mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาไฟฟ้าแม่เหล็ก => Topic started by: P o W i i on December 16, 2005, 09:46:26 PM



Title: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: P o W i i on December 16, 2005, 09:46:26 PM
An isolated spherical capacitor has charge +Qon its inner conductor (radius r_{a})
and charge-Q on its outer conductor (radius r_{b}).
Half of the volume between the two conductors is then filled with
a liquid dielectric of constant K .
find the capacitance of this capacitior.

ตัวเก็บประจุทรงกลมโดดเดี่ยว มีประจุ +Q กระจายบนตัวนำอันใน (รัศมี r_{a})
และ มีประจุ-Q กระจายบนตัวนำอันนอก (รัศมี r_{b})
ตรงช่องว่างระหว่างตัวนำทั้งสองนั้นมีของเหลวที่มีค่าคงที่ไดอิล็กตริก K ใส่อยู่ครึ่งหนึ่งของปริมาตรที่ว่างนั้น
จงหาความจุของตัวเก็บประจุนี้


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: NiG on December 24, 2005, 04:53:58 PM
สงสารโพ ไม่มีใครช่วยโพทำซักคน เอาเป็นว่าเด๋วเดี๋ยวผมจะลองไปหาวิธีทำให้แล้วกัน
ถ้าทำได้นะ  ;D


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: NiG on December 24, 2005, 07:46:20 PM
ลองทำดูนะท่านโพ

ใน หนังสือของ ป๋า เล่ม 3 ก็น่าจะมีนะ พอดีเราเพิ่งอ่านวิธีทำแบบเป็นแผ่น
ลองทำดูนะ ผิดถูกอย่าว่ากันหล่ะ

เราลองสมมติว่ามีประจุ Q กระจายอย่ภายใน และ เกิดสนามไฟฟ้าจาก ประจุสารไดอิเล็กตริก เป็น q
เราใช้กฎของเกาส์ที่รัศมี r ใดๆ โดยที่ r_a>r>r_b จะได้เป็น
E=\displaystyle{\frac{Q-q}{4\pi r^2}}--------------------------1
และเรารู้ว่า Q=\rho 4\pi {r_a}^2 ------------------------2
และ q={\rho_2}4\pi {r_a}^2

ในหนังสือ ของอาจารย์วุทธิพันธุ์ บอกว่า ความหนาแน่นของประจุ� มีค่าแปรผันตรงกับ สนามไฟฟ้า
และเขียนสมการได้ว่า \rho_2={\epsilon_0}n E โดยที่ n เป็นค่าคงที่ตัวหนึ่ง

จากนั้นเมื่อแทนค่า ลงไปในสมการที่ 1 เราจะได้ว่า
E=\displaystyle{\frac{\rho 4\pi {r_1}^2 - 4\epsilon_0 nE\pi {r_a}^2 }{4\pi r^2 \epsilon_0}}
E= \displaystyle{\frac{\rho}{(1+n)\epsilon_0}}\displaystyle{\frac{{r_a}^2}{r^2}}

โดยที่ 1+n = Kโดยที่ K เป็นค่าไดอีเล็กตริกซ์ของสารนั้นๆ

จากนั้นเราก็จะหาความต่างศักย์ได้เป็น
V=\int Edr ไม่ใส่เครื่องหมายนะครับ เพราะกรณีนี้สนใจเฉพาะขนาดเท่านั้น
V=\displaystyle{\frac{\rho {r_a}^2}{K{\epsilon+0}}}\displaystyle\frac{{r_b}-{r_a}}{{r_a}{r_b}}

จากสมการ 2 เราจะได้ว่า
V=\displaystyle{\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 K}}\displaystyle{\frac{{r_b}-{r_a}}{{r_a}{r_b}}}
จากนั้นเราจะได้ว่า
Q=\displaystyle{\frac{4\pi \epsilon_0 K {r_a}{r_b}}{{r_b}-{r_a}}}V
C=\displaystyle{\frac{4\pi \epsilon_0 K {r_a}{r_b}}{{r_b}-{r_a}}}

ผิดถูกประการใด โปรดชี้แนะ


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: P o W i i on December 24, 2005, 11:00:17 PM
เหมือนไม่ได้ใส่ไดอิเล็กตริกไป "ครึ่งหนึ่ง" นะท่านนิค


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: NiG on December 25, 2005, 12:20:51 PM
ตรงไหนอะท่านโพ ช่วยชี้หน่อยสิ
ป.ล. ผมอ่านที่ตัวเองพิมพ์ยังตาลายเลย ;D


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: MwitStu. on December 25, 2005, 04:18:03 PM
ไม่เข้าใจอะครับ งง ???


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: NiG on December 25, 2005, 10:08:01 PM
มันเรียนตอนค่าย 2 อะเคน อาจารย์ก็ไม่ค่อยลงละเอียดมาอะ
คือตัวที่เรียกว่าไดอีเล็กตริกซ์นี่ มันเป็นสารชนิดหนึ่งที่เค้าจะเอาไว้ใส่ในตัวเก็บประจุ เพื่อให้มีค่าความจุมากขึ้น
โดยที่เค้าบอกว่า อีเล็กตรอนในสารไดอีเล็กตริกซ์เป็นอีเล็กตรอนไม่อิสระ  เมื่อผ่านสนามไฟฟ้าเข้าไปในสารไดอีเล็กตริกซ์  จะทำให้อีเล็กตรอนไม่อิสระในอีเล็กตรอน เรียงตัวกันเป็นระเบียบ ทำให้เกิดสนามไฟฟ้าต่อต้าน สนามไฟฟ้าเดิม
และทำให้ ค่าความจุมีค่ามากขึ้น
 


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: MwitStu. on December 26, 2005, 01:28:51 PM
ขอบคุณครับ แต่ว่า งงๆ ทำไมเหมือนใส่ dielectric ไปทั้งช่องว่างเลย


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: MwitStu. on December 26, 2005, 01:31:02 PM
ถ้าเราหาความจุระหว่างทรงกลม แล้วหาร 2 มันจะได้ความจุระหว่างครึ่งทรงกลมมั้ยอะครับ ???


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: NiG on December 26, 2005, 03:46:18 PM
 :oตกใจ
จริงๆด้วย ผมลืมไปเลยว่าใส่ไดอีเล็กตริกไปแค่ครึ่งเดียว  ;D

เดี๋ยวผมจะมาแก้ให้แล้วกันนะ แต่ขอไปอ่านเคมีก่อน พรุ่งนี้สอบ

ป.ล.ตอนสอบ ฟ.1 ได้9.5 เต็ม20 เองฮือๆ :'(


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: DPhy on December 29, 2005, 02:04:58 PM
ถ้าเราหาความจุระหว่างทรงกลม แล้วหาร 2 มันจะได้ความจุระหว่างครึ่งทรงกลมมั้ยอะครับ ???
ตอบคุณ BDStu. นะครับ ผมคิดว่าคิดอย่างนั้นก็ได้ครับ เพราะว่าตัวเก็บประจุทรงกลมก็คือตัวเก็บประจุครึ่งทรงกลมที่ต่อขนานกันอยู่นั่นเอง
ที่คิดอย่างนี้ได้เพราะว่าศักย์ตกคร่อมระหว่างผิวทรงกลมโลหะทั้งอันในและอันนอกมีค่าคงที่ตลอดทั่วทั้งแผ่นตามสมบัติของตัวนำ
และด้วยเหตุที่คิดอย่างนี้ได้ เราจึงคิดข้อนี้ได้ว่าค่าความจุที่ต้องการมีค่าเท่ากับความจุของตัวเก็บประจุทรงกลมที่มีไดอิเล็กตริกเป็นอากาศ
บวกด้วยความจุของตัวเก็บประจุทรงกลมที่มีไดอิเล็กตริกเป็นของเหลวทั้งหมดแล้วหารด้วย 2 ลองคิดดูละกันนะครับ
ถูกรึเปล่าหนอ?


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: MwitStu. on January 02, 2006, 10:08:16 PM
ที่พี่G ทำมาได้ความจุระหว่างทรงกลมที่มี dielectric เป็นดังนี้
C=\displaystyle{\frac{4\pi \epsilon_0 K {r_a}{r_b}}{{r_b}-{r_a}}}
คิดว่าช่องระหว่างทรงกลม ประกอบด้วยครึ่งทรงกลม 2 อันต่อขนานกัน(ความจุบวกกัน)
ส่วนความจุระหว่างทรงกลมที่ไม่มี dielectric เป็น
C=\displaystyle{\frac{4\pi \epsilon_0 {r_a}{r_b}}{{r_b}-{r_a}}}
เนื่องจากประจุยังกระจายในรูปแบบเดิมคุณสมบัติไม่น่าจะเปลี่ยนแปลง
เมื่อนำแต่ละส่วนตัดครึ่งแล้วมารวมกันก็จะกลายเป็น
C_{mixed}=\displaystyle{\frac{2\pi \epsilon_0 {r_a}{r_b}(1+K)}{{r_b}-{r_a}}}

ไม่แน่ใจอะครับ ช่วยเช็คให้ทีครับ ถ้าผิดจะทำลายหลักฐานเลยครับ ;D




Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: MwitStu. on January 02, 2006, 10:32:57 PM
ไม่ขัดแล้วครับ แต่ลบไม่ได้ ;D


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: P o W i i on January 02, 2006, 11:23:57 PM
ขอบคุณมากๆเลยครับ ดูกะทัดรัดดี
ประจุไม่จำเป็นต้องกระจายสม่ำเสมอนี่ครับ หรือยังไง?


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: DPhy on January 03, 2006, 01:04:45 AM
ประจุย่อมกระจายไม่สม่ำเสมออยู่แล้วครับ เพราะว่าศักย์ของทรงกลมโลหะต้องมีค่าเท่ากันหมดเป็นสมบัติของโลหะ ุถ้าประจุกระจายสม่ำเสมอจะทำให้ศักย์มีค่าไม่เท่ากัน ลองมองภาพว่าถ้าเราจะลากประจุมาวางบนทรงกลมเราต้องทำงานต้านแรงจากประจุที่อยู่บนทรงกลมอยู่ก่อน ถ้าประจุที่อยู่ก่อนกระจายสม่ำเสมอจะไ้ด้ว่าที่ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากันสนามไฟฟ้ามีขนาดไม่เท่ากัน เพราะบริเวณที่มีไดอิเล็กตริกจะมีขนาดของสนามไฟฟ้าลัพธ์น้อยกว่า(\epsilonมีค่ามากกว่า) ทำให้งานที่ใช้ในการลากประจุมาวางผ่านบริเวณที่มีไดอิเล็กตริกมีค่าน้อยกว่างานในการลากผ่านบริเวณทีี่ไม่มี และจากนิยามของศักย์ไฟฟ้าเราได้ว่าศักย์ไฟฟ้าบนผิวโลหะมีค่าไม่เท่ากันซึ่งขัดแย้งกับสิ่งที่เรารู้ว่าศักย์บนผิวเท่ากันทุกที่ ดังนั้นเราสรุปได้ว่าประจุกระจายไม่สม่ำเสมอแน่ ต้องมีความหนาแน่นในบริเวณไดอิเล็กตริกมากกว่าเพื่อให้มีสนามไฟฟ้าขนาดเท่ากันที่ระยะห่างเท่ากัน


Title: Re: A spherical capacitor with partially fills dielectric
Post by: DPhy on January 03, 2006, 01:13:44 AM
คิดได้คำตอบเท่ากันเลย ;D ใครลองตรวจสอบเพิ่มเติมให้ด้วยนะครับว่าถูกจริงหรือไม่ หรือว่าพลาดตรงไหนบ้างหรือเปล่า