Print Page - บทที่ 6 ข้อ 20-21

Title: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: Ittipat on March 18, 2020, 03:09:04 PM

20. ท่อนมวล $M$ ยาว $\ell$ ถูกหวดด้วยแรงดล $f$ แบบทันทีทันใด (impulsive force) ในแนวตั้งฉากกับท่อน ที่ระยะห่าง $r$ จากจุดศูนย์กลางมวล $(CM)$ จงหาอัตราส่วนของอัตราเร็วเชิงมุมของท่อนต่ออัตราเร็วของศูนย์กลางมวลหลังถูกหวด

คาดว่าในหนังสือพิมพ์ผิด

21. ในข้อที่ 20 นั้น ถ้าเลือกตำแหน่งที่หวด (ค่า $r$ )ให้เหมาะสม จะพบว่าในช่วงเวลาสั้น $\delta t\rightarrow 0$ หลังการหวดนั้นปลาย $B$ จะยังไม่ขยับเขยื้อนจากตำแหน่งเดิม จงหาค่า $r$ นี้

หมายเหตุ ผลนี้บ่งว่า ถ้าเรากำปลาย $B$ แล้วฟาดท่อน $AB$ นี้ลงบนของแข็งให้กระทบตรงตำแหน่ง $r$ นี้ จะไม่รู้สึกแรงปฏิกิริยาที่มือกำเลย

Title: Re: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: Ittipat on September 04, 2020, 06:42:40 AM

20.
จาก $\Sigma F=\dfrac{d}{dt}P$

$f=\dfrac{d}{dt}(Mv_{\text{CM}})$

$rf=\dfrac{d}{dt}(rMv_{\text{CM}})-\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}$

จาก $\Sigma \tau=\dfrac{d}{dt}L$

$rf=\dfrac{d}{dt}(I_{\text{CM}}\omega)-\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}$

$\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}=\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}$

จะได้ $\dfrac{d}{dt}(rMv_{\text{CM}})=\dfrac{d}{dt}(I_{\text{CM}}\omega)$

~~เนื่องจากภายใน derivative ไม่ใช่ค่าคงที่~~

ดังนั้น $rMv_{\text{CM}}=I_{\text{CM}}\omega$

ระลึกว่า $I_{\text{CM}}=\dfrac{1}{12}M\ell^2$

แทนเข้าไปได้ $rMv_{\text{CM}}=(\dfrac{1}{12}M\ell^2)\omega$

$\therefore \dfrac{\omega}{v_{\text{CM}}}=\dfrac{12r}{\ell^2}$

Title: Re: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: Ittipat on September 04, 2020, 06:56:34 AM

21.
จากข้อ 20. จะได้

$f=\dfrac{d}{dt}(Mv_{\text{CM}})$ และ $rf=\dfrac{d}{dt}(I_{\text{CM}}\omega)$

ทำการอินทิเกรตจาก $t=0$ ถึง $t=\delta t$

ได้ $f\delta t=Mv_{\text{CM}}-0$ และ $rf\delta t=I_\text{CM}}\omega-0$

นำสมการมาหารกันจะได้ $r=\dfrac{I_{\text{CM}}\omega}{Mv_{\text{CM}}}$

เงื่อนไขที่ทำให้ไม่รู้สึกแรงปฏิกิริยาที่มือกำเลยคือ ความเร็วสัมพัทธ์ที่จุด $B$ หลังทันทีที่ถูกหวด $=\vec{0}$

ดังนั้นจะได้ $\omega(\dfrac{\ell}{2})=v_{\text{CM}}$

$\omega=\dfrac{2v_{\text{CM}}}{\ell}$

และระลึกว่า $I_{\text{CM}}=\dfrac{1}{12}M\ell^2$ จากนั้นแทนกลับเข้าไปในสมการ

ได้ $r=\dfrac{2(\frac{1}{12}M\ell^2)}{M\ell}$

$\therefore r=\dfrac{1}{6}\ell$

Title: Re: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: metrasitth on November 22, 2020, 11:24:52 PM

Quote from: Ittipat on September 04, 2020, 06:42:40 AM

20.
จาก $\Sigma F=\dfrac{d}{dt}P$

$f=\dfrac{d}{dt}(Mv_{\text{CM}})$

$rf=\dfrac{d}{dt}(rMv_{\text{CM}})-\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}$

จาก $\Sigma \tau=\dfrac{d}{dt}L$

$rf=\dfrac{d}{dt}(I_{\text{CM}}\omega)-\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}$

$\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {1}}}=\raisebox{.5pt}{\textcircled{\raisebox{-.9pt} {2}}}$

จะได้ $\dfrac{d}{dt}(rMv_{\text{CM}})=\dfrac{d}{dt}(I_{\text{CM}}\omega)$

เนื่องจากภายใน derivative ไม่ใช่ค่าคงที่

ดังนั้น $rMv_{\text{CM}}=I_{\text{CM}}\omega$

ระลึกว่า $I_{\text{CM}}=\dfrac{1}{12}M\ell^2$

แทนเข้าไปได้ $rMv_{\text{CM}}=(\dfrac{1}{12}M\ell^2)\omega$

$\therefore \dfrac{\omega}{v_{\text{CM}}}=\dfrac{12r}{\ell^2}$

ที่ดึงตัวแปรออกมาจากderivativeนี่ ถ้าเงื่อนไขตามนั้นก็ดึงได้เลยหรอครับ

Title: Re: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: Ittipat on November 23, 2020, 03:50:21 AM

Quote from: metrasitth on November 22, 2020, 11:24:52 PM

ที่ดึงตัวแปรออกมาจากderivativeนี่ ถ้าเงื่อนไขตามนั้นก็ดึงได้เลยหรอครับ

~~เพราะว่าเราพิจารณาที่ช่วงเวลาเดียวกันครับ~~ (อินทิเกรตสมการจากเวลา $t=0$ ถึง $t=\delta t$ ได้ครับ)

Title: Re: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 23, 2020, 05:32:30 AM

^^ ต้องอินทิเกรตออกมาโดยใส่เงื่อนไขขอบเขตที่เวลาตั้งต้นและตอนสุดท้าย แต่ความเร็วตั้งต้นและความเร็วเชิงมุมตั้งต้นเป็นศูนย์จึงได้ผลตามนั้น ไม่ใช่เหตุผลที่บอกว่าพิจารณาที่ช่วงเวลาเดียวกัน

$\dfrac{d}{dt}(rMv_{\text{CM}})=\dfrac{d}{dt}(I_{\text{CM}}\omega) \Rightarrow \int_{v_{\text{CM}}=0}^{v_{\text{CM}}} d(rMv_{\text{CM}}) = \int_{\omega=0}^{\omega}d(I_{\text{CM}}\omega)$

$\Rightarrow rMv_{\text{CM}} = I_{\text{CM}}\omega$

Title: Re: บทที่ 6 ข้อ 20-21
Post by: Ittipat on November 23, 2020, 08:26:41 AM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 23, 2020, 05:32:30 AM

ขอบคุณครับ >:A

mPEC Forum

บทเรียน => โครงการเฉลยแบบฝึกหัดหนังสือฟิสิกส์สอวน. ฟิสิกส์-กลศาสตร์ => Topic started by: Ittipat on March 18, 2020, 03:09:04 PM