mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: Benjamin Blackword on September 19, 2012, 09:47:28 PM



Title: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 19, 2012, 09:47:28 PM
คือผมไม่รู้ว่าต้องทำยังไง ยังไงก็ขอสักตัวอย่างที่เกี่ยวกับกลวงแล้วกันนะครับ ทรงกลมกลวงก็ได้นะครับ ขอความกรุณาด้วยครับ  :smitten:


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: FogRit on September 19, 2012, 11:14:51 PM
ใช้ Spherical Coordinate ได้หรือเปล่า ?


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 19, 2012, 11:43:09 PM
ตัวอย่างทรงกลมกลวง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันให้ได้ก่อนว่า I = \frac{2}{5}MR^2 
เขียนตัวแปรทุกอย่างให้อยู่ในรูปขนาดของทรงกลม ซึ่งในที่นี้คือรัศมี R  จะได้ว่า I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho R^5
หาโมเมนต์ความเฉื่อยที่เปลี่ยนไปเมื่อรัศมีเปลี่ยนไปเล็กน้อย \delta R จะได้โมเมนต์ความเฉื่อยของเปลือกทรงกลมรัศมี R หนา \delta R
\delta I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho \times 5 R^4 \delta R
เขียนผลที่ได้ในรูปมวลของเปลือกทรงกลมรัศมี R หนา \delta R ซึ่งมีค่าเท่ากับ m = 4\pi R^2 \delta R \rho
จะได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R หนา \delta R มีค่าเท่ากับ \frac{2}{3}mR^2


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 20, 2012, 06:40:08 PM
ใช้ Spherical Coordinate ได้หรือเปล่า ?

ใช้เป็นอยู่ครับแต่ยังไม่เก่งมากครับ เนื่องจากตัวผมยังขาดประสบการณ์ T^T

ตัวอย่างทรงกลมกลวง

หาโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันให้ได้ก่อนว่า I = \frac{2}{5}MR^2 
เขียนตัวแปรทุกอย่างให้อยู่ในรูปขนาดของทรงกลม ซึ่งในที่นี้คือรัศมี R  จะได้ว่า I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho R^5
หาโมเมนต์ความเฉื่อยที่เปลี่ยนไปเมื่อรัศมีเปลี่ยนไปเล็กน้อย \delta R จะได้โมเมนต์ความเฉื่อยของเปลือกทรงกลมรัศมี R หนา \delta R
\delta I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho \times 5 R^4 \delta R
เขียนผลที่ได้ในรูปมวลของเปลือกทรงกลมรัศมี R หนา \delta R ซึ่งมีค่าเท่ากับ m = 4\pi R^2 \delta R \rho
จะได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R หนา \delta R มีค่าเท่ากับ \frac{2}{3}mR^2

ผมงงว่าไอ้ตรง \delta I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho \times 5 R^4 \delta R  มาได้ไงหรอครับอาจารย์ ช่วยชี้แนะหน่อยครับ ขอบคุณครับ  :)


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 20, 2012, 06:58:15 PM
...
ผมงงว่าไอ้ตรง \delta I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho \times 5 R^4 \delta R  มาได้ไงหรอครับอาจารย์ ช่วยชี้แนะหน่อยครับ ขอบคุณครับ  :)

ใช้นิยามของ differential  \delta I = \left( \dfrac{dI}{dR}\right) \delta R

ถ้ายังไม่เคยรู้เรื่อง differential ก็ให้คิดว่า

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลมกลวงรัศมี R = โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R + \delta R - โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R

โดยเขียนปริมาณต่าง ๆ ในรูปของความหนาแน่น และรัศมี  แล้วเขียนผลที่ได้ในรูปของมวลของทรงกลมกลวงในตอนสุดท้าย และให้ \delta R มีค่าเข้าหาศูนย์


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 20, 2012, 07:55:36 PM
...
ผมงงว่าไอ้ตรง \delta I = \frac{2}{5} \frac{4\pi}{3}\rho \times 5 R^4 \delta R  มาได้ไงหรอครับอาจารย์ ช่วยชี้แนะหน่อยครับ ขอบคุณครับ  :)

ใช้นิยามของ differential  \delta I = \left( \dfrac{dI}{dR}\right) \delta R

ถ้ายังไม่เคยรู้เรื่อง differential ก็ให้คิดว่า

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลมกลวงรัศมี R = โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R + \delta R - โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมี R

โดยเขียนปริมาณต่าง ๆ ในรูปของความหนาแน่น และรัศมี  แล้วเขียนผลที่ได้ในรูปของมวลของทรงกลมกลวงในตอนสุดท้าย และให้ \delta R มีค่าเข้าหาศูนย์
อ๋อๆๆๆ เข้าใจแล้วครับอาจารย์ทั้งสองวิธีเลย ขอบคุณมากเลยนะครับ  :smitten:
ว่าแต่แล้วทรงกรวยกลวงนี่แนวคิดแบบเดียวกันหรือเปล่าครับ   :idiot2:
ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ :)


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 20, 2012, 08:06:36 PM
...
ว่าแต่แล้วทรงกรวยกลวงนี่แนวคิดแบบเดียวกันหรือเปล่าครับ   :idiot2:
ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ :)

ลองพยายามทำเองดูหรือยัง  อย่ารีบให้คนแนะ หัดคิดเองเยอะ ๆ ก่อน  ทำได้แล้วมาโพสต์บอกด้วย  แต่ถ้าทำไม่ได้จริง ๆ ก็บอกมา จะแนะให้  ;D


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 20, 2012, 10:00:10 PM
...
ว่าแต่แล้วทรงกรวยกลวงนี่แนวคิดแบบเดียวกันหรือเปล่าครับ   :idiot2:
ช่วยชี้แนะด้วยนะครับ :)

ลองพยายามทำเองดูหรือยัง  อย่ารีบให้คนแนะ หัดคิดเองเยอะ ๆ ก่อน  ทำได้แล้วมาโพสต์บอกด้วย  แต่ถ้าทำไม่ได้จริง ๆ ก็บอกมา จะแนะให้  ;D

เด๋วเดี๋ยวผมจะลองทำเองก่อนนะครับ ขอบคุณในความหวังดีมากเลยครับ ถ้าสงสัยผมจะขอความกรุณาอีกนะครับ ขอบคุณครับ  :smitten:


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 22, 2012, 11:51:26 AM
ผมคิดว่าทรงกระบอกกลวงก็น่าจะเหมือนทรงกลม โดยเราเอาโมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกตันรัศมี R+\delta R - ของกรวยตันรัศมี R

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกรวยตัน


I= \frac{3}{10}MR^{2}


I= \frac{3}{10}\rho (\frac{1}{3}\pi R^{2}h)R^{2}


I= \frac{1}{10}\rho\pi R^{4}h

ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตัน


\delta I= \frac{1}{10}\rho\pi h ((R+\delta R h )^{4}-R^{4})

\delta I= \frac{1}{10}\rho\pi h (R^{4}+4R^{3}\delta R + 6 R^{2}\delta R^{2} + 4R^{1} \delta R^{3} +\delta R ^{4} -R^4)


\delta I=\lim_{\delta R\rightarrow 0} \frac{1}{10}\rho\pi h (R^{4}+4R^{3}\delta R + 6 R^{2}\delta R^{2} + 4R^{1} \delta R^{3} +\delta R ^{4} -R^4)

เนื่องจาก \delta R เข้าใกล้ 0 จะทำให้พจน์ที่ \delta R ยกกำลัง สอง สาม และ สี่ ประมาณได้เป็น 0 (ถ้าผมประมาณผิดช่วยชี้แนะด้วยครับ)

\delta I= \frac{\rho \pi h}{10}4R^{3}\delta R

สิ่งที่ผมอยากรู้คือ
1.ผมทำมาถูกไหม(คือมาถูกทางหรือเปล่าเพราะผมคิดว่ามันไม่น่าจะต่างจากทรงกลม)
2.ผมใช้การประมาณค่าถูกไหม
3.ผมจะเปลี่ยนให้เป็นมวลยังไง เพราะมันติดในรูป  \delta R ทำให้ผมสับสน


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 22, 2012, 11:54:30 AM
โพสเสียครับ โทษทีครับเบลอๆ ช่วยลบด้วยครับ


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: singularity on September 22, 2012, 01:10:19 PM
ผมคิดว่าทรงกระบอกกลวงก็น่าจะเหมือนทรงกลม โดยเราเอาโมเมนต์ความเฉื่อยทรงกระบอกตันรัศมี R+\delta R - ทรงกระบอกตันรัศมี R

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตัน


I= \frac{3}{10}MR^{2}


I= \frac{3}{10}\rho (\frac{1}{3}\pi R^{3})R^{2}


I= \frac{1}{10}\rho\pi R^{5}

ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยทรงกระบอกกลวง


I= \frac{1}{10}\rho\pi ((R+\delta R )^{5}-R^5)

I= \frac{1}{10}\rho\pi ((R^{5}+5R^{4}\delta R + 10 R^{3}\delta R^{2} + 5R^{2} \delta R^{4} +\delta R ^{5} -R^5)


I=\lim_{\delta R\rightarrow 0} \frac{1}{10}\rho\pi ((R^{5}+5R^{4}\delta R + 10 R^{3}\delta R^{2} + 5R^{2} \delta R^{4} +\delta R ^{5} -R^5)

เนื่องจาก \delta R เข้าใกล้ 0 จะทำให้พจน์ที่ \delta R ยกกำลัง สอง สาม สี่ และ 5 ประมาณได้เป็น 0 (ถ้าผมประมาณผิดช่วยชี้แนะด้วยครับ)

\delta I= \frac{\rho \pi}{10}5R^{4}\delta R

สิ่งที่ผมอยากรู้คือ
1.ผมทำมาถูกไหม(คือมาถูกทางหรือเปล่าเพราะผมคิดว่ามันไม่น่าจะต่างจากทรงกลม)
2.ผมใช้การประมาณค่าถูกไหม
3.ผมจะเปลี่ยนให้เป็นมวลยังไง เพราะมันติดในรูป  \delta R ทำให้ผมสับสน

ตกลงเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงหรือของกรวยกลวงครับ  ;D ตอนเปลี่ยนมวลเป็นปริมาตรมันแปลกๆนะครับ หรือว่า ให้กรวยสูงเท่ากับรัศมี R พอดี
ผมยังไม่ได้ลองทำนะครับ แต่ขอแนะนำว่าตอนจัดรูปตอนสุดท้าย ก็หามาก่อนว่าปริมาตรของทรงกรวยกลวงมีค่าเท่าไร (ประมาณให้เสร็จเรียบร้อยแล้ว) แล้วค่อยนำมาแทนในผลที่ได้ตอนสุดท้าย


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 22, 2012, 06:31:41 PM
ผมคิดว่าทรงกระบอกกลวงก็น่าจะเหมือนทรงกลม โดยเราเอาโมเมนต์ความเฉื่อยทรงกระบอกตันรัศมี R+\delta R - ทรงกระบอกตันรัศมี R

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตัน


I= \frac{3}{10}MR^{2}


I= \frac{3}{10}\rho (\frac{1}{3}\pi R^{3})R^{2}


I= \frac{1}{10}\rho\pi R^{5}

ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยทรงกระบอกกลวง


I= \frac{1}{10}\rho\pi ((R+\delta R )^{5}-R^5)

I= \frac{1}{10}\rho\pi ((R^{5}+5R^{4}\delta R + 10 R^{3}\delta R^{2} + 5R^{2} \delta R^{4} +\delta R ^{5} -R^5)


I=\lim_{\delta R\rightarrow 0} \frac{1}{10}\rho\pi ((R^{5}+5R^{4}\delta R + 10 R^{3}\delta R^{2} + 5R^{2} \delta R^{4} +\delta R ^{5} -R^5)

เนื่องจาก \delta R เข้าใกล้ 0 จะทำให้พจน์ที่ \delta R ยกกำลัง สอง สาม สี่ และ 5 ประมาณได้เป็น 0 (ถ้าผมประมาณผิดช่วยชี้แนะด้วยครับ)

\delta I= \frac{\rho \pi}{10}5R^{4}\delta R

สิ่งที่ผมอยากรู้คือ
1.ผมทำมาถูกไหม(คือมาถูกทางหรือเปล่าเพราะผมคิดว่ามันไม่น่าจะต่างจากทรงกลม)
2.ผมใช้การประมาณค่าถูกไหม
3.ผมจะเปลี่ยนให้เป็นมวลยังไง เพราะมันติดในรูป  \delta R ทำให้ผมสับสน

ตกลงเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงหรือของกรวยกลวงครับ  ;D ตอนเปลี่ยนมวลเป็นปริมาตรมันแปลกๆนะครับ หรือว่า ให้กรวยสูงเท่ากับรัศมี R พอดี
ผมยังไม่ได้ลองทำนะครับ แต่ขอแนะนำว่าตอนจัดรูปตอนสุดท้าย ก็หามาก่อนว่าปริมาตรของทรงกรวยกลวงมีค่าเท่าไร (ประมาณให้เสร็จเรียบร้อยแล้ว) แล้วค่อยนำมาแทนในผลที่ได้ตอนสุดท้าย
ทรงกรวยกลวงครับ เขียนผิด ขอโทษทีนะครับ :coolsmiley:


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 22, 2012, 06:33:22 PM
แก้ให้แล้วนะครับ โทษที ผมเบลอๆ รบกวนอาจารย์ หรือ ผู้รู้ท่านอื่นมาตอบทีนะครับ ขอบคุณครับ


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 22, 2012, 06:58:22 PM
ผมคิดว่าทรงกระบอกกลวงก็น่าจะเหมือนทรงกลม โดยเราเอาโมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกตันรัศมี R+\delta R - ของกรวยตันรัศมี R

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกรวยตัน


I= \frac{3}{10}MR^{2}


I= \frac{3}{10}\rho (\frac{1}{3}\pi R^{2}h)R^{2}


I= \frac{1}{10}\rho\pi R^{4}h

...

นึกอยู่แล้วว่าอาจพลาดที่นี่  ;D

ความสูง h เป็นฟังก์ชันของรัศมีฐานกรวย  ถ้า \theta เป็นมุมครึ่งกรวย   \dfrac{R}{h} = \tan \theta = ค่าคงตัว


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: jali on September 22, 2012, 07:00:03 PM
ถ้ารู้ว่าปริมาตรของกรวยบางเป็นอย่างไรในเทอมของรัศมีก็ทำเป็นมวลได้ครับ


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: Benjamin Blackword on September 22, 2012, 11:02:56 PM
ผมคิดว่าทรงกระบอกกลวงก็น่าจะเหมือนทรงกลม โดยเราเอาโมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกตันรัศมี R+\delta R - ของกรวยตันรัศมี R

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกรวยตัน


I= \frac{3}{10}MR^{2}


I= \frac{3}{10}\rho (\frac{1}{3}\pi R^{2}h)R^{2}


I= \frac{1}{10}\rho\pi R^{4}h

...

นึกอยู่แล้วว่าอาจพลาดที่นี่  ;D

ความสูง h เป็นฟังก์ชันของรัศมีฐานกรวย  ถ้า \theta เป็นมุมครึ่งกรวย   \dfrac{R}{h} = \tan \theta = ค่าคงตัว

อ๋อ คือตอนเราสมมติให้กรวยมันหนาเพิ่มขึ้น  \delta R ความสูงก็จะเพิ่มขึ้นด้วยใช่ไหมครับ ถ้าผมเข้าใจถูก ผมจะได้ลองทำครับ  :)


Title: Re: ขอวิธีพิสูจน์โมเมนต์ความเฉื่อยของพวก ทรงกลมกลวง กรวยกลวง และอื่นๆที่กลวงทีครับ
Post by: singularity on September 22, 2012, 11:11:02 PM
ผมขอลองทำดูนะครับ

โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนสมมาตรของกรวยกลวงหาจากผลต่างของโมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตันรัศมี  R กับ  R+\delta R

เนื่องจากกรวยตันทั้งสองต้องมีลักษณะเหมือนกัน หรือก็คือมีมุมยอดของกรวยเท่ากัน จะได้ความสัมพันธ์ว่า \frac{R+\delta R}{h+\delta h} = \frac{R}{h}

โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตันรัศมี R  คือ I_{1} = \frac{3}{10}MR^{2} จัดให้อยู่ในรูปของความหนาแน่น จะได้ว่า  I_{1} = \frac{3}{10}(\frac{1}{3}\rho\pi R^{2}h )R^{2} = \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4}

และในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตันรัศมี  R+\delta R คือ I_{2}=\frac{1}{10}\rho\pi (h+\delta h) (R+\delta R)^{4}

โดยใช้ความสัมพันธ์ข้างต้น ได้ว่า I_{2}=\frac{1}{10}\rho\pi \frac{h}{R} (R+\delta R)^{5} ใช้การประมาณ \delta R มีค่าน้อยมากๆ

I_{2}=\frac{1}{10}\rho\pi h R^{4} (1+\frac{\delta R}{R})^{5} \approx \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4} (1+\frac{5\delta R}{R})

โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกลวง
I = I_{2} - I_{1}

I = \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4} (1+\frac{5\delta R}{R}) - \frac{1}{10}\rho\pi h R^{4}

I = \frac{1}{2}\rho \pi h R^{3} \delta R เก็บผลที่ได้นี้ไว้ก่อน

ต่อไปหาปริมาตรของกรวยกลวง ด้วยวิธีคล้ายกัน คือปริมาตรของกรวยกลวง คือ ผมต่างของปริมาตรของกรวยตันรัศมี  R กับ  R+\delta R  

V = \frac{1}{3} \pi (R+\delta R)^{2} (h+\delta h) - \frac{1}{3} \pi R^{2} h

ทำการจัดรูปและประมาณแบบเดียวกับข้างต้น สุดท้ายจะได้ว่า V = \pi h R \delta R

นำผลที่ได้นี้แทนลงในโมเมนต์ความเฉื่อย

I = \frac{1}{2}\rho \pi h R^{3} \delta R

I = \frac{1}{2}\rho( \pi h R \delta R) R^{2}

\therefore  โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยกลวง I = \frac{1}{2}M R^{2}

ผิดถูกอย่างไรช่วยชี้แนะด้วยครับ :smitten: