mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ไทย Thai Physics Olympiad => Topic started by: wasawatguy on June 30, 2020, 01:22:26 PM



Title: ข้อสอบปลายค่ายพิเศษ ปี 2562-2563 รอบคัดตัว 5 คน
Post by: wasawatguy on June 30, 2020, 01:22:26 PM
ข้อสอบอ.วุทธิพันธุ์ มี 4 ข้อ ทำ 2 ชั่วโมงครับ
อาจารย์บอกว่าในเฉลยข้อ 2 ลืมคำนึงถึงความเร็วในแนวดิ่งตอนหาเวลาตกทำให้คำตอบคลาดเคลื่อน
อย่างไรก็ตามอ.จะคำนึงถึงความเร็วแนวดิ่งด้วยเวลาตรวจข้อสอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายพิเศษ ปี 2562-2563 รอบคัดตัว 5 คน
Post by: Teamm on June 30, 2020, 01:40:09 PM
ข้อสอบส่วนของอ.วิทยา (1 ชั่วโมง) และอ.มนต์สิทธิ์ (1.5 ชั่วโมง)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายพิเศษ ปี 2562-2563 รอบคัดตัว 5 คน
Post by: Teamm on July 06, 2020, 06:40:44 PM
อ.วิทยาข้อ 1.(ถ้าผิดพลาดขออภัยนะครับ ตาลายมาก555)
เนื่องจากอ.พูดในห้องว่า ใครจะใช้ Lagrangian มาครูก็ welcome นะคะ ดังนั้นเราจะทำแบบใช้ Lagrangian!

พิจารณารูป จะได้ว่า \displaystyle \left| \mathrm{AB}\right|=\sqrt{R^2+R^2-2R^2\cos(120^\circ-\theta_1-\theta_2) }

สำหรับการสั่นด้วยแอมพลิจูดเล็กๆ : \theta_1,\theta_2,\theta_3\ll1

เราประมาณได้ว่า \mathrm{\left|AB  \right| }\approx R\sqrt{3+\sqrt3(\theta_2-\theta_1)}\approx R\sqrt{3}\left\{ 1+\frac{\sqrt3}{6}(\theta_2-\theta_1) \right\}

ดังนั้น สปริงที่เชื่อมอนุภาค 1 กับ 2 ยืดเป็นระยะ \displaystyle \Delta \ell_{12}\approx\frac{1}{2}R(\theta_2-\theta_1)



จากความสมมาตรของปัญหา เราได้ \displaystyle \Delta \ell_{23}\approx\frac{1}{2}R(\theta_3-\theta_2) และ \displaystyle \Delta \ell_{31}\approx\frac{1}{2}R(\theta_1-\theta_3)\right\}

Lagrangian \mathcal L =\frac{1}{2}mR^2({\dot{\theta}_1}^2+{\dot{\theta}_2}^2+{\dot{\theta}_3}^2)-\frac{1}{8}kR^2\left\{ (\theta_2-\theta_1)^2+(\theta_3-\theta_2)^2+(\theta_1-\theta_3)^2\right\}

\displaystyle \frac{\partial \mathcal L}{\partial \theta_1}=\frac{d}{d t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\theta_1}} \ \ \Rightarrow \ \ \ddot{\theta_1}=-\frac{k}{4m}(2\theta_1-\theta_2-\theta_3)

\displaystyle \frac{\partial \mathcal L}{\partial \theta_2}=\frac{d}{d t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\theta_2}} \ \ \Rightarrow \ \ \ddot{\theta_2}=-\frac{k}{4m}(2\theta_2-\theta_3-\theta_1)

\displaystyle \frac{\partial \mathcal L}{\partial \theta_3}=\frac{d}{d t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\theta_3}} \ \ \Rightarrow \ \ \ddot{\theta_3}=-\frac{k}{4m}(2\theta_3-\theta_1-\theta_2)

ให้ \omega เป็น normal frequency จะได้ \ddot{\theta_1}=-\omega^2\theta_1, \ddot{\theta_2}=-\omega^2\theta_2, \ddot{\theta_3}=-\omega^2\theta_3

ดังนั้น
\displaystyle \begin{pmatrix}2 & -1 &-1 \cr-1& 2 &-1 \cr-1&-1  &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\theta_1\cr\theta_2\cr\theta_3 \end{pmatrix} =\frac{4m\omega^2}{k}\begin{pmatrix}\theta_1\cr\theta_2\cr\theta_3 \end{pmatrix}

ให้ \lambda\equiv4m\omega^2/k

ได้  \left| \begin{matrix}2-\lambda&-1&-1 \cr -1&2-\lambda&-1 \cr -1&-1&2-\lambda \end{matrix} \right| =0

(2-\lambda)^3-3(2-\lambda)-2=0\ \Rightarrow \lambda = 0,3,3

ดังนั้น normal frequencies คือ \displaystyle 0, \sqrt{\frac{3k}{4m}}, \sqrt{\frac{3k}{4m}}

ซึ่งจะได้อัตราส่วนแอมพลิจูด \begin{pmatrix}\theta_1  \cr \theta_2 \cr \theta_3 \end{pmatrix}\sim  \begin{pmatrix}1  \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\theta_1  \cr \theta_2 \cr \theta_3 \end{pmatrix}\sim  \begin{pmatrix}1  \cr -1/2 \cr -1/2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\theta_1  \cr \theta_2 \cr \theta_3 \end{pmatrix}\sim  \begin{pmatrix}0  \cr 1 \cr -1 \end{pmatrix}. ตอบ :buck2:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายพิเศษ ปี 2562-2563 รอบคัดตัว 5 คน
Post by: Teamm on July 07, 2020, 01:53:32 PM
เฉลยข้อสองใหม่ แบบไม่ลืม v ในทิศลง