mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง กลศาสตร์คลาสิก I 2554 => Topic started by: ชัยโรจน์ on December 27, 2012, 09:05:02 PM



Title: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: ชัยโรจน์ on December 27, 2012, 09:05:02 PM
ท่อทรงกระบอกกลวงลื่น ยาว L ถูกแกว่งในระนาบดิ่งด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว \omega รอบแกนระดับที่ผ่านปลายข้างหนึ่งและตั้งฉากกับระนาบการหมุน เดิมท่ออยู่นิ่งในแนวระดับ ทันทีที่เริ่มแกว่งท่อ อนุภาคมวล m เล็กก็ถูกใส่เข้าไปในท่อที่ปลายด้านที่เป็นจุดหมุน
(ก) จงหาว่าเมื่อท่อแกว่งลงมาเป็นมุม \theta จากแนวระดับ อนุภาคอยู่ห่างจากปลายหมุนเป็นระยะ r เท่าใด
(ข) อนุภาคหลุดจากท่อที่เวลาเท่าใดหลังจากปล่อย


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: ชัยโรจน์ on December 27, 2012, 10:50:20 PM
(ก) r(\theta) = \dfrac{g}{2\omega^2}(\sinh \theta + \sin \theta)
(ข) อนุภาคหลุดจากท่อเมื่อเวลาผ่านไป \tau ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ \dfrac{2L\omega^2}{g} = \sinh (\omega \tau) + \sin (\omega \tau)


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on December 29, 2012, 07:35:54 AM
(ก) r(\theta) = \dfrac{g}{2\omega^2}(\sinh \theta + \sin \theta)
...
ข้อ ก.มีแนวคิดอย่างไรหรือครับ


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: ชัยโรจน์ on January 09, 2013, 11:20:51 AM
ข้อ ก.มีแนวคิดอย่างไรหรือครับ
ที่ผมคิดออกและน่าจะเหมาะสมมี
1. สังเกตว่าในกรอบอ้างอิงของท่อ อนุภาคนั้นเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ ดังนั้นจึงง่าย แต่กรอบอ้างอิงนี้ไม่ใช่กรอบอ้างอิงเฉื่อย จึงต้องไปใช้กฎของนิวตันในกรอบอ้างอิงที่มีความเร่งเขียนสมการการเคลื่อนที่ออกมา แล้วแก้สมการนั้นครับ
2. ตอนผมทำ ผมใช้ Lagrange's Equation โดยที่ Generalized coordinate นั้นมีเพียงตัวเดียว ก็ง่ายอีกเหมือนกัน แต่ผมคิดว่าวิธีนี้ยาวกว่าวิธีบน ถึงแม้ว่ามันจะสั้นแล้วก็ตาม

ที่จริงแล้วใช้กฎของนิวตันมาตรฐานทำแบบตรงไปตรงมาก็ได้ครับ ยาวดี และน่าจะทำให้เข้าใจวิธีการประยุกต์ใช้กฎของนิวตันได้มากขึ้น


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on January 10, 2013, 07:01:05 PM
...
ที่จริงแล้วใช้กฎของนิวตันมาตรฐานทำแบบตรงไปตรงมาก็ได้ครับ ยาวดี และน่าจะทำให้เข้าใจวิธีการประยุกต์ใช้กฎของนิวตันได้มากขึ้น
ผมทำไม่ออกตรงที่กฏนิวตันนี่หล่ะครับ มันต้องตั้งยังไงอ่าครับ


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on February 01, 2013, 08:40:10 PM
ลองไปทำดูแล้วครับ ผมแก้สมการนี้ไม่ออกครับ
\frac{g}{\omega^{2}}\sin(\theta)+r=\frac{d^2 r}{d \theta^2}


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: ชัยโรจน์ on February 01, 2013, 10:10:38 PM
ต้องเรียนก่อน  :2funny:


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on February 02, 2013, 11:09:46 AM
เอ่อ พี่ครับ ถ้าสมการของผมถูกแล้วทำไมผมลองเอาคำตอบของพี่มาแทนแล้วมันไม่ตรงหล่ะครับ
ปล.ผมลองไปแก้มาแล้วผมได้ r=\frac{g}{2\omega^{2}}(\sinh(\theta)-\sin(\theta))


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on February 02, 2013, 06:08:46 PM
ต้องเรียนก่อน  :2funny:
พี่ลองสอนผมคร่าวๆหน่อยได้ไหมครับ


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: ชัยโรจน์ on February 04, 2013, 04:22:24 PM
เอ่อ พี่ครับ ถ้าสมการของผมถูกแล้วทำไมผมลองเอาคำตอบของพี่มาแทนแล้วมันไม่ตรงหล่ะครับ
ปล.ผมลองไปแก้มาแล้วผมได้ r=\frac{g}{2\omega^{2}}(sinh(\theta)-sin(\theta))
เออ ใส่ผิดครับ


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: ชัยโรจน์ on February 04, 2013, 04:25:48 PM
ต้องเรียนก่อน  :2funny:
พี่ลองสอนผมคร่าวๆหน่อยได้ไหมครับ
เรามีหนังสือชื่อ Mathematical Methods in the Physical Sciences ของ Mary L. Boas ไหม ในนั้นอธิบายดี เราเข้าใจได้ง่าย ลองไปหาดู


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on February 04, 2013, 08:48:16 PM
ผมลองไปทำมาแล้วอยากให้พี่ช่วยดูให้หน่อยอ่าครับ
ตอนแรกเราสังเกตว่าด้านขวามีอนุพันธ์อันดับสอง ด้านซ้ายมีตัวฟังก์ชันเองกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดังนั้นคำตอบน่าจะอยู่ในรูป
r=Ae^{k \theta}+B\sin(\theta) ดังนั้น
\frac{\mathrm{d^{2}}r }{\mathrm{d} \theta^{2}}=Ak^{2}e^{k\theta}-B\sin(\theta)=Ae^{k \theta}+B\sin(\theta)+\frac{g}{\omega^{2}}\sin(\theta)
สัมประสิทธิ์แต่ละฟังก์ชันต้องมีค่าเท่ากัน ดังนั้น
k^{2}=1,k=\pm 1 และ
-2B=\frac{g}{\omega^{2}},B=-\frac{g}{2\omega^{2}} ได้
r=A_{1}e^{ \theta}+A_{2}e^{ -\theta}-\frac{g}{2\omega^{2}}\sin(\theta) ,\theta=0,r=0
A_{1}=-A_{2}
r=A_{1}e^{ \theta}-A_{1}e^{ -\theta}-\frac{g}{2\omega^{2}}\sin(\theta),\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}=0,\theta=0
\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \theta}=A_{1}(e^{\theta}+e^{-\theta})-\frac{g}{2\omega^{2}}\cos(\theta)=0
2A_{1}=\frac{g}{2\omega^{2}},A_{1}=\frac{g}{4\omega^{2}}
r=\frac{g}{2\omega^{2}}(\frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}-\sin(\theta))
r=\frac{g}{2\omega^{2}}(\sinh(\theta))-\sin(\theta)
ผิดตรงไหนก็บอกได้เลยนะครับ เผอิญไม่เคยแก้สมการแบบนี้อาจมีข้อผิดพลาดบ้างครับ


Title: Re: โจทย์ปัญหาข้อที่ 7
Post by: jali on February 04, 2013, 08:49:16 PM
ต้องเรียนก่อน  :2funny:
พี่ลองสอนผมคร่าวๆหน่อยได้ไหมครับ
เรามีหนังสือชื่อ Mathematical Methods in the Physical Sciences ของ Mary L. Boas ไหม ในนั้นอธิบายดี เราเข้าใจได้ง่าย ลองไปหาดู
ขอบคุณมากครับ เดี๋ยวผมจะลองไปหาโหลดดูครับ :)