mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ไทย Thai Physics Olympiad => Topic started by: saris2538 on November 03, 2012, 10:31:14 PM



Title: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: saris2538 on November 03, 2012, 10:31:14 PM
 :) :2funny: :reading ](*,) :embarassed: :laugh:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on November 03, 2012, 11:14:30 PM
:) :2funny: :reading ](*,) :embarassed: :laugh:

เอาข้อสอบแล็ปลงด้วยสิครับ  :coolsmiley:

ป.ล. ครั้งนี้สะเพร่าไปพอสมควรเลย ต้องลุ้นต่อไป  :buck2:  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: Wanted on November 03, 2012, 11:50:43 PM
ข้อCrookes radiometer อาจารย์เปิดคลิปให้ดูในห้อง(ตามลิงก์ครับ(คลิปนี้เลยหละ55ที่อ.เปิด) http://www.youtube.com/watch?v=cey-JBeHrww )  แล้วก็เอามาออกข้อสอบเลย :buck2:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on November 04, 2012, 06:57:09 PM
ขอลองทำส่วนของ อ.สิรพัฒน์ ก่อนเลยนะครับ

1) กระบวนการแรก ปริมาตรคงที่ รับความร้อน Q จากนิยามของ c_v จะได้ว่า

Q = nc_v \Delta T &=& \dfrac{P_0 V_0}{ \gamma - 1 } ( \dfrac{T_1}{T_0} - 1 )

จะได้ว่า T_1 &=& T_0 \left ( 1 &+& \dfrac{Q( \gamma - 1)}{P_0 V_0 } \right )

จากปริมาตรคงตัว ได้ว่า \dfrac{P_0}{T_0} &=& \dfrac{P_1}{T_1}  ได้ว่า P_1 &=& P_0 + \dfrac{Q( \gamma - 1)}{V_0} และ V_1 &=& V_0

โดย Q_1 &=& Q

2) กระบวนการที่สอง อุณหภูมิคงตัว จึงได้ว่า P_1V_1 &=& P_2 V_2

ดังนั้น P_2 &=& \dfrac{P_1V_0}{\alpha V_0} &=& \dfrac{P_0}{\alpha} + \dfrac{Q( \gamma - 1)}{\alpha V_0}

T_2 &=& T_1 &=& T_0 \left ( 1 &+& \dfrac{Q( \gamma - 1)}{P_0 V_0 } \right )  และ V_2 &=& \alpha V_0

โดย Q_2 &=& P_1 V_1 \ln ( \alpha ) &=& \left ( P_0 V_0 + Q( \gamma - 1 ) \right ) \ln \alpha

3) กระบวนการที่สาม ปริมาตรคงตัว โดยผมมองว่า ก๊าซจะถ่ายเทความร้อนไปเรื่อยๆ จนกว่าอุณหภูมิจะเท่ากับลูกสูบเย็น คือ T_0

ดังนั้น  \dfrac{P_2}{T_2} &=& \dfrac{P_3}{T_3} จะได้ว่า P_3 &=& \dfrac{P_0}{\alpha}

V_3 &=& V_2 &=& \alpha V_0 และ T_3 &=& T_0

โดย Q_3 &=& nc_V ( T_0 - T_2 ) &=& -Q

4) กระบวนการที่สี่ อุณหภูมิคงตัว กลับไปที่สถานะเดิม ดังนั้น T_4 &=& T_0 V_4 &=& V_0 และ P_4 &=& P_0

โดย Q_4 &=& P_4V_4 \ln(1/\alpha) &=& - P_0 V_0 \ln ( \alpha)

สังเกตว่ากระบวนการที่ 1 และ 2 ความร้อนเข้าสู่ระบบ จะได้ว่า Q_{in} &=& Q_1 + Q_2 &=& Q &+& \left ( P_0 V_0 + Q( \gamma - 1 ) \right ) \ln \alpha

สังเกตว่ากระบวนการที่ 3 และ 4 ความร้อนออกจากระบบ จะได้ว่า Q_{out} &=& Q_3 + Q_4 &=& - ( Q + P_0 V_0 \ln ( \alpha) )

ดังนั้นประสิทธิภาพของเครื่องยนต์นี้คือ \eta &=& \dfrac{W}{Q_{in} } &=& 1 - \left| \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} \right| &=&  \dfrac{Q( \gamma - 1) \ln \alpha }{ Q + P_0 V_0 \ln \alpha + Q( \gamma - 1) \ln \alpha } &=& 1 - \dfrac{1}{1+ \frac{ (\gamma - 1)Q \ln \alpha}{Q + P_0 V_0 \ln \alpha } } .................... ตอบข้อย่อยที่ 2


มาถึงข้อย่อยที่ 3 นะครับ

เรามองว่า ตัวเลข 100 \; \mbox{mW} นี่เป็นกำลังต่อ 1 \; \mbox{m^2} ครับ ให้ค่านี้แทนด้วย I จะได้ว่า ความดันที่ทำต่อแผ่นคือ P &=& \dfrac{I}{c} (ความดันจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า)  ให้ลำแสงมีรัศมี R ก็จะได้ว่า แรงที่แสงทำต่อแผ่นคือ \dfrac{I \pi R^2}{c}

ตามโจทย์ให้พิจารณาเป็นมวลจุด สมมติให้แต่ละแผ่นมีมวล m อยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะเท่ากับ d ก็จะได้สมการทอร์กรอบแกนหมุนเป็น

\displaystyle \sum_{ }\vec{\tau} &=& I \vec{\alpha}

\dfrac{I \pi R^2 d}{c} &=& (4md^2) \dfrac{ d\omega}{dt}

โดยแผ่นเริ่มหมุนจากหยุดนิ่งจึงได้ \omega &=& \dfrac{I \pi R^2 t}{4mdc} ดังนั้นจำนวนรอบต่อวินาทีหรือความถี่จึงมีค่าเป็น f &=& \dfrac{I \pi R^2 t}{8\pi mdc}

แทนค่าเป็นตัวเลข I &=& 100\times 10^{-3} \; \mbox{W/m^2}

m &=& 0.01 \; \mbox{kg}

d &=& 0.02 \; \mbox{m}

R &=& 0.001 \; \mbox{m}

t &=& 60 \; \mbox{s}

c &=& 3.00 \times 10^{8} \; \mbox{m/s}

จะได้ว่า f &=& 1.25 \times 10^{-11} \; \mbox{Hz} หรือ 1.25 \times 10^{-11} รอบต่อวินาที ซึ่งน้อยมาก  :idiot2: ....... ตอบข้อย่อยที่ 3

มาถึงข้อย่อยที่ 4 ครับ ผมคิดว่า จากสมการความดันในข้อย่อยที่แล้ว เห็นได้ว่า ถ้าผิวด้านไหนได้รับความเข้มมากกว่า ก็จะมีความดันมาทำต่อฝั่งนั้นมากกว่า จึงมีแรงดันมากกว่าอีกฝั่ง เราเห็นได้ว่า ฝั่งสีดำสามารถดูดกลืนความเข้มได้มากกว่าสีขาว จึงมีความดันทำต่อด้านสีดำมากกว่าสีขาว ส่งผลให้ได้รับแรงดันมากกว่า ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า แผ่นจะหมุนไปในทิศที่เรายิงแสงเข้าใส่แผ่นสีดำ .............................. ตอบข้อย่อยที่ 4

แก้ไขนะครับ ไม่น่าพลาดเลย โดยในข้อย่อยนี้นั้น เราใช้กลศาสตร์คลาสสิกวิเคราะห์ว่า ฝั่งสีดำนั้น แสงที่ยิงเข้าไปจะถูกดูดกลืนไว้ทั้งหมดโดยไม่สะท้อนออกมาเลย ส่วนสีขาวจะสะท้อนออกมาอย่างเต็มที่ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจึงเกิดที่ฝั่งด้านสีขาวมากกว่า จึงสรุปได้ว่า ด้านสีขาวนั้นถูกแรงกระทำมากกว่าด้านสีดำ ดังนั้นแผ่นจะหมุนไปในด้านที่ยิงแสงเข้าใส่แผ่นสีขาว ................................ ตอบข้อย่อยที่ 4

สำหรับข้อย่อยที่ 5 ครับ ผมมองว่า ถ้าเปรียบเทียบเครื่องจักร Stirling เป็นแผ่นแล้ว ความร้อนที่เข้าสู่ระบบทั้งหมดก็คือ ความร้อนจากเลเซอร์นั่นเอง ตรงนี้จะเทียบได้กับตอนผ่านกระบวนการรับความร้อนแบบปริมาตรคงที่ และกระบวนการรับความร้อนแล้วขยายตัวตอน isothermal จากนั้น กระบวนการต่อไปคือการแผ่ความร้อนไปยังบริเวณรอบๆที่เย็นกว่าของแผ่น รวมถึงด้านสีขาวที่ได้รับความร้อนน้อยกว่าด้วย ระหว่างกระบวนการนี้ เรามองได้ว่า งานที่ได้จากวัฎจักรก็คือ งานในการเพิ่มพลังงานจลน์ของการหมุนของแผ่นนั่นเอง จากนั้นแผ่นก็จะเริ่มคายความร้อน ( เทียบได้กับ ตอนคายความร้อนแบบปริมาตรคงที่ และแบบ isothermal ไปสถานะเดิม ) ออกไป โดยงานสุทธิที่ได้จากการให้ความร้อนทั้งหมดนี้ ก็คือพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของแผ่นนั่นเอง โดยถ้าใช้มุมมองด้านอุณหพลศาสตร์มาอธิบาย เราจะเห็นได้ว่า ในช่วงแรกของการยิงนั้น อุณหภูมิของแผ่นด้านสีดำสูงกว่าแผ่นด้านสีขาว ดังนั้นจากสมการ PV = nRT จะพอกล่าวได้ว่า แผ่นด้านสีดำมีแรงดันกระทำมากกว่าด้านสีขาว ดังนั้นแผ่นจะหมุนไปในทิศที่เรายิงแสงเข้าใส่แผ่นสีดำ  ...... ตอบข้อย่อยที่ 5

จากผลในข้อย่อยที่ 2 เราได้ว่างาน W &=& Q( \gamma - 1) \ln \alpha &=& ( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha

จากทฤษฎีงาน-พลังงาน เราได้ว่า W &=& \dfrac{1}{2} I \omega^2 &=& 2md^2 \omega^2 &=& ( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha

จึงได้ว่า \omega &=& \sqrt{ \dfrac{( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha}{2md^2 }}  ดังนั้นความถี่หรือจำนวนรอบต่อวินาทีจึงเป็น f &=& \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{ \dfrac{( \gamma - 1) I \pi R^2 t\ln \alpha}{2md^2 }}

แทนค่าเป็นตัวเลข  I &=& 100\times 10^{-3} \; \mbox{W/m^2}

m &=& 0.01 \; \mbox{kg}

d &=& 0.02 \; \mbox{m}

R &=& 0.001 \; \mbox{m}

t &=& 60 \; \mbox{s}

\gamma \approx 1.5

\alpha &=& 2

จะได้ว่า f \approx 0.14 \; \mbox{Hz} หรือประมาณ 0.14 รอบต่อวินาที ........................... ตอบข้อย่อยที่ 5

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: Wanted on November 04, 2012, 08:37:24 PM
Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X   \Sigma F=ma

F\cos \alpha -f = ma

f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)

คิดทอร์กรอบจุดCM.

\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}

 fR-Fr = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha
(ทอร์กจากแรงเสียดทานต้องมากกว่าทอร์กของแรงF เพราะ เมื่อวัตถุเกิดการกลิ้งแบบไม่ไถลไปด้านหน้า \omega จะอยู่ในทิศตามเข็มนาฬิกา)

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า  \alpha =\frac{a}{R}

 fR-Fr = \frac{maR}{2}  \ldots (2)

เอา(1)แทนใน(2)

ได้  a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR}    \underline{Ans}



Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: It is GOL on November 04, 2012, 09:10:05 PM
เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น a=-\alpha R มากกว่านะ  ???

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on November 04, 2012, 10:59:31 PM
Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X   \Sigma F=ma

F\cos \alpha -f = ma

f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)

คิดทอร์กรอบจุดCM.

\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}

Fr- fR = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า  \alpha =\frac{a}{R}

Fr-fR = \frac{maR}{2}  \ldots (2)

เอา(1)แทนใน(2)

ได้  a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{mR}    \underline{Ans}



อย่าลืมว่า ทิศทางของทอร์กจากแรงเสียดทานมันไปทางเดียวกับทิศการหมุนของวัตถุนะครับ ดังนั้นสมการทอร์ก เครื่องหมายสลับกัน คำตอบควรเป็น a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR}    \underline{Ans} แบบที่น้องทำได้ในห้องสอบ  :coolsmiley:

เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น a=-\alpha R มากกว่านะ  ???

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง

ตามนั้นเลยครับ  ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: Wanted on November 05, 2012, 07:30:55 PM
Part กลศาสตร์

ข้อ2) สมมติว่าแรงเสียดทานมีทิศต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

คิดในแนวแกน X   \Sigma F=ma

F\cos \alpha -f = ma

f = F\cos \alpha - ma \ldots (1)

คิดทอร์กรอบจุดCM.

\Sigma \vec{\tau }= I \vec{\alpha}

Fr- fR = (\frac{1}{2}mR^{2})\alpha

จากเงื่อนไขการกลิ้งแบบไม่ไถล ได้ว่า  \alpha =\frac{a}{R}

Fr-fR = \frac{maR}{2}  \ldots (2)

เอา(1)แทนใน(2)

ได้  a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{mR}    \underline{Ans}



อย่าลืมว่า ทิศทางของทอร์กจากแรงเสียดทานมันไปทางเดียวกับทิศการหมุนของวัตถุนะครับ ดังนั้นสมการทอร์ก เครื่องหมายสลับกัน คำตอบควรเป็น a=\frac{2F(R\cos \alpha - r)}{3mR}    \underline{Ans} แบบที่น้องทำได้ในห้องสอบ  :coolsmiley:

เงื่อนไขการกลิ้งไม่ไถล พี่นิยามทิศอย่างไรเหรอครับ ผมว่ามันน่าจะเป็น a=-\alpha R มากกว่านะ  ???

ปล.ตอนแรกก็แทนเหมือนพี่ แล้วก็งงทิศเอง

ตามนั้นเลยครับ  ;D
ขอบคุณพี่dy และน้องIt is Gol มากครับ :smitten: ที่ช่วยเช็ค   (ทำเองงงเอง55 :buck2:)
ปล.งั้นในห้องสอบผมก็ทำถูกแล้วสิครับ เย่เย่ ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: saris2538 on November 06, 2012, 07:59:34 PM
ข้อ 1 อ.ขวัญ ;D

แรดสุดมีคลื่นลูกเดียวที่ออกจากเครื่องเคาะ ต่อมาคลื่นดังกล่าวสะท้อนกำแพง ตอนนี้มีคลื่นสองขบวน ต่อมาคลื่นอันที่สองสะท้อนปลายด้านใกล้เครื่องเคาะ ตอนนี้มีคลื่นสามขบวน ไปเรื่อยๆ จะมีคลื่นจำนวนหลายขบวนมาก แต่เราสามารถมองได้ว่า คลื่น"ขาไป"ทุกขบวนรวมกันเป็นคลื่นไซน์ 1 ขบวน และ คลื่น"ขากลับ" ทุกขบวนรวมกันเป็นคลื่นไซน์ 1 ขบวนได้ เพราะคลื่นย่อยแต่ละลูกเป็นคลื่นไซน์ บวกกันก็เป็นไซน์อยู่ดี

ให้ \displaystyle y_1=Ae^{i(\omega t-kx)} เป็นฟังก์ชันคลื่นรวมของคลื่นขาไป โดยที่ \displaystyle A,B อาจจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้

\displaystyle y_2=Be^{i(\omega t+kx)} เป็นฟังก์ชันคลื่นรวมของคลื่นขากลับ

\displaystyle y(x,t) คือผลบวกของคลื่นสองขบวนนี้: \displaystyle y(x,t)=y_1+y_2


<<ใช้วิธีพี่ K.P. เป็นวิธีที่ดูดีกว่า! ;)>>
เงื่อนไขคือ \displaystyle y(x,t) ที่ \displaystyle x=L ต้องเป็น 0 (เพราะมันเป็นปลายตรึง) ดังนั้น

\displaystyle 0=Ae^{i(\omega t-kL)}+Be^{i(\omega t+kL)}

ได้ \displaystyle B=-Ae^{-2ikL}

\displaystyle \therefore y_2=Ae^{i(\omega t+k(x-2L)-\pi)}

ต่อไปเป็นคณิตศาสตร์แสนสนุก  :2funny:

\displaystyle e^{ia}+e^{ib} = \cos a+i \sin a + \cos b +i \sin b

\displaystyle =(\cos a + \cos b) + i(\sin a + \sin b)



ใช้สูตร \displaystyle a+bi=\sqrt{a^2+b^2} e^{i \arctan\frac{b}{a}}

\displaystyle =\sqrt{(\cos a + \cos b)^2+(\sin a + \sin b)^2} e^{i \arctan\frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}}

\displaystyle =\sqrt{1+1+2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)} e^{i \arctan\frac{2 \sin\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}{2 \cos\frac{a+b}{2} \cos\frac{a-b}{2}}}

\displaystyle =\sqrt{4\times\frac{1}{2}(1+\cos2\frac{a-b}{2})} e^{i\frac{a+b}{2}}

\displaystyle =2\cos \frac{a-b}{2} e^{i\frac{a+b}{2}}



ดังนั้น y_1+y_2 = Ae^{i \omega t}\left[ e^{i(k(x-2L)-\pi)} + e^{i(-kx)} \right]

= Ae^{i \omega t}\left[ 2\cos\left( k(x-L) - \frac{\pi}{2} \right) e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}\right]

\therefore y(x,t) = 2Ae^{i \omega t}\sin \left( k(x-L) \right)  e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}---> (*)



ความสัมพันธ์ระหว่างแรงขับ และ ความชันเชือก ณ จุดที่แรงขับทำคือ \displaystyle Fe^{i \omega t} = -T\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_{x=0}

\displaystyle Fe^{i \omega t} = -T2Ae^{i \omega t}k\cos \left(-kL \right)  e^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)}

\displaystyle \therefore 2Ae^{i\left( -kL - \frac{\pi}{2} \right)} = \frac{-F}{Tk \cos kL}



แทนในสมการ (*) จะได้
\displaystyle y(x,t) = \frac{-F}{Tk \cos kL} \sin \left( k(x-L) \right) e^{i \omega t}

\displaystyle \therefore y(x,t) = \frac{F}{Tk} \frac{\sin \left( k(L-x) \right)}{\cos kL} e^{i \omega t}

จบการพิสูจน์  :)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on November 06, 2012, 09:47:49 PM
วิชา แม่เหล็กไฟฟ้า ข้อ 3 นะครับ

เราสามารถเขียนสมการที่บรรยายผิวโค้งนี้เป็น \phi &=& 0 &=& y - x^2

เราสังเกตว่า \vec{N_1} และ \vec{N_2} ก็คือ GRADIENT ( เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับผิวโค้ง ) ของผิวนี้ที่ตำแหน่ง x และ -x ตามลำดับ

ดังนั้นเราได้ว่า \vec{N_1} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x } \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y } \hat{j} ที่ x &=& x

และ \vec{N_2} &=& \frac{\partial \phi}{\partial x } \hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y } \hat{j} ที่ x &=& -x

จึงได้ว่า \vec{N_1} &=& 1\hat{j} - 2x \hat{i} และ \vec{N_2} &=& 1\hat{j} + 2x \hat{i}

ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน จะได้ว่า dot product ของมันเป็นศูนย์

\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} &=& 0

ได้ 1 - 4x^2 &=& 0

ดังนั้น x &=& \pm \dfrac{1}{2}   :coolsmiley:

ป.ล. ตอนสอบผมเขียนเวกเตอร์ \hat{i} กับ \hat{j} สลับที่กัน แม้คำตอบออกมาถูกอยู่ดี แต่ไม่รู้จะโดนแค่ไหน  :buck2:  ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: K.P. on November 06, 2012, 10:21:58 PM
ขอบคุณมากครับคุณ saris2538 สำหรับวิธีทำข้อ1. ผมหายงงวิธีคิดเฟสแล้ว :)

ผมขอเสนอเพิ่มเติมวิธีแก้ข้อ1.วิชาคลื่นนะครับ

คือ เราสามารถเขียนคลื่น y = y1+y2 = Ae^i(wt-kx) + Be^(wt+kx)

ได้เลย และไม่ต้องสนใจเฟส เพียงแต่ต้องใส่เงื่อนไขตั้งต้นให้ถูกต้อง

เพราะเฟสรวมอยู่ใน A,B เรียบร้อยแล้ว นี่เป็นข้อดีของการเขียนฟังก์ชั่นคลื่นด้วยจำนวนเชิงซ้อน

เช่น ถ้าคลื่นมันกลับเฟส -Ae^(wt-kx) = Ae^(pi) * e^(wt-kx) = Ae^(wt-kx+pi) ; -1 = e^(pi)

จะเห็นว่าเราติดไว้ในรูปค่าคงที่ได้เลย

ซึ่งในอนาคต ถ้าโจทย์ต้องการถามเฟส เราก็สามารถเปลี่ยนจำนวนเชิงซ้อนกลับมาเป็นเฟสได้


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: K.P. on November 06, 2012, 10:49:20 PM
แม่เหล็กไฟฟ้าข้อ2.

จาก \vec{F} = m\vec{a}

q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B)} = m\vec{a}

q\left(E\hat{j}+ \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j}  & \hat{k} \\ v_{x} &v_{y} & v_{z}\\ 0& 0 & B\end{vmatrix}\right) = m\vec{a}

q(E\hat{j}+v_{y}B\hat{i}-v_{x}B\hat{j})=m(a_{x}\hat{i}+a_{y}\hat{j}+a_{z}\hat{k})

จะเห็นว่า ไม่มีแรงองค์ประกอบในแนวแกน Z ดังนั้น v_{z} คงที่ ซึ่งแต่เดิมเป็นศูนย์อยู่แล้ว ดังนั้น v_{z}=0

ต่อมานำสมการด้านบนมาเขียนแยกเป็นแต่ละแกน

จะได้  m\frac{\mathrm{d} v_{x} }{\mathrm{d} t} = qv_{y}B

และ  m\frac{\mathrm{d} v_{y} }{\mathrm{d} t} = q(E- v_{x}B)

นำสมการแรก แทนลงในสมการที่สอง

\frac{\mathrm{d}^{2} v_{x}} {\mathrm{d} t^{2}} = - \frac{(qB)^{2}}{m^{2}} (v_{x}-\frac{E}{B})

ดังนั้น

v_{x} = Asin(\frac{qB}{m}t+\theta)+\frac{E}{B}

***วันนี้ดึกแล้ว เดียวมาพิมพ์ต่อนะครับ  :)

จากเงื่อนไขตั้งต้น v_{x}=0 และ a_{x}=qv_{y}(0)\times B=0

เราได้ v_{x}(t) = \frac{E}{B}(1-sin(\frac{qB}{m}+\frac{\pi}{2}) )

ด้วยการผสมสมการในทำนองเดียวกัน เราได้

\frac{\mathrm{d}^{2} v_{y}} {\mathrm{d} t^{2}} = - \frac{(qB)^{2}}{m^{2}} (v_{y})

ดังนั้น v_{y}=Csin(\frac{qB}{m}+\phi)

จากเงื่อนไขตั้งต้น v_{y}=0 และ a_{y}(0)=\frac{qE}{m}

เราได้ v_{y}=\frac{E}{B}sin(\frac{qB}{m}t)

อินทิเกรตเทียบเวลา และใส่เงื่อนไขตั้งต้นy(0)=0 เราได้ y(t)=\frac{Em}{qB^{2}}(1-cos(\frac{qB}{m}t))


ตอบ ก.) 2\frac{mE}{qB^{2}}

ตอบ ข.) \frac{2\pi m}{qB}

จาก v_{x}(t) = \frac{E}{B}(1-sin(\frac{qB}{m}+\frac{\pi}{2}) )

&lt;v_{x}&gt; = \frac{E}{B}(1-0) ; เฉลี่ย sine กับเวลาเป็น 0

ตอบ ค.)  \frac{E}{B}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: K.P. on November 07, 2012, 09:33:55 PM
ข้อ1. แม่เหล็กไฟฟ้า  :)

ก.) \delta E_{x}=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{\delta q}{r^{2}} cos(\theta) เมื่อ \theta เป็นมุมที่เส้นจากประจุทำกับเส้นแกน x ; E_{y}=0 ด้วยความสมมาตรของทรงกระบอก

แต่  \delta q = \sigma 2 \pi R \delta \xi  ,  cos(\theta)=\frac{x-\xi}{r} และ r^{2}=R^{2}+(x-\xi)^{2}

ดังนั้น  E_{x} = \int_{-l}^{+l} \frac{1}{4 \pi \epsilon}  \frac{\sigma 2 \pi R }{(R^{2}+(x-\xi)^{2})^{3/2}}(x-\xi) d\xi

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{x-\xi}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}} d\xi

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{x-\xi}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}} \frac{d(R^2+(x-\xi)^{2}}{-2(x-\xi)}

 E_{x} = -\frac{\sigma R}{4 \epsilon} \int_{-l}^{+l} \frac{1}{(R^2+(x-\xi)^2)^{3/2}}d(R^2+(x-\xi)^{2})

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(R^{2}+(x-\xi)^{2})^{1/2}}]_{-l}^{+l}

ตอบ ก.)  E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(R^{2}+(x-l)^{2})^{1/2}}-\frac{1}{(R^{2}+(x+l)^{2})^{1/2}}]

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{(1-\frac{2xl}{l^{2}+R^{2}})^{1/2}} -\frac{1}{(1+\frac{2xl}{(l^{2}+R^{2}})^{1/2}} ]\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [(1+\frac{xl}{l^{2}+R^{2}}) -(1-\frac{xl}{(l^{2}+R^{2}}) ]\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}

 E_{x} = \frac{\sigma R}{ \epsilon}\frac{xl}{l^{2}+R^{2}}\frac{1}{(l^{2}+R^{2})^{1/2}}

ตอบ ข.)    E_{x} = \frac{\sigma R xl}{ \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}}

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon} [\frac{1}{x(1-\frac{2l}{x})^{1/2}}-\frac{1}{x(1+\frac{2l}{x})^{1/2}}]

 E_{x} = \frac{\sigma R}{2 \epsilon x} [(1+\frac{l}{x}-(1-\frac{l}{x})]

ตอบ ค.)   E_{x} = \frac{\sigma R l}{\epsilon x^{2}} ซึ่งถ้าเอา 4 \pi ไปคูณ  E_{x} = \frac{2 \pi R (2l) \sigma}{4 \pi \epsilon x^{2}}

 E_{x} = \frac{q}{4 \pi \epsilon x^{2}} หรือ เสมือนเป็นประจุจุดนั่นเอง

เมื่อ x \to 0  นั่นคือ x\ll R,l

จึงใช้การประมาณจากข้อ ข.)

จาก \vec F = m \vec a

-qE = m\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}}

\frac{\mathrm{d^{2}}x }{\mathrm{d} t^{2}} =- \frac{\sigma R q l}{ m \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}} x

 f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\sigma R q l}{ m \epsilon (l^{2}+R^{2})^{3/2}}}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on November 07, 2012, 10:47:09 PM
คลื่นข้อ 2 นะครับ

2.1) จากโจทย์จะได้ว่า แอมพลิจูดของคลื่นสามเหลี่ยมนี้ (ระยะจากแนวกลางไปยังยอดของมัน) คือ u \tau และความยาวฐานสามเหลี่ยมคือ 2v \tau (เราสะบัดเพื่อสร้างสามเหลี่ยมนาน 2\tau )

พิจารณาว่าทุกส่วนของเชือกสามเหลี่ยมกำลังมีอัตราเร็วในแนวดิ่ง u เท่ากันหมด  ( ตอนสอบผมไปใช้ v  :buck2: ) และเชือกสามเหลี่ยมยาว 2v\tau ดังนั้นมันมีมวล 2\mu v \tau

เราจึงได้ว่าพลังงานจลน์ของคลื่นสามเหลี่ยมนี้คือ  K &=& \dfrac{1}{2}(2\mu v \tau)(u^2) &=&\mu u^2 v \tau

ส่วนการหาพลังงานศักย์นั้น เรามองว่า เชือกส่วนเล็กๆที่เดิมยาว dx ถูกแรงตึงเชือก T ยืดออกให้ยาว dl \approx dx + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial y}{\partial x } \right)^2 dx

ดังนั้นพลังงานศักย์ที่สะสมในส่วนน้อยๆนี้   dU &=& T ( dl - dx ) &=& \dfrac{1}{2} T \left( \dfrac{\partial y}{\partial x } \right)^2 dx &=& \dfrac{1}{2} T \dfrac{u^2}{v^2} dx

จึงได้  U &=& \dfrac{Tu^2}{2v^2} \displaystyle \int_{x=0}^{x=2v \tau} dx &=& \dfrac{Tu^2 \tau}{v} เป็นพลังงานศักย์ของเชือกส่วนนี้

2.2) ข้อนี้ตอนสอบ ผมใช้ว่า จากทฤษฎีงาน-พลังงาน เราสรุปได้ว่า

งานจากแรงลัพธ์ = พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไป  จากนั้น ถ้ามองว่า งานจากแรงลัพธ์ มาจาก งานจากแรงที่เราสะบัด รวมกับ งานของแรงตึงเชือกที่ยืดเชือก ( ทำให้เกิดพลังงานศักย์ )

ก็จะได้ว่า W_{other} + W_{tension} &=& W_{other} - \Delta U &=& \Delta K จึงสรุปได้ว่า W_{other} &=& \Delta ( U + K)

ซึ่งถ้าเริ่มจาก K &=& U &=& 0 ก็จะได้ว่า งานจากแรงที่สะบัด เท่ากับ พลังงานกลของคลื่นนั่นเอง  :coolsmiley:

หรืออาจจะทำตรงๆได้ดังนี้ พิจารณาขณะใดๆที่เราดึงปลายเชือกขึ้นไปทำมุม \theta น้อยๆ ( น้อยเพราะ u \ll v ) กับแนวราบ ปลายนี้จะสูง udt จากแนวราบ และเชือกจะไปในแนวระดับได้ทาง vdt

จึงได้ว่า F &=& T \sin \theta \approx T\dfrac{u}{v} ( แรงลัพธ์ที่ปลายเป็น 0 เพราะปลายมีมวลน้อยมาก )

และได้งานของแรงดึงเป็น dW &=& \dfrac{Tu}{v} dy &=& \dfrac{Tu^2}{v} dt

W &=& \dfrac{Tu^2}{v} \displaystyle \int_{0}^{2 \tau } dt &=& \dfrac{2Tu^2\tau}{v}

พลังงานกลของเชือกคือ E &=& K &+& U &=& \mu u^2 v \tau + \dfrac{Tu^2 \tau}{v} &=& \dfrac{2Tu^2 \tau}{v} โดยอาศัยความรู้ที่ว่า v &=& \sqrt{ \dfrac{T}{\mu}}

เห็นได้ว่า W &=& E หรืองานที่เราทำในการสะบัดเชือกเท่ากับพลังงานกลของเชือกนั่นเอง  :coolsmiley:

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: saris2538 on November 07, 2012, 11:15:18 PM
ทีธคุง (คุณ dy ;D) เวลาเราคิดมวลเชือก เราเอา \mu คูณด้วย ความยาวเชือก "ตอนยังไม่ยืด" ไม่ใช่หรอครับ เพราะเชือกตอนยังไม่ยืด โจทย์กำหนดให้ว่ามีความหนาแน่นมวลเชิงเส้นคงที่เป็น \mu แต่เชือกตอนยืดแล้วเราไม่รู้ความหนาแน่นมวลเชิงเส้นนะ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on November 07, 2012, 11:23:09 PM
ทีธคุง (คุณ dy ;D) เวลาเราคิดมวลเชือก เราเอา \mu คูณด้วย ความยาวเชือก "ตอนยังไม่ยืด" ไม่ใช่หรอครับ เพราะเชือกตอนยังไม่ยืด โจทย์กำหนดให้ว่ามีความหนาแน่นมวลเชิงเส้นคงที่เป็น \mu แต่เชือกตอนยืดแล้วเราไม่รู้ความหนาแน่นมวลเชิงเส้นนะ

แก้ไขแล้วนะครับ ขอบคุณมาก แบบนี้ในห้องสอบก็ผิดไปอีกสิ ข้อนี้จะได้ถึง 5 คะแนนไหมนี่  :buck2:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: saris2538 on November 09, 2012, 05:40:26 PM
คุณ dy เครียดไปมั้ยนั่น  :buck2:

ข้อ 3 อ.ขวัญ :buck2:
1. ได้ยินเสียงดังและเงียบสลับไปมาเพราะว่า คลื่นเสียงที่ไปถึงหูกะลาสีมาจากสองส่วน ส่วนแรกมาจากลำโพงตรงๆ ส่วนสองสะท้อนผิวน้ำก่อน ทั้งสองส่วนแทรกสอดกันทำให้เกิดเสียงดังและเบาแล้วแต่ตำแหน่ง

2. ให้ระยะตามแนวราบจากกะลาสีถึงลำโพงเป็น \displaystyle x
ให้เสียงที่มาจากลำโพงตรงๆถึงหูกะลาสี มีฟังก์ชันคลื่น "ความดัน (ที่เกินจากความดันบรรยากาศ)" เป็น \displaystyle p_1
เสียงที่สะท้อนผิวน้ำก่อนแล้วมาถึงหูกะลาสี มีฟังก์ชันคลื่น "ความดัน" เป็น \displaystyle p_2
เสียง \displaystyle p_1 เดินทางเป็นระยะ \displaystyle \sqrt{7^2+x^2} \text{ m}
เสียง \displaystyle p_2 เดินทางเป็นระยะ \displaystyle \sqrt{17^2+x^2} \text{ m}
(ตามกฎการสะท้อน มุมตกกระทบเท่ากับมุมสะท้อน ใช้เรขาคณิตของสามเหลี่ยมหน้าจั่วพิสูจน์ จะได้ว่าคลื่นที่สะท้อนผิวน้ำแล้วมาถึงหูกะลาสี เส้นทางของคลื่นหลังจากสะท้อนผิวน้ำขึ้นมา จะเสมือนกับว่าคลื่นนี้แผ่ออกจากแหล่งกำเนิดที่อยู่ใต้น้ำลึก 12 cm ที่ตำแหน่งตามแนวราบเดิม)

โจทย์บอกคลื่น \displaystyle c=345 \text{ m/s} และ \displaystyle f=115 \text{ Hz} จึงได้ \displaystyle \lambda=3\text{ m}
ความต่างเฟสของคลื่นทั้งสองที่หูกะลาสีคือ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\left( \sqrt{17^2+x^2} - \sqrt{7^2+x^2} \right)
ที่ \displaystyle x ที่ได้ยินเสียงเบา คือตำแหน่งที่เป็นบัพความดัน ณ ตำแหน่งนั้น ความต่างเฟสของคลื่นทั้งสองคือ \displaystyle (2n-1)\pi; \text{ } n\in I
เรา "ไม่ต้อง" คิดการกลับเฟสเมื่อคลื่นความดันสะท้อนผิวน้ำ! เพราะคลื่นความดันสะท้อนปลายปิดไม่กลับเฟส (อ่าน H.J. Pain) นี่คือหลุมพรางของโจทย์ข้อนี้ :o

อ้าวแล้วทำไมเราจึงคิดการแทรกสอดของคลื่นความดัน? ทำไมเราไม่คิดการแทรกสอดของคลื่นการกระจัด?
เพราะว่า (คัดลอกจากใน Young)
หูคุณตรวจจับความแปรผันความดันในอากาศ การเพิ่มหรือลดความดันข้างนอกแก้วหูของคุณทำให้แก้วหูเคลื่อนที่เข้าหรือออกเล็กน้อย การเคลื่อนที่นี้ผลิตสัญญาณไฟฟ้าซึ่งถูกส่งไปยังสมอง (ถ้าคุณเคยมีปัญหาในการทำให้หูคุณ "ป๊อป" ขณะที่ขับรถขึ้นเขาสูงหรือตอนอยู่บนเครื่องบินโดยสาร คุณก็คงคุ้นเคยกับความไวของหูคุณต่อการเปลี่ยนแปลงความดัน) ดังนั้นคุณจะไม่ได้ยินเสียงใดถ้าหูคุณอยู่ที่ตำแหน่งบัพความดันซึ่งเป็นตำแหน่งปฏิบัพการกระจัด

อ้าวแล้วทำไมเราไม่คิดจับความต่างเฟสของคลื่นการกระจัดเท่ากับ \displaystyle 2n\pi; \text{ } n\in I แทนล่ะ?
ทำอย่างนั้นก็ผิดอีก เพราะว่าการกระจัดเป็นเวกเตอร์ เวลาบวกก็ต้องบวกแบบเวกเตอร์ ซึ่งเงื่อนไขที่การกระจัดจะเสริมกันมากสุดจะไม่ใช่ "ความต่างเฟสเท่ากับคู่พาย" ง่ายๆ อีกแล้ว ตรงกันข้ามกับความดันซึ่งเป็นสเกลาร์ ความดันที่จุดใดๆ ก็เอามาบวกกันแบบพีชคณิต ดังนั้น เงื่อนไขที่ความดันจะหักล้างกันมากสุดจึงเป็น "ความต่างเฟสเท่ากับคี่พาย" เช่นเดิม

สรุปว่าสมการคือ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\left( \sqrt{17^2+x^2} - \sqrt{7^2+x^2} \right) = (2n-1)\pi

แก้สมการยืดยาวได้ \displaystyle x=\frac{\sqrt{\left( 17^2 + 7^2 - 9 \left( n - \frac{1}{2} \right)^2 \right)^2 - 4\cdot 17^2\cdot 7^2}}{6\left( n - \frac{1}{2} \right)}

นั่งไล่ค่า \displaystyle n ไปเรื่อยๆ โดยจำกัดช่วง \displaystyle 0\leq x \leq 100 \text{ m}
  
3. สำหรับหน้าคลื่นทรงกลม ความเข้มเสียง \displaystyle I กำลังเสียงจากแหล่ง \displaystyle P และระยะห่างจากแหล่ง \displaystyle r สัมพันธ์กันโดย \displaystyle I=\frac{P}{4\pi r^2}
และ H.J.Pain(หรือใน Young ก็ได้)  บอกว่า \displaystyle I=\frac{A^2}{2\sqrt{\rho_0 B}} เมื่อ \displaystyle \rho_0 คือความหนาแน่นอากาศตอนยังไม่มีคลื่นเสียง \displaystyle A คือแอมพลิจูดความดัน และ \displaystyle B คือโมดูลัสเชิงปริมาตรของอากาศ ซึ่งในที่นี้จะให้ \displaystyle k\equiv \frac{A^2}{2\sqrt{\rho_0 B}} หรือ \displaystyle I=kA^2 เมื่อ \displaystyle k เป็นค่าคงที่



ดังนั้น \displaystyle kA_r^2 = \frac{P}{4\pi r^2} และ \displaystyle A = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{P}{4\pi k}} ให้ \displaystyle \sqrt{\frac{P}{4\pi k}} \equiv C

เราจึงเขียนฟังก์ชันคลื่นเสียงที่ระยะ \displaystyle x ใดๆ ได้ว่า \displaystyle p_1 = \frac{C}{\sqrt{7^2 + x^2}}\sin\left( k(\sqrt{7^2 + x^2}) - \omega t \right)

และ \displaystyle p_2 = \frac{C}{\sqrt{17^2 + x^2}}\sin\left( k(\sqrt{17^2 + x^2}) - \omega t \right)

แอมพลิจูดของ \displaystyle p_1+p_2\equiv A_{\text{total}} ที่ระยะ x ใดๆ คือ (ใช้แผนภาพเฟเซอร์คิด)

\displaystyle A_{\text{total}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\left( \theta_2 - \theta_1 \right)} = \sqrt{\frac{C^2}{7^2 + x^2}+\frac{C^2}{17^2 + x^2}+\frac{2C^2\cos\left( k\left( \sqrt{17^2 + x^2} - \sqrt{7^2 + x^2} \right) \right)}{\sqrt{7^2 \cdot 17^2 + (7^2 + 17^2)x^2 + x^4}}}


ความเข้มเสียงที่ระยะ \displaystyle x ใดๆ คือ

\displaystyle I(x) = kA_{\text{total}}^2 = kC^2\left( \frac{1}{7^2 + x^2}+\frac{1}{17^2 + x^2}+\frac{2\cos\left( k\left( \sqrt{17^2 + x^2} - \sqrt{7^2 + x^2} \right) \right)}{\sqrt{7^2 \cdot 17^2 + (7^2 + 17^2)x^2 + x^4}}\right)

\displaystyle = \frac{P}{4\pi}\left(\frac{1}{7^2 + x^2}+\frac{1}{17^2 + x^2}+\frac{2\cos\left( k\left( \sqrt{17^2 + x^2} - \sqrt{7^2 + x^2} \right) \right)}{\sqrt{7^2 \cdot 17^2 + (7^2 + 17^2)x^2 + x^4}}\right)



แทนค่า \displaystyle x=50\text{ m, }P = 30\text{ W} ลงไปจะได้ \displaystyle I=3.58\times 10^{-3} \text{ W/m}^2
หาระดับความเข้มเสียง \displaystyle \beta = 10\log\frac{I}{10^{-12}\text{ W/m}^2} = 95.5 \text{ dB}

จบแล้ว ;D
ป.ล. อย่าเข้าใจผิดคิดว่าผมคิดได้หมดนี่ตอนสอบนะ หุหุหุ ;D คงมีคนทำได้แต่ไม่ใช่ผม :buck2:
ป.ล.2 ผมว่ามันต้องมีที่ผิดแน่ :embarassed: ช่วยกันตรวจสอบนะครับ :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: K.P. on November 11, 2012, 11:20:28 PM
ข้อ1. กลศาสตร์ครับ  :)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: jali on October 15, 2013, 07:49:06 PM
...
ดังนั้นประสิทธิภาพของเครื่องยนต์นี้คือ \eta &=& \dfrac{W}{Q_{in} } &=& 1 - \left| \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} \right| &=&  \dfrac{Q( \gamma - 1) \ln \alpha }{ Q + P_0 V_0 \ln \alpha + Q( \gamma - 1) \ln \alpha } &=& 1 - \dfrac{1}{1+ \frac{ (\gamma - 1)Q \ln \alpha}{Q + P_0 V_0 \ln \alpha } } .................... ตอบข้อย่อยที่ 2
...
อ่าคือว่าตามวิธีของคุณdyอ่าครับ มันจะรวมความร้อนตรงส่วนที่เป็นช่วงisochoricด้วย ฃึ่งถ้าอ้างถึงตามในโจทย์ของyoungข้อที18-45เค้าจะบอกว่ามันไม่จำเป็นต้องคิดรวมความร้อนจากส่วนนี้ฃึ่งจะทำให้ประสิทธิภาพของมันมีค่าเท่ากับของเครื่องยนต์คาร์โนต์พอดี  แล้วพอผมไปเปิดดูในwikiเค้าก็เขียนว่า "Theoretical thermal efficiency equals that of the hypothetical Carnot cycle - i.e. the highest efficiency attainable by any heat engine." แล้วสรุปมันควรต้องใช้อันไหนครับ
อันนี้ลิงค์ครับ : http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_engine#Operation


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: dy on October 16, 2013, 06:20:30 PM
...
ดังนั้นประสิทธิภาพของเครื่องยนต์นี้คือ \eta &=& \dfrac{W}{Q_{in} } &=& 1 - \left| \dfrac{Q_{out}}{Q_{in}} \right| &=&  \dfrac{Q( \gamma - 1) \ln \alpha }{ Q + P_0 V_0 \ln \alpha + Q( \gamma - 1) \ln \alpha } &=& 1 - \dfrac{1}{1+ \frac{ (\gamma - 1)Q \ln \alpha}{Q + P_0 V_0 \ln \alpha } } .................... ตอบข้อย่อยที่ 2
...
อ่าคือว่าตามวิธีของคุณdyอ่าครับ มันจะรวมความร้อนตรงส่วนที่เป็นช่วงisochoricด้วย ฃึ่งถ้าอ้างถึงตามในโจทย์ของyoungข้อที18-45เค้าจะบอกว่ามันไม่จำเป็นต้องคิดรวมความร้อนจากส่วนนี้ฃึ่งจะทำให้ประสิทธิภาพของมันมีค่าเท่ากับของเครื่องยนต์คาร์โนต์พอดี  แล้วพอผมไปเปิดดูในwikiเค้าก็เขียนว่า "Theoretical thermal efficiency equals that of the hypothetical Carnot cycle - i.e. the highest efficiency attainable by any heat engine." แล้วสรุปมันควรต้องใช้อันไหนครับ
อันนี้ลิงค์ครับ : http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_engine#Operation


คิดว่าตามนิยามครับ คือตามที่ผมทำ (เหมือนอาจารย์เคยบอก) เหมือนกับว่า ถ้าเป็นแบบนั้น เรามีเหตุผลอะไรที่จะทิ้งความร้อนตรง isochoric ครับ

คิดว่าใน wikipedia คงมองความร้อน"เข้า" หมายถึง ที่เราจ่ายเข้าไปเองจริงๆ ไม่รวมที่ isochoric โยนเข้ามาด้วย  ซึ่งประสิทธิภาพของเครื่องยนต์จริงๆมันควรจะคิดความร้อนเข้าทั้งหมดมากกว่า เพราะจริงๆแล้วงานที่ได้ มันเกิดมาจากส่วนนั้นทั้งหมดครับ  :coolsmiley: (ถ้าอยากรู้ว่าเวลาทำข้อสอบจะใช้นิยามไหน ก็คงต้องลองถามอาจารย์ดูครับ ผมไม่ยืนยัน  ;D )
 
แต่ทั้งนี้แล้วแต่มุมมองครับ บางทีก็มองกันว่า ประสิทธิภาพหมายถึง เราใส่ความร้อนไป แล้วงานที่ได้จะเป็นเท่าใดนั้น ก็จะคิดเหมือน wikipedia ครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: jorsua on July 04, 2014, 09:15:48 PM
ข้อ1. กลศาสตร์ครับ  :)
ผมสงสัยครับ ว่าทำไมแทน n=1 แล้วแรงไม่เท่ากับศูนย์


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: jali on July 05, 2014, 07:59:51 AM
ข้อ1. กลศาสตร์ครับ  :)
ผมสงสัยครับ ว่าทำไมแทน n=1 แล้วแรงไม่เท่ากับศูนย์
ก็เพราะว่ามันมีบรรทัดนึงที่เราตัด n-1ออกไงคับ แสดงว่านั่นเราสมมุติว่าn-1 !=0 or n !=1 นั่นเองครับ
นี่ทำให้สูตรนี้ใช้ไม่ได้ที่ n=1ครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: jorsua on July 05, 2014, 09:31:08 AM
ข้อ1. กลศาสตร์ครับ  :)
ผมสงสัยครับ ว่าทำไมแทน n=1 แล้วแรงไม่เท่ากับศูนย์
ก็เพราะว่ามันมีบรรทัดนึงที่เราตัด n-1ออกไงคับ แสดงว่านั่นเราสมมุติว่าn-1 !=0 or n !=1 นั่นเองครับ
นี่ทำให้สูตรนี้ใช้ไม่ได้ที่ n=1ครับ
ขอบคุณครับ ผมอ่านไม่ละเอียดเอง แย่จริง


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 1 ปี 55-56
Post by: M-Ph on August 18, 2014, 09:18:45 PM
คุณ dy เครียดไปมั้ยนั่น  :buck2:

ข้อ 3 อ.ขวัญ :buck2:
1. ได้ยินเสียงดังและเงียบสลับไปมาเพราะว่า คลื่นเสียงที่ไปถึงหูกะลาสีมาจากสองส่วน ส่วนแรกมาจากลำโพงตรงๆ ส่วนสองสะท้อนผิวน้ำก่อน ทั้งสองส่วนแทรกสอดกันทำให้เกิดเสียงดังและเบาแล้วแต่ตำแหน่ง

2. ให้ระยะตามแนวราบจากกะลาสีถึงลำโพงเป็น \displaystyle x
ให้เสียงที่มาจากลำโพงตรงๆถึงหูกะลาสี มีฟังก์ชันคลื่น "ความดัน (ที่เกินจากความดันบรรยากาศ)" เป็น \displaystyle p_1
เสียงที่สะท้อนผิวน้ำก่อนแล้วมาถึงหูกะลาสี มีฟังก์ชันคลื่น "ความดัน" เป็น \displaystyle p_2
เสียง \displaystyle p_1 เดินทางเป็นระยะ \displaystyle \sqrt{7^2+x^2} \text{ m}
เสียง \displaystyle p_2 เดินทางเป็นระยะ \displaystyle \sqrt{17^2+x^2} \text{ m}
(ตามกฎการสะท้อน มุมตกกระทบเท่ากับมุมสะท้อน ใช้เรขาคณิตของสามเหลี่ยมหน้าจั่วพิสูจน์ จะได้ว่าคลื่นที่สะท้อนผิวน้ำแล้วมาถึงหูกะลาสี เส้นทางของคลื่นหลังจากสะท้อนผิวน้ำขึ้นมา จะเสมือนกับว่าคลื่นนี้แผ่ออกจากแหล่งกำเนิดที่อยู่ใต้น้ำลึก 12 cm ที่ตำแหน่งตามแนวราบเดิม)

โจทย์บอกคลื่น \displaystyle c=345 \text{ m/s} และ \displaystyle f=115 \text{ Hz} จึงได้ \displaystyle \lambda=3\text{ m}
ความต่างเฟสของคลื่นทั้งสองที่หูกะลาสีคือ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\left( \sqrt{17^2+x^2} - \sqrt{7^2+x^2} \right)
ที่ \displaystyle x ที่ได้ยินเสียงเบา คือตำแหน่งที่เป็นบัพความดัน ณ ตำแหน่งนั้น ความต่างเฟสของคลื่นทั้งสองคือ \displaystyle (2n-1)\pi; \text{ } n\in I
เรา "ไม่ต้อง" คิดการกลับเฟสเมื่อคลื่นความดันสะท้อนผิวน้ำ! เพราะคลื่นความดันสะท้อนปลายปิดไม่กลับเฟส (อ่าน H.J. Pain) นี่คือหลุมพรางของโจทย์ข้อนี้ :o

อ้าวแล้วทำไมเราจึงคิดการแทรกสอดของคลื่นความดัน? ทำไมเราไม่คิดการแทรกสอดของคลื่นการกระจัด?
เพราะว่า (คัดลอกจากใน Young)
หูคุณตรวจจับความแปรผันความดันในอากาศ การเพิ่มหรือลดความดันข้างนอกแก้วหูของคุณทำให้แก้วหูเคลื่อนที่เข้าหรือออกเล็กน้อย การเคลื่อนที่นี้ผลิตสัญญาณไฟฟ้าซึ่งถูกส่งไปยังสมอง (ถ้าคุณเคยมีปัญหาในการทำให้หูคุณ "ป๊อป" ขณะที่ขับรถขึ้นเขาสูงหรือตอนอยู่บนเครื่องบินโดยสาร คุณก็คงคุ้นเคยกับความไวของหูคุณต่อการเปลี่ยนแปลงความดัน) ดังนั้นคุณจะไม่ได้ยินเสียงใดถ้าหูคุณอยู่ที่ตำแหน่งบัพความดันซึ่งเป็นตำแหน่งปฏิบัพการกระจัด

อ้าวแล้วทำไมเราไม่คิดจับความต่างเฟสของคลื่นการกระจัดเท่ากับ \displaystyle 2n\pi; \text{ } n\in I แทนล่ะ?
ทำอย่างนั้นก็ผิดอีก เพราะว่าการกระจัดเป็นเวกเตอร์ เวลาบวกก็ต้องบวกแบบเวกเตอร์ ซึ่งเงื่อนไขที่การกระจัดจะเสริมกันมากสุดจะไม่ใช่ "ความต่างเฟสเท่ากับคู่พาย" ง่ายๆ อีกแล้ว ตรงกันข้ามกับความดันซึ่งเป็นสเกลาร์ ความดันที่จุดใดๆ ก็เอามาบวกกันแบบพีชคณิต ดังนั้น เงื่อนไขที่ความดันจะหักล้างกันมากสุดจึงเป็น "ความต่างเฟสเท่ากับคี่พาย" เช่นเดิม

สรุปว่าสมการคือ \displaystyle \frac{2\pi}{3}\left( \sqrt{17^2+x^2} - \sqrt{7^2+x^2} \right) = (2n-1)\pi

แก้สมการยืดยาวได้ \displaystyle x=\frac{\sqrt{\left( 17^2 + 7^2 - 9 \left( n - \frac{1}{2} \right)^2 \right)^2 - 4\cdot 17^2\cdot 7^2}}{6\left( n - \frac{1}{2} \right)}

นั่งไล่ค่า \displaystyle n ไปเรื่อยๆ โดยจำกัดช่วง \displaystyle 0\leq x \leq 100 \text{ m}
  
3. สำหรับหน้าคลื่นทรงกลม ความเข้มเสียง \displaystyle I กำลังเสียงจากแหล่ง \displaystyle P และระยะห่างจากแหล่ง \displaystyle r สัมพันธ์กันโดย \displaystyle I=\frac{P}{4\pi r^2}
และ H.J.Pain(หรือใน Young ก็ได้)  บอกว่า \displaystyle I=\frac{A^2}{2\sqrt{\rho_0 B}} เมื่อ \displaystyle \rho_0 คือความหนาแน่นอากาศตอนยังไม่มีคลื่นเสียง \displaystyle A คือแอมพลิจูดความดัน และ \displaystyle B คือโมดูลัสเชิงปริมาตรของอากาศ ซึ่งในที่นี้จะให้ \displaystyle k\equiv \frac{A^2}{2\sqrt{\rho_0 B}} หรือ \displaystyle I=kA^2 เมื่อ \displaystyle k เป็นค่าคงที่



ดังนั้น \displaystyle kA_r^2 = \frac{P}{4\pi r^2} และ \displaystyle A = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{P}{4\pi k}} ให้ \displaystyle \sqrt{\frac{P}{4\pi k}} \equiv C

เราจึงเขียนฟังก์ชันคลื่นเสียงที่ระยะ \displaystyle x ใดๆ ได้ว่า \displaystyle p_1 = \frac{C}{\sqrt{7^2 + x^2}}\sin\left( k(\sqrt{7^2 + x^2}) - \omega t \right)

และ \displaystyle p_2 = \frac{C}{\sqrt{17^2 + x^2}}\sin\left( k(\sqrt{17^2 + x^2}) - \omega t \right)

แอมพลิจูดของ \displaystyle p_1+p_2\equiv A_{\text{total}} ที่ระยะ x ใดๆ คือ (ใช้แผนภาพเฟเซอร์คิด)

\displaystyle A_{\text{total}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\left( \theta_2 - \theta_1 \right)} = \sqrt{\frac{C^2}{7^2 + x^2}+\frac{C^2}{17^2 + x^2}+\frac{2C^2\cos\left( k\left( \sqrt{17^2 + x^2} - \sqrt{7^2 + x^2} \right) \right)}{\sqrt{7^2 \cdot 17^2 + (7^2 + 17^2)x^2 + x^4}}}


ความเข้มเสียงที่ระยะ \displaystyle x ใดๆ คือ

\displaystyle I(x) = kA_{\text{total}}^2 = kC^2\left( \frac{1}{7^2 + x^2}+\frac{1}{17^2 + x^2}+\frac{2\cos\left( k\left( \sqrt{17^2 + x^2} - \sqrt{7^2 + x^2} \right) \right)}{\sqrt{7^2 \cdot 17^2 + (7^2 + 17^2)x^2 + x^4}}\right)

\displaystyle = \frac{P}{4\pi}\left(\frac{1}{7^2 + x^2}+\frac{1}{17^2 + x^2}+\frac{2\cos\left( k\left( \sqrt{17^2 + x^2} - \sqrt{7^2 + x^2} \right) \right)}{\sqrt{7^2 \cdot 17^2 + (7^2 + 17^2)x^2 + x^4}}\right)



แทนค่า \displaystyle x=50\text{ m, }P = 30\text{ W} ลงไปจะได้ \displaystyle I=3.58\times 10^{-3} \text{ W/m}^2
หาระดับความเข้มเสียง \displaystyle \beta = 10\log\frac{I}{10^{-12}\text{ W/m}^2} = 95.5 \text{ dB}

จบแล้ว ;D
ป.ล. อย่าเข้าใจผิดคิดว่าผมคิดได้หมดนี่ตอนสอบนะ หุหุหุ ;D คงมีคนทำได้แต่ไม่ใช่ผม :buck2:
ป.ล.2 ผมว่ามันต้องมีที่ผิดแน่ :embarassed: ช่วยกันตรวจสอบนะครับ :smitten:



พี่ครับๆ ทำไมตรงข้อย่อย 3 เราถึงไม่คิดพื้นที่เป็นครึ่งทรงกลมรัศมีเป็นระยะจากลำโพงไปกะลาสี
แล้วก็แทนลงสูตร I=P/2(Pi)(r^2) เมื่อ r เป็นรัศมี