mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: CanonX on June 21, 2015, 05:22:19 PM



Title: สมดุลของไม้บนพื้นเอียง (Monbusho 2013)
Post by: CanonX on June 21, 2015, 05:22:19 PM
ข้อสอบทุนรัฐบาลญี่ปุ่นปี 2013 ครับ ตามไฟล์แนบเลยครับ อยากรบกวนให้ช่วยตรวจสอบแนวคิดของผมหน่อยครับ  >:A

ผมคิดว่ามันดูกำกวมนิดหน่อยเพราะไม่บอกมาว่าไม้วางทำมุมเท่าไหร่ (เลยไม่น่าคำนวณตรงๆได้) ผมเลยเดาว่าเงื่อนไขที่โจทย์ต้องการคือทำให้ไม้เอียงในทิศแบบในรูปครับ

ผมตอบ

1 (a)

2 (d) เพราะว่าถ้ามุมทั้งสองเท่ากัน ไม้จะสมดุลได้ในลักษณะที่นอบราบลงเท่านั้น

3 (b) ไม้จะเอียงแบบในรูปได้ก็ต่อเมื่อ \alpha > \beta นั้นก็คือ tan \alpha > tan \frac{\pi}{8} คำนวณค่า tan \frac{\pi}{8} ได้ประมาณ 0.414 เลยตอบข้อ (b) ครับ

4 (a) เพราะถ้า \alpha < \beta ไม้จะเอียงสลับด้านครับ

5 (b)

ผมว่าวิธีคิดมันดูตลกๆไปหน่อยน่ะครับ เลยอยากรบกวนให้ช่วยตรวจสอบหน่อยครับผม  >:A

ขอขอบคุณล่วงหน้าครับ  :smitten:


Title: Re: สมดุลของไม้บนพื้นเอียง (Monbusho 2013)
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 22, 2015, 09:28:31 AM
คำตอบข้อ 1 กรณีที่พื้นเอียงทำมุม 90 องศา กัน น่าจะตอบว่าเป็นไปได้เสมอ
ลองคิดกรณีที่พื้นเอียงทำมุม 45 องศา เท่ากัน กรณีนี้สถานการณ์สมมาตร แผ่นไม้วางสมดุลได้
คำตอบที่ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอจึงผิด และคำตอบ (a) ที่ว่าเป็นไปได้เมื่อมุมไม่ทำกัน ก็ต้องผิดด้วย
ตัวเลือกจึงควรเป็นข้อ (b)

ดังนั้นข้อ 2 ในกรณีที่มุมเท่ากันก็ควรตอบข้อ (c) เป็นไปได้เสมอ

ข้อ 3 ถ้ามุมสองมุมบวกกันเป็น 45 องศา คิดถึงกรณีที่มุมหนึ่งเป็น 45 องศา แล้วอีกมุมหนึ่งเป็น 0 แผ่นวัตถุจะสมดุลไม่ได้เพราะด้านที่เอียงขึ้นจะมีแรงดันในแนวระดับ แต่อีกด้านที่อยู่ในแนวนอนจะไม่มีแรงทำใหนแนวระดับ  (ถ้าพื้นเอียงหนึ่งเกือบอยู่ในแนวราบ แรงปฏิกิริยาตั้งฉากมันเกือบอยู่ในแนวดิ่ง ส่วนประกอบในแนวนอนของมันเกือบไม่มี จะไม่พอไปหักล้างกับส่วนประกอบแนวนอนของแรงปฎิกิริยาจากอีกฝั่งหนึ่ง)

ดังนั้นมุมของพื้นเอียงต้องไม่โตเกินไปและไม่น้อยเกินไป คำตอบจึงต้องอยู่ในช่วงแบบข้อ (e)

แนวคิดข้อ 3 ทำให้เดาว่าข้อ 5 ที่มุมหนึ่งมีขนาดน้อยมาก มันคงสมดุลไม่ได้  คำตอบข้อ 5 คือ (a)

ข้อ 4 คงต้องลงมือทำอย่างละเอียดขึ้น แต่ถ้าอยู่ในห้องสอบคงเดาว่าเป็นไปได้ที่จะสมดุลเพราะมุมเอียงทำกับแนวระดับมากทั้งคู่ และไม่ได้โตเกินไปจนเข้าหาแนวดิ่ง
คำตอบข้อ 4 คือ (b)


การวิเคราะห์ให้ละเอียดจะได้ว่า ถ้า \theta เป็นมุมที่แผ่นวัตถุทำกับแนวนอน (เอียงตามรูปที่กำหนดมา)  เงื่อนไขความสมดุลคือ

วาดรูปสามเหลี่ยมของแรง แล้วใช้กฎของไซน์ จะให้

\dfrac{F_{\alpha}}{\sin\beta} = \dfrac{F_{\beta}}{\sin\alpha} = \dfrac{W}{\sin(\alpha + \beta)}

ใช้จุดศูนย์กลางมวลของไม้เป็นจุดหมุน จะให้

F_{\alpha}\cos(\alpha - \theta) = F_{\beta}\cos(\theta + \beta)

เมื่อแก้สมการข้างบนนี้พร้อมกัน จะให้

\tan(\theta) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\sin(\alpha - \beta)}{\sin\alpha \sin\beta}

แต่มุมที่แผ่นวัตถุทำกับแนวระดับต้องมีเงื่อนไขว่าปลายแผ่นต้องไม่ฝังตัวลงไปในพื้นเอียงและปลายไม่ลอยพ้นพื้นเอียง

นั่นคือมุมต้องอยู่ในช่วง  -\beta < \theta < \alpha

ถ้าใช้มุม \phi ที่แผ่นวัตถุทำกับพื้นเอียงด้านซ้ายแทนมุม \theta เงื่อนไขความสมดุลที่เป็นไปได้คือต้องแก้สมการหาค่ามุม \phi ได้
และมุม \phi ต้องมีค่าอยู่ในช่วง 0 < \phi < (\alpha + \beta)

สมการความสมดุลในกรณีนี้จะเป็น  \tan \phi = \dfrac{\sin \beta -\sin \alpha \cos (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin (\alpha + \beta)}


ใช้ความรู้แก้ปัญหาข้างบนได้ทุกข้อ  ;D


Title: Re: สมดุลของไม้บนพื้นเอียง (Monbusho 2013)
Post by: CanonX on June 22, 2015, 12:43:12 PM
ขอบคุณอาจารย์มากครับผม  >:A  :smitten:

ในห้องสอบท่าทางจะต้องใจเย็นมากครับ ความร้อนรนทำให้การวิเคราะห์แบบละเอียดตกไปจริงๆครับ  :buck2: