mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: CanonX on September 05, 2012, 10:36:21 PM



Title: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: CanonX on September 05, 2012, 10:36:21 PM
ในรูป มีวงแหวนมวล m ถูกคล้องไว้กับลวดที่มีลักษณะเป็น 1 ใน 4 ของวงกลมรัศมี R  ผูกเชือกกับแหวนแล้วไปคล้องกับรอก หากดึงเชือกด้วยแรงขนาดคงที่ F แล้ว

ถ้าเริ่มต้นวงแหวนอยู่ที่พื้นดังรูป จงหางานเนื่องจากแรง F เมื่อแหวนเคลื่อนที่ไปจนชนรอก (สูงจากพื้น R ห่างจากจุดเริ่มต้น \sqrt{2}R)

ช่วยแนะวิธีหน่อยครับ ไปไม่ถูกเลยครับ = ="

ขอบคุณล่วงหน้าครับ  :smitten:


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: jali on September 06, 2012, 05:47:06 PM
แนวคิดของผมก็คือว่าเราแตกแรงตามแนวแกนx y แล้วใช้
W= \int \vec{F}\cdot \vec{ds}
และใช้ (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}
เพื่อเปลี่ยนตัวแปร
จากนั้นก็แคลคูลัสครับ ;D


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: CanonX on September 06, 2012, 07:03:35 PM
ได้แล้วครับ ได้งาน W = \sqrt{2}FR

ขอบคุณมากครับผม  :smitten:


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: jali on September 06, 2012, 07:14:27 PM
อีกวิธีนึงครับ
s=\sqrt{2}R
W=Fs=\sqrt{2}FR
อันนี้เพื่อนผมคิดครับ ;D


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: CanonX on September 06, 2012, 07:27:18 PM
อีกวิธีนึงครับ
s=\sqrt{2}R
W=Fs=\sqrt{2}FR
อันนี้เพื่อนผมคิดครับ ;D

ตอนแรกผมก็คิดว่ามันจะได้ แต่จากที่ผมลองหาคำตอบเมื่อกี้ วิธีนั้นใช้ไม่ได้อะครับ ;D

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

แต่ถ้าคิดแบบ W = Fs เนื่องจาก s = R^2 - 2(ab + \sqrt{R^2 - a^2}\sqrt{R^2 - b^2})
จะได้ W = \sqrt{2[R^2 - (ab + \sqrt{R^2 - a^2}\sqrt{R^2 - b^2})]}F ซึ่งไม่เท่ากับข้างบน คิดว่าเพราะทิศของแรงไม่ได้คงตัวตลอดการเคลื่อนที่น่ะครับ วิธีนี้จึงใช้ไม่ได้


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: jali on September 07, 2012, 12:56:17 PM
ทำไมจะไม่เท่ากันครับ  ;D
ลองดูที่เราอินทิเกรตกันมาตรงๆจะได้
W=f(\sqrt{2}R-\sqrt{(R-a)^{2}+(R-b)^{2}} )
ตรงนี้สับสนุนคำพูดของเราที่ว่า
W=\vec{F}\cdot\vec{s}
เพราะเราสามารถเห็นได้อยู่แล้วว่าสมการนี้ใช้ได้โดยดูที่ว่า
งานที่เราทำต่อเชือกคือ W=\vec{F}\cdot\vec{s}
แต่ว่าเราไม่มี W_{tot}=\Delta K
ดังนั้นต้องมีงานจากอีกแรงที่มาทำเพื่อให้งานรวมเป็นศูนย์
นั้นก็คืองานจากแรงที่มวลทำต่อเชือกซึ่งนี่มีค่าลบของงานที่เชือกทำต่อมวล
ที่จริงแล้วสมการนี้ก็สนับสนุนสมการของเราเหมือนกัน

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

สมการนี้มายังไงครับ


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: CanonX on September 07, 2012, 03:49:06 PM
...

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

สมการนี้มายังไงครับ

จาก
W = \displaystyle\int \vec{F}\cdot d\vec{s}
คิดแยกแกน จะได้
W = \displaystyle\int F_x dx + \displaystyle\int F_ydy
ให้ \theta เป็นมุมของแรงตึงเชือกที่ดึงวัตถุทำกับพื้น
จะได้
W = \displaystyle\int F cos\theta dx + \displaystyle\int Fsin\theta dy - (1)

จาก (R-x)^2 + y^2 = R^2
x^2 - 2Rx + y^2 = 0
x = R - \sqrt{R^2 - y^2}
dx = \frac{y}{R-x}dy = \frac{y}{\sqrt{R^2 - y^2}}dy

cos \theta = \frac{R-x}{\sqrt{(R-x)^2 + (R-y)^2}} = \frac{\sqrt{R^2 - y^2}}{\sqrt{2R(R-y)}} = \frac{\sqrt{R+y}}{\sqrt{2R}}
sin \theta = \frac{R-y}{\sqrt{(R-x)^2 + (R-y)^2}} = \frac{R - y}{\sqrt{2R(R-y)}} = \frac{\sqrt{R-y}}{\sqrt{2R}}

แทนค่าเหล่านี้ลงใน (1) จะได้
W = F(\displaystyle\int (\frac{\sqrt{R+y}}{\sqrt{2R}}) (\frac{y}{\sqrt{R^2 - y^2}}dy)+ \displaystyle\int \frac{\sqrt{R-y}}{\sqrt{2R}} dy)
W = \frac{F}{\sqrt{2R}}(\displaystyle\int (\frac{y}{\sqrt{R-y}} + \sqrt{R-y}) dy)
W = \frac{F}{\sqrt{2R}}(\displaystyle\int \frac{R}{\sqrt{R-y}} dy)

เมื่อเริ่มต้นเคลื่อนที่จากสูง y = a ไปยัง y = b จะได้
W = \frac{F}{\sqrt{2R}}(\displaystyle\int_{y=a}^{y=b} \frac{R}{\sqrt{R-y}} dy)

เมื่อทำการอินทิเกรตออกมาจะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: jali on September 07, 2012, 06:29:07 PM
อ๋อ a b ในความหมายของผมคือคู่อันดับครับจาก
(x,y)=(0,0)\rightarrow (a,b)
ที่จริงแล้วเราไม่ต้องเปลี่ยนตัวแปรก็ได้ครับวิธีเปลี่ยนตัวแปรของผมค่อนข้างถึก ลองไม่เปลี่ยนตัวแปรดูครับ มันให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจ  ;)


Title: Re: งานตามเส้นทางโค้ง
Post by: K.P. on September 07, 2012, 07:07:38 PM
...

ถ้ามวลเคลื่อนที่ตามเส้นลวด จากความสูงจากพื้น a ไป b จะได้
W = \sqrt{2R}(\sqrt{R-a} - \sqrt{R-b})F ครับ

สมการนี้มายังไงครับ

จาก
W = \displaystyle\int \vec{F}\cdot d\vec{s}
คิดแยกแกน จะได้
W = \displaystyle\int F_x dx + \displaystyle\int F_ydy


line integral คิดแยกแกนได้หรอครับ แต่ละ path มันให้ค่าไม่เท่ากันนี่ครับ ถ้าไม่ใช่แรงอนุรักษ์ ???

ผมอ่านไม่ดีเองครับ  :embarassed: