mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ไทย Thai Physics Olympiad => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 13, 2013, 06:04:29 PM



Title: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 13, 2013, 06:04:29 PM
ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: krirkfah on November 13, 2013, 10:46:01 PM
ลองทำข้อ 1 ครับ

พิจารณาพื้นที่ผิวเล็กๆ   \delta A=2\pi y\delta s=2\pi y\displaystyle \sqrt{1+(\frac{dy}{d x})^2}\delta x  เมื่อแทน y=(\tan 45^\circ)x ลงไป จะได้ \delta A=2\sqrt{2}\pi x\delta x

(ทำตามคำแนะนำของพี่ dy Reply #7) หาศักย์ไฟฟ้าโดยจุดอ้างอิงที่อยู่ infinity จะได้

\delta V=\displaystyle \frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\delta q}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\sigma \delta A}{r}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{\sigma 2\sqrt{2}\pi x\delta x}{r}=\frac{1}{2\pi \varepsilon _0}\frac{\sqrt{2}\sigma\pi x\delta x}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}

V_{(x=D)}=\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{1}{2\pi \varepsilon _0}\frac{\sqrt{2}\sigma\pi x}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx

\displaystyle=\frac{1}{8\pi \varepsilon _0}\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D+D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx

\displaystyle=\frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx]

=\displaystyle \frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{2x^2-2Dx+\frac{D^2}{2}+\frac{D^2}{2}}}dx]

=\displaystyle \frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{(\sqrt{2}x-\frac{D}{\sqrt{2}})^2+\frac{D^2}{2}}}dx]

=\displaystyle \frac{1}{8\pi \varepsilon _0}[\displaystyle \int_{0}^{\ell}\frac{2(2x-D)}{\sqrt{2x^2-2Dx+D^2}}dx+\int_{0}^{\ell}\frac{2D}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{2}x-\frac{D}{\sqrt{2}})^2+\frac{D^2}{2}}}d(\sqrt{2}x-\frac{D}{\sqrt{2}})]

เมื่ออินทิเกรตเสร็จ ก็ไปหา gradient ต่อก็จะได้คำตอบครับ(ไว้จะมาทำต่อให้เสร็จครับ)


อีกวิธีคือหาสนามไฟฟ้าแบบตรงไปตรงมาเลย

E_x=\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sigma }{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\ell} \frac{x(D-x)}{[x^2+(D-x)^2]^\frac{3}{2}}dx  


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 14, 2013, 01:32:33 PM
ข้อ 1 ครับ ผมได้

E_x=\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sigma }{2\varepsilon _0}\int_{0}^{\ell} \frac{x(D-x)}{[x^2+(D-x)^2]^\frac{3}{2}}dx  
คุณ krirkfah ช่วยแสดงวิธีทำ+อินทิเกรตออกมาด้วยสิครับ ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 17, 2013, 05:56:57 PM
อ่าคือผมอยากถามว่ากลศาสตร์ข้อสองนี่ ถ้าผมประมาณว่าหลังจากชนกับโฟตอนแล้วทั้งนิวตรอนและไพออนแทบจะไม่เคลื่อนที่ แล้วแกมมาประมาณ1เลย ได้ไหมครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 17, 2013, 07:21:38 PM
อ่าคือผมอยากถามว่ากลศาสตร์ข้อสองนี่ ถ้าผมประมาณว่าหลังจากชนกับโฟตอนแล้วทั้งนิวตรอนและไพออนแทบจะไม่เคลื่อนที่ แล้วแกมมาประมาณ1เลย ได้ไหมครับ

การหาค่าต่ำสุดควรจะหาในกรอบจุดศูนย์กลางโมเมนตัมที่โมเมนตัมทั้งหมดของระบบเป็นศูนย์ แล้วค่อยแปลงกลับเป็นค่าในกรอบห้องปฏิบัติการ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 17, 2013, 08:04:47 PM
อ่าคือผมอยากถามว่ากลศาสตร์ข้อสองนี่ ถ้าผมประมาณว่าหลังจากชนกับโฟตอนแล้วทั้งนิวตรอนและไพออนแทบจะไม่เคลื่อนที่ แล้วแกมมาประมาณ1เลย ได้ไหมครับ

การหาค่าต่ำสุดควรจะหาในกรอบจุดศูนย์กลางโมเมนตัมที่โมเมนตัมทั้งหมดของระบบเป็นศูนย์ แล้วค่อยแปลงกลับเป็นค่าในกรอบห้องปฏิบัติการ
ก็คือมองว่าในกรอบศูนย์กลางโมเมนตัมอนุภาคหลังชนหยุดนิ่งหมดจึงจะได้พลังงานต่ำสุดใช่ไหมครับ
ข้อนี้ในห้องสอบผมเผลอไปคิดแบบอนุรักษ์พลังงาน แล้วประมาณแกมมาเป็น1เลยครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 17, 2013, 09:37:57 PM
...
ก็คือมองว่าในกรอบศูนย์กลางโมเมนตัมอนุภาคหลังชนหยุดนิ่งหมดจึงจะได้พลังงานต่ำสุดใช่ไหมครับ
...

ใช่แล้ว  ว่าง ๆ ช่วยทำเฉลยตั้งแต่ข้อแรกให้หน่อยสิ  ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: dy on November 17, 2013, 11:07:59 PM
ข้อแรก หากลองทำจากการหาศักย์ไฟฟ้าจากกรวยก่อน แล้วค่อยไปหาสนามไฟฟ้า คิดว่าน่าจะอินทิเกรตง่ายกว่าครับ  :coolsmiley:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 22, 2013, 07:52:25 PM
...
ใช่แล้ว  ว่าง ๆ ช่วยทำเฉลยตั้งแต่ข้อแรกให้หน่อยสิ  ;D
จัดไปครับ  ;D
ข้อแรกครับ เราอาจจะใช้วิธีของคุณdyก็ได้แต่นั่นจะทำให้เราไม่ได้ใช้"useful integral" ที่ป๋าให้มา  ;D
อินทิกรัลตัวที่ผมได้คือตัวเดียวกันกับของคุณkrirkfahและที่มาของมันคือ ตอนที่เราคิดพื้นที่ผิวข้างกรวยเราต้องใช้สูงเอียง(ลองไปดูสูตรได้)และเราได้
\delta E_{x}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\dfrac{\sigma 2\pi x(D-x) \sqrt{2}\delta x}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{\frac{3}{2}}}
\displaystyle E_{x}=\frac{\sigma}{\sqrt{2} \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{\frac{3}{2}}}dx
\displaystyle =\frac{\sigma}{\sqrt{2} \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{(2x^{2}-2Dx+D^{2})^{\frac{3}{2}}}dx
\displaystyle=\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{(x^{2}-Dx+\frac{D^{2}}{2})^{\frac{3}{2}}}dx
\displaystyle=\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{x(D-x)}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx
\displaystyle=-\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{(x-\frac{D}{2}+\frac{D}{2})(x-\frac{D}{2}-\frac{D}{2})}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx
\displaystyle=-\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} \int_{x=0}^{l}\frac{(x-\frac{D}{2})^{2}-\frac{D^{2}}{4}}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx
\displaystyle=-\frac{\sigma}{4 \epsilon_{0}} [\int_{x=0}^{l}\frac{1}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{1}{2}}}dx- \int_{x=0}^{l}\frac{D^{2}}{2}\frac{1}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{3}{2}}}dx]
จากที่ป๋าให้มาจะได้
\displaystyle E_{x}=-\dfrac{\sigma}{4 \epsilon_{0}}[\ln(\frac{x-\frac{D}{2}}{D/2}+\sqrt{(\frac{x-\frac{D}{2}}{D/2})^{2}+1})-\frac{D^{2}}{2}\frac{(x-D/2)/(D^{2}/4)}{((x-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{1}{2}}}] และเมื่อแทนขอบเขตจะได้
\displaystyle E_{x}=-\dfrac{\sigma}{4 \epsilon_{0}}[\ln(\frac{\frac{l-\frac{D}{2}}{D/2}+\sqrt{(\frac{l-\frac{D}{2}}{D/2})^{2}+1}}{\sqrt{2}-1})-2(\frac{(l-D/2)}{((l-\frac{D}{2})^{2}+\frac{D^{2}}{4})^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2}})]


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 22, 2013, 08:07:18 PM
ข้อสองครับ
2.1กระแสที่ไหลเราอาจมองได้ว่าเป็นประจุต่อหน่วยเวลานั่นคือ
\displaystyle \delta I= \frac{\delta q}{\delta t}=\frac{\sigma 2\pi x \sqrt{2} \delta x}{2\pi/\omega}
\displaystyle \delta I=\sqrt{2}\omega \sigma x\delta x
2.2
จากกฏของบิโอต์-ซาวาต์และผลจากลวดวงกลมจะได้
\displaystyle \delta B_{x}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\delta I 2\pi x^{2}}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{3/2}}
2.3
อินทิเกรตก้อนด้านบนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์สุดท้าย
\displaystyle B_{x}=\int\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\delta I 2\pi x^{2}}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{3/2}}
\displaystyle B_{x}=\int\frac{\mu_{0} \omega \sigma}{\sqrt{2}}\frac{ x^{3} dx}{(x^{2}+(D-x)^{2})^{3/2}} ต่อไปนี้คือการอินทิเกรตก้อนนี้ครับ
\displaystyle \int \frac{x^{3}}{\left ( x^{2}+(D-x)^{2} \right )^{3/2}}dx=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{x^{3}}{\left ( (x-D/2)^{2}+D^{2}/4 \right )^{3/2}}dx
ให้ \displaystyle x=\frac{D}{2}(1+\tan \theta)
\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{x^{3}}{\left ( (x-D/2)^{2}+D^{2}/4 \right )^{3/2}}dx =\frac{1}{2\sqrt{2}} \int \frac{D^{3}/8(1+\tan \theta)^{3}}{D^{3}/8 \sec^{3}\theta}D/2 \sec^{2}\theta d\theta
\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \int \frac{(1+\tan \theta)^{3}}{\sec \theta} d\theta
\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \int \frac{1+3\tan \theta +3\tan^{2} \theta +\tan^{3} \theta}{\sec \theta} d\theta
\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \left[ -2\int\cos \theta d\theta+3\int\sin \theta d\theta+3 \int\sec\theta d\theta+ \int \sin\theta \tan^{2}\theta d\theta \right]
\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \left[-2\sin\theta-3\cos\theta+\ln(\sec\theta+\tan\theta)-(-\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta)  \right]
\displaystyle =\frac{D}{4\sqrt{2}} \left[-2\sin\theta-2\cos\theta+\ln(\sec\theta+\tan\theta)+\frac{1}{\cos\theta} \right]
หลังจากนั้นก็ใส่ขอบเขตลงไปก็จะได้คำตอบครับ
2.4
ต่อให้เราไม่ได้อินทิเกรตออกมาแต่เราก็ยังพอเดาได้ว่าอินทิกรัลมันจะมีหน้าตาเป็นอย่างไร และด้วยการวิเคราะห์มิติ นี่แนะว่าความสัมพันธ์ระหว่าง E  กับ B คือ
\displaystyle \frac{E}{B}=\frac{C}{\mu_{0} \epsilon_{0} \omega D} โดยที่Cคือค่าคงตัวที่ได้จากการแทนค่าของอินทิกรัล


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 22, 2013, 08:29:18 PM
ข้อสามครับ
เนื่องจากโจทย์ไม่ได้บอกอะไรเราเลยเกี่ยวกับทิศของสนามแม่เหล็กดังนั้น ผมจึงสมมุติว่ามันน่าจะมีทิศตั้งฉากกับวงลวดของเรา
3.1ฟลักซ์แม่เหล็กที่สอดอยู่ในวงCDNMCนั้นคือ \displaystyle \Phi_{B}=\iint \vec{B} \cdot d\vec{A}=BD(x-x_{0})
3.2induced e.m.f.=\displaystyle -\frac{d}{dt}\Phi_{B}=-BD\frac{dx}{dt}
3.3 เราเห็นได้โดยง่ายเลยว่าพจน์แรกสุดกับหลังสุดเป็น0แน่นอน ดังนั้น
\displaystyle \frac{d}{dt}\iint\vec{B} \cdot d\vec{A}=-BD\frac{dx}{dt}
3.4 induced current =\displaystyle \varepsilon /R=-\frac{BD}{R}\frac{dx}{dt}
3.5 แรงต้านมีขนาดเท่ากับ \displaystyle F=ILB
\displaystyle F=-\frac{B^{2}D^{2}}{R}\frac{dx}{dt}
3.6 จากกฏของนิวตันได้
\displaystyle -\frac{B^{2}D^{2}}{R}\frac{dx}{dt}=m\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}
-\displaystyle \frac{B^{2}D^{2}}{mR}=\frac{1}{v}\frac{d}{dt}v
\displaystyle \ln(\frac{v}{v_{0}})=-\frac{(BD)^{2}t}{mR}
\displaystyle v=v_{0}e^{-\frac{(BD)^{2}t}{mR}}
\displaystyle (..?..)=e^{-\frac{(BD)^{2}t}{mR}}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: Kolbe on November 22, 2013, 10:25:47 PM
กลศาสตร์ข้อสองนะครับ  :)
ใช้หลักการว่า 4-momentum คงตัวเมื่อก่อนกับหลังชน  :gr8
เราเขียน 4-momentum ของโฟตอนและโปรตอนได้ดังนี้
\displaystyle \gamma (E/c,E/c,0,0)
\displaystyle p (m_{p}c^{2}/c,0,0,0)
สำหรับ อีกสองตัวที่เหลือที่ได้จากการชนนั้น เราไม่จำเป็นต้องเขียน 4-momentum เพราะ
เราสามารถใช้ เงื่อนไขระหว่าง E ,p ที่ว่า
\displaystyle E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}
เขียน 4-momentum รวมสองตัวยกกำลังสอง ในรูปมวลนิ่งรวมกับความเร็วแสงได้
จะได้สมการของ4-momentumกำลังสอง ทั้งระบบก่อนชนและหลังชน
\displaystyle 4-p_{before}^{2} =4-p_{after}^{2}
\displaystyle \frac{(E+m_{p} c^{2} )^{2}}{c^{2}}-\frac{E^{2}}{c^{2}}=m_{total}^{2}c^{2}
คูณ c กำลังสองตลอด
\displaystyle (E+m_{p} c^{2} )^{2}-E^{2}=m_{total}^{2}c^{4}
\displaystyle 2m_{p} c^{2}E+m_{p}^{2}c^{4}=m_{total}^{2}c^{4}
\displaystyle E= \frac{(m_{total}^{2}-m_{p}^{2} )c^{2}}{2m_{p}}
\displaystyle E= \frac{((939.57+139.57)^{2}-938.27^{2} )c^{2}}{2(938.27)} MeV/c^{2}
E =151.44 MeV


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 23, 2013, 10:09:15 AM
^^^ ขอบคุณ krirkfah, jali, Kolbe และคนอื่น ๆ ที่ช่วยทำเฉลย  :smitten: :smitten: :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on November 24, 2013, 08:12:31 PM
กลศาสตร์ข้อหนึ่งครับ
อย่างแรกเราสามารถประมาณได้ว่ารัศมีการโคจรมีค่าพอๆกับรัศมีโลกเพราะเป็นวงโคจรต่ำและระยะของเชือกเป็นแค่ร้อยเมตรดังนั้นเราประมาณอีกว่าอัตราเร็วเชิงมุมของยานและคนมีค่าเท่ากัน
เราจะได้ว่าแรงตึงเชือกเป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางเพิ่มเติมและได้ T=m\ddot{r}
นำสมการนี้ไปเข้าสูตรความเร่งคงตัวเลย กดเครื่องคิดเลขมาจะได้ เวลาเท่ากับ 20\sqrt{10}\approx 63.2 s
ปล.ข้อเทอร์โมนั้นรู้สึกว่าจะมีคนทำหลายวิธีมากแต่เดี๋ยวว่างๆผมจะเอาของเพื่อนมาลงให้ดูครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: มะตูม Kitabodin on April 13, 2014, 12:34:07 PM
ข้อ 1 ครับ
ประจุเล็กๆคือประจุ \sigma (xdx\tan \alpha) สนามไฟฟ้าจากประจุเล็กๆ คือ....

dE=\dfrac{2 \pi\sigma xdx \tan \alpha (D-x) }{(4 \pi \epsilon_0)((D-x)^2+(x\tan\alpha)^2)^\frac{3}{2}}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: M-Ph on August 15, 2014, 11:02:01 AM
ขอเฉลยข้ออุณหพลศาสตร์หน่อยครับๆ   ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: rapee on August 19, 2014, 10:22:30 AM
...
ปล.ข้อเทอร์โมนั้นรู้สึกว่าจะมีคนทำหลายวิธีมากแต่เดี๋ยวว่างๆผมจะเอาของเพื่อนมาลงให้ดูครับ

พี่ jali เอามาลงด้วยครับ ผมอยากดูด้วยคน
ปล.ผมลองทำแบบ isothermal ดูแล้ว ;D ;D
แต่รู้สึกว่า model นี้มันไม่ตรงกับความเป็นจริงอะครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: jali on August 19, 2014, 06:33:50 PM
...
พี่ jali เอามาลงด้วยครับ ผมอยากดูด้วยคน
ปล.ผมลองทำแบบ isothermal ดูแล้ว ;D ;D
แต่รู้สึกว่า model นี้มันไม่ตรงกับความเป็นจริงอะครับ
ลงมาเลยครับ แล้วเดี๋ยวจะช่วยดูว่ามันมีตรงไหนที่อาจจะต้องแก้
ส่วนที่จริงแล้วข้อนี้มันไม้ได้มีคำตอบที่ถูกต้องเป็ะๆหรอกครับ เวลาอ.ตรวจเค้าก็ดูเพียงแค่แบบจำลองไหนสมเหตุผลมากกว่าเท่านั้นเองครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 56-57
Post by: Pun on September 19, 2014, 07:27:29 PM
ช่วยแนะนำข้อเทอร์โมหน่อยครับ ผมยังนึกภาพไม่ออก เริ่มต้นไม่ถูกเลยครับ