Print Page - ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547

Title: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 01, 2005, 08:12:40 PM

ข้อ 10 ครับ
มวล m วิ่งเข้าชนสปริงที่ติดอยู่กับมวล m อีกก้อนอย่างยืดหยุ่น จงหาเวลาตั้งแต่เวลาที่ชนจนถึงเมื่อสปริงหดสั้นสุด

ผมหาระยะหดสั้นสุดได้ $\displaystyle{x_{max} = v \sqrt{\frac{m}{2k}}}$
แต่ไม่รู้จะหาเวลายังไงอะครับ

แล้วผมลองมั่วๆดู ได้เวลา $\displaystyle{t = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{2k}}}$ ไม่รู้ใช่รึเปล่าครับ เพราะผมรู้สึกว่าตอนทำมันจะมั่วๆ

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 01, 2005, 08:18:12 PM

แนะ: การเคลื่อนที่ตั้งแต่เริ่มชนไปจนกระทั่งอยู่ใกล้กันที่สุด (ที่จริงจนกระทั่งเริ่มหลุดออกจากกันด้วย) เป็นส่วนหนึ่งของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ให้นึกภาพว่าวัตถุที่ชนติดกับปลายสปริงส่วนที่ชน

ลองทำดู ;)

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 01, 2005, 08:25:03 PM

ต้องคิดเทียบกับจุด cm รึเปล่าครับ เพราะถ้าคิดเทียบ cm ผมจะได้
$\displaystyle{v_{max} = \frac{v}{2}}$
แล้ว $\displaystyle{v_{max} = \omega A}$
แล้วในกรณีนี้ผมแทน A เป็น $\displaystyle{\frac{x_{max}}{2}}$
แล้วจะหาคาบได้ ส่วนเวลาที่โจทย์ถามก็คือ $\displaystyle{\frac{T}{4}}$

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 02, 2005, 06:20:28 PM

ลองทำแบบตรงไปตรงมาได้ไหม เลือกจุดอ้างอิงในกรอบเฉื่อยขึ้นมาเพื่อบอกตำแหน่งของวัตถุทั้งสอง สมมุติความยาวธรรมชาติของสปริงขึ้นมา พิจารณาที่เวลาใด ๆ เมื่อวัตถุอยู่ที่ตำแหน่ง ... เขียนสมการการเคลื่อนที่ของนิวตันสำหรับวัตถุทั้งสอง แล้วดัดแปลงสมการให้เขียนเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล และเทียบกับอนุภาคหนึ่งที่เลือก จริง ๆ แล้วในแนวระดับไม่มีแรงภายนอกมาทำ มีแต่แรงภายในเท่านั้น นี่เป้นโจทย์รูปมาตรฐาน น่าจะคิดถึงการแก้ปัญหาโดยใช้มวลลดทอน

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 02, 2005, 06:23:42 PM

ใช้มวลลดทอนแล้วได้คำตอบเท่านี้ครับ แต่อยากรู้ว่าวิธีนี้ถูกรึเปล่าครับ หรือว่ามันมั่ว แล้วได้คำตอบตรงพอดี

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 02, 2005, 07:04:06 PM

Quote from: Peace on June 02, 2005, 06:23:42 PM

ถ้าอย่างนั้นก็ทำตรงไปตรงมาตามขั้นตอนที่บอก แล้วโพสต์ให้ดูหน่อย

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 02, 2005, 07:52:46 PM

กรณีดังกล่าว มวลทั้งสองมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น $v_{cm} = \frac{v}{2}$
ผมมองว่ามันเป็นสปริงที่มีค่าคงที่ 2k 2 อันมาต่อกันที่ cm
แล้ว cm ไม่มีความเร่ง ก็จะสามารถมองเป็นดังรูป
แล้วก็จะหา $\omega$ ได้เลย (ตอนนั้นผมไม่ทันคิดตรงนี้เลยทำวนไปวนมา :-\)
คือ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{2k}{m}}$
จะได้ $\displaystyle{t = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{2k}{m}}}$

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 02, 2005, 08:12:05 PM

Quote from: Peace on June 02, 2005, 07:52:46 PM

..
ผมมองว่ามันเป็นสปริงที่มีค่าคงที่ 2k 2 อันมาต่อกันที่ cm

ลองทำแบบไม่มองเป็นสปริงต่อกัน จะได้เอาไปใช้กับกรณีอื่นทั่วไปที่ไม่มีสปริงได้ด้วย ...

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 02, 2005, 08:13:19 PM

ถ้าไม่มีสปริง แล้วจะหาเวลาที่อะไรมันหดสั้นสุดล่ะครับ ???

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 03, 2005, 07:28:46 AM

Quote from: Peace on June 02, 2005, 08:13:19 PM

ถ้าไม่มีสปริง แล้วจะหาเวลาที่อะไรมันหดสั้นสุดล่ะครับ ???

1. ให้ทำแบบไม่มองสปริงต่อกัน ไม่ได้หมายความว่าไม่มีสปริงในปัญหา
2. โจทย์นี้เป็นปัญหาการกระทำระหว่างวัตถุสองก้อนที่มีแรงสปริงเป็นแรงกระทำ มีปัญหาอื่น ๆ ที่เป็นระบบสองก้อนที่แรงเป็นแรงชนิดอื่น เช่น โลกกับดวงจันทร์ ดาวเทียมโคจรรอบดาว (แรงโน้มถ่วง) การกระเจิงของอนุภาคแอลฟาจากนิวเคลียส (การกระเจิงของรัทเทอร์ฟอร์ด แรงไฟฟ้า)

3. เวลาแก้ปัญหา พยายามมองให้เห็นความทั่วไปในปัญหาเฉพาะ ......... ;D

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 03, 2005, 08:50:50 PM

เอ่อ ยังงี้รึเปล่าครับ ผมเริ่มสับสนกับชีวิต
สมมติก้อนซ้ายเป็น A ขวาเป็น B
$\displaystyle{v_{cm} = \frac{v}{2}}$
แล้วหา v ของ A และ B ที่เวลา t ใดๆ
จะได้ $v_A = v - \int \frac{F_{Spring}}{m} dt}$
$\displaystyle{v_B = \int \frac{F_{Spring}}{m} dt}$

ถ้าคิดเทียบ cm จะได้
$\displaystyle{v_{A, cm} = \frac{v}{2} - \int \frac{F_{Spring}}{m} dt}$
$\displaystyle{v_{B, cm} = - \frac{v}{2} + \int \frac{F_{Spring}}{m} dt}$

ดังนั้นอัตราการหดของสปริง $\frac{ds}{dt} = v_{A, cm} - v_{B, cm}}$
$\displaystyle{\frac{ds}{dt} = v - 2 \int \frac{F_{Spring}}{m} dt}$
แล้วดิฟทั้งสองข้างกลายเป็น
$\displaystyle{\frac{d^2 s}{dt^2} = - 2 \frac{F_{Spring}}{m}}$
$\displaystyle{\frac{d^2 s}{dt^2} = - \frac{2k}{m} s}$

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 04, 2005, 11:32:47 AM

ระบบวัตถุสองชิ้น

ให้ A และ B เป็นวัตถุสองก้อนนั้น และให้ $\vec{r}_A, \vec{r}_B$ เป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งของวัตถุทั้งสองเทียบกับจุดกำเนิดของกรอบเฉื่อยกรอบหนึ่ง
ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกกระทำ สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสองคือ
$\vec{F}_{A \mbox{ by } B} = m_{A}\dfrac{d^{2}\vec{r}_A}{dt^{2}}$ และ
$\vec{F}_{B \mbox{ by } A} = m_{B}\dfrac{d^{2}\vec{r}_B}{dt^{2}}$
เอามวลของแต่ละก้อนหารสมการแต่ละสมการตลอด
เอาสมการที่ได้ลบกัน
และใช้ความจริงที่ว่าแรงที่ A ทำ B เป็นลบของแรงที่ B ทำ A
เราจะได้ว่า
$\left\{\dfrac{1}{m_A} + \dfrac{1}{m_B}\right\}\vec{F}_{A \mbox{ by } B} = \dfrac{d^2}{dt^2}(\vec{r}_A - \vec{r}_B)}$
ให้ $\dfrac{1}{\mu} = \left\{\dfrac{1}{m_A} + \dfrac{1}{m_B}\right\}$ เราเรียก $\mu$ ว่ามวลลดทอน และให้ $\vec{r}_{A,B} = \vec{r}_A - \vec{r}_B$ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของ A เทียบ B เราจะได้สมการสุดท้ายเป็น
$\vec{F}_{A \mbox{ by } B} = \mu \dfrac{d^2}{dt^2}\vec{r}_{A,B}}$
นี่เหมือนกับสมการของระบบอนุภาคเดียว

เอาสมการสุดท้ายนี้ไปประยุกต์ใช้กับปัญหาของเราในหนึ่งมิติ ระยะยืดของสปริงจากความยาวธรรมชาติคือ $x = x_{A} - x_{B} - l$ โดยที่ $l$ คือความยาวธรรมชาติของสปริง แรงสปริงที่ทำต่อ A จะเป็น $-kx$ สังเกตว่า $\dfrac{d^2}{dt^2}(x_{A} - x_{B} - l)} = \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}$ ดังนั้น สมการการเคลื่อนที่จะเป็น
$-kx = \mu \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}$
นี่เป็นสมการการเคลื่อนแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

Title: Re: ข้อสอบสสวทรอบ 1 ปี 2547
Post by: Peace on June 04, 2005, 02:52:00 PM

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ :D

mPEC Forum