mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: Benz-Math on September 09, 2012, 12:18:58 AM



Title: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: Benz-Math on September 09, 2012, 12:18:58 AM
แท่งวัตถุสม่ำเสมอมวล m ยาว 2r และปลายของวัตถุอยู่สูงจากพื้น h ทำมุม \theta กับพื้น ส่วนปลายอีกข้างเป็นจุดหมุนซึ่งอยู่กับที่ จงหาเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งจนกระทบพื้น (ตัวแปรอยู่ในระบบ SI ทั้งหมด)
(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/gallery/albums/userpics/15975/normal_555.JPG)

พอดีเป็นข้อสอบกลางภาคที่ผ่านมาครับ ว่างๆเลยลองทำดู รบกวนช่วยตรวจให้หน่อยครับว่าเข้าใจถูกหรือไม่

my solution

มีเพียงแรง mg กระทำที่ตรงกลางแท่งวัตถุจะได้ว่า mg\sin\alpha คือแรงเข้าสู่ศูนย์กลาง และ mg\cos\alpha คือแรงที่ทำให้วัตถุหมุน สำหรับ 0\leq \beta \leq \theta นั่นคือ

mg\sin\beta = \frac{mv^2}{r} \rightarrow \sin\beta=\frac{v^2}{rg} และ
mg\cos\beta\cdot r=I\alpha  \rightarrow \cos\beta=\frac{I}{mg}\cdot\alpha

เนื่องจากสมการทั้งสองผ่านการพิจารณาทิศทางหรืออะไรต่างๆนาๆมาแล้ว นำสมการทั้งสองยกกำลังสองแล้วนำมาบวกกันจะได้

1=(\frac{\omega^2r}{g})^2+(\frac{I}{mg}\cdot\alpha)^2
\alpha=\frac{d\omega}{dt}= \frac{mg}{I}\sqrt{1-(\frac{\omega^2r}{g})^2}

เท่านี้ก็จะหาเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ได้ เพราะการหา \omega ที่จุดกระทบพื้นหาได้ง่ายโดยการพิจารณาสมการทอร์ก

ปล. ในสมการสุดท้ายจะอินทิเกรตไม่ออก เพราะโจทย์จริงๆอาจารย์ให้เปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่ของวัตถุอีกก้อนนึง


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: singularity on September 09, 2012, 10:01:37 AM
ผมขอแสดงความคิดเห็นนะครับ

1. แรง mg\sin \beta ที่ว่าเป็นแรงเข้าสู่ศูนย์กลางจริงเหรอ ผมคิดว่าที่จุดหมุนที่ตรึงกับพื้นน่าจะออกแรงดันตรงส่วนปลายของวัตถุด้วยนะครับ แล้ววัตถุที่มีขนาดจะใช้แรงสู่ศูนย์กลาง  \frac{mv^{2}}{r} ได้เหรอครับ

2. ผมยังค่อนข้างงง  :buck2: ที่คุณ Benz-Math บอกว่าการหา \omega ที่จุดกระทบพื้นทำได้โดยง่ายโดยสมการทอร์ก ทำไมถึงไม่หา  \omega  ออกมาแล้วใช้  \omega  = \frac{d\theta }{dt } เพื่อหาเวลาตรงๆเลยล่ะครับ

อันนี้เป็นแค่ข้อสงสัยของผมนะครับ เข้าใจผิดถูกอย่างไร ช่วยแนะนำด้วยครับ


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: Benz-Math on September 09, 2012, 10:45:05 PM
ขอบคุณครับ ผิดหลายจุดเลยแฮะ ลองทำดูใหม่ครับ  ](*,)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/gallery/albums/userpics/15975/untitled~0.JPG)

จากรูปจะได้ว่า (ให้ \omega_e คือความเร็วกระทบพื้น และ 0\leq \beta \leq \theta)

\tau=mg\cos\beta\cdot r=I\alpha=I\cdot\frac{\omega d\omega}{d\beta}
mgr\sin\theta=\frac{I\omega_e^2}{2}\rightarrow \omega_e=\frac{\sqrt{3gH}}{2r}

(ตรงนี้อีกวิธีนึงผมลองใช้กฏอนุรักษ์พลังงานก็ได้เท่ากัน แต่ยุ่งยากกว่านิดหน่อย)

สังเกตว่า ถ้า \theta=\frac{\pi}{2} แล้ว N=mg และ ถ้า \theta=0 แล้ว N\rightarrow 0^+ (N คือแรงที่พื้นกระทำต่อแทงวัตถุที่จุดหมุน) นั่นคือเราสามารถเขียนได้ว่า

N=mg\sin\beta

พิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ \beta ใดๆ โดยคิดแรงเข้าสู่ศูนย์กลางแต่ละอนุภาคแล้วนำมาบวกกัน (dm=k_1dr เพราะมวลสม่ำเสมอ)

F_c=\int \frac{v^2}{r}dm
F_c=\int^{2r}_0 \frac{k_1\omega^2r^2}{r}dr=\frac{k_1\omega^2(2r)^2}{2}
mg\sin\beta-N\sin\beta=mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r

ใช้ผลของคู่สมการ

mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r
mg\cos\beta\cdot r=I\alpha

กำจัด \beta ออกเราจะได้ \alpha ในเทอม \omega เป็นอันเสร็จสิ้น (ที่เหลือก็คณิตศาสตร์)


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: singularity on September 10, 2012, 07:24:18 PM
ผมว่ามันยังแปลกๆอยู่นะครับ ตรงแรงสู่ศูนย์กลาง dimension ไม่ถูกต้องนะ



Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: jali on September 10, 2012, 07:41:15 PM

F_c=\int \frac{v^2}{2}dm

\frac{mv^{2}}{r}
ครับไม่ใช้ส่วนสอง


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: Benz-Math on September 11, 2012, 12:18:32 AM
แก้แล้วครับ  :buck2:


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: Stalker on September 17, 2012, 11:09:22 PM
...
พิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ \beta ใดๆ โดยคิดแรงเข้าสู่ศูนย์กลางแต่ละอนุภาคแล้วนำมาบวกกัน (dm=k_1dr เพราะมวลสม่ำเสมอ)

F_c=\int \frac{v^2}{r}dm
F_c=\int^{2r}_0 \frac{k_1\omega^2r^2}{r}dr=\frac{k_1\omega^2(2r)^2}{2}
mg\sin\beta-N\sin\beta=mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r
...
ตรงนี้แนวคิดยังไม่น่าจะถูกนะครับ ผมไม่รู้ว่าคำตอบถูกรึเปล่าเพราะยังไม่ได้เช็ค (อาจจะบังเอิญถูก)
แรงเข้าสู่ศูนย์กลางไม่ใช่ mg\sin\beta-N\sin\beta
เพราะโจทย์บอกว่าปลายหนึ่งเป็นจุดหมุนอยู่กับที่ นั่นคือต้องมีแรงนอกเหนือจากสองแรงนี้ มาทำให้มันอยู่กับที่ ไม่เช่นนั้น จุดนี้จะอยู่กับที่ไม่ได้
ถ้าไม่มีแรงอื่นในแนวระดับ CM ที่ต่ำลงมาในแนวดิ่ง จะเป็น constraint ทำให้ปลายด้านล่างต้องเลื่อนไปทางซ้าย
แล้วก็หลักการของการนำแรงเข้าสู่ศูนย์กลางมาบวกกัน ไม่ทราบว่าไปเอามาจากไหน  ???
ข้อนี้จริงๆหลักการทางฟิสิกส์ไม่มีอะไรมาก สิ่งที่น่าตื่นเต้นคือคณิตศาสตร์นี่แหละ  ;D แนะนำว่าให้ลองแก้สมการออกมาดู


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 18, 2012, 05:47:12 AM
มีคล้ายกันอยู่ที่ http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5655.msg36580.html#msg36580 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,5655.msg36580.html#msg36580)


Title: Re: หาเวลาของการเคลื่อนที่แบบหมุน ผมคิดถูกมั้ยครับ
Post by: Benz-Math on September 21, 2012, 12:20:22 AM
...
พิจารณาแรงเข้าสู่ศูนย์กลางที่ \beta ใดๆ โดยคิดแรงเข้าสู่ศูนย์กลางแต่ละอนุภาคแล้วนำมาบวกกัน (dm=k_1dr เพราะมวลสม่ำเสมอ)

F_c=\int \frac{v^2}{r}dm
F_c=\int^{2r}_0 \frac{k_1\omega^2r^2}{r}dr=\frac{k_1\omega^2(2r)^2}{2}
mg\sin\beta-N\sin\beta=mg(\sin\beta-\sin^2\beta)=2m\omega^2r
...
ตรงนี้แนวคิดยังไม่น่าจะถูกนะครับ ผมไม่รู้ว่าคำตอบถูกรึเปล่าเพราะยังไม่ได้เช็ค (อาจจะบังเอิญถูก)
แรงเข้าสู่ศูนย์กลางไม่ใช่ mg\sin\beta-N\sin\beta
เพราะโจทย์บอกว่าปลายหนึ่งเป็นจุดหมุนอยู่กับที่ นั่นคือต้องมีแรงนอกเหนือจากสองแรงนี้ มาทำให้มันอยู่กับที่ ไม่เช่นนั้น จุดนี้จะอยู่กับที่ไม่ได้
ถ้าไม่มีแรงอื่นในแนวระดับ CM ที่ต่ำลงมาในแนวดิ่ง จะเป็น constraint ทำให้ปลายด้านล่างต้องเลื่อนไปทางซ้าย
แล้วก็หลักการของการนำแรงเข้าสู่ศูนย์กลางมาบวกกัน ไม่ทราบว่าไปเอามาจากไหน  ???
ข้อนี้จริงๆหลักการทางฟิสิกส์ไม่มีอะไรมาก สิ่งที่น่าตื่นเต้นคือคณิตศาสตร์นี่แหละ  ;D แนะนำว่าให้ลองแก้สมการออกมาดู
พอดีคิดขึ้นมาใช้กับโจทย์ข้อนี้เป็นข้อแรกครับ :uglystupid2:
เพราะต้องการสมการเพิ่มเนื่องจากไม่เพียงพอกับจำนวนตัวแปร ไม่ทราบว่าผิดถูกอย่างไรครับ