mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => แบบฝึกหัดฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างค่าย => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 29, 2006, 07:35:08 PM



Title: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 29, 2006, 07:35:08 PM
โลหะทรงกลมรัศมี R ลูกหนึ่งมีประจุสุทธิ Q  จงหาแรงผลักระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่าง


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: P o W i i on January 30, 2006, 08:41:41 PM
การที่จะทำให้มีทรงกลมนี้หรือทรงกลมอื่นๆ หรือระบบประจุใดๆ ได้ต้องทำงาน
 \displaystyle{U=\frac{1}{2} \int Vdq}
ซึ่ง V ก็คือศักย์ไฟฟ้าตรงที่ dq อยู่ สำหรับทรงกลมรัศมี rแล้วละก็
\displaystyle{V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r}}
บนผิวทรงกลม  จึงได้
\displaystyle{ U=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_{0}r}}
และถ้า F คือแรงที่ทำงานนั้นละก็ขนาด
\displaystyle{F=-\frac{\partial}{\partial r}U|_{r=R}=\frac{Q^2}{8\pi\epsilon_{0}R^2}}
แสดงว่าแรงผลักต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่เป็น \displaystyle{\frac{F}{4\pi R^2}}
จะได้แรงที่ครึ่งทรงกลมผลักกันเป็น \displaystyle{\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_{0}R^2}}

 


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: Peace on January 30, 2006, 09:32:28 PM
จากภาพ พิจารณาแรงที่กระทำต่อวงแหวนบางๆ ตามแกน y จะได้
 dF_y = E \sin \theta dq เมื่อ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2}
 dq = \sigma (2 \pi R \cos \theta) (R d \theta) เมื่อ \sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2}

ก็จะได้  dF_y = [ \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2} \sin \theta ][\frac{Q}{4 \pi R^2} 2 \pi R^2 \cos \theta d \theta]
\displaystyle{ F_y = [\frac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 R^2}][\frac{1}{2} \int^{\pi /2}_{\theta = 0} \sin ( 2\theta ) d (2 \theta)]}
\displaystyle{F_y = \frac{Q^2}{16 \pi \epsilon_0 R^2}}


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 31, 2006, 06:53:31 AM
 [-X   วิธีทำของ PoWii และของ Peace มีสมมุติฐานที่น่าสงสัยทั้งคู่

PoWii: แรงที่คำนวณมาเอามาบวกกันอย่างไร แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ไม่ใช่หรือ ???

Peace: สนามไฟฟ้า E ได้มาอย่างไร สนามนี้เป็นสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุไฟฟ้าที่ไหนบ้าง  ???


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on January 31, 2006, 07:10:58 PM
ขอลองทำดูนะครับ
จากการแบ่งเป็นวงแหวน ทั้งด้านบนและล่างของทรงกลม
ได้สมการนี้มา แต่ integrate ไม่เป็นอะครับ :'(
\displaystyle{F=\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \pi \sigma R^2 \sin\theta[\int_{\alpha=0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2 \pi \sigma R^2 \sin\alpha (\cos{\frac{(\alpha-\theta)}{2}})}{2R^2 (1+\cos(\theta+\alpha))}d\alpha] d\theta}
เมื่อ \sigma \equiv \frac{Q}{4\pi R^2}


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 31, 2006, 07:16:28 PM
ขอลองทำดูนะครับ
จากการแบ่งเป็นวงแหวน ทั้งด้านบนและล่างของทรงกลม
ได้สมการนี้มา แต่ integrate ไม่เป็นอะครับ :'(
...

คงต้องลองทำวิธีอื่นมั๊ง  ;D


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on January 31, 2006, 07:28:24 PM
แง่ว  :'(, >:A


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on January 31, 2006, 09:30:59 PM
จากข้างบน ขนาดของแรงผลักต่อหน่วยพื้นที่เป็น \phi ซึ่งมีค่าคงที่
ทำการแบ่งพื้นที่ออกเป็นวงแหวนเล็กๆ โดยแรงไฟฟ้าในแนวรัศมีเทียบกับแกนสมมติ จะหักล้างกันหมด
จะได้ \displaystyle{F=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \phi 2\pi R^2 \sin\theta \cos\theta d\theta }
             \displaystyle{=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \phi 2\pi R^2 \sin\theta d\sin\theta }
             =\phi \pi R^2
เนื่องจาก \displaystyle{\phi=\frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}}
ดังนั้น \displaystyle{F=\frac{Q^2}{32\pi \epsilon_0 R^2}}
ในกรณีนี้เราคิดแรงไฟฟ้าเนื่องจาก ทั้งทรงกลมได้ เพราะแรงไฟฟ้าโดยครึ่งทรงกลมที่ถูกกระทำ
เป็นแรงภายในมันจึงหักล้างกันเป็น 0 เนื่องจากได้ integrate โดยแฝงความเป็นเวกเตอร์ไว้


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on January 31, 2006, 10:01:49 PM
...โดยแรงไฟฟ้าในแนวรัศมีเทียบกับแกนสมมติ จะหักล้างกันหมด
...

มันก็แนวรัศมีกันทั้งนั้นแหละ  หมายถึงแนวที่ตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่เชื่อมจุดยอดของครึ่งทรงกลมบนและล่างใช่ไหม


จากของพ่อ ขนาดของแรงผลักต่อหน่วยพื้นที่เป็น \phi ซึ่งมีค่าคงที่
...
เนื่องจาก \displaystyle{\phi=\frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}}
...

 [-X  อย่าเอาพ่อมาอ้าง  แสดงให้ดูว่ามาจากไหน จะได้ดูว่าเข้าใจหลักการถูกต้องหรือไม่


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on January 31, 2006, 11:23:46 PM
ขออภัยทั้งอาจารย์และพ่อครับ >:A
ในการสร้างระบบประจุนี้ต้องทำงาน จึงเกิดเป็นพลังงานศักย์ไฟฟ้ามีค่าเท่ากับ \displaystyle{\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0 r}}
โดยพิจารณากรณีที่ประจุถูกย่อ-ขยายเป็นทรงกลม(ขณะนำมาสร้างเป็นการย่อเข้า) จึงไม่ได้กำหนดรัศมี R ที่คงที่ ขณะที่พลังงานศักย์ไฟฟ้าค่อยๆเพิ่มขึ้น งานโดยเราทำงานเป็นบวกถ้าเราปล่อยให้มันขยายออกอย่างช้าๆ พลังงานศักย์ไฟฟ้าจะลดลง ทีนี้แรงไฟฟ้ากลับทำงานเป็นบวก ดังนั้น แรงไฟฟ้ามีค่าเท่ากับค่าลบของอัตราการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์ของระบบเทียบกับตำแหน่ง ดังนั้นที่ตำแหน่ง R แรงไฟฟ้าจึงเท่ากับ
\displaystyle{F=-\frac{\partial}{\partial r}(\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0 r})|_{r=R}}
\displaystyle{F=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0 R^2}}
นี่เป็นแรงทั้งหมด ซึ่งกระทำทั่วผิวทรงกลม ดังนั้นค่าของแรงต่อหน่วยพื้นที่จึงเท่ากับ \displaystyle{\frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}}



Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 01, 2006, 07:28:38 AM
... ดังนั้นที่ตำแหน่ง R แรงไฟฟ้าจึงเท่ากับ
\displaystyle{F=-\frac{\partial}{\partial r}(\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0 r})|_{r=R}}
\displaystyle{F=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon_0 R^2}}
นี่เป็นแรงทั้งหมด ซึ่งกระทำทั่วผิวทรงกลม ดังนั้นค่าของแรงต่อหน่วยพื้นที่จึงเท่ากับ \displaystyle{\frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}}


แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ไม่ใช่หรือ ? แรงที่ตำแหน่งต่าง ๆ บนผิวทรงกลมมีทิศต่างกัน เอามาบวกกันอย่างสเกลาร์ได้อย่างไร ?

อย่าพอใจเพียงแค่ได้คำตอบเท่านั้น  วิธีทำที่ถูกให้คำตอบที่ถูกต้อง แต่วิธีทำที่ผิดอาจให้คำตอบที่ถูกหรือผิดก็ได้ 
\displaystyle \frac{6\hspace{-1ex}\slash4}{16\hspace{-1ex}\slash} = 4  ;D


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: Peace on February 01, 2006, 09:56:16 AM
ผมมีแนวคิดใหม่ๆ ครับ  ;D
พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ บนผิวทรงกลมดังรูป ให้สี่เหลี่ยมยาวด้านละ R d \theta
แล้วพิจารณาว่ามีแรง dF เท่าๆกันกระทำที่ทั้งสี่ด้าน และมีแรงไฟฟ้ากระทำ (อันนี้คิดจากสนามไฟฟ้าของทั้งทรงกลม) E dq
เนื่องจากแผ่นนั้นอยู่ในสมดุล จะได้
 E dq = 4 dF \sin (\frac{d \theta}{2}) อันนี้ผมวาดรูปมุมในรูปแล้วมันเละอะครับ เมื่อ  d \theta มีค่าน้อยๆ
\displaystyle{ [\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^2}] [(\frac{Q}{4 \pi R^2}) (R d \theta)^2] = 4 dF (\frac{d \theta}{2})}

เราจะได้ \displaystyle{dF = \frac{Q^2}{16 \pi ^2 \epsilon_0 R^2} d \theta}


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: Peace on February 01, 2006, 10:05:38 AM
แ้ล้วมาพิจารณารูปนี้ จะได้ผลรวมของแรง dF ทั้งหมด จะต้องมีขนาดเท่ากับแรงที่ครึ่งทรงกลมอันล่างผลักอันบน เพราะครึ่งทรงกลมอันบนอยู่นิ่ง
เราจะได้
\displaystyle{ \int dF = \int^{2 \pi}_{\theta = 0} \frac{Q^2}{16 \pi ^2 \epsilon_0 R^2} d \theta}
\displaystyle{ F = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 R^2} }


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 01, 2006, 12:07:54 PM
ผมมีแนวคิดใหม่ๆ ครับ  ;D
...

...
เราจะได้
\displaystyle{ \int dF = \int^{2 \pi}_{\theta = 0} \frac{Q^2}{16 \pi ^2 \epsilon_0 R^2} d \theta}
\displaystyle{ F = \frac{Q^2}{8 \pi \epsilon_0 R^2} }

ผิดใหม่ ๆ อยู่ดีแหละ  ;D


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on February 01, 2006, 07:45:49 PM
เมื่อวานทำอีกวิธีนึงไว้ แต่พอโพสปั๊ปก็หายวับไป เดี๋ยวทำอีกรอบครับ ](*,)


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 01, 2006, 07:53:54 PM
เมื่อวานทำอีกวิธีนึงไว้ แต่พอโพสปั๊ปก็หายวับไป เดี๋ยวทำอีกรอบครับ ](*,)

เคยเตือนแล้วว่าก่อนส่งข้อความให้ทำสำเนาไว้ก่อน  ;D


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on February 01, 2006, 11:15:28 PM
ในการจะหาแรงที่กระทำต่อหน่วยพื้นที่นั้น ตอนแรกเราทำการหาสนามไฟฟ้าที่ผิวทรงกลมก่อน
จากสมการ \displaystyle{dE=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r^2}}
พิจารณาประจุเล็กๆ เป็นวงแหวน รัศมี R\sin2\theta
กำหนดให้ความหนาแน่นประจุเชิงพื้นที่ \displaystyle{\sigma \equiv \frac{Q}{4\pi R^2}}
\displaystyle{dE=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2\pi \sigma  R^2 \sin2\theta d2\theta \cos\theta}{(2R \cos\theta)^2}
\displaystyle{E=\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}\frac{\sin\theta \cos^2\theta d\theta}{\cos^2\theta}}
\displaystyle{E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}[-\cos\theta]|_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}}
\displaystyle{E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}}
ดังนั้น แรงไฟฟ้าต่อหน่วยพื้นที่มีค่าเท่ากับ \displaystyle{F=\frac{\sigma^2}{2 \epsilon_0}=\frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}}
นำผลนี้ไปใช้ตรงที่ทำไปแล้ว เดี๋ยวรูปตามมาครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 02, 2006, 07:31:54 AM
วิธีทำใน Reply #16 ข้างบน ^^^ มีคำถามดังนี้
1. สนามไฟฟ้าที่คำนวณเป็นสนามไฟฟ้าที่จุดยอดทรงกลมเนื่องจากประจุที่ใดบ้าง ประจุที่ครึ่งทรงกลมล่าง หรือประจุทั้งทรงกลม
2. ในลิมิตของการหาปริพันธ์ (การอินทิเกรต) ใช้มุม \theta = 0 \rightarrow \pi/2 แปลว่าใช้ประจุทั้งทรงกลมซึ่งรวมประจุของตัวเองที่จุดยอดทรงกลมด้วย ใช่หรือไม่ ?
3. ถ้าเป็นสนามไฟฟ้าเนื่องจากครึ่งทรงกลมล่างเท่านั้น เราจะสรุปว่าสนามไฟฟ้าที่จุดอื่นของครึ่งทรงกลมบนเนื่องจากประจุจากครึ่งกลมล่างมีขนาดเท่ากันที่ทุกแห่งของครึ่งทรงกลมบนได้หรือไม่


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on February 02, 2006, 05:55:00 PM
1.เป็นสนามไฟฟ้าเนื่องจากทั้งทรงกลมครับ เราจำเป็นต้องหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากทั้งทรงกลมเพราะ เราต้องใช้องค์ประกอบของแรงภายในทุกส่วนมาหักล้างกัน ถ้าหากเรา integrate ตั้งแต่ \theta=\frac{\pi}{4}\rightarrow \frac{\pi}{2} ถ้าเราเปลี่ยนตำแหน่งจุดที่พิจารณา แรงไฟฟ้าจะซ้อนทันกัน ทำให้คิดแรงภายในซึ่งไม่เกี่ยวเข้าไปด้วย
2.ไม่ได้รวมประจุของตัวเอง เพราะจุดที่กำหนดนั้นคือตำแหน่งของตัวเองพอดี ตอนที่ทำการ integrate เรารวมสนามไฟฟ้าเนื่องจากวงแหวนรอบจุดเข้าใกล้ตัวเองเรื่อยๆ
3.น่าจะสรุปไม่ได้อะครับ ระยะห่างจากกลุ่มประจุที่ให้สนามไฟฟ้าจะแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด

ไม่แน่ใจนะครับ ถ้าผิดเดี๋ยวมาแก้ให้ครับ  >:A ???


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 02, 2006, 06:40:58 PM
...
2.ไม่ได้รวมประจุของตัวเอง เพราะจุดที่กำหนดนั้นคือตำแหน่งของตัวเองพอดี ตอนที่ทำการ integrate เรารวมสนามไฟฟ้าเนื่องจากวงแหวนรอบจุดเข้าใกล้ตัวเองเรื่อยๆ
...


ตรงไหนในวิธีทำที่บอกว่าไม่รวมในเมื่ออินทิเกรตรวมเข้าไปหมด ไม่มีตรงไหนที่บอกว่ายกเว้นจุดเล็ก ๆ ที่ยอดทรงกลม ???


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on February 02, 2006, 06:47:55 PM
เสมือนว่าเราไปยืนที่ตำแหน่งกลางประจุหรือเปล่่าครับ ผลของสนามไฟฟ้าที่จุดนั้นจึงไม่มีผล ???


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 02, 2006, 07:01:47 PM
เสมือนว่าเราไปยืนที่ตำแหน่งกลางประจุหรือเปล่่าครับ ผลของสนามไฟฟ้าที่จุดนั้นจึงไม่มีผล ???

คิดว่านี่เป็นเหตุผลที่ดีหรือเปล่า  8)


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on February 02, 2006, 08:49:09 PM
เสมือนว่าเราไปยืนที่ตำแหน่งกลางประจุหรือเปล่่าครับ ผลของสนามไฟฟ้าที่จุดนั้นจึงไม่มีผล ???

คิดว่านี่เป็นเหตุผลที่ดีหรือเปล่า 8)
เป็นเหตุผลที่ไม่ดีแน่นอนครับ เพราะมันแค่จินตนาการหรือสำมัญสำนึก เดี๋ยวผมจะพยายามหาเหตุผลที่ฟังขึ้นครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: MwitStu. on February 04, 2006, 12:43:27 AM
ลองเปรียบเทียบจากผลของสนามไฟฟ้าที่ได้จากกฎของเกาส์ ซึ่งเมื่อใช้หาสนามไฟฟ้า เนื่องจากทรงกลมที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมีของทรงกลม ดังนี้
\displaystyle{\oint \vec E \cdot d\vec A=\frac{Q}{\epsilon_0}}
ในการใช้กฎของเกาส์นี้เราคุมประจุทั้งหมดไว้ในผิวปิดรูปทรงกลมรัศมี R ตำแหน่งที่เราหาสนามไฟฟ้าจึงอยู่เหนือตำแหน่งที่มีประจุอยุ่เล็กน้อย ได้ค่า \displaystyle{E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}}
ซึ่งค่าที่ได้มานี้ต่างจากค่าที่ผิวทรงกลมพอดี ซึ่งมีค่าเป็น \displaystyle{\frac{\sigma}{2 \epsilon_0}}
แสดงว่าเมื่อเลื่อนจุดออกมาจากผิวของทรงกลมนิดกน่อย จนแทบประมาณได้ว่าระยะทางไม่เปลี่ยน สนามไฟฟ้ากลับเปลี่ยน จึงทำให้เกิดข้อสงสัยที่ว่าประจุส่วนเล็กๆ ตรงนั้นมีผลต่อสนามไฟฟ้าในกรณีหลังด้วย ในขณะที่กรณีแรกนั้นไม่ให้ผล
(เหตุผลที่ดียังไม่มีครับ แต่ใส่ข้อเปรียบเทียบไว้นิดหน่อย ;D)


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 06, 2006, 01:07:00 PM
ดู http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,739.0.html


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: Forza_Nerazzuri on March 12, 2006, 12:23:35 AM
ติดอินทริเกรท 6 ชั้นครับ ](*,)


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 12, 2006, 10:34:53 AM
ติดอินทริเกรท 6 ชั้นครับ ](*,)

1. หลักการทำคือหาแรงที่บริเวณเล็ก ๆ ที่ตำแหน่งหนึ่ง 
2. แรงนี้มีค่าเท่ากับสนามไฟฟ้าที่ตรงนั้นคูณกับประจุเล็ก ๆ ที่นั่น
3. สนามไฟฟ้ามีค่าเท่ากับ ?
4. โดยความสมมาตร แรงสุทธิต้องมีทิศขึ้น ดังนั้นคิดเฉพาะส่วนประกอบของแรงที่ทำต่อส่วนเล็ก ๆ นี้ก็พอ
5. บวก (หาปริพันธ์ หรืออินทิเกรต) แรงที่ทำต่อประจุในครึ่งทรงกลมบน
6. ถ้าสงสัยว่าทำไมคิดอย่างนี้ได้ ก็ให้ไปดูที่แนะไว้ก่อนหน้านี้  ;D



Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: Forza_Nerazzuri on April 05, 2006, 07:36:02 PM
หาสนามไฟฟ้าที่จุดใด ๆ ภายในทรงกลมจะได้ค่าคงที่คูณกับรัศมี r เอาไปคูณกับ dq แล้วอินทริเกรทครึ่งทรงกลมได้หรือเปล่าครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 06, 2006, 08:15:14 AM
หาสนามไฟฟ้าที่จุดใด ๆ ภายในทรงกลมจะได้ค่าคงที่คูณกับรัศมี r เอาไปคูณกับ dq แล้วอินทริเกรทครึ่งทรงกลมได้หรือเปล่าครับ

หาที่จุดใด ๆ ไปทำไม ทำไมไม่หาที่ประจุอยู่?  สนามไฟฟ้าจากประจุที่ไหน  แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ เวลาอินทิเกรตต้องระวัง


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: M-Ph on March 05, 2013, 10:41:13 PM
...
2.ไม่ได้รวมประจุของตัวเอง เพราะจุดที่กำหนดนั้นคือตำแหน่งของตัวเองพอดี ตอนที่ทำการ integrate เรารวมสนามไฟฟ้าเนื่องจากวงแหวนรอบจุดเข้าใกล้ตัวเองเรื่อยๆ
...


ตรงไหนในวิธีทำที่บอกว่าไม่รวมในเมื่ออินทิเกรตรวมเข้าไปหมด ไม่มีตรงไหนที่บอกว่ายกเว้นจุดเล็ก ๆ ที่ยอดทรงกลม ???
-------------- เอ่ออ ถ้าบอกว่าสนามไฟฟ้าที่ได้ไม่ยกเว้นจุดเล็กๆที่ยอดทรงกลม(สนามไฟฟ้าที่เกิดจากตัวเอง!) แล้วทำไมค่าที่ได้เนื่องจากการอินทิเกรตที่พี่เขาทำจึงมีค่าออกมาในรูปสวยๆอะครับ ทั้งๆที่มันควรจะมี......(ปัญหา) -----------


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 18, 2013, 06:43:49 PM
อยากรู้คำตอบข้อนี้อ่าครับ ใครก็ได้ช่วยเฉลยหน่อยครับ
ปล.ผมได้  \left|\vec{F}\right|=\frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 20, 2013, 12:12:45 PM
อันนี้วิธีของผมครับ
พิจารณาชิ้นพื้นที่เล็กๆ d\vec{A} มีประจุ \sigma dA สนามไฟฟ้าที่ทำต่อประจุนี้คือ \vec{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{R^{2}}\hat{r}
แรงคือ d\vec{F}=dq \vec{E} และ d\vec{F}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{Q \sigma dA}{R^{2}}\hat{r}
\frac{dF}{dA}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{Q \sigma }{R^{2}}
ซึ่งคล้ายกับการวิเคราะห์เรื่องความดันในหยดของเหลว ดังนั้นแรงที่ทำต่อครึ่งทรงกลมคือ \dfrac{dF}{dA} \cdot \pi R^{2}
F=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{Q \sigma }{R^{2}} \cdot \pi R^{2}=\frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: dy on April 20, 2013, 06:51:26 PM
อันนี้วิธีของผมครับ
พิจารณาชิ้นพื้นที่เล็กๆ d\vec{A} มีประจุ \sigma dA สนามไฟฟ้าที่ทำต่อประจุนี้คือ \vec{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{Q}{R^{2}}\hat{r}
แรงคือ d\vec{F}=dq \vec{E} และ d\vec{F}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{Q \sigma dA}{R^{2}}\hat{r}
\frac{dF}{dA}=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{Q \sigma }{R^{2}}
ซึ่งคล้ายกับการวิเคราะห์เรื่องความดันในหยดของเหลว ดังนั้นแรงที่ทำต่อครึ่งทรงกลมคือ \dfrac{dF}{dA} \cdot \pi R^{2}
F=\frac{1}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{Q \sigma }{R^{2}} \cdot \pi R^{2}=\frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}

สนามไฟฟ้าที่คุณ Jali หามา คือ สนามไฟฟ้าที่ตำแหน่ง "เหนือผิวตัวนำ" นิดหน่อยนะครับ แต่ในการหาแรงที่ทำต่อชิ้นประจุ เราต้องใช้สนามไฟฟ้าที่ "ผิวตัวนำ" พอดีนี่ครับ  :coolsmiley:


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 20, 2013, 06:57:07 PM
...
สนามไฟฟ้าที่คุณ Jali หามา คือ สนามไฟฟ้าที่ตำแหน่ง "เหนือผิวตัวนำ" นิดหน่อยนะครับ แต่ในการหาแรงที่ทำต่อชิ้นประจุ เราต้องใช้สนามไฟฟ้าที่ "ผิวตัวนำ" พอดีนี่ครับ  :coolsmiley:
ผมแทนนิพจน์สนามไฟฟ้าด้วยRซึ่งเป็นรัศมีพอดีนะครับทำไมถึงเป็นค่าของตัวที่เหนือผิวพอดีหล่ะครับ
อีกอย่างถ้าชิ้นพื้นที่มันมีลิมิตเข้าหา0เราก็ประมาณค่าสนามไฟฟ้าที่ชิ้นพื้นที่ตามที่ผมประมาณได้ไม่ใช่เหรอครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: dy on April 20, 2013, 08:20:51 PM
...
สนามไฟฟ้าที่คุณ Jali หามา คือ สนามไฟฟ้าที่ตำแหน่ง "เหนือผิวตัวนำ" นิดหน่อยนะครับ แต่ในการหาแรงที่ทำต่อชิ้นประจุ เราต้องใช้สนามไฟฟ้าที่ "ผิวตัวนำ" พอดีนี่ครับ  :coolsmiley:
ผมแทนนิพจน์สนามไฟฟ้าด้วยRซึ่งเป็นรัศมีพอดีนะครับทำไมถึงเป็นค่าของตัวที่เหนือผิวพอดีหล่ะครับ
อีกอย่างถ้าชิ้นพื้นที่มันมีลิมิตเข้าหา0เราก็ประมาณค่าสนามไฟฟ้าที่ชิ้นพื้นที่ตามที่ผมประมาณได้ไม่ใช่เหรอครับ

ถ้าคุณ jali จะบอกว่านั่นคือสนามไฟฟ้าที่ผิว นั่นหมายความว่า คุณ jali จะบอกว่าชิ้นประจุนั้นออกแรงกระทำกับตัวเองด้วยหรือครับ

คือ ถึงแม้ว่า ชิ้นประจุนั่นจะเล็ก แต่เราก็ละทิ้งผลจากมันไม่ได้ครับ  ;)


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 21, 2013, 10:41:05 AM
คือผมไม่ได้มองว่ามันออกแรงทำต่อตัวมันเองนะครับ
แต่ว่าถ้าเราพิจารณาจากอินทิกราลที่เราอินทิเกรตหาสนามไฟฟ้าเราจะได้ว่าขอบเขตของเราไม่ใช่จาก0ถึง \pi แต่เป็นจาก \theta ถึง \pi โดยที่ \theta\to 0 (ที่มุมมันเข้าใกล้0ก็เพราะว่าชิ้นที่เราพิจารณามันเล็กมากเราก็ประมาณว่ามันเป็นชิ้นวงกลมเล็กๆ)
และ \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{1}{r^{2}}\frac{ R-r\cos\theta}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta }}=\frac{R-r}{r^{2}\sqrt{(r-R)^{2}}}=-\frac{1}{r^{2}}
แบบนี้ใช้ไม่ได้เหรอครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: dy on April 21, 2013, 01:38:34 PM
คือผมไม่ได้มองว่ามันออกแรงทำต่อตัวมันเองนะครับ
แต่ว่าถ้าเราพิจารณาจากอินทิกราลที่เราอินทิเกรตหาสนามไฟฟ้าเราจะได้ว่าขอบเขตของเราไม่ใช่จาก0ถึง \pi แต่เป็นจาก \theta ถึง \pi โดยที่ \theta\to 0 (ที่มุมมันเข้าใกล้0ก็เพราะว่าชิ้นที่เราพิจารณามันเล็กมากเราก็ประมาณว่ามันเป็นชิ้นวงกลมเล็กๆ)
และ \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{1}{r^{2}}\frac{ R-r\cos\theta}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta }}=\frac{R-r}{r^{2}\sqrt{(r-R)^{2}}}=-\frac{1}{r^{2}}
แบบนี้ใช้ไม่ได้เหรอครับ

ถ้าเราลองพิจารณาถึงหลักการซ้อนทับ เราจะได้ว่า สนามไฟฟ้าที่หาจากการอินทิเกรตทั่วผิวทรงกลม มันเกิดจาก สนามไฟฟ้าจากชิ้นเล็กๆ นั่น รวมกับ สนามไฟฟ้าจากส่วนที่เหลือของทรงกลมครับ

สนามไฟฟ้าที่อินทิเกรตมาได้คือ \dfrac{ \sigma}{\varepsilon_0} สนามไฟฟ้าจากส่วนเล็กๆที่บริเวณผิว หาได้จากกฎของเกาส์เป็น \dfrac{ \sigma}{2 \varepsilon_0}  เราจึงได้ว่า สนามไฟฟ้าจากส่วนที่เหลือของทรงกลมคือ  \dfrac{ \sigma}{2 \varepsilon_0} จะเห็นได้่ว่า ผลของสนามจากชิ้นเล็กๆของทรงกลมนั่น ไม่สามารถละไปได้ครับ  :coolsmiley:


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 21, 2013, 02:00:46 PM
...
... หาได้จากกฎของเกาส์เป็น \dfrac{ \sigma}{2 \varepsilon_0} ...
วิธีหาผลอันนี้มาคล้ายกับที่ใช้ในการหาจากแผ่นอนันต์หรือเปล่าครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: dy on April 21, 2013, 03:26:11 PM
...
... หาได้จากกฎของเกาส์เป็น \dfrac{ \sigma}{2 \varepsilon_0} ...
วิธีหาผลอันนี้มาคล้ายกับที่ใช้ในการหาจากแผ่นอนันต์หรือเปล่าครับ

ใช่แล้วครับ พิจารณาตำแหน่งที่ใกล้ผิวเล็กๆนี้มาก  :coolsmiley:


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 21, 2013, 05:37:12 PM
งั้นคำตอบของผมก็ต้องหาร2ซินะครับ
แต่ผมยังสงสัยหน่ะครับคุณdy ว่าวิธีเก่าของผมมันผิดตรงไหนเหรอครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: dy on April 22, 2013, 12:13:18 AM
งั้นคำตอบของผมก็ต้องหาร2ซินะครับ
แต่ผมยังสงสัยหน่ะครับคุณdy ว่าวิธีเก่าของผมมันผิดตรงไหนเหรอครับ

ผิดตรงค่าสนามไฟฟ้าที่ใช้น่ะครับ มันรวมสนามจากตัวจุดประจุตรงนั้นเข้าไปด้วย ต้องหักออกก่อนแบบที่ผมทำใน reply ที่แล้ว  :smitten:


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 22, 2013, 10:55:23 AM
งั้นคำตอบของผมก็ต้องหาร2ซินะครับ
แต่ผมยังสงสัยหน่ะครับคุณdy ว่าวิธีเก่าของผมมันผิดตรงไหนเหรอครับ
ผิดตรงค่าสนามไฟฟ้าที่ใช้น่ะครับ มันรวมสนามจากตัวจุดประจุตรงนั้นเข้าไปด้วย ต้องหักออกก่อนแบบที่ผมทำใน reply ที่แล้ว  :smitten:
แม้ว่าผมจะใส่ลิมิตเข้าใกล้0แล้วมันก็ยังคงประมาณแบบนั้นไม่ได้เหรอครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on April 24, 2013, 09:08:21 AM
งั้นคำตอบของผมก็ต้องหาร2ซินะครับ
แต่ผมยังสงสัยหน่ะครับคุณdy ว่าวิธีเก่าของผมมันผิดตรงไหนเหรอครับ
ผิดตรงค่าสนามไฟฟ้าที่ใช้น่ะครับ มันรวมสนามจากตัวจุดประจุตรงนั้นเข้าไปด้วย ต้องหักออกก่อนแบบที่ผมทำใน reply ที่แล้ว  :smitten:
ผมรู้แล้วครับคุณdy ว่าผมผิดตรงไหน
คือว่าสนามที่ผมควรที่จะใช้ ค่ามันคือสนามตรงที่ r=R\cos(\theta),\theta->0 ดังนั้นตรงที่ผมใส่ลิมิตควรจะเป็น
 \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{1}{r^{2}}\frac{ R-r\cos\theta}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta }}=\lim_{\theta\to 0}\frac{1}{R^{2}\cos^{2}(\theta)}\frac{R-R\cos^{2}(\theta)}{\sqrt{R^{2}+R^{2}\cos^{2}(\theta)-2R^{2}\cos^{2}(\theta)}}
= \lim_{\theta\to 0}\frac{1}{R^{2}} \cdot \frac{\sin(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=0 ดังนั้นค่าสนามที่ผมใช้จึงเหลือเพียงครึ่งเดียวของค่าที่ผมเคยใช้
คำตอบโดยวิธีนี้จึงถูกต้องครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: dy on April 27, 2013, 07:17:55 PM
งั้นคำตอบของผมก็ต้องหาร2ซินะครับ
แต่ผมยังสงสัยหน่ะครับคุณdy ว่าวิธีเก่าของผมมันผิดตรงไหนเหรอครับ
ผิดตรงค่าสนามไฟฟ้าที่ใช้น่ะครับ มันรวมสนามจากตัวจุดประจุตรงนั้นเข้าไปด้วย ต้องหักออกก่อนแบบที่ผมทำใน reply ที่แล้ว  :smitten:
ผมรู้แล้วครับคุณdy ว่าผมผิดตรงไหน
คือว่าสนามที่ผมควรที่จะใช้ ค่ามันคือสนามตรงที่ r=R\cos(\theta),\theta->0 ดังนั้นตรงที่ผมใส่ลิมิตควรจะเป็น
 \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{1}{r^{2}}\frac{ R-r\cos\theta}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta }}=\lim_{\theta\to 0}\frac{1}{R^{2}\cos^{2}(\theta)}\frac{R-R\cos^{2}(\theta)}{\sqrt{R^{2}+R^{2}\cos^{2}(\theta)-2R^{2}\cos^{2}(\theta)}}
= \lim_{\theta\to 0}\frac{1}{R^{2}} \cdot \frac{\sin(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}=0 ดังนั้นค่าสนามที่ผมใช้จึงเหลือเพียงครึ่งเดียวของค่าที่ผมเคยใช้
คำตอบโดยวิธีนี้จึงถูกต้องครับ

ครับ ขออภัยที่เข้ามาตอบช้าครับ  :smitten:


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: engrit on June 07, 2013, 08:24:23 AM
อยากรู้คำตอบข้อนี้อ่าครับ ใครก็ได้ช่วยเฉลยหน่อยครับ
ปล.ผมได้  \left|\vec{F}\right|=\frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}


  The true result has a  3/16 factor as an addendum to the dimensionally correct self force   \frac{Q^{2}}{4\pi \epsilon_{0}R^{2}}.  It should be   \frac{3Q^{2}}{64\pi \epsilon_{0}R^{2}}
according to an A.S.Ramsey book as I recalled.


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on June 07, 2013, 07:00:09 PM
อยากรู้คำตอบข้อนี้อ่าครับ ใครก็ได้ช่วยเฉลยหน่อยครับ
ปล.ผมได้  \left|\vec{F}\right|=\frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}


  The true result has a  3/16 factor as an addendum to the dimensionally correct self force   \frac{Q^{2}}{4\pi \epsilon_{0}R^{2}}.  It should be   \frac{3Q^{2}}{64\pi \epsilon_{0}R^{2}}
according to an A.S.Ramsey book as I recalled.

ไม่ใช่ว่ามันต้องได้ \displaystyle F=\frac{Q^{2}}{32 \pi \epsilon_{0}R^{2}} เหรอครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: engrit on June 09, 2013, 01:18:54 PM
อยากรู้คำตอบข้อนี้อ่าครับ ใครก็ได้ช่วยเฉลยหน่อยครับ
ปล.ผมได้  \left|\vec{F}\right|=\frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}


  The true result has a  3/16 factor as an addendum to the dimensionally correct self force   \frac{Q^{2}}{4\pi \epsilon_{0}R^{2}}.  It should be   \frac{3Q^{2}}{64\pi \epsilon_{0}R^{2}}
according to an A.S.Ramsey book as I recalled.



ไม่ใช่ว่ามันต้องได้ \displaystyle F=\frac{Q^{2}}{32 \pi \epsilon_{0}R^{2}} เหรอครับ

  Please see for yourself.


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: jali on June 09, 2013, 04:14:42 PM
...
  Please see for yourself.
ของที่พี่engrit บอกมานี่คือ ทรงกลมตันใช่ไหมครับ


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: engrit on June 10, 2013, 09:20:47 AM
...
  Please see for yourself.
ของที่พี่engrit บอกมานี่คือ ทรงกลมตันใช่ไหมครับ

  Oops, sorry!  You're absolutely right.  So, it should be \frac{Q^{2}}{16\pi \epsilon_{0}R^{2}}
for the hollow sphere as I reckon.


Title: Re: แรงระหว่างครึ่งทรงกลมบนและครึ่งทรงกลมล่างของทรงกลมมีประจุ
Post by: CanonX on May 04, 2014, 11:29:07 AM
ผมขอลองทำตามที่อ.ปิยพงษ์แนะนำนะครับ

1. พิจารณาผิวชิ้นเล็กๆพื้นที่ dA
2. สนามไฟฟ้าเหนือผิวนี้พอดีมีค่า \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R^2} = E_{ext} + \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}(dA)
3. สนามไฟฟ้าใต้ผิวนี้พอดีมีค่า 0 = E_{ext} - \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}(dA) (สนามไฟฟ้าภายในโพรงเป็นศูนย์จากกฎของเกาส์)
4. รวมผลจากข้อ 3 และ 4 และใส่ความเป็นเวกเตอร์จะได้ \vec{E}_{ext} = \dfrac{1}{8\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R^2}\hat{r} (\hat{r} ชี้ออกตามแนวรัศมี)
5. แรงที่ทำต่อชิ้นเล็กๆมีค่า d\vec{F} = (\sigma dA)\vec{E}_{ext} = (\dfrac{1}{8\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R^2})(\sigma dA)\hat{r}
6. พิจารณาจากความสมมาตร จะได้ว่าแรงสุทธิต้องทำต่อครึ่งทรงกลมบนในทิศขึ้น อินทิเกรตโดยใช้หลักนี้จะได้ F = (\dfrac{1}{2})(\dfrac{1}{8\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{R^2})(\dfrac{Q}{4\pi R^2})(2\pi R^2) = \dfrac{1}{32\pi\epsilon_0}\dfrac{Q^2}{R^2}

ครับผม  :smitten: