mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: krirkfah on September 15, 2012, 06:46:17 PM



Title: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 06:46:17 PM
ผมไม่เข้าใจว่าทำไมเราต้องนิยามจุดCM แบบนี้  ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยได้ไหมครับ


Title: Re: จุดCM
Post by: K.P. on September 15, 2012, 07:14:45 PM
เรื่องมันมีอยู่ว่า กฏของนิวตัน  F = ma ถูกนิยามมาให้ใช้กับวัตถุที่เป็นจุด(ซึ่งไม่มีขนาด)

แต่วัตถุในโลกจริงๆ มีขนาด เราจึงทำการเขียนสมการนิวตันของทุกจุด

\delta m_{1}\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}} = F_{1}
\delta m_{2}\frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}} = F_{2}
....
\delta m_{n}\frac{d^{2}x_{n}}{dt^{2}} = F_{n}

นำสมการทั้งหมดมาบวกกัน

\frac{d^{2}\delta m_{1}x_{1}}{dt^{2}}+ \frac{d^{2}\delta m_{1}x_{1}}{dt^{2}}+ ... +\frac{d^{2\delta }m_{n}x_{n}}{dt^{2}} = \sum F

\frac{d^{2}(\delta m_{1}x_{1}+\delta m_{2}x_{2}+...+\delta m_{n}x_{n})}{dt^{2}}= \sum F

\frac{d^{2}(\sum_{i=1}^{x=n}x_{i}\delta m_{i})}{dt^{2}}= \sum F

กำหนด
 R_{cm} \equiv \frac{\sum_{i=1}^{x=n}x_{i}\delta m_{i}}{M}

และจุดมีมากมาย

\frac{\sum_{i=1}^{x=n}x_{i}\delta m_{i}}{M} = \lim_{n\to \propto } \frac{\sum_{i=1}^{x=n}x_{i}\delta m_{i}}{M} = \frac{1}{M}\int x dm

จะได้

 M\frac{d^{2}R_{cm}}{dt^{2}}= \sum F

ทำให้บรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุได้สะดวก  :)


Title: Re: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 07:28:20 PM
ขอบคุณมากครับ^^ แสดงว่าสูตรนี้ควรใช้เมื่อระบบของเราไม่มีการเปลี่ยนแปลงมวลไปตามเวลาสินะครับ


Title: Re: จุดCM
Post by: K.P. on September 15, 2012, 07:36:01 PM
สูตรนี้ใช้ได้โดยทั่วไปครับ  :)

เพียงแต่ถ้าระบบมีมวลไม่คงที่ เช่น โจทย์โซ่ตกจากโต๊ะ ซึ่งมวลโซ่ที่เราถือว่าเป็นระบบที่พิจารณาเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

Rcm ก็จะเปลี่ยนแปลงไปกับเวลาด้วย


Title: Re: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 07:40:12 PM
ขอโทษนะครับ ที่กำหนดแบบนี้เพราะหารMทั้งสองข้างแล้ว อินทิเกรตเทียบเวลาทั้งสองข้างรึเปล่าครับ :idiot2:


Title: Re: จุดCM
Post by: K.P. on September 15, 2012, 07:41:42 PM
ผมไม่ค่อยเข้าใจคำถามอะครับ หมายถึงการนำไปใช้ต่อ หรือว่าอย่างไร   ???


Title: Re: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 07:44:38 PM
คือ ผมงงๆว่าทำไมต้องนิยามRcm เป็นสูตรนี้อะครับ จากที่คุณพูดมา ก็พอเข้าใจ แต่ว่างงที่ว่าทำไมถึงสูตรออกมาเป็นอย่างงี้


Title: Re: จุดCM
Post by: K.P. on September 15, 2012, 07:47:27 PM
จริงๆคือ มันก็ออกมาตามคณิตศาสตร์อะครับ

ตอบตามที่ผมคิด (ท่านอื่นอาจมีคำอธิบายที่ดีกว่านี้)

สูตร Rcm มองเชิงสถิติ มันก็คือ ระยะเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยมวล ก็ไม่แปลกอะไร ถ้าจะเอามาใช้แทนวัตถุทั้งก้อน


Title: Re: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 07:51:25 PM
ครับ แล้วจากสมการ Sigma F = ....  ที่คุณบอกนี่ ใช้การอินทิเกรตเทียบเวลาในการหาสูตรRcmรึเปล่า ถ้าใช่ช่วยแสดงให้ดูได้ไหมครับ^^


Title: Re: จุดCM
Post by: K.P. on September 15, 2012, 07:52:20 PM
??? ผมอินทิเกรตเทียบเวลาด้วยหรอครับ  :idiot2:

ถ้าจะหา Rcm ก็คือสูตร  \frac{1}{M}\int x dm นี้เลยครับ


Title: Re: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 07:56:27 PM
คือ ผมอยากทราบว่าสูตรRcmมันมายังไง แล้วจากสมการนิวตันที่นำมาบวกๆกันนี่ จะแก้สมการนี้ยังไงเพื่อให้ได้สูตร Rcm = sum mr /M     


Title: Re: จุดCM
Post by: K.P. on September 15, 2012, 07:59:42 PM
สูตร Rcm ไม่ได้มาจากการแก้สมการครับ

แต่เป็นการนิยาม สังเกตจากเครื่องหมาย สามขีด \equiv


Title: Re: จุดCM
Post by: krirkfah on September 15, 2012, 08:08:10 PM
พอเข้าใจแล้วครับที่นิยามเป้นแบบนั้นก้เพื่อ หาจุดที่มวลมันถ่วงน้ำหนักทางสถิติได้พอดีสินะครับ แล้วก็ยัดสมการเข้าไปในนิวตันเพื่อการมองแบบใหม่ ว่าสามารถแทนตำแหน่งวัตถุที่มีขนาดด้วยจุดCM


Title: Re: จุดCM
Post by: Stalker on September 17, 2012, 10:44:31 PM
ขอบคุณมากครับ^^ แสดงว่าสูตรนี้ควรใช้เมื่อระบบของเราไม่มีการเปลี่ยนแปลงมวลไปตามเวลาสินะครับ

มวลเปลี่ยนแปลงตามเวลาได้ด้วยหรอครับ  ??? ใน Classical Mechanics


Title: Re: จุดCM
Post by: jali on September 19, 2012, 07:10:18 PM
อย่างเช่นน้ำรั่วออกไงครับ


Title: Re: จุดCM
Post by: It is GOL on September 20, 2012, 06:58:39 PM
ถ้าน้ำรั่วออก ศูนย์กลางมวลมันก็น่าเลื่อนไปเรื่อยๆ นี่ครับ เพราะ CM มันคิดที่ "เวลาหนึ่ง" อยู่แล้ว ถ้าวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง มวล ฯลฯ แล้วเราก็เอามันแทนกลับเข้าไปในกฎของนิวตัน


Title: Re: จุดCM
Post by: jali on September 21, 2012, 05:58:57 PM
ถ้าเป็นระบบอย่างนั้นเราควรใช้กฏนิวตันในรูป
\sum F=\frac{\mathrm{d}Mv_{cm.} }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} P_{cm.}}{\mathrm{d} t}
อย่างนี้ไม่ดีกว่าหรือครับ