mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาฟิสิกส์อื่นๆ => Topic started by: Hermitian on March 21, 2012, 01:45:26 AM



Title: Tunneling effect
Post by: Hermitian on March 21, 2012, 01:45:26 AM
 Electron ตัวหนึ่งมีพลังงานจลน์ E_{k}=5.0 eV กระทบกับกำแพง barrier ที่มีความหนาและความสูง L=0.2 nm, U=10.0 eV ดังภาพ
จงหาความน่าจะเป็นที่ (1) electron สะท้อนกลับ (2) electron วิ่งทะลุ barrierไป
โจทย์บอกให้หาเป็นตัวเลขเลยครับ(และห้ามใช้เครื่องคิดเลข =w= )  ความจริงแล้ว ผมสงสัยว่าถ้าผมอยากหาโดยไม่ใช้ transmission coefficient คำตอบที่ผมได้คือ
\psi _{I}=Ae^{ikx}(incident)+Be^{-ikx}(reflected), \psi _{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} = De^{-\kappa x} \\ ,  \psi _{III}=Fe^{ikx}+Ge^{-ikx}   when    k=\frac{\sqrt{2mE_{k}}}{\bar{h}}; \kappa=\frac{\sqrt{2m(U-E_{k})}}{\bar{h}} 
    แล้วเวลาหาความน่าจะเป็น จะต้องรู้ normalization constant (A,B,C,D,F,G) ก่อนใช่มั้ยครับ ซึ่งอาจหาจากการดู boundary condition แล้วเทคลิมิตเอา
แต่ทีนี้ ผมติดครับ จะหาค่าแล้วสมการไม่พอ อีกอย่างนึงคือเวลา integrate มันมีพจน์ sine แล้วหา limit ไม่ได้ครับ ไปเปิดดูมีคนใช้ flux กับ group velocity พิสูจน์ครับ
ขอคำชี้แนะด้วยนะครับ   :buck2:
    อีกอย่างนึง การหา general solution  \psi _{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} = De^{-\kappa x}
ที่ตัดเทอมCe^{\kappa x}ทิ้งนี่ เราใช้ฟิสิกส์ช่วยพิจารณาเอาว่าต้องไปทางขวา คือดูทิศการวิ่งเอาคือดูเครื่องหมาย p=-i\tilde{h}\frac{d\psi }{d x} ใช่มั้ยครับ  :)


Title: Re: Tunneling effect
Post by: ชัยโรจน์ on March 22, 2012, 12:40:55 PM
เราหาความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนสะท้อนกลับและความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนวิ่งทะลุกำแพงไปโดยไม่ต้องคำนวณสัมประสิทธิ์การส่งผ่านและสัมประสิทธิ์การสะท้อนได้ด้วยหรอครับ ที่ผมเข้าใจคือพวกสัมประสิทธิ์อะไรต่าง ๆ นั่นก็คือความน่าจะเป็นที่คุณอยากหานั่นแหละ  :idiot2:


Title: Re: Tunneling effect
Post by: ชัยโรจน์ on March 22, 2012, 12:54:45 PM
แล้วทำไมฟังก์ชันคลื่นของบริเวณ \mathrm{II} จึงเป็นแค่นี้หละครับ  :idiot2:

...\psi _{II}=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x} = De^{-\kappa x}...

การที่เราจะบอกว่าค่า C เป็นศูนย์ได้ เราต้องใช้เงื่อนไขขอบที่ว่าฟังก์ชันคลื่นต้องเข้าใกล้ศูนย์ในที่ไกล ๆ แต่ปัญหานี้บริเวณ  \mathrm{II} ไม่ได้ไปไกลถึงอนันต์ เราควรจะเก็บค่า C ไว้นะครับ


Title: Re: Tunneling effect
Post by: Hermitian on March 22, 2012, 04:33:35 PM
ครับ ก็ในหนังสือปี 1 ส่วนใหญ่เค้าให้อันนี้ผมมาเลยนี่ครับ T=16\frac{E}{U_{0}}(1-\frac{E}{U_{0}})e^{-2\kappa L} ผมเลยอยากพิสูจน์
ทีนี้ เท่าที่ผมไปเปิดมาเค้าใช้ flux ของ velocity แทนความน่าจะเป็น คือ  T=\frac{\left| \psi _{III+} \right|^{2} v_{III+}}{\left| \psi _{I+} \right|^{2} v_{I+}}  เมื่อ + แทนคลื่นที่วิ่งไปทาง +x ครับ ตรงนี้ผมพอเข้าใจอยู่บ้าง แต่ก็ต้องหาตัวแปรที่เหลือเองอยู่ดี แต่ถ้าไม่เป็นการรบกวน อยากทราบวิธีพิสูจน์เรื่องนี้ครับ  :)


Title: Re: Tunneling effect
Post by: ชัยโรจน์ on March 22, 2012, 09:53:44 PM
...อยากทราบวิธีพิสูจน์เรื่องนี้ครับ  :)...

งั้นมาช่วยกันครับ ผมก็จะช่วยทำด้วย

ในปัญหานี้เราจะพิจารณาพลังงานของอิเล็กตรอนทั้งหมดสามกรณี
1. E < U_0
2. E = U_0
3. E > U_0
เราจะทำทุกกรณีเลยแล้วกัน(เพื่อความมันส์ของเด็กไฟแรง  ;D)

สิ่งที่เราอยากหาคือความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนจะผ่านกำแพงพลังงานศักย์ไปได้ เริ่มจากฟลักซ์ของความเร็วเราจะได้
T = \dfrac{\left| \psi_{3+} \right|^2v_{3+} }{\left| \psi_{1+}} \right|^2v_{1+}}
เพราะว่าที่บริเวณ 1 และ 3 อิเล็กตรอนมีอัตราเร็วเท่ากัน ดังนั้นเราจึงเหลือเพียง
T = \dfrac{\left| \psi_{3+} \right|^2 }{\left| \psi_{1+}} \right|^2}
ถึงตอนนี้เราใช้สมการชเรอดิงเงอร์กับบริเวณ 1 และ 3 และฟังก์ชันคลื่นที่เราแก้สมการได้คือ
\psi_{1} = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}
\psi_{3} = Fe^{ikx} + Ge^{-ikx}
Stationary state ได้จากการคูณตัวประกอบ e^{-iE_k t/\hbar } เข้าไปกับฟังก์ชันคลื่นแบบที่ไม่ขึ้นกับเวลาเหล่านี้
\Psi _{1} = Ae^{i(kx - E_k t/\hbar )} + Be^{-i(kx + E_k t/\hbar )}
\Psi _{3} = Fe^{i(kx - E_k t/\hbar )} + Ge^{-i(kx + E_k t/\hbar )}
พิจารณาทีละพจน์นะครับ
พจน์ Ae^{i(kx - E_k t/\hbar )}    นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่วิ่งมาจาก -\infty ไปทางขวา
พจน์ Be^{-i(kx + E_k t/\hbar )} นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่สะท้อนกลับไปยัง -\infty หลังจากตกกระทบกำแพง
พจน์ Fe^{i(kx - E_k t/\hbar )}    นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่ทะลุผ่านกำแพงศักย์ วิ่งไปทางขวาสู่ \infty
พจน์ Ge^{-i(kx + E_k t/\hbar )} นี้เราตีความว่าเป็นคลื่นอิเล็กตรอนที่วิ่งมาจาก \infty ไปทางซ้าย แต่สถานการณ์นี้ เรายิงอิเล็กตรอนมาจากทางซ้าย ดังนั้นคลื่นส่วนสุดท้ายนี้จึงมีไม่ได้
เลยทำให้ G = 0 ไป
ทำให้เราได้ว่า
\psi_{1+} = Ae^{ikx}
\psi_{3+} = Fe^{ikx}
เพราะฉะนั้น
T = \dfrac{\left| \psi_{3+} \right|^2 }{\left| \psi_{1+}} \right|^2} = \dfrac{|F|^2}{|A|^2}

กรณี 1

ทุก ๆ กรณีสมการชเรอดิงเงอร์ในบริเวณ 1 และ 3 จะเหมือนกันทั้งหมด ทีนี้คุณลองกับบริเวณ 2 ดู
เราควรจะได้ระบบสมการออกมาที่มี 4 สมการ 5 ตัวแปร
ผมทำถึงขั้นนี้แล้ว ตอนนี้เรารู้แล้วว่าสิ่งที่เราต้องการคืออะไร คุณทำต่อเลยครับ ถึงไหนผมจะมาช่วยต่อ :gr8


Title: Re: Tunneling effect
Post by: Hermitian on March 29, 2012, 12:55:00 AM
ผมได้สมการ 4 สมการคือ 1) C+D=A+B \; 2) \kappa (C-D)=ik(A-B) \;  3) Ce^{\kappa L}+De^{-\kappa L}=Fe^{ikL}\; \\  4) \kappa (Ce^{\kappa L}-De^{-\kappa L})=ikFe^{ikL}

แก้สมการแล้วได้ว่า

\left| F \right|e^{\kappa L}=\left| A \right| \times 2k\frac{\left| (\kappa e^{4\kappa L}+1)+ike^{4\kappa L} \right| }{\left| (\kappa^{2}-k^{2})(e^{2\kappa L}-1)+i(2\kappa k)(e^{2\kappa L}+1) \right| }

เท่านี้ก้อหา T ได้แบบนี้หรือเปล่าครับ สงสัยเพราะมันเน่ามากเลย ถึงหาขนาดของเชิงซ้อนก็รูปไม่สวยอยู่ดี  :(


Title: Re: Tunneling effect
Post by: ชัยโรจน์ on April 01, 2012, 10:33:17 PM
สมการชุดนี้แก้ยากครับ ต้องใช้กำลังภายในเยอะ
ลองใช้นิยามนี้แล้วจัดรูปดูครับ

\cosh z \equiv  \dfrac{e^{z} + e^{-z}}{2}

เดี๋ยวผมขอแก้สมการนี้อีกครั้งก่อน ได้เท่าไหร่จะมาโพสครับ  ;D


Title: Re: Tunneling effect
Post by: ชัยโรจน์ on April 10, 2012, 02:15:36 PM
ที่น้องทำมาได้ชุดสมการนั้นถูกต้องครับ

\begin{matrix} C + D &=& A + B & (1) \cr \kappa (C - D) &=& ik(A - B) & (2) \cr Ce^{\kappa L} + De^{-\kappa L} &=& Fe^{ikL} & (3) \cr \kappa (Ce^{\kappa L} - De^{-\kappa L}) &=& ikFe^{ikL} & (4) \end{matrix}

ที่ผมลองแก้มาวิธีการเป็นแบบนี้

\bullet กำจัดตัวแปร B โดยการนำสมการ (1) คูณกับ ik แล้วบวกเข้ากับสมการ (2) ผลลัพธ์ได้

\begin{matrix} 2ikA = (ik + \kappa )C + (ik - \kappa )D & (5) \end{matrix}

\bullet เพื่อหา C ในรูปของ F นำสมการ (3) คูณกับ \kappa แล้วบวกเข้ากับสมการ (4) ผลลัพธ์ได้

\begin{matrix} C = \dfrac{1}{2\kappa }(ik + \kappa )Fe^{ikL - \kappa L}&(6)  \end{matrix}

\bullet เพื่อหา D ในรูปของ F นำสมการ (3) คูณกับ -\kappa แล้วบวกเข้ากับสมการ (4) ผลลัพธ์ได้

\begin{matrix} D = -\dfrac{1}{2\kappa }(ik - \kappa )Fe^{ikL + \kappa L}& (7) \end{matrix}

\bullet แทนสมการ (6) และ (7) ลงในสมการ (5) แล้วคูณสมการด้วย 2\kappa จะได้

4ik\kappa A = (ik + \kappa )^2Fe^{ikl - \kappa L} - (ik - \kappa )^2Fe^{ikl + \kappa L}

Complex conjugate ของสมการนี้คือ

-4ik\kappa A^* = (-ik + \kappa )^2F^*e^{-ikl - \kappa L} - (-ik - \kappa )^2F^*e^{-ikl + \kappa L}

\bullet คูณสมการทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์

\begin{matrix}16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = (ik + \kappa )^2(ik - \kappa )^2(e^{-2\kappa L} + e^{2\kappa L})\left| F \right|^2 - \left((ik - \kappa)^4 + (ik + \kappa )^4\right)\left| F \right| ^2&(9) \end{matrix}

\bullet จากนิยามของฟังก์ชัน Hyperbolic cosine

(e^{-2\kappa L} + e^{2\kappa L}) = 2\cosh (2\kappa L)

และเนื่องจาก (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 ดังนั้น

(ik + \kappa )^2(ik - \kappa )^2 = \left(\kappa ^2 + k^2\right)^2

และโดยการหลับหูหลับตากระจายอย่างแท้จริงจะได้

(ik - \kappa)^4 + (ik + \kappa )^4 = 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)

\bullet สมการ (9) จะกลายเป็น

16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 2\left(\kappa ^2 + k^2\right)^2\cosh (2\kappa L)\left| F \right| ^2 - 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)\left| F \right| ^2

\bullet จากเอกลักษณ์ \cosh 2z = 2\sinh ^2 z +1 สมการด้านบนจะกลายเป็น

16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 2\left(\kappa ^2 + k^2\right)^2\left(2\sinh ^2 (\kappa L) +1\right)\left| F \right| ^2 - 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)\left| F \right| ^2

\bullet คูณกระจายเข้าไปในวงเล็บ

16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 4 \left(\kappa ^2 + k^2 \right)^2\sinh ^2(\kappa L)\left| F \right| ^2 - 2\left(k^4 - 6k^2\kappa ^2 + \kappa ^4\right)\left| F \right| ^2 + 2\left(\kappa ^4 + 2\kappa ^2k^2 + k^4 \right)\left| F \right| ^2

16k^2\kappa ^2\left| A \right|^2 = 4 \left(\kappa ^2 + k^2 \right)^2\sinh ^2(\kappa L)\left| F \right| ^2 + 16\kappa ^2k^2\left| F \right| ^2

\bullet นำ 16k^2\kappa ^2 หารตลอดสมการได้

\left| A \right|^2  = \left\{ \dfrac{ \left(\kappa ^2 + k^2 \right)^2\sinh ^2(\kappa L)}{4k^2\kappa ^2} + 1 \right\}\left| F \right| ^2

และ \kappa ^2 + k^2 = \dfrac{2mU}{\hbar ^2} และ \kappa ^2k^2 = \dfrac{4m^2}{\hbar ^4}E(U - E)

ดังนั้นสมการกลายเป็น

\dfrac{\left| A \right| ^2}{\left| F \right| ^2} =1 + \dfrac{U^2}{4E(U - E)}\sinh ^2\left(\dfrac{L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right)

จากนิยามของ T สุดท้ายจะได้อย่างสวยงามว่า

T^{-1} = 1 + \dfrac{U^2}{4E(U - E)}\sinh ^2\left(\dfrac{L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right)


Title: Re: Tunneling effect
Post by: ชัยโรจน์ on April 10, 2012, 02:35:37 PM
ตอนนี้เราได้คำตอบสำหรับกรณีที่หนึ่งเรียบร้อยแล้ว

T = \left\{ 1 + \dfrac{U^2}{4E(U - E)}\sinh ^2\left(\dfrac{L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right) \right\}^{-1}

นี่ก็น่าจะเพียงพอสำหรับสิ่งที่น้องต้องการแล้วครับ

ในหนังสือฟิสิกส์พื้นฐานบอกว่า

T \approx \dfrac{16E}{U}\left(1 - \dfrac{E}{U}\right)\exp\left(-\dfrac{2L}{\hbar}\sqrt{2m(U - E)}\right)

ในกรณีที่กำแพงกว้างมาก ๆ ( L มาก ๆ ) หรือ พลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนต่ำ ๆ ( E น้อย ๆ )

ลองพิสูจน์ดูเลยครับ  :gr8


Title: Re: Tunneling effect
Post by: Hermitian on April 17, 2012, 02:59:19 PM
ขอบคุณมากนะครับ  :)