Print Page - สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ

Title: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: jali on February 10, 2013, 05:54:56 PM

คือว่าในโจทย์youngเรื่องหยดน้ำฝนที่ตกลงมาแล้วมวลมันเพิ่มขึ้นเรื่อยๆอ่าครับ คือผมอยากรู้วิธีการแก้สมการนี้อ่าครับ
$\displaystyle x\cdot g=x \cdot \frac{\mathrm{d} ^{2}x}{\mathrm{d} t^{2}}+\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^{2}$

Title: Re: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: dy on February 10, 2013, 06:36:25 PM

Quote from: jali on February 10, 2013, 05:54:56 PM

ลองให้ $v &=& \dfrac{dx}{dt}$ ครับ สมการจะเขียนได้ใหม่เป็น $\dfrac{dv^2}{dx} + \dfrac{2v^2}{x} &=& 2g$

ต่อไปเราจะใช้วิธีการที่เรียกว่าการใช้ Integrating Factor มาช่วยครับ นั่นคือเราจะหาฟังก์ชั่น $I = I(x)$ มาคูณทั้งสองข้างเพื่อที่จะเปลี่ยนฝั่งซ้ายให้เป็นอนุพันธ์ผลคูณของ $2v^2$ กับ $I$ เพื่อที่จะให้เป็นแบบนั้น เราได้ว่า ( ลองมองจากสมการการหาอนุพันธ์ผลคูณ)

$\dfrac{dI}{dx} &=& \dfrac{2I}{x}$ แก้สมการหา $I$ ได้ $I &=& Cx^2$ เมื่อเอาฟังก์ชั่นนี้ไปคูณทั้งสมการของเรา จึงได้ว่า

$\dfrac{d(v^2 x^2 )}{dx} &=& 2gx^2$ จากนั้นก็อินทิเกรตทั้งสองข้าง พอใส่เงื่อนไขตั้งต้นก็จะหา $v$ ซึ่งนำไปสู่การหา $x$ ได้ครับ

Title: Re: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: jali on February 10, 2013, 08:30:36 PM

ขอบคุณมากครับคุณ dy ผมเข้าใจแล้วครับ :)

Title: Re: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: jali on February 15, 2013, 08:42:44 PM

ขอถามต่ออีกหน่อยนะครับคือพอดีว่าไปเจอโจทย์ทำนองว่ามีสปริงอยู่ แล้วเราออกแรงไม่คงตัวทำต่อสปริงโดยแรงแปรค่าแบบที่
$F=F_{0}\sin(\omega t)$ $,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ แล้วพอแก้สมการอ่าครับมันต้องสมมุติตัวแปรระยะทางว่าแปรตามเวลาแบบที่ติดสัมประสิทธ์เวลาด้วย
ผมอยากรู้ว่ามันเพราะอะไรหรือครับ

mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: jali on February 10, 2013, 05:54:56 PM