mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ค่ายสอง 2557-58 ระดับไม่เกิน ม.5 => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 19, 2015, 12:32:47 PM



Title: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 19, 2015, 12:32:47 PM
ข้อสอบระดับไม่เกิน ม.5 จาก Warin Patrick McBlain ครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: WPMcB1997 on March 19, 2015, 04:53:52 PM
ขอเริ่มจากเรื่องคลื่อนแสงเสียง ข้อ 4 ของป๋านะครับ

เราจะเริ่มจากการหาอัตราเร็วหลุดพ้นของวัตถุจากผิวดาวเคราะห์มวล M รัศมี R

ใช้กฎอนุรักษ์พลังงานวิเคราะห์ ได้ว่า v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

นิยามของ Schwarzschild Radius คือ รัศมีของดาวที่จะทำให้ดาวนั้นเป็นหลุมดำ นั่นคือ "แม้แต่แสง" ก็ไม่สามารถเล็ดลอดออกมาได้

ดังนั้น แทนอัตราเร็วหลุดพ้นของเราเป็น c แล้วจัดรูปหา R จะได้ว่า R = \frac{2GM}{c^{2}}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: WPMcB1997 on March 19, 2015, 04:57:35 PM
ข้อสอบคลื่น เสียง แสง ข้อ 1.1 นะครับ

ข้อนี้ขอใช้ Complex คิดครับ

เราต้องรู้ว่า กำลังที่สูญเสียไปในตัวต้านทาน R คือ P = i_{rms}^{2}R
และนอกจากนี้ I = I_{R} + I_{L} และ V_{R} = V_{L}
ซึ่งจากเงื่อนไขสองตัวข้างบน จะได้ว่า I_{R} = \dfrac{j \omega L}{R +j \omega L} I = \dfrac{\omega L}{\sqrt{R^{2} + (\omega L)^{2}}}Ie^{j(\frac{\pi}{2} - tan^{-1}(\frac{\omega L}{R}))}

หา I รวม จากกฎของ Ohm (แบบ Complex) V = IZ

V = V_{0}e^{j \omega t} และ Z = r + \dfrac{jR \omega L}{R + j \omega L} = \dfrac{Rr + j \omega L(R+r)}{R + j \omega L}

จะได้ I = \dfrac{V_{0}\sqrt{R^{2}+ (\omega L)^{2}}}{\sqrt{[\omega L(R+r)]^{2} + (Rr)^2}}e^{j(\omega t + \phi)} โดยที่ \phi = \tan^{-1}(\dfrac{\omega L}{R}) - \tan^{-1}(\dfrac{Rr}{\omega L (R+r)})

แทนเข้าเงื่อนไขข้างบน ได้ว่า I_{R} = \dfrac{V_{0} \omega L}{\sqrt{(Rr)^{2} + [\omega L(R+r)]^{2}}}e^{j(\omega t}+ A) ให้ A เป็นมุมเฟสที่ได้ (เริ่มขี้เกียจพิมพ์ จะไม่พิมพ์เพราะเราใช้เพียง Amplitude)

i_{rms}=\dfrac{|I|}{\sqrt{2}}

ดังนั้น P = (i_{rms})^{2}R = \dfrac{1}{2}\dfrac{V_{0}^{2} \omega^{2} L^{2} R}{{(Rr)^{2} + [\omega L(R+r)]^{2}}}

ข้อนี้รบกวนเช็คด้วยนะครับ พิมพ์ LaTeX มึนจริงๆ 55555


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: WPMcB1997 on March 19, 2015, 05:59:04 PM
ข้อ คลื่น เสียง แสง 1.2 ครับ

เราต้องรู้ว่า \delta y \approx (\frac{d}{dx}y) \delta x < มาจากนิยามของการ Differentiate

จาก Snell's Law
\mu sin \theta = (\mu + \delta \mu) sin( \theta + \delta \theta)
\mu [sin\theta - sin(\theta + \delta \theta)] = \delta \mu sin(\theta + \delta \theta)

แล้วใช้การประมาณข้างบน  (เพราะ \delta \theta , \delta \mu มีค่าน้อยมากๆ)
ได้ว่า - \mu (z) cos \theta \delta \theta = (\frac{d}{dz} \mu) \delta z sin(\theta + \delta \theta)

ย้ายข้าง แล้วลิมิตให้ \delta \theta เข้าใกล้ 0 จะได้ว่า
\frac{d}{dz} \theta = - \frac{tan \theta}{\mu (z)}\frac{d}{dz} \mu


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: WPMcB1997 on March 19, 2015, 07:03:52 PM
ข้อ 1.4 ครับ

เราแบ่งชิ้นส่วนของลวดวงกลมออกเป็นลวดเส้นตรงเล็กๆ และเราคิดผลของแรงจากชิ้นส่วนทีละคู่ๆ รวมกัน (คล้ายๆ แรงระหว่างลวดขนานแบบม.ปลาย) ได้ F = \dfrac{\mu_{0}i^{2}(2 \pi R)}{2 \pi D} = \dfrac{\mu_{0} i^{2} R}{D} มีทิศดูดกัน


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Pun on March 19, 2015, 09:24:44 PM
ข้อ1 เทอร์โม
จากหมายเหตุที่1ได้  P= \frac{nRT}{V-nb} - \frac{a n^{2} }{ V^{2} }
จะได้  \big( \frac{\partial P}{\partial T} \big) _{V} =  \frac{nR}{V-nb}

แทนค่าในหมายเหตุ2ได้  \big( \frac{\partial U}{\partial V} \big) _{T} =  \frac{a n^{2} }{ V^{2} }
จาก  dU = \big( \frac{\partial U}{\partial V} \big) _{T}dV + \big( \frac{\partial U}{\partial T} \big) _{V}dT
เมื่อ  ( \frac{\partial U}{\partial T} )_{V} คือความจุความร้อนเมื่อปริมาตรคงที่  n c_{V}
แทนค่าจะได้  dU = n c_{V}dT +  \frac{a n^{2} }{ V^{2} } dV
 จากโจทย์  C O_{2} ฟุ้งกระจายแบบAdiabatic dQ=0 แก๊สไม่ทำงาน
 จากกฎข้อที่1ของเทอร์โม จะได้dU=0
แก้สมการได้  T_{2} - T_{1}  =  -\frac{an}{ c_{V} } ( \frac{1}{ V_{2} } - \frac{1}{ V_{1} } )
คาร์บอนไดออกไซด์  c_{V} = 3R
หาnจากแก๊สอุดมคติเพราะแวนเดอวาลล์จะยุ่งยาก  n =  \frac{PV}{RT}
  T_{2}  -T_{1} = - \frac{aP}{6 R^{2}T }
 แทนค่าแล้วได้อุณหภูมิลดลง 0.6K


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Pun on March 19, 2015, 11:31:32 PM
ข้อ2 เทอร์โมครับ :)
ข้อนี้ใช้หลักการแบบเดียวกับ Clausius-Clapeyron
เครื่องจักรนี้ทำงานด้วยแหล่งความร้อน2แหล่งและมีกระบวนการแบบCarnot engine
ประสิทธิภาพของCarnot engine เท่ากับ  1- \frac{ T_{l} }{ T_{h} }
ส่วนเครื่องยนต์นี้มีประสิทธิภาพเท่ากับ  \frac{( V_{3} - V_{1}) \Delta P }{ Q_{h} }
จากกฎข้อที่2ของเทอร์โม Carnot engine ต้องมีประสิทธิภาพเท่ากันไม่ว่าสารทำงานจะเป็นอะไร
ให้  T_{h} =373 K  T_{l} = 373- \Delta T K โดยที่ \Delta T = 1 K
แก้สมการจะได้  \Delta P = \frac{ Q_{h} \Delta T }{373( V_{3} - V_{1}) }
แทนค่าได้  \Delta P = 3670 Pa = 0.036 atm
ดังนั้นต้องใช้ความดัน 0.964 atm น้ำจึงเดือดที่ 99 องศาเซลเซียส


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Pun on March 20, 2015, 12:13:00 AM
ข้อ 3 พาร์ทแรก
จากหลักของStefan-Boltzmann  P =  \sigma A T^{4} = 4 \pi  R^{2}  \sigma  T^{4}
หลักอัตราการสูญเสียพลังงานความร้อน  \frac{dQ}{dt} = -ms \frac{dT}{dt} = - \frac{4}{3}  \pi  R^{3}  \rho s \frac{dT}{dt}
จับทั้งสองอันเท่ากันได้  \frac{dT}{dt} = - \frac{3 \sigma }{ \rho Rs}  T^{4}
 \int_ {T_{0}} ^T  \frac{1}{ T^{4} }  dT = - \frac{3 \sigma }{ \rho Rs}  \int_0^t dt
แล้วแก้สมการได้  T(t) = \dfrac{ T_{0} }{ \left[1+ \dfrac{9 \sigma  T_{0}^{3}   }{ \rho Rs} t \right]^{ \frac{1}{3} } }


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Pun on March 20, 2015, 12:53:08 PM
ข้อ 1.5 พาร์ทแรก
 P =  \frac{nRT}{V-nb} -  \frac{a n^{2} }{ V^{2} }
ISOTHERMAL อุณหภูมิคงที่  \frac{dP}{dV} = - \frac{nRT}{ (V-nb)^{2} } +  \frac{2a n^{2} }{ V^{3} }
จากนิยาม Bulk modulus  B = -V \frac{dP}{dV}
จะได้  B =  \frac{nRTV}{ (V-nb)^{2} } -  \frac{2a n^{2} }{ V^{2} }
คิดแล้วคำตอบดูยาวๆ :idiot2:
 B =  \frac{PV -  \frac{a n^{2} }{V} + 2ab  \frac{ n^{3} }{ V^{2} }  }{V-nb}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Pun on March 20, 2015, 01:50:33 PM
ข้อ2พาร์ทแรก
จากสมการนึง  \delta  E_{p} = C sin( \frac{2 \pi y }{ \lambda D}  \zeta - \alpha )  \delta  \zeta
ครึ่งซีกบน  E_{1} =  \int_0^{+ \frac{a}{2} }  C sin( \frac{2 \pi y }{ \lambda D}  \zeta - \alpha )  d \zeta
จะได้  E_{1} =  - \frac{ \lambda DC}{2 \pi y} [ cos( \frac{ \pi ya }{ \lambda D} - \alpha ) - cos( \alpha ) ]
 
ต่อมาครึ่งซีกล่าง  E_{2} =  \int_{- \frac{a}{2} }^0  C sin( \frac{2 \pi y }{ \lambda D}  \zeta - \alpha +  \phi  )  d \zeta
เมื่อ   \phi =  \frac{2 \pi }{ \lambda }  \mu t เป็นเฟสที่เปลียนไปเนื่องจากมีแผ่นมากั้น
จะได้  E_{2} =  - \frac{ \lambda DC}{2 \pi y} [ cos(  \phi - \alpha ) - cos( \frac{ \pi ya }{ \lambda D} + \alpha - \phi ) ]

ดังนั้น   E_{total} = E_{1} + E_{2}
จัดรูปได้  E_{tot} =  \frac{2 \lambda DC}{ \pi y} sin( \frac{ \phi }{2} -  \alpha  ) sin( \frac{ \pi ya}{2 \lambda D} ) cos(\frac{ \pi ya}{2 \lambda D} -\frac{ \phi }{2})

ความเข้มของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าแปรผันกับ  E^{2}

ดังนั้น  I(y) = \text{Const.} \left[ \dfrac{ \sin( \dfrac{ \pi ya}{2 \lambda D} )}{\dfrac{ \pi ya}{2 \lambda D}} \cos(\dfrac{ \pi ya}{2 \lambda D} -\dfrac{ \pi  \mu t}{ \lambda }) \right]^{2}

แถบสว่างกลางเลื่อนขึ้นเป็นระยะ  \frac{2D \mu t}{a}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Pun on March 21, 2015, 11:33:31 AM
ข้อ2พาร์ทสุดท้าย
ในกรอบอ้างอิงแป้นที่หมุนจะมีแรงโน้มถ่วงและแรงหนีศูนย์กลางที่กระทำต่อวัตถุ
ทอร์กรวมที่กระทำต่อวัตถุในกรอบอ้างอิงแป้นหมุนคือ
 \Sigma  \tau = -mglsin \theta +(m \Omega ^{2} lsin \theta )lcos \theta
 ml^{2} \ddot{ \theta }    = -mglsin \theta +(m \Omega ^{2} lsin \theta )lcos \theta
ดังนั้นสมการบรรยายการเคลื่อนที่คือ  \ddot{ \theta }    = - \frac{(g-l \Omega^{2} cos \theta ) }{l} sin \theta
เมื่อมุมน้อยๆ
 \ddot{ \theta }   \approx    - \frac{(g-l \Omega^{2} ) }{l} \theta เป็นสมการsimple harmonic
ดังนั้นคาบเท่ากับ  T = 2 \pi  \sqrt{ \frac{l}{g- \Omega^{2} l } }


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Ittipat on April 06, 2020, 10:01:01 AM
ข้อสอบจัดพิมพ์ใหม่สำหรับผู้สนใจ  :2funny:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Kuma on June 13, 2020, 08:20:20 AM
ข้อ1(พาร์ทหลัง)

ข้อย่อยแรก

พิจารณาแรงที่กระทำกับเหรียญ

f\cos\theta - mg + N\sin\theta = 0

N\cos\theta - f\sin\theta = m\Omega^{2}h\tan\theta

แก้สมการจะได้ว่า

f = mg\cos\theta - m\Omega^{2}h\tan\theta\sin\theta

\tau_{cm} = \left\mid \frac{d\vec{L}_{cm}}{dt} \right\mid = \mid \vec{\Omega}\times\vec{L}_{cm} \mid

rf = \Omega L_{cm}\sin\theta

L_{cm} = \frac{1}{2}mr^{2}\omega

mgr\cos\theta - mr\Omega^{2}h\tan\theta\sin\theta = \frac{1}{2}mr^{2}\Omega\sin\theta\omega

จากเงื่อนไขการกลิ้งโดยไม่ไถล

h\tan\theta\Omega = r\omega

จะได้ว่า

\vec{\Omega} = \dfrac{1}{\tan\theta}\sqrt{\dfrac{2g}{3h}}\hat{k}

\mid \vec{\omega} \mid = \sqrt{\dfrac{2gh}{3r^{2}}}

ข้อย่อยที่สอง

กำหนดให้ \hat{r} มีทิศออกจากแกนกลางของกรวย

\vec{L}_{tot} = \vec{L}_{cm} + \vec{L}_{\Omega}

\vec{L}_{cm} = I_{cm}\omega\left(-\sin\theta\hat{r} - \cos\theta\hat{k} \right)

\vec{L}_{\Omega} = I_{\parallel}\sin\theta\Omega\left(-\cos\theta\hat{r} + \sin\theta\hat{k}\right) + I_{\perp}\cos\theta\Omega\left(\sin\theta\hat{r} +\cos\theta\hat{k} \right)

I_{\perp} = \frac{1}{2}mr^{2} และจากทฤษฎีบทแกนฉาก I_{\parallel} = \frac{1}{4}mr^{2}

ต่อจากนี้ก็นำข้อมูลทั้งหมดแทนลงในสมการโมเมนตัมเชิงมุมข้างต้นก็จะได้คำตอบของข้อนี้ (ข้อนี้ทำคล้ายๆกับข้อสอบ ม.4 ปีเดียวกันข้อนึง)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Jirat_auto on June 18, 2020, 08:41:37 PM
L_{cm} = \frac{1}{2}mr^{2}\omega

\displaystyle L_{cm} ไม่ต้องคิดจากการที่เหรียญหมุนรอบแกนกรวยด้วยหรือครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Kuma on June 20, 2020, 09:10:29 PM
L_{cm} = \frac{1}{2}mr^{2}\omega

\displaystyle L_{cm} ไม่ต้องคิดจากการที่เหรียญหมุนรอบแกนกรวยด้วยหรือครับ

มาจากการประมาณ r &lt;&lt; h\tan\theta ทำให้ถือว่าความเร็วในการหมุนรอบตัวเองมากกว่าความเร็วในการหมุนรอบแกนกรวยมากๆครับ ถ้าสมมติโจทย์ไม่ได้บอกให้ประมาณก็ต้องคิดส่วนนั้นด้วยครับ  :smitten: :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายสอง ม.5 ปีการศึกษา 2557-58
Post by: Jirat_auto on June 23, 2020, 10:54:03 PM

มาจากการประมาณ r &lt;&lt; h\tan\theta ทำให้ถือว่าความเร็วในการหมุนรอบตัวเองมากกว่าความเร็วในการหมุนรอบแกนกรวยมากๆครับ ถ้าสมมติโจทย์ไม่ได้บอกให้ประมาณก็ต้องคิดส่วนนั้นด้วยครับ  :smitten: :smitten:

ขอบคุณมากๆครับ  :smitten: