mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามปัญหาคณิตศาสตร์ => Topic started by: jali on February 10, 2013, 05:54:56 PM



Title: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: jali on February 10, 2013, 05:54:56 PM
คือว่าในโจทย์youngเรื่องหยดน้ำฝนที่ตกลงมาแล้วมวลมันเพิ่มขึ้นเรื่อยๆอ่าครับ คือผมอยากรู้วิธีการแก้สมการนี้อ่าครับ
\displaystyle x\cdot g=x \cdot \frac{\mathrm{d} ^{2}x}{\mathrm{d} t^{2}}+\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^{2}


Title: Re: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: dy on February 10, 2013, 06:36:25 PM
คือว่าในโจทย์youngเรื่องหยดน้ำฝนที่ตกลงมาแล้วมวลมันเพิ่มขึ้นเรื่อยๆอ่าครับ คือผมอยากรู้วิธีการแก้สมการนี้อ่าครับ
\displaystyle x\cdot g=x \cdot \frac{\mathrm{d} ^{2}x}{\mathrm{d} t^{2}}+\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right)^{2}

ลองให้ v &=& \dfrac{dx}{dt} ครับ สมการจะเขียนได้ใหม่เป็น \dfrac{dv^2}{dx} + \dfrac{2v^2}{x} &=& 2g

ต่อไปเราจะใช้วิธีการที่เรียกว่าการใช้ Integrating Factor มาช่วยครับ นั่นคือเราจะหาฟังก์ชั่น I = I(x) มาคูณทั้งสองข้างเพื่อที่จะเปลี่ยนฝั่งซ้ายให้เป็นอนุพันธ์ผลคูณของ 2v^2 กับ  I เพื่อที่จะให้เป็นแบบนั้น เราได้ว่า ( ลองมองจากสมการการหาอนุพันธ์ผลคูณ)

\dfrac{dI}{dx} &=& \dfrac{2I}{x}  แก้สมการหา I ได้ I &=& Cx^2 เมื่อเอาฟังก์ชั่นนี้ไปคูณทั้งสมการของเรา จึงได้ว่า

\dfrac{d(v^2 x^2 )}{dx} &=& 2gx^2 จากนั้นก็อินทิเกรตทั้งสองข้าง พอใส่เงื่อนไขตั้งต้นก็จะหา v ซึ่งนำไปสู่การหา x ได้ครับ


Title: Re: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: jali on February 10, 2013, 08:30:36 PM
ขอบคุณมากครับคุณ dy  ผมเข้าใจแล้วครับ :)


Title: Re: สมการดิฟเฟอเรนเชียลครับ
Post by: jali on February 15, 2013, 08:42:44 PM
ขอถามต่ออีกหน่อยนะครับคือพอดีว่าไปเจอโจทย์ทำนองว่ามีสปริงอยู่ แล้วเราออกแรงไม่คงตัวทำต่อสปริงโดยแรงแปรค่าแบบที่
F=F_{0}\sin(\omega t) ,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} แล้วพอแก้สมการอ่าครับมันต้องสมมุติตัวแปรระยะทางว่าแปรตามเวลาแบบที่ติดสัมประสิทธ์เวลาด้วย
ผมอยากรู้ว่ามันเพราะอะไรหรือครับ