mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ค่ายสอง 2562-63 => Topic started by: Ittipat on March 12, 2020, 08:49:14 PM



Title: แบบฝึกหัดในค่าย
Post by: Ittipat on March 12, 2020, 08:49:14 PM
แบบฝึกหัดกลศาสตร์ครับ


Title: Re: แบบฝึกหัดในค่าย
Post by: Kuma on March 14, 2020, 08:11:50 PM
ขอลองทำข้อแรกดูครับ
ข้อ1

 กำหนดให้ตอนเริ่มต้นหยดน้ำมีรัศมี r_{0} อัตราการเพิ่มรัศมี \beta ความหนาแน่น \rho อยู่สูงจากพื้น h
 ให้ที่เวลา tใดๆหยดน้ำมีรัศมี rในเวลา \delta t เล็กๆน้ำกวาดมวลละอองน้ำมา \delta m ซึ่งแรงที่หยดน้ำทำกับละอองน้ำคือ

F = \dfrac{\delta mv}{\delta t}

\delta m = \rho 4 \pi r^{2}\delta r

F = \rho 4 \pi r^2 v\dfrac{\delta r}{\delta t} = \rho 4 \pi r^2v\beta

จากกฎข้อที่สามของนิวตันแรงที่ทำกับละอองน้ำต้องมีขนาดเท่ากับแรงละอองน้ำทำกับหยดน้ำ
   
จากกฎข้อที่สองของนิวตันเราจะได้สมการการเคลื่อนที่ของหยดน้ำ
   
mg - \rho 4\pi r^2v\beta = m\dot{v}

g - \dfrac{\rho 4\pi r^2v\beta}{m} = \dot{v}
   
จาก m = \rho \dfrac{4}{3} \pi r^3 จะได้ว่า
   
g - \dfrac{3\beta v}{r} = \dot{v}
   
คูณ r^3 ทั้งสมการ
   
gr^3 = \dot{v} r^3 + 3r^2\dot{r} v

gr^3 = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(vr^3\right)

\displaystyle\int gr^3\mathrm{d} t = \displaystyle\int \mathrm{d}\left(vr^3\right)

\dfrac{g}{\beta}\displaystyle\int \left(r_0 + \beta t\right)^3\mathrm{d}\left(r_0 + \beta t\right) = \displaystyle\int \mathrm{d}\left(vr^3\right)

\dfrac{g}{4\beta}\left(r_0 + \beta t\right)^4 = \left(r_0 + \beta t\right)^3v + \displaystyle C
   
จากเงื่อนไขตั้งต้นที่ t = 0, v = 0 แทนลงไปในสมการจะได้
   
\displaystyle C = \dfrac{gr_0^4}{4\beta}

v = \dfrac{g}{4\beta}\left(r_0 + \beta t\right) - \dfrac{gr_0^4}{4\beta\left(r_0 + \beta t\right)^3}
   
จาก v = \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} จะได้
   
\dfrac{g}{4\beta^2}\displaystyle\int_{0}^{T} \left(r_0 + \beta t\right)\mathrm{d}\left(r_0 + \beta t\right) - \dfrac{gr_0^4}{4\beta}\displaystyle\int_{0}^{T} \left(r_0 + \beta t\right)^{-3}\mathrm{d}\left(r_0 + \beta t\right) = \displaystyle\int_{0}^{h}\mathrm{d}x

\dfrac{g}{8\beta^2}\left(r_0 + \beta T\right)^2 - \dfrac{gr_0^2}{8\beta^2} + \dfrac{gr_0^4}{8\beta^2\left(r_0 + \beta T\right)^2} - \dfrac{gr_0^2}{8\beta^2} = h
   
ให้ r_0 + \beta T = R , \dfrac{g}{8\beta^2} = \alpha , h + \dfrac{gr_0^2}{4\beta^2} = \gamma  จัดรูปเล็กน้อยจะได้
   
\alpha R^4 - \gamma R^2 + \alpha r_0^4 = 0

R = \pm \sqrt{\dfrac{\gamma}{2\alpha}\pm \sqrt{\dfrac{\gamma^2}{4\alpha^2}-r_0^4}}
   
เลือกค่าบวก

R = \sqrt{\dfrac{\gamma}{2\alpha} + \sqrt{\dfrac{\gamma^2}{4\alpha^2}-r_0^4}

ช่วยเช็คคำตอบหน่อยครับถ้าผิดหรือว่ามีวิธีที่ง่ายกว่าก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ