mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาความร้อน อุณหพลศาสตร์ => Topic started by: jali on January 29, 2013, 08:48:26 PM



Title: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on January 29, 2013, 08:48:26 PM
โจทย์ว่าดังนี้ครับ(ข้อ 17-52)
"มีกระบอกสูบแนวดิ่งรัศมีr บรรจุก๊าซอุดมคติไว้และลูกสูบมีมวลm ลูกสูบและกระบอกสูบไม่มีความฝืดและทำจากฉนวนสมบูรณ์ อากาศข้างนอกมีความดัน p_{0} ที่สมดุลลูกสูบอยู่สูงจากพื้นกระบอกสูบ h "
ถามว่าถ้าเราดึงลูกสูบให้สูงขึ้นเล็กๆ แล้วให้มันสั่น มันจะมีความถี่ในการสั่นเท่าไร
พอดีว่าทำแล้วมันไม่ตรงกับเฉลยอ่าครับ ใครได้เท่าไหร่ขอให้โพสต์วิธีทำด้วยนะครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: It is GOL on January 29, 2013, 09:47:46 PM
ขอลองทำดูนะครับ

แรงที่กระทำต่อลูกสูบในแนวดิ่ง ได้แก่
แรงโน้มถ่วง -mg
แรงเนื่องจากความดันอากาศภายนอก -p_0\pi r^2
แรงเนื่องจากความดันแก๊ส โดยที่ความดันแก๊สในกระบวนการ Adiabatic คือ
p=\dfrac{p_0V_0^\gamma }{V^\gamma }=p_0[\dfrac{h}{h+s}]^\gamma เมื่อ s แทนระยะจากจุดสมดุลในทิศขึ้น
จะได้ว่าสำหรับการสั่นขึ้นลงน้อยๆ
p(s)\approx p_0+s(\dfrac{dp}{ds})_{s=0}\approx p_0-\dfrac{\gamma p_0}{h} s

ดังนั้นจึงเขียนกฎนิวตันได้เป็น
m\dfrac{d^2s}{dt^2}=-mg-\cancel{p_0\pi r^2}+\pi r^2(\cancel{p_0}-\dfrac{\gamma p_0}{h} s)
\omega =\sqrt{\dfrac{\gamma p_0\pi r^2}{mh}} และ T=\dfrac{2}{r}\sqrt{\dfrac{\pi mh}{\gamma p_0}} ครับ  :smitten:





Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: It is GOL on January 29, 2013, 09:50:22 PM
พี่ jali ทำอย่างไรครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on January 30, 2013, 11:50:41 AM
...
p=\dfrac{p_0V_0^\gamma }{V^\gamma }=p_0[\dfrac{h}{h+s}]^\gamma เมื่อ s แทนระยะจากจุดสมดุลในทิศขึ้น
จะได้ว่าสำหรับการสั่นขึ้นลงน้อยๆ
p(s)\approx p_0+s(\dfrac{dp}{ds})_{s=0}\approx p_0-\dfrac{\gamma p_0}{h} s
...
ความดันลูกสูบตอนแรกมันไม่เท่ากับความดันบรรยากาศข้างนอกไม่ใช่เหรอครับ
พี่ jali ทำอย่างไรครับ
พี่ก็ทำประมาณน้องลูกหวายนั่นแหละครับ แต่ว่าในcdเค้าเฉลยโดยใช้กระบวนการisothermal อ่าครับ(คือเค้าประมาณแรงโดยไม่ติดแกมมา)
ผมเลยอยากรู้ว่าแต่ละคนคิดได้อย่างไรครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: It is GOL on January 30, 2013, 06:14:58 PM
เออ ลืมลบไป \dfrac{mg}{\pi r^2} ขอโทษทีครับ ความถี่ก็คงต้องแทน p_0 ด้วย p_0-\dfrac{mg}{\pi r^2}
ทีแรกน่าจะเอะใจว่า มันควรสั่นรอบ s=0 สะเพร่าจริงๆ  :buck2: :buck2:

ผมคิดว่ามันควรเป็น Adiabatic นะครับ  ???


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on January 30, 2013, 08:53:48 PM
...
ผมคิดว่ามันควรเป็น Adiabatic นะครับ  ???
ผมก็ว่ายังงั้นแหละครับ แสดงว่าเฉลยเค้าอาจจะลืมไปว่ากระบอกสูบมันเป็นฉนวน


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Wesley on January 31, 2013, 11:16:35 AM
ขอลองทำดูนะครับ

p(s)\approx p_0+s(\dfrac{dp}{ds})_{s=0}\approx p_0-\dfrac{\gamma p_0}{h} s

ผมงงบรรทัดนี้ครับช่วยทีนะครับ ขอบคุณนะครับ  :) ;)


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on January 31, 2013, 12:06:55 PM
...
p(s)\approx p_0+s(\dfrac{dp}{ds})_{s=0}\approx p_0-\dfrac{\gamma p_0}{h} s
...
ผมงงบรรทัดนี้ครับช่วยทีนะครับ ขอบคุณนะครับ  :) ;)
เป็นการกระจายเทย์เลอร์รอบจุด0ครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Wesley on January 31, 2013, 02:54:07 PM
...
p(s)\approx p_0+s(\dfrac{dp}{ds})_{s=0}\approx p_0-\dfrac{\gamma p_0}{h} s
...
ผมงงบรรทัดนี้ครับช่วยทีนะครับ ขอบคุณนะครับ  :) ;)
เป็นการกระจายเทย์เลอร์รอบจุด0ครับ
ขอบคุณมากนะครับพอดีผมยังไม่ได้เรียนอันนี้ครับ  :buck2:  :(


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on February 01, 2013, 12:26:14 PM
จริงๆข้อนี้ไม่ได้จำเป็นต้องใช้ถึงเทย์เลอร์หรอกครับ
อีกอย่างถ้าคุณเปิดดูในyoung คุณจะพบว่าเค้าให้ค่าตรงนี้มาด้วยการกระจายทฤษฏีบททวินามครับ(แต่ว่าการพิสูจน์ก็ยังคงต้องใช้แคลคูลัสอยู่ดี ;D)


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Wesley on February 20, 2013, 08:29:07 AM
จริงๆข้อนี้ไม่ได้จำเป็นต้องใช้ถึงเทย์เลอร์หรอกครับ
อีกอย่างถ้าคุณเปิดดูในyoung คุณจะพบว่าเค้าให้ค่าตรงนี้มาด้วยการกระจายทฤษฏีบททวินามครับ(แต่ว่าการพิสูจน์ก็ยังคงต้องใช้แคลคูลัสอยู่ดี ;D)
 

ขอบคุณอีกทีครับผม


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Witsune on November 28, 2013, 09:43:05 PM
ผมลองททำได้  \omega ^{2} =\frac{\rho _{0}\pi r^{2} + mg}{mh} ครับใช้การกระจายทวินามมาช่วย






Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on November 29, 2013, 10:00:41 AM
ผมลองทำได้  \omega ^{2} =\frac{\rho _{0}\pi r^{2} + mg}{mh} ครับใช้การกระจายทวินามมาช่วย
ลองเขียนวิธีทำมาให้ดูสิครับ จะได้ช่วยกันตรวจ แต่รู้สึกว่าของคุณWistune ทำไมไม่ติดแกมมาเลยครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Witsune on November 30, 2013, 04:37:47 PM
ผมไม่ได้คำนึงว่ามันเป็นกระบวนการแอเดียแบติกครับ

ผมมองเป็นกระบวนการอุณหภูมิคงที่แบบข้อ  5
http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,6078.0.html

ผมมองก่อนว่าความดันสัมบูรณ์เมื่อเราดึงขึ้นเล็กน้อยจะเป็น

 (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2}) (\dfrac{h}{h + y})

เมื่อเรารู้ว่า y << h เราก็ใช้การกระจายทวินามเข้าช่วย

(\dfrac{h}{h + y}) จัดรูปเป็น (\dfrac{h + y}{h})^{-1}

จะได้ (1 - \dfrac{y}{h})

จะได้ความดันสัมบูรณ์  p = (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2})(1 - \dfrac{y}{h})

และ (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2})(1 - \dfrac{y}{h})A - mg = m\ddot{y}

(p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2})(1 - \dfrac{y}{h})\pi r^{2} - mg = m\ddot{y}

((p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2}) - mg ) - (\dfrac{y}{h})({p_0\pi r^2} + mg) ) = m\ddot{y}

เรารู้ว่าตอนที่สมดุล (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2}) - mg  = 0

จะได้่ - (\dfrac{y}{h})({p_0\pi r^2} + mg) ) = m\ddot{y}

\ddot{y} + (\dfrac{y}{mh})({p_0\pi r^2} + mg) = 0

ซึ่งอยู่ในรูปสมการ SHM  จะได้ว่า

\omega  = \sqrt{\dfrac{{p_0\pi r^2} + mg}{mh}}

และ f = \dfrac{1}{2\pi }\sqrt{\dfrac{{p_0\pi r^2} + mg}{mh}}

คำตอบดูแปลกฝากเช็คด้วยครับ  :buck2: 


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on November 30, 2013, 06:59:42 PM
ทำไมจึงเป็นแบบTคงที่ได้ครับ ในเมื่อมันเป็นฉนวนนะครับมันไม่มีทางมีความร้อนไหลเข้าหรือออกได้นะครับ
และบรรทัดนี้เครื่องหมายน่าจะเป็นบวกนะครับ
...
 (p_0-\dfrac{mg}{\pi r^2}) (\dfrac{h}{h + y})
...


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Witsune on November 30, 2013, 07:09:46 PM
ทำไมจึงเป็นแบบTคงที่ได้ครับ ในเมื่อมันเป็นฉนวนนะครับมันไม่มีทางมีความร้อนไหลเข้าหรือออกได้นะครับ
และบรรทัดนี้เครื่องหมายน่าจะเป็นบวกนะครับ
...
 (p_0-\dfrac{mg}{\pi r^2}) (\dfrac{h}{h + y})
...

ขอบคุณที่เตือนครับ แก้ไขแล้วครับ

ส่วนที่มองว่าอุณหภูมิคงที่ เพราะผมคิดว่าโจทย์ไม่ได้ให้ค่า \gamma เรามา ผมจึงไม่ได้มองว่าเป็นกระบวนการแอเดียแบติกครับ (แต่มันจำเป็นไหมครับว่าต้องเป็นแอเดียแบติกเสมอ)


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on December 01, 2013, 08:20:53 AM
ผมดูเอาจากสมการกฏข้อที่1ของthermoฯครับ ถ้าเราจะบอกว่าอุณหภูมิมันคงที่แล้วเราจะเอาความร้อนมาจากส่วนไหนครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Witsune on December 01, 2013, 01:22:11 PM
ผมดูเอาจากสมการกฏข้อที่1ของthermoฯครับ ถ้าเราจะบอกว่าอุณหภูมิมันคงที่แล้วเราจะเอาความร้อนมาจากส่วนไหนครับ

ความร้อนจะมาจากแรงเสียดทานระหว่างรูปสูบกับตัวถังหรือเปล่าครับ  :idiot2:


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: jali on December 01, 2013, 03:41:36 PM
ผมดูเอาจากสมการกฏข้อที่1ของthermoฯครับ ถ้าเราจะบอกว่าอุณหภูมิมันคงที่แล้วเราจะเอาความร้อนมาจากส่วนไหนครับ

ความร้อนจะมาจากแรงเสียดทานระหว่างรูปสูบกับตัวถังหรือเปล่าครับ  :idiot2:
โจทย์เค้าบอกว่าลูกสูบลื่นไม่ใช่เหรอครับ


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Witsune on December 01, 2013, 03:49:20 PM
งั้นเดี๋ยวผมลองทำแบบแอเดียแบติกดู มันอาจจะไม่ติด \gamma ก็ได้(แต่คิดว่าคงไม่) :buck2:

ปล.มาลองคิดเล่นๆ กันถ้าคำตอบในหนังสือเป็นกระบวนการอุณหภูมิคงที่ ความร้อนมาจากไหน


Title: Re: โจทย์youngเรื่องการสั่นของลูกสูบครับ
Post by: Witsune on February 13, 2014, 06:52:27 PM
ให้เป็นกระบวนการแบบแอเดียบาติด

p_{1} = p_{0} +\dfrac{mg}{A}

จากนั้น

  p_{1}V_{1}^{\gamma } = p_{2}V_{2}^{\gamma }

   จะได้ว่า p_{2}  = (\dfrac{mg}{\pi r^2})(\dfrac{h}{h + y})^{\gamma }

เมื่อเรารู้ว่า y << h เราก็ใช้การกระจายทวินามเข้าช่วย

จัดรูป (\dfrac{h}{h + y})^{\gamma }  เป็น (\dfrac{h + y}{h})^{-\gamma }

จะได้      (1 - \dfrac{\gamma y}{h})

จะได้ความดันสัมบูรณ์  p = (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2})(1 - \dfrac{\gamma y}{h})

และ (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2})(1 - \dfrac{\gamma y}{h})A - mg = m\ddot{y}

(p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2})(1 - \dfrac{\gamma y}{h})\pi r^{2} - mg = m\ddot{y}

((p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2}) - mg ) - (\dfrac{\gamma y}{h})({p_0\pi r^2} + mg) ) = m\ddot{y}

เรารู้ว่าตอนที่สมดุล

 (p_0+\dfrac{mg}{\pi r^2}) - mg  = 0

จะได้่ - (\dfrac{y}{h})({p_0\pi r^2} + mg) ) = m\ddot{y}

\ddot{y} + (\dfrac{\gamma y}{mh})({p_0\pi r^2} + mg) = 0

ซึ่งอยู่ในรูปสมการ SHM  จะได้ว่า

\omega  = \sqrt{\dfrac{{\gamma (p_0\pi r^2} + mg)}{mh}}

แก้ไขจากของเดิมครับ