mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์สอวน ฟิสิกส์ สอวน => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 03, 2006, 07:43:17 PM



Title: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 03, 2006, 07:43:17 PM
ในหนังสือเล่มนี้มีอินทิกรัลที่ต้องหาค่าหลายอินทิกรัลที่ผู้เขียนยกคำตอบมา  ถ้าเราช่วยกันทำอินทกรัลเหล่านั้นไว้ที่นี่ ก็น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ใช้หนังสือนั้น


ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

วันนี้เห็นมีการหาปริพันธ์ (การอินทิเกรต) เกี่ยวกับสนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมประจุ (ที่จริงมีรูปแบบเดียวกับกันเปลือกมวลบางที่คำนวณในเรื่องแรงโน้มถ่วง) หลายคนอาจไม่คุ้น แต่มีเทคนิคที่ใช้กันอยู่สองสามวิธี

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ ;D)

\displaystyle{ {{(r - R\cos \theta )\sin \theta \,d\theta } \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }} = {1 \over {2r}}\left\{ {{1 \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{1 \over 2}}} }} + {{(r^2 - R^2 )} \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }}} \right\}\left( {{1 \over {2rR}}} \right)d\left( {r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta } \right)}

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน

ให้
     \displaystyle{r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta = s^2}
จะได้
     \displaystyle{\sin \theta \,d\theta = {1 \over {rR}}s\,ds,\quad r - R\cos \theta = {{r^2 - R^2 + s^2 } \over {2r}}}

เมื่อแทนค่าและจัดรูป จะทำให้ได้อินทิกรัลในรูปของ s ซึ่งหาค่าได้ง่าย


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 05, 2006, 05:53:15 PM
ในตัวอย่าง 1.10 หน้า 22

\displaystyle{\int {{1 \over {\sqrt {1 - \cos \theta } }}} \,d\theta = \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}}}

ขั้นต่อไป ให้ \displaystyle{\xi = \tan (\theta/4) \Rightarrow d\xi = \sec ^2 (\theta/4)\;d(\theta/4) = {1 \over 4}\sec ^2 (\theta/4)\;d\theta }

 แล้วเปลี่ยนตัวแปรทั้งหมดให้อยู่ในรูปของ \xi สุดท้ายจะได้ว่า

\displaystyle{ \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}} = \pm \sqrt 2 \ln (\tan (\theta/4))}


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 08, 2006, 08:03:12 PM
ตัวอย่าง 1.5 หน้า16 มีอินทิกรัลหน้าตาดังนี้

\displaystyle{E_z = (\frac{\sigma ah}{4\pi\epsilon_0}) \int^{+b/2}_{y=-b/2} \frac{1}{(y^2 + h^2)\sqrt{y^2 + h^2 + (\frac{a}{2})^2}} dy}

ที่จริงหลายข้อในเรื่องไฟฟ้าต้องใช้ตัวแปรมุมในการอินทิเกรต ข้อนี้ก็เช่นเดียวกัน

ให้ใช้มุมระหว่างเส้นแนวดิ่งกลางกับเส้นตรงจากจุด P ไปยังแถบประจุที่ระยะห่าง y (ดูรูปในหนังสือ) จากแนวกลาง
นั่นคือ ให้ \tan \theta = y/h ดังนั้น h \sec^2 \theta d \theta = dy
แล้วกำจัด y ในพจน์อื่น ๆ ให้อยู่ในรูปของมุม \theta ให้หมด

ทำไปทำมาจะได้อินทิกรัลในรูป


\displaystyle{\int {{{d(\sin \theta )} \over {\left[ {1 + \left( {{a \over {2h}}} \right)^2 - \left( {{a \over {2h}}\sin \theta } \right)^2 } \right]^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}} }

แล้วจัดสมการนี้อยู่ในรูป \displaystyle{\int {{{d\xi } \over {\left( {1 - \xi ^2 } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} }}} }

แทนค่า \xi = \sin \phi แล้วก็อินทิเกรตได้ง่าย

ใครทำได้แล้ว ช่วยพิมพ์เป็น TeX สวย ๆ ให้หน่อยสิ ;D


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ccchhhaaammmppp on April 19, 2006, 03:56:15 PM
...
ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ ;D)

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน
...

3. โดยการ integral by part  ยาวสะใจ เหมาะสำหรับคนชอบถึกๆ ;D


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ccchhhaaammmppp on April 20, 2006, 10:49:11 PM
ในตัวอย่าง 1.10 หน้า 22

\displaystyle{\int {{1 \over {\sqrt {1 - \cos \theta } }}} \,d\theta = \pm \int {{1 \over {\sqrt 2 }}} {{d\theta } \over {\sin (\theta/2)}}}
...


\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-\cos\theta}}d\theta}

แทน \displaystyle{\theta=4\tan^{-1}\xi} และ \displaystyle{d\xi=\frac{1}{4}\sec^2\frac{\theta}{4}d\theta}

\displaystyle{\int \frac{1}{\sqrt{1-\cos(4\tan^{-1}\xi)}}(4\cos^2\tan^{-1}\xi)d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{1}{\sqrt{1-(1-2\sin^2(2\tan^{-1}\xi))}}(\frac{4}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{1}{\sqrt 2 \sin(2\tan^{-1}\xi)}(\frac{4}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\int \frac{\sqrt 2}{\sin(\tan^{-1}\xi)\cos(\tan^{-1}\xi)}(\frac{1}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\pm \int \frac{\sqrt 2(\xi^2+1)}{\xi}(\frac{1}{\xi^2+1})d\xi}

\displaystyle{=\pm \int \frac{\sqrt 2}{\xi}d\xi}

\displaystyle{=\pm \sqrt{2}\ln\xi = \pm \sqrt{2}\ln(\tan(\frac{\theta}{4}))}


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: กฤษดา on October 07, 2009, 07:32:14 PM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx 

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  :idiot2:


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 07, 2009, 11:00:11 PM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx  

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  :idiot2:

ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็น y โดยให้ x=\dfrac{l_1y}{2}  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  ;D


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2009, 08:27:42 AM
ตัวอย่าง 1.13 หน้า 36

\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx  

ช่วยแนะหน่อยครับว่าจัดรูปยังไง  :idiot2:

ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก x เป็น y โดยให้ x=\dfrac{l_1y}{2}  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  ;D

ตอบตั้งนานแล้ว เด็กชายกฤษดาไข่แล้วทิ้ง ไม่สนใจว่าได้ทำอะไรไปแล้ว ต่อไปจะถูกแบน  :knuppel2: :knuppel2: :knuppel2:


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: กฤษดา on October 11, 2009, 07:23:23 PM
ขอโทษครับที่หายไปนาน   ](*,) ผมคิดแล้วติดครับ

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}y

จะได้ \displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{dy}{y\sqrt{y^2+1}}}

แทน y=\dfrac{2z}{1-z^2}  และ dy=\dfrac{2(1+z^2)dz}{(1-z^2)^2}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z(1-z^2)\sqrt{(\dfrac{2z}{1-z^2})^2+1}}}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z\sqrt{1+2z^2+z^4}}}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \dfrac{1}{z}dz}  จะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln z

x=\dfrac{l_{1}z}{1-z^2} และ z=-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: 30th on October 11, 2009, 08:16:52 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: กฤษดา on October 11, 2009, 08:30:36 PM
ตอนแรกผมก็ใช้ตรีโกณช่วยในการอินทิเกรต ก็ได้คำตอบเท่ากัน
แต่ผมจัดรูปไม่ได้แบบในหนังสือครับ


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 11, 2009, 10:28:17 PM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  ;D

...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  ;D

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  ;D


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: 30th on October 12, 2009, 01:23:53 AM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  ;D

...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  ;D

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  ;D


มองยากนะครับ 55 :o :o


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 12, 2009, 05:37:06 AM
ผมว่ามองเเบบนี้มันยากไป
ลองใช้เทคนิคอินทิเกรตตรีโกณจะง่ายกว่าไหมครับ?


ที่ทำมานั่นแหละได้ใช้ตรีโกณฯ แต่เรามองไม่เห็นเอง  ;D

...
ข้ันแรกเปลี่ยนตัวแปรจาก ...  เสร็จแล้วให้ y=\dfrac{2z}{1-z^2}  ;D

\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  ;D


มองยากนะครับ 55 :o :o

ถ้าเรามีวิธีที่ง่ายกว่านี้ก็ทำมาเลย  ;)


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: 30th on October 12, 2009, 10:34:25 AM

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ dx=\dfrac{l_{1}}{2}\sec^2 \theta d\theta

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

จาก  x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ \csc \theta = \pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}และ \cot \theta = \dfrac{l_{1}}{2x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )

โปรดชี้เเนะด้วยครับ ความจริงก็ไม่ค่อยต่างอะไร  :buck2: :buck2:


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 12, 2009, 12:10:30 PM

...

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

...

ตรงนี้กระโดดข้ามขั้นตอนมาเยอะเหมือนกันไม่ใช่หรือ  :o


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: 30th on October 12, 2009, 01:56:30 PM

...

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

...

ตรงนี้กระโดดข้ามขั้นตอนมาเยอะเหมือนกันไม่ใช่หรือ  :o

มันไม่ใช่รูปเเบบทั่วไปที่ควรรู้หรอครับ
 :embarassed:เเหะๆ


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 12, 2009, 01:58:39 PM

...

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

...

ตรงนี้กระโดดข้ามขั้นตอนมาเยอะเหมือนกันไม่ใช่หรือ  :o

มันไม่ใช่รูปเเบบทั่วไปที่ควรรู้หรอครับ
 :embarassed:เเหะๆ

ทำให้ดูหน่อยสิว่ามาได้อย่างไร ต้องเปลี่ยนตัวแปรอย่างไร  ;)


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: 30th on October 12, 2009, 02:16:21 PM

จาก             \displaystyle {d(\csc\theta - \cot\theta)} =  \csc\theta(\csc\theta - \cot\theta) d\theta

ได้ว่า            \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} = \int \dfrac{1}{\csc\theta - \cot\theta}d(\csc\theta - \cot\theta)
                                                                             
                                     = \displaystyle {\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}


ผิดถูกชี้เเนะด้วยครับ :) :)


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: Mwit_Psychoror on October 12, 2009, 02:27:17 PM

จาก             \displaystyle {d(\csc\theta - \cot\theta)} =  \csc\theta(\csc\theta - \cot\theta) d\theta

ได้ว่า            \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} = \int \dfrac{1}{\csc\theta - \cot\theta}d(\csc\theta - \cot\theta)
                                                                             
                                     = \displaystyle {\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}


ผิดถูกชี้เเนะด้วยครับ :) :)

มันจะไม่รวบรัดไปหน่อยเหรอนี่ ยังไงก็ตามวิธีนี้เป็นวิธีของคนที่รู้คำตอบอยู่แล้ว ถึงทำวิธีนี้ได้ ไม่งั้นใครจะทำ  ;D
ลองทำแบบวิธีที่ไม่รู้คำตอบดูหน่อยดีกว่ามั้งครับ  :smitten:


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: 30th on October 12, 2009, 04:10:39 PM
ให้   \tan\theta = y  จะได้ว่า \sec^2\theta d\theta = dy


ทำให้  \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} =  \displaystyle {\int \dfrac{dy}{y\sqrt{y^2+1}}}



แทน y=\dfrac{2z}{1-z^2}  และ dy=\dfrac{2(1+z^2)dz}{(1-z^2)^2}

\displaystyle {\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z(1-z^2)\sqrt{(\dfrac{2z}{1-z^2})^2+1}}}

\displaystyle {\int \dfrac{(1+z^2)dz}{z\sqrt{1+2z^2+z^4}}}

\displaystyle {\int \dfrac{1}{z}dz}  =  ln z



เนื่องจาก

 y =\dfrac{2z}{1-z^2} = \tan\theta

และ


\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}  ;D


ได้ว่า z = \tan\frac{\theta}{2}


จาก \sin\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}   เเละ  \cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}


จะได้ว่า \tan \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 -\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta}

                      = \csc\theta - \cot\theta  = z


เเทนค่า ใน  \displaystyle {\int \csc\theta d\theta} = \ln z = \ln (\csc\theta - \cot\theta)


เป็นอันจบบริบูรณ์

เหนื่อยมากมายครับ ยังใช้ Tex ไม่ค่อยคล่อง  :buck2: :buck2: :buck2:


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: jali on April 14, 2012, 09:41:52 AM
ในหนังสือเล่มนี้มีอินทิกรัลที่ต้องหาค่าหลายอินทิกรัลที่ผู้เขียนยกคำตอบมา  ถ้าเราช่วยกันทำอินทกรัลเหล่านั้นไว้ที่นี่ ก็น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ใช้หนังสือนั้น


ตัวอย่าง 1.8 หน้า 18

วันนี้เห็นมีการหาปริพันธ์ (การอินทิเกรต) เกี่ยวกับสนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมประจุ (ที่จริงมีรูปแบบเดียวกับกันเปลือกมวลบางที่คำนวณในเรื่องแรงโน้มถ่วง) หลายคนอาจไม่คุ้น แต่มีเทคนิคที่ใช้กันอยู่สองสามวิธี

1. โดยการเขียนเป็นเศษส่วนย่อย (ด้วยการเดาและลองอย่างมีศิลปะ ;D)

\displaystyle{ {{(r - R\cos \theta )\sin \theta \,d\theta } \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }} = {1 \over {2r}}\left\{ {{1 \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{1 \over 2}}} }} + {{(r^2 - R^2 )} \over {(r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta )^{{\textstyle{3 \over 2}}} }}} \right\}\left( {{1 \over {2rR}}} \right)d\left( {r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta } \right)}

2. โดยการเปลี่ยนตัวแปรไปใช้ระยะห่างจากวงแหวนบางไปยังจุดที่สนใจแทน

ให้
     \displaystyle{r^2 + R^2 - 2rR\cos \theta = s^2}
จะได้
     \displaystyle{\sin \theta \,d\theta = {1 \over {rR}}s\,ds,\quad r - R\cos \theta = {{r^2 - R^2 + s^2 } \over {2r}}}

เมื่อแทนค่าและจัดรูป จะทำให้ได้อินทิกรัลในรูปของ s ซึ่งหาค่าได้ง่าย

ตรงอินทิเกรตตรงนี้อะครับผมลองใช้วิธีเปลี่ยนตัวแปรเป็นตรีโกณฯแล้วใส่ขอบเขตอะครับปรากฎว่าได้0ลองช่วยดูให้หน่อยครับว่ามันผิดตรงไหน
\displaystyle \int_{0}^{\pi } \frac{(r-R\cos \theta)(\sin\theta ) }{(r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta )^{3/2}}dx
ขั้นแรกให้ \displaystyle \frac{r-R\cos\theta }{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta }}= \cos\phi
และ \displaystyle \frac{R\sin\theta }{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta }}= \sin\phi
จัดรูปจะได้ \displaystyle \int  \frac{(r-R\cos \theta)(\sin\theta ) }{(r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta )^{3/2}}d\theta = \displaystyle \frac{1}{R}\int \frac{\cos\phi \sin\phi }{\sqrt{r^{2}+R^{2}-2Rr\cos\theta }}d\theta
และ \displaystyle d\theta = \frac{(r-R\cos\theta )^{2}}{R\left ( r\cos\theta -R \right )}sec^{2}\phi d\phi
จัดรูปจะได้ \displaystyle \frac{1}{R^{2}} \int \sin\phi \frac{r-R\cos\theta }{r\cos\theta -R}d\phi
และ \displaystyle \cos\theta = \frac{r}{R}\sin^{2}\phi \pm \cos\phi \sqrt{-(\frac{r}{R})^{2}\sin^{2}\phi +1
ถ้าเอาค่าโคไซน์เป็นบวกจะได้ \displaystyle r-R\cos\theta = \cos\phi \left ( r\cos\phi -\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}} \right ) และ \displaystyle r\cos\theta -R= \frac{\sqrt{\left R^{2}-( r\sin\phi  \right )^{2}}}{R}\left ( r\cos\phi -\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}} \right )
\displaystyle \frac{r-R\cos\theta }{r\cos\theta -R }= \frac{R\cos\phi }{\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}}
นำค่าไปแทนจะได้ \displaystyle \int \frac{R\sin(\phi) \cos\phi }{\sqrt{R^2-\left ( r\sin(\phi) \right )^{2}}}d\phi
ทำต่อก็จะได้ \displaystyle \int \frac{R\sin\phi \cos\phi }{\sqrt{R^2-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}}d\phi= \frac{-R}{2r^{2}}\int \frac{1}{\sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}}dR^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}
\displaystyle =2 \sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}} และ \displaystyle =\frac{-R}{r^{2}} \sqrt{R^{2}-\left ( r\sin\phi  \right )^{2}}
คูณกับ1/R^2ด้านหน้าจะได้ \displaystyle \frac{-1}{r^{2}}\sqrt{1-\left ( r\sin\phi /R \right )^{2}} แทนค่า sin จะได้ \displaystyle \frac{-1}{r^{2}}\frac{\left | R-r\cos\theta  \right |}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta }}
จากตรงนี้พอใส่ขอบเขตแล้วมันจะได้0อะครับช่วยดูหน่อยครับว่าผิดตรงไหน


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 14, 2012, 11:17:11 AM
...
คูณกับ1/R^2ด้านหน้าจะได้ \frac{-1}{r^{2}}\sqrt{1-\left ( rsin\phi /R \right )^{2}} แทนค่า sin จะได้ \frac{-1}{r^{2}}\frac{\left | R-rcos\theta  \right |}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rrcos\theta }}
จากตรงนี้พอใส่ขอบเขตแล้วมันจะได้0อะครับช่วยดูหน่อยครับว่าผิดตรงไหน

ทำในกรณีอะไร จุดที่สนใจอยู่ภายในเปลือกทรงกลม หรืออยู่นอกเปลือกทรงกลม
ขอบเขตให้เป็นจากไหนไปไหน ไม่เห็นบอก  :coolsmiley:


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: jali on April 15, 2012, 09:15:52 AM
...
คูณกับ1/R^2ด้านหน้าจะได้ \frac{-1}{r^{2}}\sqrt{1-\left ( rsin\phi /R \right )^{2}} แทนค่า sin จะได้ \frac{-1}{r^{2}}\frac{\left | R-rcos\theta \right |}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rrcos\theta }}
จากตรงนี้พอใส่ขอบเขตแล้วมันจะได้0อะครับช่วยดูหน่อยครับว่าผิดตรงไหน

ทำในกรณีอะไร จุดที่สนใจอยู่ภายในเปลือกทรงกลม หรืออยู่นอกเปลือกทรงกลม
ขอบเขตให้เป็นจากไหนไปไหน ไม่เห็นบอก  :coolsmiley:
ทำในกรณีเหมือนกับในหนังสือครับ คือจุดที่สนใจอยู่ภายนอกทรงกลม ขอบเขตก็จาก 0\to\pi
ผมลองใส่ลงใน wolfram แล้ว มันก็ไม่ติดค่าแอปฯครับ


Title: Re: อินทิกรัลในหนังสือฟิสิกส์ สอวน (แม่เหล็กไฟฟ้า)
Post by: CanonX on September 16, 2012, 05:34:58 PM

\displaystyle {\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}dx}

แทน x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ dx=\dfrac{l_{1}}{2}\sec^2 \theta d\theta

แทนค่าทั้งสองสมการจะได้

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\int \csc\theta d\theta}

\displaystyle {\dfrac{2}{l_{1}}\ln ( \csc\theta - \cot\theta )}

จาก  x=\dfrac{l_{1}}{2}\tan \theta

จะได้ \csc \theta = \pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}และ \cot \theta = \dfrac{l_{1}}{2x}

แทนค่าจะได้ \dfrac{2}{l_{1}}\ln \left (-\dfrac{l_{1}}{2x}\pm \dfrac{\sqrt{x^2+(\dfrac{l_{1}}{2})^2}}{x}\right )

โปรดชี้เเนะด้วยครับ ความจริงก็ไม่ค่อยต่างอะไร  :buck2: :buck2:

ผมสงสัยว่าทำไมเราอินทิเกรตออกมาได้สั้นๆแค่นี้ แต่คำตอบที่เขียนในหนังสือมันช่างยาวและเยอะจนน่ากลัวครับ ขอความกรุณาด้วยครับ  :idiot2: :'( >:A