mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: McTavish on March 16, 2012, 05:30:02 PM



Title: สงสัยการเขียนสมการแรงเข้าสู่ศูนย์กลางในกรอบที่มีความเร่งครับ
Post by: McTavish on March 16, 2012, 05:30:02 PM
จาก http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,870.0.html (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,870.0.html)
ผมมีข้อสงสัยในการเขียนสมการตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ในตอนที่เราพิจารณาแรงในแนวรัศมีของทรงกระบอกนะครับ
ตามที่โจทย์กำหนดให้ v คืออัตราเร็วของมวล m ในแนวสัมผัสกับทรงกระบอก และ V เป็นอัตราเร็วของทรงกระบอก M
ถ้าผมกำหนดให้ N เป็นแรงปฏิกริยาระหว่าง m กับ M ใช้มุม \theta วัดจากแนว  \overline{CP} ตามที่รูปกำหนด และกำหนดให้ทิศบวกชี้ไปในแนวรัศมี
ผมเขียนกฏของนิวตันในแนวรัศมีได้เป็น
-\frac{m(v-V\cos \theta )}{R}^{2}=N-mg\cos \theta
ซึ่งทางฝั่งซ้ายสมการคือแรงลัพธ์เข้าสู่ศูนย์กลางในรูปของอัตราเร็วของ mในแนวสัมผัสทรงกระบอกในกรอบเฉื่อยน่ะครับ และทางฝั่งขวาก็คือแรงที่กระทำต่อ m ในกรอบเฉื่อย
จุดที่ผมสงสัยก็คือตาม Link ที่แนบไว้ที่พี่ Peeravit ให้สมการของแรงในแนวรัศมีเป็น

\displaystyle mg\cos\theta - N - m\dot{V}\sin\theta = m\frac{v^2}{R} ----- (4)


คือต้องใช้แนวคิดในเรื่องไหนในการตั้งสมการตามรูปแบบนี้หรือครับ และสมการที่ผมได้มานี้สามารถนำไปใช้ได้ไหมครับหรือต้องใช้อีกสมการหนึ่ง ขอคำแนะนำด้วยครับผม ขอบคุณครับ
(มารยาทหรือการพิมพ์อะไรของผมบกพร่องโปรดชี้แนะด้วยนะครับ ผมมือใหม่บอร์ดนี้ :))


Title: Re: สงสัยการเขียนสมการแรงเข้าสู่ศูนย์กลางในกรอบที่มีความเร่งครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 16, 2012, 08:19:43 PM
จาก http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,870.0.html (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,870.0.html)
...
ผมเขียนกฏของนิวตันในแนวรัศมีได้เป็น
-\frac{m(v-V\cos \theta )}{R}^{2}=N-mg\cos \theta
ซึ่งทางฝั่งซ้ายสมการคือแรงลัพธ์เข้าสู่ศูนย์กลางในรูปของอัตราเร็วของ mในแนวสัมผัสทรงกระบอกในกรอบเฉื่อยน่ะครับ และทางฝั่งขวาก็คือแรงที่กระทำต่อ m ในกรอบเฉื่อย


สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันคือ ผลบวกของแรงทั้งหมดที่ทำต่อวัตถุมีค่าเท่ากับมวลคูณความเร่ง โดยความเร่งต้องวัตเทียบกับกรอบเฉื่อย (พื้น ในกรณีนี้)

ในสมการที่เขียนมา เข้าใจว่าขวามือคือผลบวกของแรงทั้งหมดในแนวรัศมี  ดังนั้นซ้ายมือน่าจะเป็นมวลคูณความเร่ง ซึ่งควรเป็นความเร่งเทียบกับกรอบเฉื่อย

แนะนำให้เขียนสมการการเคลื่อนที่ในรูปเวกเตอร์ และใช้ความเร่งเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย แล้วค่อยเขียนความเร่งในกรอบเฉื่อยให้อยู่ในรูปของความเร่งในกรอบทรงกระบอก บวก (แบบเวกเตอร์) กับความเร่งของทรงกระบอก และใช้เงื่อนไขว่าเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นเส้นทางไปบนผิวโค้งทรงกลม ซึ่งจากลักษณะการเคลื่อนที่แบบนี้เรารู้ว่ามีความเร่งเทียบกับทรงกระบอกในแนวเข้าสู่ศูนย์กลาง ขนาดเท่ากับ \dfrac{v^2}{R}


Title: Re: สงสัยการเขียนสมการแรงเข้าสู่ศูนย์กลางในกรอบที่มีความเร่งครับ
Post by: McTavish on March 16, 2012, 09:31:06 PM
ขอบคุณมากครับอาจารย์ ผมจะลองกลับไปขีดๆเขียนๆดู ได้ผลอย่างไรผมจะมาฝากไว้ที่นี่อีกทีนะครับ (อาจใช้เวลาพอควร อยู่ครับ :) )


Title: Re: สงสัยการเขียนสมการแรงเข้าสู่ศูนย์กลางในกรอบที่มีความเร่งครับ
Post by: McTavish on March 17, 2012, 12:42:26 AM
จากที่ผมทำมานะครับ
ตามรูปด้านล่างสามารถเขียนเวกเตอร์ระบุตำแหน่งของ m ได้ว่า
\mathbf{r=X+r^\prime }
จึงเขียนเวกเตอร์ของความเร่ง ได้ว่า
\mathbf{\ddot{r}=\ddot{X}+\ddot{r^\prime }}

พิจารณาความเร่งเฉพาะในแนวรัศมี ได้ว่า
\ddot{r_{r}}\mathbf{\hat{r}}= \ddot{X_{r}}\mathbf{\hat{r}}+ \ddot{r^\prime _{r}}\mathbf{\hat{r}}
ซึ่งเราทราบว่า \ddot{r^\prime _{r}}=\frac{v^{2}}{R} ในทิศเข้าสู่ศูนย์กลาง
และสามารถหาความเร่งของมวล M ในแนวรัศมีได้ \ddot{X_{r}}=\ddot{X}\sin \theta ซึ่งมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางเช่นเดียวกัน
เพราะฉะนั้นความเร่งของมวล m ในแนวรัศมีเทียบกับพื้นคือ
\ddot{r_{r}}=-\ddot{X}\sin \theta -\frac{v^{2}}{R}

สามารถเขียนสมการการเคลื่อนที่ของมวล  m ได้ว่า
\sum F_{r}=N-mg\cos \theta
\sum F_{r}=m\ddot{r_{r}}=-m\ddot{X}\sin \theta -m\frac{v^{2}}{R}
N-mg\cos \theta=m\ddot{r_{r}}=-m\ddot{X}\sin \theta -m\frac{v^{2}}{R}
ทำให้ผมได้ m\frac{v^{2}}{R}=mg\cos \theta-N-m\ddot{X}\sin \theta ขอบคุณคร้าบบ :smitten:

หมายเหตุ ผมไม่ค่อยมั่นใจในการกำหนดเครื่องหมายเวกเตอร์น่ะครับไม่ทราบว่ามีหลักเกณฑ์ที่จะไม่สับสนในการกำหนดเครื่องหมายบวกลบไหมครับ ขอบคุณครับผม :)


Title: Re: สงสัยการเขียนสมการแรงเข้าสู่ศูนย์กลางในกรอบที่มีความเร่งครับ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on March 17, 2012, 06:09:19 AM
...

หมายเหตุ ผมไม่ค่อยมั่นใจในการกำหนดเครื่องหมายเวกเตอร์น่ะครับไม่ทราบว่ามีหลักเกณฑ์ที่จะไม่สับสนในการกำหนดเครื่องหมายบวกลบไหมครับ ขอบคุณครับผม :)

ในสมการเวกเตอร์ให้เขียนเวกเตอร์เป็นผลบวกของเวกเตอร์ส่วนประกอบในทิศอ้างอิงที่เราเลือกตามความเหมาะสม
เช่น ถ้าเรามีความรู้เกี่ยวกับความเร่งของวัตถุในแนวรัศมี เราก็แตกเวกเตอร์ในแนวนั้น
หรือ เรารู้ว่าแท่งทรงกระบอกถูกบังคับให้ไถลไปบนพื้นในแนวระดับ เราก็แตกเวกเตอร์ในแนวนั้น
ในการเขียนเวกเตอร์ในรูปส่วนประกอบในทิศอ้างอิง ถ้าเรารู้ทิศทางของเวกเตอร์นั้น เราก็ใส่ความรู้นั้นเข้าไปได้เลย
เช่น จากลักษณะการเคลื่อนที่เป็นวงกลม เรารู้ว่าความเร่งมีทิศทางเข้าสู่ศูนย์กลาง และเราเลือกให้ทิศชี้ออกในแนวรัศมีเป็นทิศทางอ้างอิง
เราก็เขียนส่วนนั้นให้อยู่ในรูปขนาดของเวกเตอร์คูณกับ เวกเตอร์ลบของทิศทางอ้างอิงได้เลย
สำหรับเวกเตอร์อื่นที่เราไม่รู้ค่า เช่น ความเร่งของแท่งทรงกระบอกในแนวระดับ เราอาจเขียนเป็นส่วนประกอบ (ซึ่งเป็นบวกก็ได้ ลบก็ได้) คูณกับเวกเตอร์ของทิศทางอ้างอิง
เช่น ในข้อนี้ ถ้าเลือกทิศทางขวามือเป็นทิศทางอ้างอิง ส่วนประกอบของความเร่งทรงกระบอกในทิศทางนี้จะมีค่าเป็นลบ แสดงว่าทรงกระบอกมีความเร่งไปทางซ้ายมือ  :coolsmiley:
ถ้าคำนวณได้เป็นบวก ก็แปลว่า