mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: jali on July 29, 2013, 08:45:10 PM



Title: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: jali on July 29, 2013, 08:45:10 PM
คือว่ามันมีโจทย์เกี่ยวกับการสั่นของการรบกวนเล็กๆอ่าครับ คือว่าผมทำได้แล้วแต่ว่าไม่มีคำตอบให้ตรวจ เลยอยากจะรู้ว่าคนอื่นคิดได้อย่างไรครับ
โจทย์ข้อแรกคือ เพนดูลัมแบบกรวยกำลังหมุนอยู่แล้วเราก็รบกวนมันหน่อยๆ แล้วก็ถามหาคาบการสั่น ตัวแปรที่สามารถติดได้:ครึ่งมุมยอด มวล ความยาวเชือก ค่าg
โจทย์ข้อที่สองคือ มีกรวยอยู่แล้ว แล้วก็มีมวลmวิ่งวนเป็นวงกลมอยู่ แล้วเราก็สะกิดมันนิดหน่อย ถามหาคาบการสั่น ตัวแปรที่สามารถติดได้:ความถี่เชิงมุมเก่าก่อนการรบกวน
ใครคิดได้เท่าไหร่ก็โพสท์มาเลยนะครับ :)


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: Wesley on July 29, 2013, 09:06:10 PM
ผมนึกภาพข้อเเรกไม่ออกครับ รบกวนคุณ jali ขยายความหน่อยครับผม ผมอยากฝึกดูครับผม ขอบคุณครับ  :coolsmiley: >:A


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on July 29, 2013, 09:46:12 PM
ผมนึกภาพข้อเเรกไม่ออกครับ รบกวนคุณ jali ขยายความหน่อยครับผม ผมอยากฝึกดูครับผม ขอบคุณครับ  :coolsmiley: >:A

ก็เคลื่อนที่่แบบกรวยครับ แต่ว่ามีการสั่นไปมาด้วย โดยการสั่นนั้น จะเข้า-ออก จากจุดศูนย์กลางวงกลมสลับกันไป ถ้าวาดภาพการเคลื่อนที่ของ m ก็จะได้รูปประมาณกราฟคลื่นที่วนเป็นวงกลมหนะครับ  :)


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: Wesley on July 30, 2013, 06:03:28 AM
ขอบคุณมากครับผม :angel:


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on July 30, 2013, 09:44:49 PM
ข้อ1 ผมได้ T\displaystyle = 2\pi \sqrt{\frac{l\cos \beta }{g\sin ^2\beta }} ครับ โดย \beta  คือ ครึ่งมุมยอด  ผิดถูกอย่างไรช่วยชี้แนะด้วยครับ ว่าแต่คุณjaliได้เท่าไรครับ  :smitten: ประเด็น คือ ผมมีอีกคำถามครับ คือ ตอนเราไปรบกวนนี่ ความเร็วที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะยังคงเดิม(หมายถึงในทิศตั้งฉากกับทิศรัศมีนะครับ) ทำให้อยู่ในวงโคจรใหม่ไม่ได้เลยเกิดการสั่นเพราะมันไม่เสถียร ผมเข้าใจถูกไหมครับ  :)


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on August 01, 2013, 11:06:47 PM
ขอถามเพิ่มครับ สำหรับข้อ 1 ผมสงสัยว่าทำไมถ้ามุม  \beta =0 มันถึงได้คาบไม่เท่ากับ simple pendulum ปกติหรอครับ รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ  :idiot2:


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: StpToMit on August 01, 2013, 11:41:53 PM
ผมนึกภาพข้อเเรกไม่ออกครับ รบกวนคุณ jali ขยายความหน่อยครับผม ผมอยากฝึกดูครับผม ขอบคุณครับ  :coolsmiley: >:A

ก็เคลื่อนที่่แบบกรวยครับ แต่ว่ามีการสั่นไปมาด้วย โดยการสั่นนั้น จะเข้า-ออก จากจุดศูนย์กลางวงกลมสลับกันไป ถ้าวาดภาพการเคลื่อนที่ของ m ก็จะได้รูปประมาณกราฟคลื่นที่วนเป็นวงกลมหนะครับ  :)

คือ ผมอยากทราบว่าตรงที่บอกว่าการสั่นจะเข้า-ออกจากจุดศูนย์กลางวงกลม มันไม่ควรจะสั่นเข้าออกในแนวรัศมีพอดีป่ะครับ เพราะเชือกมีความยาวคงที่ มันควรจะมีการสั่นขึ้น-ลงด้วยเล็กน้อยป่ะครับ   ???  ???


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on August 02, 2013, 02:32:31 AM
ผมนึกภาพข้อเเรกไม่ออกครับ รบกวนคุณ jali ขยายความหน่อยครับผม ผมอยากฝึกดูครับผม ขอบคุณครับ  :coolsmiley: >:A

ก็เคลื่อนที่่แบบกรวยครับ แต่ว่ามีการสั่นไปมาด้วย โดยการสั่นนั้น จะเข้า-ออก จากจุดศูนย์กลางวงกลมสลับกันไป ถ้าวาดภาพการเคลื่อนที่ของ m ก็จะได้รูปประมาณกราฟคลื่นที่วนเป็นวงกลมหนะครับ  :)

คือ ผมอยากทราบว่าตรงที่บอกว่าการสั่นจะเข้า-ออกจากจุดศูนย์กลางวงกลม มันไม่ควรจะสั่นเข้าออกในแนวรัศมีพอดีป่ะครับ เพราะเชือกมีความยาวคงที่ มันควรจะมีการสั่นขึ้น-ลงด้วยเล็กน้อยป่ะครับ   ???  ???
ใช่ครับ โทษทีครับพูดไม่ชัด คือ ผมจะหมายความว่ามันสั่นไปมาเข้าๆออกๆ หนะครับ  ;D


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: jali on August 02, 2013, 08:36:52 AM
ข้อ1 ผมได้ T\displaystyle = 2\pi \sqrt{\frac{l\cos \beta }{g\sin ^2\beta }} ครับ โดย \beta  คือ ครึ่งมุมยอด  ผิดถูกอย่างไรช่วยชี้แนะด้วยครับ ว่าแต่คุณjaliได้เท่าไรครับ  :smitten: ประเด็น คือ ผมมีอีกคำถามครับ คือ ตอนเราไปรบกวนนี่ ความเร็วที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมจะยังคงเดิม(หมายถึงในทิศตั้งฉากกับทิศรัศมีนะครับ) ทำให้อยู่ในวงโคจรใหม่ไม่ได้เลยเกิดการสั่นเพราะมันไม่เสถียร ผมเข้าใจถูกไหมครับ  :)
รู้สึกว่าผมจะได้ไม่ตรงกับคุณkrirkfah คุณลองแสดงวิธีทำหน่อยสิครับ อีกอย่างสิ่งที่บ่งว่าเกิดการสั่นมันเป็นผลจากกฏนิวตันและสมการล้วนๆเลย (ป.ล.ผมไม่ค่อยเข้าใจตรงที่บอกว่า อยู่ในวงโคจรใหม่ไม่ได้หน่ะครับ)
ขอถามเพิ่มครับ สำหรับข้อ 1 ผมสงสัยว่าทำไมถ้ามุม  \beta =0 มันถึงได้คาบไม่เท่ากับ simple pendulum ปกติหรอครับ รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ  :idiot2:
แต่ผมจะบอกว่าการที่เราได้ไม่ตรงกับsimple pendulumนั้นไม่แปลกเพราะเราเริ่มด้วยอะไรที่ต่างกัน ในกรณีนี้เราบอกว่าให้มันหมุนอยู่ก่อนแล้วเราไปรบกวน แต่เพนดูลัมนั้นมันอยู่นิ่ง


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on August 02, 2013, 10:25:17 PM
รู้สึกว่าผมจะได้ไม่ตรงกับคุณkrirkfah คุณลองแสดงวิธีทำหน่อยสิครับ อีกอย่างสิ่งที่บ่งว่าเกิดการสั่นมันเป็นผลจากกฏนิวตันและสมการล้วนๆเลย (ป.ล.ผมไม่ค่อยเข้าใจตรงที่บอกว่า อยู่ในวงโคจรใหม่ไม่ได้หน่ะครับ)

แต่ผมจะบอกว่าการที่เราได้ไม่ตรงกับsimple pendulumนั้นไม่แปลกเพราะเราเริ่มด้วยอะไรที่ต่างกัน ในกรณีนี้เราบอกว่าให้มันหมุนอยู่ก่อนแล้วเราไปรบกวน แต่เพนดูลัมนั้นมันอยู่นิ่ง

จัดไปครับ  :smitten:

L=T-V

T=\displaystyle \frac{1}{2}m(\dot{\beta }^2l^2+v )

V=-mgl\cos \beta

ดังนั้น L=\displaystyle \frac{1}{2}m\dot{\beta }^2l^2+\frac{1}{2}mv^2+mgl\cos \beta

นำ L ที่ได้ไปแทนค่าลงในสมการ Euler-Lagrange  \displaystyle \frac{\partial L}{\partial \beta }=\frac{d}{d t}\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot{\beta }} \end{pmatrix}  โดยที่จริงแล้วต้องมีอีกสมการในการบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุ แต่สมการอีกอันหนึ่งนั้นไม่มีผลต่อการสั่นของวัตถุจึงไม่นำมาพิจารณา

-mgl\sin \beta =\displaystyle \frac{d}{d t}(ml^2\dot{\beta })........(1)

เราสมมุติให้ \gamma =\beta -\beta _0 แล้วแทนลงไปในสมการ(1)

-mgl\sin (\gamma +\beta _0) =\displaystyle \frac{d}{d t}(ml^2\dot{\gamma  })

-mgl(\sin \gamma \cos \beta _0+\cos \gamma \sin \beta _0 )=\displaystyle \frac{d}{d t}(ml^2\dot{\gamma  })

เนื่องจาก \gamma  มีค่าเล็กๆ ดังนั้นเราจะทำการประมาณ

-mgl( \gamma \cos \beta _0+ \sin \beta _0) =\displaystyle \frac{d}{d t}(ml^2\dot{\gamma  })

-mgl\cos \beta _0( \gamma + \tan \beta _0) =\displaystyle ml^2\frac{d^2}{d t^2}{(\gamma +\tan \beta _0)}

\displaystyle \frac{d^2}{d t^2}{(\gamma +\tan \beta _0)}=-\frac{g}{l}\cos \beta _0( \gamma + \tan \beta _0)

ดังนั้น \omega ^2=-\frac{g}{l}\cos \beta _0

T^\prime=2\pi \displaystyle \sqrt{\displaystyle \frac{l}{g \cos \beta _0}}

โดย v คือ อัตราเร็วของวัตถุในระนาบของฐานกรวย    \beta คือ มุมของวัตถุที่วัดกับแกนในแนวดิ่งที่เวลาใดๆ    \beta _0 คือ ครึ่งมุมยอดของกรวยในตอนแรกก่อนเราไปรบกวน

วิธีนี้เป็นวิธีที่ผมแก้ไขมาแล้วครับ ในตอนแรกผมคิดว่า การหมุนในระนาบของฐานกรวยมีความเร็วเชิงมุมคงที่ เลยทำให้ได้คำตอบในข้างต้นออกมา

ซึ่งในวิธีนี้ ค่าพจน์ของ T=\displaystyle \frac{1}{2}m(\dot{\beta }^2l^2+ \dot{\theta }^2l^2\sin ^2\beta  )  หลังจากนั้นทำขั้นตอนคล้ายๆกันโดยนำค่า L ไปแทนใน Euler-lagrange equation แล้วแก้ออกมาจะได้ค่า T^\prime=\displaystyle 2\pi \sqrt{\frac{l\cos \beta_0 }{g\sin ^2\beta_0 }}


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: jali on August 03, 2013, 10:31:17 AM
ผมจะขอสารภาพตามตรงว่า ผมใช้ Lagrangian ไม่เป็น
แต่สิ่งที่ผมบอกได้อีกก็คือการสั่นของเราไม่ได้อยู่ในระนาบแต่ว่ามีการสั่นในแนวดิ่งด้วย
ป.ล.วิธีที่ผมทำคือใช้กฏนิวตัน


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on August 03, 2013, 02:53:10 PM
ผมจะขอสารภาพตามตรงว่า ผมใช้ Lagrangian ไม่เป็น
แต่สิ่งที่ผมบอกได้อีกก็คือการสั่นของเราไม่ได้อยู่ในระนาบแต่ว่ามีการสั่นในแนวดิ่งด้วย
ป.ล.วิธีที่ผมทำคือใช้กฏนิวตัน
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ  :)


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: jali on August 04, 2013, 05:39:33 PM
ผมจะขอสารภาพตามตรงว่า ผมใช้ Lagrangian ไม่เป็น
แต่สิ่งที่ผมบอกได้อีกก็คือการสั่นของเราไม่ได้อยู่ในระนาบแต่ว่ามีการสั่นในแนวดิ่งด้วย
ป.ล.วิธีที่ผมทำคือใช้กฏนิวตัน
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ  :)
ไว้เดี๋ยวช่วงว่างๆผมจะมาทำให้ดูครับ


Title: Re: ปัญหาการสั่นครับ
Post by: krirkfah on August 04, 2013, 05:50:59 PM
ผมจะขอสารภาพตามตรงว่า ผมใช้ Lagrangian ไม่เป็น
แต่สิ่งที่ผมบอกได้อีกก็คือการสั่นของเราไม่ได้อยู่ในระนาบแต่ว่ามีการสั่นในแนวดิ่งด้วย
ป.ล.วิธีที่ผมทำคือใช้กฏนิวตัน
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ  :)
ไว้เดี๋ยวช่วงว่างๆผมจะมาทำให้ดูครับ
ขอบคุณครับ ช่วงนี้สอบสินะครับ555 ผมรู้แล้วว่าผมทำอะไรผิดเดี่ยวแก้ไขเสร็จจะมาโพสต์ใหม่ครับ
ปล.ถ้าไม่รังเกียจคุณjaliรับเฟสผมได้ไหมครับ ผมแอดและส่งmessageไปแล้วครับ  ;D