mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => แบบฝึกหัดฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างค่าย => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 25, 2005, 08:42:36 AM



Title: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 25, 2005, 08:42:36 AM
ในกลศาสตร์คลาสสิก ในการชนระหว่างอนุภาคหนึ่งกับอนุภาคมวลเท่ากันอีกอนุภาคหนึ่งซึ่งเดิมอยู่นิ่ง มุมระหว่างความเร็วของอนุภาคทั้งสองหลังการชนเป็นมุมฉากเสมอ  จงแสดงว่าในการชนเชิงสัมพัทธภาพ

\displaystyle \tan \theta \; \tan \phi = \frac {2}{\gamma + 1}

โดยที่ \theta, \phi คือมุมระหว่างความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่ออกมาเทียบกับแนวความเร็วเดิมของอนุภาคที่เข้ามาชน และ \gamma คือ \frac{1}{\sqrt{1 - {v^2}/{c^2}}} เมื่อ v คืออัตราเร็วของอนุภาคที่เข้ามาชน

จงแสดงด้วยว่า \theta + \phi \leq \pi/2 โดยที่เครื่องหมายเท่ากับเป็นกรณีกลศาสตร์คลาสสิก


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: MwitStu. on December 26, 2005, 01:00:43 PM
แก้สมการไม่ออกอะครับ(ถ้าสมการไม่ผิด)


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 26, 2005, 01:27:47 PM
แก้สมการไม่ออกอะครับ(ถ้าสมการไม่ผิด)

มันท้าทายตรงนั้น  ;D


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: MwitStu. on December 26, 2005, 01:43:53 PM
ขอลองโพสสมการดูนะครับ ยังไม่แน่ใจว่าผิดหรือถูก
สมการแรก เป็นสมการพลังงาน
\displaystyle{\gamma+1=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}
สมการที่ 2 สมการโมเมนตัมในแนวแกน x
\displaystyle{v\gamma=\frac{v_1 \cos\theta}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}+\frac{v_2 \cos\phi}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}
สมการที่ 3 โมเมนตัมในแนวแกน y
\displaystyle{\frac{v_1 \sin\theta}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}=\frac{v_2 \sin\phi}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}
ทำไมเป็น สมการ 2 ตัวแปรแต่มี 3 สมการ งงๆๆ ???


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 26, 2005, 02:44:40 PM
...
ทำไมเป็น สมการ 2 ตัวแปรแต่มี 3 สมการ งงๆๆ ???

นับผิด  :o


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: NiG on December 26, 2005, 04:03:43 PM
เคนช่วยเขียนสมการตั้งแต่เริ่มต้นได้มั้ย อย่าเอาตอนท้ายมาเขียนเฉยๆไหนๆก็เขียนทั้งที


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: Peace on December 26, 2005, 05:14:38 PM
เคนช่วยเขียนสมการตั้งแต่เริ่มต้นได้มั้ย อย่าเอาตอนท้ายมาเขียนเฉยๆไหนๆก็เขียนทั้งที
ผมว่าอันนี้ก็คือสมการตั้งแต่เริ่มต้นแล้วนะ นอกจากว่าจะพิสูจน์สมการสัมพัทธภาพ :-\


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: MwitStu. on December 26, 2005, 06:49:20 PM
เอาใหม่
สมการพลังงาน
\displaystyle{\gamma m c^2+m c^2=\frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}+\frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}                    1
สมการโมเมนตัมในแนวแกน X
\displaystyle{m v\gamma=\frac{m v_1 \cos\theta}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}+\frac{m v_2 \cos\phi}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}                    2
สมการโมเมนตัมในแนวแกนY
\displaystyle{\frac{m v_1 \sin\theta}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}=\frac{m v_2 \sin\phi}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}                    3

สงสัยจะนับผิดครับ แต่ตอนนี้ยังนับได้เท่าเดิม ตัวแปรนอกจาก v_1,v_2 แล้วอีกตัวคืออะไรหรอครับ ???



Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 26, 2005, 06:52:31 PM
...
สงสัยจะนับผิดครับ แต่ตอนนี้ยังนับได้เท่าเดิม ตัวแปรนอกจาก v_1,v_2 แล้วอีกตัวคืออะไรหรอครับ ???

\theta, \phi เป็นปริมาณที่ไม่รู้ค่า เขาตั้งชื่อมาเฉย ๆ ให้ใช้ จะได้คุยกันรู้เรื่อง ไม่ได้กำหนดค่ามาเป็นตัวเลข  ;)


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ccchhhaaammmppp on December 26, 2005, 06:55:18 PM
ในการชนกันมวลเริ่มต้นไม่จำเป็นต้องเท่ามวลหลังชน ;D


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: MwitStu. on December 26, 2005, 07:02:27 PM
...
สงสัยจะนับผิดครับ แต่ตอนนี้ยังนับได้เท่าเดิม ตัวแปรนอกจาก v_1,v_2 แล้วอีกตัวคืออะไรหรอครับ ???

\theta, \phi เป็นปริมาณที่ไม่รู้ค่า เขาตั้งชื่อมาเฉย ๆ ให้ใช้ จะได้คุยกันรู้เรื่อง ไม่ได้กำหนดค่ามาเป็นตัวเลข   ;)
ขอบคุณครับ


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 26, 2005, 07:23:18 PM
ในการชนกันมวลเริ่มต้นไม่จำเป็นต้องเท่ามวลหลังชน ;D

สำหรับกรณีนี้คงเข้าใจผิดมั๊ง เดี๋ยวจะทำให้คนอื่นสับสน :o


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ccchhhaaammmppp on December 26, 2005, 07:41:42 PM
ผมบอกว่า"ไม่จำเป็นต้อง" นะครับ :)

แต่กรณีนี้จากการวิเคราะห์น่าจะเท่า(รึเปล่่า) เพราะถ้าคิดในกรอบของ cm ขนาดโมเมนตัมท้ายของ2ตัวเท่ากันอย่างสมมาตรซึ่งก็น่าจะมีมวลเท่ากันด้วย


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 26, 2005, 07:48:05 PM
ผมบอกว่า"ไม่จำเป็นต้อง" นะครับ :)

แต่กรณีนี้จากการวิเคราะห์น่าจะเท่า(รึเปล่่า) เพราะถ้าคิดในกรอบของ cm ขนาดโมเมนตัมท้ายของ2ตัวเท่ากันอย่างสมมาตรซึ่งก็น่าจะมีมวลเท่ากันด้วย

นี่แสดงว่าเข้าใจผิดแน่ ๆ เลย คนที่เข้าใจถูกเขาไม่มีวันจะพูดอย่างนั้น  8)


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ccchhhaaammmppp on December 26, 2005, 07:56:42 PM
งั้นขอที่เข้าใจถูกหน่อยครับ >:A


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 26, 2005, 08:12:01 PM
งั้นขอที่เข้าใจถูกหน่อยครับ >:A

สำหรับโจทย์ข้อนี้เป็นที่เข้าใจกันว่าอนุภาคไม่มีโครงสร้างภายใน (เช่นไม่ใช่อะตอมที่ประกอบด้วยนิวเคลียสและอิเล็กตรอน) ดังนั้นอนุภาคจึงมีพลังงานหยุดนิ่งเท่าเดิม ซึ่งหมายความว่ามวลเท่าเดิม เราได้ตกลงกันแล้วว่าเวลาเราใช้คำว่ามวลเราหมายถึงมวลที่วัดโดยผู้สังเกตที่อยู่นิ่งเทียบกับอนุภาค ที่ BDStu ทำมาถูกแล้ว เหลือแค่แก้สมการ แสดงความสัมพันธ์ที่ต้องการเท่านั้นเอง


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ccchhhaaammmppp on December 26, 2005, 08:31:52 PM
แล้วมีกรณีใดบ้างที่เมื่อชนแล้วมวลเฉื่อยไม่คงที่


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 27, 2005, 07:22:13 AM
แล้วมีกรณีใดบ้างที่เมื่อชนแล้วมวลเฉื่อยไม่คงที่

อ้าว! ก็เช่นข้อที่หลังชนอนุภาคทั้งสองติดกันไปเป็นก้อนเดียวที่ให้ทำในห้องเรียนไง  สำหรับโจทย์ที่ถามในที่นี้เป็นที่เข้าใจกันว่าเอกลักษณ์ของแต่ละอนุภาคยังเหมือนเดิมอยู่  8)


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: phys_pucca on December 27, 2005, 09:48:47 PM
ตอนนี้ผมกำลงจัดรูปอยู่ครับหัวหมุนไปเลย ไม่น่าเชื่อว่าคำตอบมันจะสวยงามเยี่ยงนั้น :'(


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: pattyphys on December 29, 2005, 09:12:15 AM
เอาใหม่
สมการพลังงาน
\displaystyle{\gamma m c^2+m c^2=\frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}+\frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}                     1
สมการโมเมนตัมในแนวแกน X
\displaystyle{m v\gamma=\frac{m v_1 \cos\theta}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}+\frac{m v_2 \cos\phi}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}                     2
สมการโมเมนตัมในแนวแกนY
\displaystyle{\frac{m v_1 \sin\theta}{\sqrt{1-\frac{{v_1}^2}{c^2}}}=\frac{m v_2 \sin\phi}{\sqrt{1-\frac{{v_2}^2}{c^2}}}}                     3

สงสัยจะนับผิดครับ แต่ตอนนี้ยังนับได้เท่าเดิม ตัวแปรนอกจาก v_1,v_2 แล้วอีกตัวคืออะไรหรอครับ ???


สมการหนึ่งนะครับ เจ้า \gamma ตัวนี้้ เจ้า u ความเร็วที่ซ่อนอยู่ภายในเจ้า \gamma น่าจะมีการระบุให้ชัดกว่านี้ หรือไม่ก็เขียนในรูปเต็มเลยจะดีกว่า เสนอครับ เช่น \gamma_i m c^2  เป็นต้น


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ccchhhaaammmppp on December 29, 2005, 07:49:06 PM
ผมขอใช้ว่า \displaystyle{\gamma \equiv\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} (สงสารคนพิมพ์latexหน่อยนะครับถ้าจะมาห้อย i ทุกตัว)
ระลึกก่อนจะดูที่ผมทำว่า v^2 \gamma^2 = c^2 (\gamma^2 -1) และ (1+\gamma)^2-(\gamma^2 -1) = 2(\gamma+1)

จากกฎโมเมนตัมคงตัวเราพบว่า |\vec{p}_{y1}|=|\vec{p}_{y2}|ซึ่งเรากำหนดให้ |\vec{p}_{y1}|=A

และได้อีกสมการว่า
mu\gamma \hat{i} = A\cot\theta\hat{i} + A\cot\phi\hat{i}

\cot\phi = \frac{mu\gamma}{A}-\cot\theta-------------------1

จากพลังงานคงตัว
mc^2 \gamma + mc^2 =c(\sqrt{A^2 \cosec^2 \theta +m^2 c^2}+\sqrt{A^2 \cosec^2 \phi+m^2 c^2})

m^2 c^2 (\gamma+1)^2+A^2 \cosec^2 \theta+m^2 c^2 -2mc(\gamma+1)\sqrt{A^2 \cosec^2 \theta +m^2 c^2}=A^2 \cosec^2 \phi + m^2 c^2

[m^2 c^2 (\gamma+1)^2 +A^2 (\cosec^2 \theta - \cosec^2 \phi)]^2 = 4m^2 c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cosec^2 \theta +m^2c^2)

[m^2 c^2 (\gamma+1)^2 +A^2 (\cot^2 \theta - \cot^2 \phi)]^2 = 4m^2 c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cosec^2 \theta +m^2c^2)
แล้วเอาสมการที่1มายัดลงไป

[m^2 c^2 (\gamma+1)^2 - m^2 v^2 \gamma^2 + 2Amv\gamma\cot\theta ]^2 = 4m^2 c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cosec^2 \theta +m^2c^2)

[m^2 c^2 (\gamma+1)^2 - m^2 c^2 (\gamma^2 -1) + 2Amv\gamma\cot\theta ]^2 = 4m^2 c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cot^2 \theta+A^2 +m^2c^2)

[mc^2 (\gamma+1)+Av\gamma\cot\theta ]^2 = c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cot^2 \theta+A^2 +m^2c^2)

m^2 c^4 (\gamma+1)^2 +A^2 c^2 (\gamma^2 -1)\cot^2 \theta +2mc^2 Av\gamma (\gamma +1)\cot\theta= c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cot^2 \theta+A^2 +m^2c^2)

A^2 c^2 (\gamma^2 -1)\cot^2 \theta +2mc^2 Av\gamma (\gamma +1)\cot\theta= c^2 (\gamma+1)^2(A^2 \cot^2 \theta+A^2)

2mv\gamma (\gamma +1)\cot\theta=(\gamma+1)^2 A\cot^2 \theta-A(\gamma^2 -1)\cot^2 \theta+A(\gamma+1)^2

2mv\gamma\cot\theta=2A\cot^2 \theta+A(\gamma+1)

2A \cot^2 \theta-2mv\gamma\cot\theta +A(\gamma+1)=0

เนื่องจากสมการที่1 แสดงให้เราเห็นว่า ถ้าทำในทำนองเดียวกันจะได้

2A \cot^2 \phi -2mv\gamma\cot\phi +A(\gamma+1)=0
จึงสรุปได้ว่า คำตอบของสมการกำลัง2นี้ จะได้ราก2ตัวคือ \cot\thetaกับ \cot\phi
สมการพหุนาม ax^2 +bx+c=0 มีผลคูณของรากเป็น \frac{c}{a}

ได้ว่า \displaystyle{\cot\theta\cot\phi = \frac{\gamma+1}{2}}

\displaystyle{\tan\theta\tan\phi = \frac{2}{\gamma+1}} ;D


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 30, 2005, 07:21:54 AM
กู้กลับขึ้นมาให้แล้ว

[-X  วันหลังอย่าลืม preview ก่อน ความประมาทอาจทำให้เสียหายได้อย่างคาดไม่ถึง

...
A^2 c^2 (\gamma^2 -1)\cot\theta +2mc^2 Av\gamma (\gamma +1)\cot\theta= A^2 c^2 (\gamma+1)^2 \cot^2 \theta+A^2 c^2 (\gamma+1)^2)

2A \cot^2 \theta-2mv\gamma\cot\theta +A^2 (\gamma+1)

เนื่องจากสมการที่1 แสดงให้เราเห็นว่า ถ้าทำในทำนองเดียวกันจะได้

2A \cot^2 \phi -2mv\gamma\cot\phi +A^2 (\gamma+1)
จึงสรุปได้ว่า คำตอบของสมการกำลัง2นี้ จะได้ราก2ตัวคือ \cot\thetaกับ \cot\phi
สมการพหุนาม ax^2 +bx+c=0 มีผลคูณของรากเป็น \frac{c}{a}

ได้ว่า \displaystyle{\cot\theta\cot\phi = \frac{\gamma+1}{2}}

\displaystyle{\tan\theta\tan\phi = \frac{2}{\gamma+1}} ;D

ในบรรทัดก่อน "เนื่องจากสมการที่1 ..." มันเป็นสมการหรือเปล่า ??? หรือว่ามีอะไรขาดไป มันจากสมการก่อนหน้านั้นอย่างไร ???


Title: Re: การชนของอนุภาคมวลเท่ากันเมื่ออัตราเร็วสูงมาก ๆ
Post by: ccchhhaaammmppp on December 30, 2005, 07:47:21 PM
...
ในบรรทัดก่อน "เนื่องจากสมการที่1 ..." มันเป็นสมการหรือเปล่า  ???  หรือว่ามีอะไรขาดไป มันจากสมการก่อนหน้านั้นอย่างไร  ???
...
แก้แล้วค้าบ :D

...
กู้กลับขึ้นมาให้แล้ว 

[-X  วันหลังอย่าลืม preview ก่อน ความประมาทอาจทำให้เสียหายได้อย่างคาดไม่ถึง
...
คราวหน้าผมจะไม่ลืมpreviewแล้วค้าบ >:A  เหมือนกับเวลาทำข้อสอบเสร็จต้องอย่าลืมตรวจทาน