน(4)จะได้
x_{1}=(\dfrac{M}{M+m})Ut-\dfrac{A}{2}\cos (t\sqrt{\dfrac{2k}{m}}+B)...(7)
เรากำหนดไว้ว่า
ที่ t=0x_{1}=0
ที่ t=0v_{1}=\dfrac{2M}{M+m}U
จาก initial condition แรกจะได้ว่า B=90^\circ
จาก initial condition สองจะได้ว่า \dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{m}{2k}}(\dfrac{M}{M+m})U

สุดท้ายแล้วเราจะได้สมการที่(7)แบบสมบูรณ์โดยเอาค่า A B ที่หาได้ไปยัดลงในสมการที่(7) ^-^
x_{1}=(\dfrac{M}{M+m})Ut+(\dfrac{M}{M+m})U\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\sin (t\sqrt{\dfrac{2k}{m}})สมการที่(แปด)

ต่อไปก็หา x_{M}ของมวลไอ้ก้อนที่มันวิ่งเข้ามาชน
จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงาน
v_{M}=(\dfrac{M-m}{M+m})U
x_{M}=(\dfrac{M-m}{M+m})Ut(ที่t=0 x_{M}=0)...(9)
ถ้าจะให้มันชนกันอีก(ครั้งที่2)
x_{1}=x_{M}
โดยสมการที่ (แปด) และ (9) จะได้
(\dfrac{M}{M+m})Ut+(\dfrac{M}{M+m})U\sqrt{\dfrac{m}{2k}}\sin (t\sqrt{\dfrac{2k}{m}})=(\dfrac{M-m}{M+m})Ut
(t\sqrt{\dfrac{2k}{m}})\dfrac{m}{M}=-\sin (t\sqrt{\dfrac{m}{2k}})...(10)
จากสมการนี้เมื่อแก้หาค่า tซึ่งไม่ได้มีค่าเดียวก็จะรู้ว่ามันชนกันที่เวลาใดบ้าง แน่นอน มีที่ t=0 ;D
แต่เราสามารถทำให้คำตอบของสมการนี้มี2ตัวได้(ซึ่งก็คือ ชนกัน2ครั้ง)โดยการกำหนดเงื่อนไขของ Mและ m
แต่สมการนี้มันแก้ยากมาก(ใครแก้ได้ช่วยด่วนครับ)


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: tip on May 02, 2009, 06:55:14 PM
ข้อ79
ถ้าเข็มเหล็กความหนาแน่น \rho ยาว lจะลอยน้ำอยู่ได้ ด้วยผลอันเนื่องมาจากความตึงผิวของน้ำ \psi และ แรงลอยตัวเนื่องจากมันแทนที่น้ำ(แบบเรือ) จงวิเคราะห์หารัศมีของเข็ม Rที่โตสุดที่สามารถลอยน้ำได้ ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการยวบลงของผิวน้ำเอาเอง


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: Mwit_Psychoror on May 02, 2009, 10:37:11 PM
ปลื้มครับที่น้องๆมาทำโจทย์กัน  :smitten:


ขอแสดงความนับถือให้น้อง title และน้อง jug ที่แก้โจทย์ข้อที่วีรภัทรทำไม่ได้ออก  ;D


Title: Re: Problems Solving Marathon : Mechanics
Post by: WeeBk on May 03, 2009, 12:34:56 AM
ปลื้มครับที่น้องๆมาทำโจทย์กัน  :smitten:


ขอแสดงคว