mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => แบบฝึกหัดฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างค่าย => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 25, 2005, 10:40:55 AM



Title: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 25, 2005, 10:40:55 AM
ลูกตุ้มเล็กมวล m แขวนด้วยเชือกเบายาว l กับเพดานของกล่องมวล M ซึ่งไถลลงมาโดยไม่มีความฝืดตามพื้นเอียงซึ่งทำมุม \beta กับแนวระดับ 

1. ผู้สังเกตในกล่องวัดว่าลูกตุ้มทำมุมเท่าใดกับแนวดิ่งเมื่อลูกตุ้มอยู่ในสภาพสมุดลเทียบกับเขา

2. ถ้าลูกตุ้มถูกรบกวนไปเล็กน้อยจากตำแหน่ง"สมดุล"ในข้อ 1 ลูกตุ้มจะแกว่งด้วยคาบเท่าใด

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงโลกมีทิศลงและมีขนาด g ตามปรกติ


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: Peace on December 26, 2005, 05:54:08 PM
จากรูป พิจารณามวล M ตามแนวแกน X จะได้
Mg \sin \beta - T \sin \theta = M \ddot X ---------- 1
พิจารณามวล m ตามแนวแกน X
mg \sin \beta + T \sin \theta = m (\ddot X - \ddot \theta l \cos \theta) ---------- 2
พิจารณามวล m ตามแนวแกน Y
mg \cos \beta - T \cos \theta = m \ddot \theta l \sin \theta ---------- 3

จากสมการที่ 1 และ 2 กำจัด \ddot X
Mg \sin \beta - T \sin \theta = m (g \sin \beta - \frac{T}{M} \sin \theta - \ddot \theta l \cos \theta
T = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta} ---------- 4
เอาสมการที่ 3 และ 5 มากำจัด T
\frac{mg \cos \beta - m \ddot \theta l \sin \theta}{\cos \theta} = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta}
\frac{g \cos \beta}{\cos \theta} = \ddot \theta l (\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{M}{M+m} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\displaystyle{\ddot \theta = \frac{g}{l} \cos \beta \frac{(M+m) \sin \theta}{M \sin^2 \theta + m \sin^2 \theta - M \cos^2 \theta}}
จะได้ว่า \ddot \theta = 0 เมื่อ \theta = \theta_0 =0
ตอบข้อ 1. ผู้สังเกตจะวัดว่าลูกตุ้มทำมุม \beta กับแนวดิ่งของโลก แต่ถ้าโจทย์หมายความว่าเขายืนให้ตัวตั้งฉากกับพื้นเอียง จะตอบศูนย์
เมื่อรบกวนสมดุลไป \phi น้อยๆ \theta = \theta_0 + \phi
\ddot \theta = \ddot \phi
\sin \phi \approx \phi ,  \cos^2 \phi \approx 1 ,  \sin^2 \phi \approx \phi^2 \approx 0
จะได้
\displaystyle{\ddot \phi = - (\frac{g \cos \beta}{l} \frac{M+m}{M}) \phi}
จะได้คาบ \displaystyle{T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{M+m} \frac{l}{g \cos \beta}}}


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: NiG on December 27, 2005, 07:50:40 PM
พี่พีซกลับมาแล้วหรอครับ

ตื่นเต้นได้ดูผลงานอันอลังการงานสร้างของท่าน


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: Bhume on June 18, 2006, 03:04:29 PM
...
ตอบข้อ 1. ผู้สังเกตจะวัดว่าลูกตุ้มทำมุม \beta กับแนวดิ่งของโลก แต่ถ้าโจทย์หมายความว่าเขายืนให้ตัวตั้งฉากกับพื้นเอียง จะตอบศูนย์
...

งงตรงนี้อะครับ ผมคิดว่าถ้าเขายืนตั้งฉากกับพื้นเอียงน่าจะเห็นลูกตุ้มทำมุมกับแนวดิ่งอะครับ ผมว่าจริงๆแล้วผมไม่เข้าใจว่า"สมดุล"มันคือยังไง อะครับ


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 18, 2006, 03:36:00 PM
...
ตอบข้อ 1. ผู้สังเกตจะวัดว่าลูกตุ้มทำมุม \beta กับแนวดิ่งของโลก แต่ถ้าโจทย์หมายความว่าเขายืนให้ตัวตั้งฉากกับพื้นเอียง จะตอบศูนย์
...

งงตรงนี้อะครับ ผมคิดว่าถ้าเขายืนตั้งฉากกับพื้นเอียงน่าจะเห็นลูกตุ้มทำมุมกับแนวดิ่งอะครับ ผมว่าจริงๆแล้วผมไม่เข้าใจว่า"สมดุล"มันคือยังไง อะครับ

"สมดุล"เทียบกับผู้สังเกต หมายความว่าไม่มีความเร่งเทียบกับผู้สังเกต  ;D

ส่วนที่ผู้สังเกตยืนตั้งฉากกับพื้นเอียงหรือนอนอยู่คงไม่สำคัญ  สิ่งสำคัญคือเขาถามว่าทำมุมเท่าใดกับแนวดิ่ง ปัญหามันจึงอยู่ที่ว่า"แนวดิ่ง"คืออะไร  ถ้าแนวดิ่งหมายถึงทิศของสนามโน้มถ่วงภายนอก คำตอบคือมุม \beta  แต่ถ้าหมายถึงที่สังเกตในกล่อง ก็จะเป็นศูนย์ เพราะ"แนวดิ่ง"ในกล่องคือแนวของเส้นเชือกที่ห้อยวัตถุเมื่อสมดุล  ;D


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: Bhume on June 18, 2006, 09:45:06 PM
ขอบคุณครับอาจารย์ >:A


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: กฤษดา on September 07, 2009, 09:50:52 PM
จากรูป พิจารณามวล M ตามแนวแกน X จะได้
Mg \sin \beta - T \sin \theta = M \ddot X ---------- 1
พิจารณามวล m ตามแนวแกน X
mg \sin \beta + T \sin \theta = m (\ddot X - \ddot \theta l \cos \theta) ---------- 2
พิจารณามวล m ตามแนวแกน Y
mg \cos \beta - T \cos \theta = m \ddot \theta l \sin \theta ---------- 3

จากสมการที่ 1 และ 2 กำจัด \ddot X
Mg \sin \beta - T \sin \theta = m (g \sin \beta - \frac{T}{M} \sin \theta - \ddot \theta l \cos \theta
T = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta} ---------- 4
เอาสมการที่ 3 และ 5 มากำจัด T
\frac{mg \cos \beta - m \ddot \theta l \sin \theta}{\cos \theta} = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta}
\frac{g \cos \beta}{\cos \theta} = \ddot \theta l (\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{M}{M+m} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\displaystyle{\ddot \theta = \frac{g}{l} \cos \beta \frac{(M+m) \sin \theta}{M \sin^2 \theta + m \sin^2 \theta - M \cos^2 \theta}}
จะได้ว่า \ddot \theta = 0 เมื่อ \theta = \theta_0 =0
ตอบข้อ 1. ผู้สังเกตจะวัดว่าลูกตุ้มทำมุม \beta กับแนวดิ่งของโลก แต่ถ้าโจทย์หมายความว่าเขายืนให้ตัวตั้งฉากกับพื้นเอียง จะตอบศูนย์
เมื่อรบกวนสมดุลไป \phi น้อยๆ \theta = \theta_0 + \phi
\ddot \theta = \ddot \phi
\sin \phi \approx \phi ,  \cos^2 \phi \approx 1 ,  \sin^2 \phi \approx \phi^2 \approx 0
จะได้
\displaystyle{\ddot \phi = - (\frac{g \cos \beta}{l} \frac{M+m}{M}) \phi}
จะได้คาบ \displaystyle{T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{M+m} \frac{l}{g \cos \beta}}}

ถ้าเราสมมติให้ m แกว่งไปทางขวาจะไดคำตอบเท่ากันเปล่่าครับ
แล้วในรูป m กำลังจะเคลื่อนที่ไปทางไหนครับ สมการที่2 3 คิดทิศความเร่งอย่างไรครับ


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: กฤษดา on September 11, 2009, 11:25:37 PM
ผลลองทำแบบนี้ดูนะครับ

(http://www.allkeeper.com/images/image/10154.jpeg)
(http://www.allkeeper.com/images/image/10155.jpeg)

(http://www.allkeeper.com/images/image/10156.jpeg)
(http://www.allkeeper.com/images/image/10157.jpeg)

ถ้าอธิบายแบบนี้ได้หรือเปล่่าครับ ได้คำตอบเท่ากัน  ???

(กรณีแรกสกิดมวล m ไปทางซ้าย แล้วตอนหลังก็ทางขวา )


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: watchyincan on April 10, 2010, 08:20:06 PM
ยิ่งอ่านยิ่ง งง ฮา ๆ


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: Rotund Necrolyte on August 13, 2010, 10:09:29 PM

มวล m มีความเร่งในแกน y ด้วยหรอครับ  :idiot2:


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: M-Ph on February 28, 2013, 02:50:12 PM
จากรูป พิจารณามวล M ตามแนวแกน X จะได้
Mg \sin \beta - T \sin \theta = M \ddot X ---------- 1
พิจารณามวล m ตามแนวแกน X
mg \sin \beta + T \sin \theta = m (\ddot X - \ddot \theta l \cos \theta) ---------- 2
พิจารณามวล m ตามแนวแกน Y
mg \cos \beta - T \cos \theta = m \ddot \theta l \sin \theta ---------- 3

จากสมการที่ 1 และ 2 กำจัด \ddot X
Mg \sin \beta - T \sin \theta = m (g \sin \beta - \frac{T}{M} \sin \theta - \ddot \theta l \cos \theta
T = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta} ---------- 4
เอาสมการที่ 3 และ 5 มากำจัด T
\frac{mg \cos \beta - m \ddot \theta l \sin \theta}{\cos \theta} = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta}
\frac{g \cos \beta}{\cos \theta} = \ddot \theta l (\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{M}{M+m} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\displaystyle{\ddot \theta = \frac{g}{l} \cos \beta \frac{(M+m) \sin \theta}{M \sin^2 \theta + m \sin^2 \theta - M \cos^2 \theta}}
จะได้ว่า \ddot \theta = 0 เมื่อ \theta = \theta_0 =0
ตอบข้อ 1. ผู้สังเกตจะวัดว่าลูกตุ้มทำมุม \beta กับแนวดิ่งของโลก แต่ถ้าโจทย์หมายความว่าเขายืนให้ตัวตั้งฉากกับพื้นเอียง จะตอบศูนย์
เมื่อรบกวนสมดุลไป \phi น้อยๆ \theta = \theta_0 + \phi
\ddot \theta = \ddot \phi
\sin \phi \approx \phi ,  \cos^2 \phi \approx 1 ,  \sin^2 \phi \approx \phi^2 \approx 0
จะได้
\displaystyle{\ddot \phi = - (\frac{g \cos \beta}{l} \frac{M+m}{M}) \phi}
จะได้คาบ \displaystyle{T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{M+m} \frac{l}{g \cos \beta}}}

---- ตรงขวามือของสมการ 2 ทำไมถึงเป็น - อ่าครับ ความเร่งไม่ได้มีทิศไปในแกน + x หรอ ----


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 01, 2013, 08:18:21 PM
จากรูป พิจารณามวล M ตามแนวแกน X จะได้
Mg \sin \beta - T \sin \theta = M \ddot X ---------- 1
พิจารณามวล m ตามแนวแกน X
mg \sin \beta + T \sin \theta = m (\ddot X - \ddot \theta l \cos \theta) ---------- 2
พิจารณามวล m ตามแนวแกน Y
mg \cos \beta - T \cos \theta = m \ddot \theta l \sin \theta ---------- 3

จากสมการที่ 1 และ 2 กำจัด \ddot X
Mg \sin \beta - T \sin \theta = m (g \sin \beta - \frac{T}{M} \sin \theta - \ddot \theta l \cos \theta
T = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta} ---------- 4
เอาสมการที่ 3 และ 5 มากำจัด T
\frac{mg \cos \beta - m \ddot \theta l \sin \theta}{\cos \theta} = - \frac{Mm}{M+m} \frac{\ddot \theta l \cos \theta}{\sin \theta}
\frac{g \cos \beta}{\cos \theta} = \ddot \theta l (\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{M}{M+m} \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
\displaystyle{\ddot \theta = \frac{g}{l} \cos \beta \frac{(M+m) \sin \theta}{M \sin^2 \theta + m \sin^2 \theta - M \cos^2 \theta}}
จะได้ว่า \ddot \theta = 0 เมื่อ \theta = \theta_0 =0
ตอบข้อ 1. ผู้สังเกตจะวัดว่าลูกตุ้มทำมุม \beta กับแนวดิ่งของโลก แต่ถ้าโจทย์หมายความว่าเขายืนให้ตัวตั้งฉากกับพื้นเอียง จะตอบศูนย์
เมื่อรบกวนสมดุลไป \phi น้อยๆ \theta = \theta_0 + \phi
\ddot \theta = \ddot \phi
\sin \phi \approx \phi ,  \cos^2 \phi \approx 1 ,  \sin^2 \phi \approx \phi^2 \approx 0
จะได้
\displaystyle{\ddot \phi = - (\frac{g \cos \beta}{l} \frac{M+m}{M}) \phi}
จะได้คาบ \displaystyle{T = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{M+m} \frac{l}{g \cos \beta}}}

---- ตรงขวามือของสมการ 2 ทำไมถึงเป็น - อ่าครับ ความเร่งไม่ได้มีทิศไปในแกน + x หรอ ----

ในรูปที่เขาทำ เขาให้ทิศทางบวกของมุม \theta  คือทิศตามเข็มนาฬิกา ดูที่รูปจะเห็นว่าเขาสมมุติให้ลูกตุ้มกำลังแกว่งไปทาง"ซ้าย"
ถ้าเราสมมุติเป็นอีกทางหนึ่ง เครื่องหมายก็จะเป็นบวกอย่างที่เราคิด  ที่จริงมีคนทำให้ดูทั้งสองวิธีแล้ว ตรงที่ทำเป็นลายมือใน Reply #7


Title: Re: การแกว่งของนาฬิกาลูกตุ้มที่ไถลลงมาตามพื้นเอียง
Post by: M-Ph on March 02, 2013, 10:43:15 AM
ขอบคุณมากครับ :)