mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ไทย Thai Physics Olympiad => Topic started by: TimeTimeFruit on January 22, 2012, 01:14:32 AM



Title: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: TimeTimeFruit on January 22, 2012, 01:14:32 AM
เห็นว่าผ่านไปนานแล้วยังไม่มีคนโพส... ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on February 05, 2012, 09:41:59 PM
ขอลองข้อ 1 นะครับ  :buck2:

ก. จากกฎของเกาส์ สร้างgaussian surface เป็นทรงกระบอกยาว \delta x รัศมี r ล้อมรอบลวดไว้ครับ ก็จะได้ 2E \pi r \delta x &=& \dfrac{ \lambda \delta x}{ \varepsilon_0}
เราก็จะได้สนามไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่ง r เป็น \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) ทิศลง
ข. V &=&  -\displaystyle \int_{a}^{r} \vec{E} \cdot   d\vec{r} &=& \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \left[ \dfrac{a(D-r)}{r(D-a)}  \right]  เทียบกับเส้นบน
ค.  จากนิยาม C \delta x &=& \dfrac{Q}{\left|\Delta V  \right| } &=& \dfrac{ \lambda \delta x}{ \dfrac{ \lambda}{2\pi \varepsilon_0} 2\ln \left(  \dfrac{D-a}{a} \right) } &=& \dfrac{ \pi \varepsilon_0 \delta x}{ \ln \left( \dfrac{D-a}{a}\right)}
ง. จากกฎของแอมแปร์(เลือกloopเป็นวงกลม) จะได้สนามที่จุดระยะ r เป็น \vec{B} &=& \dfrac{ \mu_0 I}{2 \pi} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) ทิศพุ่งเข้าหากระดาษ
จ. \delta \Phi _B &=& -\dfrac{ \mu_0 I}{2 \pi} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) \delta r \delta x
\Phi_B &=& - \dfrac{ \mu_0 I}{2 \pi} \left( \displaystyle \int_{a}^{D-a}\dfrac{1}{r} dr + \displaystyle \int_{a}^{D-a}\dfrac{1}{D-r} dr \right) \displaystyle \int_{x}^{x+ \delta x} dx
\Phi _B &=& \dfrac{ \mu_0 I}{\pi} \ln \left( \dfrac{a}{D-a} \right) \delta x
ฉ. L \delta x &=& \left|  \Phi_B  \right|/ I &=&  \dfrac{ \mu_0 }{\pi} \ln \left( \dfrac{D-a}{a} \right) \delta x
ช. จากผลข้อก่อนๆ CL &=& \mu_0 \varepsilon_0 เป็น ( \mu_0 \varepsilon_0 )^{3/2} เท่าของอัตราเร็วแสงในสูญญากาศ
ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:



Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 06, 2012, 06:32:33 PM
ขอลองข้อ 1 นะครับ  :buck2:

ก. จากกฎของเกาส์ สร้างgaussian surface เป็นทรงกระบอกยาว \delta x รัศมี r ล้อมรอบลวดไว้ครับ ก็จะได้ 2E \pi r \delta x &=& \dfrac{ \lambda \delta x}{ \varepsilon_0}
เราก็จะได้สนามไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่ง r เป็น \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) ทิศลง
...

ในกรณีที่มีประจุบวกบนลวดเส้นหนึ่ง และประจุลบบนลวดอีกเส้นหนึ่งที่วางใกล้กัน ประจุมันไม่ถูกดูดเข้าหากันหรือ  ประจุบวกน่าจะลงมาอยู่ด้านล่างของเส้นบน และประจุลบน่่าจะไปอยู่ที่ด้านบนของเส้นล่าง  มันไม่น่ากระจายรอบผิวเส้นลวดแต่ละเส้นอย่างสม่ำเสมอ  :coolsmiley:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on February 06, 2012, 10:55:13 PM
ขอลองข้อ 1 นะครับ  :buck2:

ก. จากกฎของเกาส์ สร้างgaussian surface เป็นทรงกระบอกยาว \delta x รัศมี r ล้อมรอบลวดไว้ครับ ก็จะได้ 2E \pi r \delta x &=& \dfrac{ \lambda \delta x}{ \varepsilon_0}
เราก็จะได้สนามไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่ง r เป็น \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) ทิศลง
...

ในกรณีที่มีประจุบวกบนลวดเส้นหนึ่ง และประจุลบบนลวดอีกเส้นหนึ่งที่วางใกล้กัน ประจุมันไม่ถูกดูดเข้าหากันหรือ  ประจุบวกน่าจะลงมาอยู่ด้านล่างของเส้นบน และประจุลบน่่าจะไปอยู่ที่ด้านบนของเส้นล่าง  มันไม่น่ากระจายรอบผิวเส้นลวดแต่ละเส้นอย่างสม่ำเสมอ  :coolsmiley:

จริงด้วยครับ  :o แบบนี้ถ้าจะใช้กฎของเกาส์ ก็ต้องเลือกผิวเกาส์เซียนให้เข้าไปอยู่ในเส้นด้วยหรือครับ เฉพาะส่วนที่มีประจุอยู่  :buck2: โดยไม่สนใจส่วนที่ไม่มีประจุแล้ว คือเหมือนลดขนาดเส้นให้เหลือแค่ส่วนที่มีประจุ ผมเริ่ม งงแล้วครับ  :idiot2:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: Tangg on February 08, 2012, 09:35:00 AM
มันเกิดการเหนี่ยวนำขึ้นจริงๆครับ แต่ว่าถ้าจะให้คิดออกมาแบบ Exact จริงๆคงยากครับ  :embarassed:

แต่ในข้อนี้ กำหนดให้ r<<d ครับ เราเลยบอกว่า เราอาจจะเห็นประจุกระจายไม่สม่ำเสมอ (เกิดจากการเหนี่ยวนำของลวดซึ่งกันและกัน) แต่ประจุพวกนั้น ถ้าเราลองตัดขวางลวดดู จะเห็นว่ามันอยู่ใกล้กันมากๆ จนแทบจะเป็นจุดเดียวกัน (เนื่องจาก r น้อยมากๆ) ดังนั้นเราสามารถใช้ประจุลัพธ์บนเส้นลวดได้เลยครับ (หรือพูดในอีกแง่นึงคือ สนามไฟฟ้าของประจุแต่ละจุดบนลวดที่ตำแหน่งใดๆข้างนอก พอที่จะประมาณได้ว่า สร้างมาจากจุดเดียวกัน)

 ผิดพลาดอย่างไรก็ขออภัยด้วยนะครับ  :)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 08, 2012, 02:18:56 PM
มันเกิดการเหนี่ยวนำขึ้นจริงๆครับ แต่ว่าถ้าจะให้คิดออกมาแบบ Exact จริงๆคงยากครับ  :embarassed:

แต่ในข้อนี้ กำหนดให้ r<<d ครับ ...

 ผิดพลาดอย่างไรก็ขออภัยด้วยนะครับ  :)

ในข้อ 1 ข้อย่อย ก ข ค นั้น ไม่มีที่ไหนบอกให้พิจารณาว่า r << D เลย  และที่จริงแล้วรัศมีของลวด a ก็ไม่ได้บอกว่าเล็กหรือใหญ่มากแค่ไหน
ข้อนี้จริง ๆ แล้ว น่าจะต้องแก้โดยใช้ Laplace's equation  แต่ถ้าไปถามเฮียวุทธิ์ เฮียก็จะบอกว่าทำอย่างนั้นมันแก้ได้ยาก ต้องมั่วเอาว่าประจุกระจายตัวอย่างสมมาตรรอบเส้นลวดแต่ละเส้น  ใครที่คิดอย่างถูกต้อง ถือว่าเป็นเด็กคิดมาก มีปัญหา ถึงสอบไม่ติด  :o  กรรม  :o :o :o


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on February 08, 2012, 02:59:53 PM
มันเกิดการเหนี่ยวนำขึ้นจริงๆครับ แต่ว่าถ้าจะให้คิดออกมาแบบ Exact จริงๆคงยากครับ  :embarassed:

แต่ในข้อนี้ กำหนดให้ r<<d ครับ ...

 ผิดพลาดอย่างไรก็ขออภัยด้วยนะครับ  :)

ในข้อ 1 ข้อย่อย ก ข ค นั้น ไม่มีที่ไหนบอกให้พิจารณาว่า r << D เลย  และที่จริงแล้วรัศมีของลวด a ก็ไม่ได้บอกว่าเล็กหรือใหญ่มากแค่ไหน
ข้อนี้จริง ๆ แล้ว น่าจะต้องแก้โดยใช้ Laplace's equation  แต่ถ้าไปถามเฮียวุทธิ์ เฮียก็จะบอกว่าทำอย่างนั้นมันแก้ได้ยาก ต้องมั่วเอาว่าประจุกระจายตัวอย่างสมมาตรรอบเส้นลวดแต่ละเส้น  ใครที่คิดอย่างถูกต้อง ถือว่าเป็นเด็กคิดมาก มีปัญหา ถึงสอบไม่ติด  :o  กรรม  :o :o :o

 :o  :o  :o

แต่ผลนี้ที่นำไปใช้ในข้อ 2 ก็ใช้สำหรับลวดเล็กๆ นี่ครับคิดว่า น่าจะให้คิดสำหรับลวดเล็กๆ  :idiot2:

ขอบคุณมากครับ  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on February 08, 2012, 03:47:15 PM
...
แต่ผลนี้ที่นำไปใช้ในข้อ 2 ก็ใช้สำหรับลวดเล็กๆ นี่ครับคิดว่า น่าจะให้คิดสำหรับลวดเล็กๆ  :idiot2:

...


ตรงไหนของข้อ 2 บอกว่าเป็นลวดเล็ก ๆ

ข้อสอบที่ดีน่าจะเขียนให้รัดกุม นักเรียนบางคนอาจคิดลึกซึ้งทำให้เสียเวลา และทำออกมาไม่ได้ ขณะที่บางคนอ่านโจทย์ไม่รอบคอบ ทำไปแบบง่าย ๆ แล้วได้คะแนนดี  คนที่ควรได้ดีกลับไม่ได้ดี มันจะดีหรือ  ](*,)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on February 08, 2012, 09:32:44 PM
...
แต่ผลนี้ที่นำไปใช้ในข้อ 2 ก็ใช้สำหรับลวดเล็กๆ นี่ครับคิดว่า น่าจะให้คิดสำหรับลวดเล็กๆ  :idiot2:

...


ตรงไหนของข้อ 2 บอกว่าเป็นลวดเล็ก ๆ

ข้อสอบที่ดีน่าจะเขียนให้รัดกุม นักเรียนบางคนอาจคิดลึกซึ้งทำให้เสียเวลา และทำออกมาไม่ได้ ขณะที่บางคนอ่านโจทย์ไม่รอบคอบ ทำไปแบบง่าย ๆ แล้วได้คะแนนดี  คนที่ควรได้ดีกลับไม่ได้ดี มันจะดีหรือ  ](*,)

ครับ นั่นสิครับ  :smitten:  คือข้อ 2 ผมโมเมเอาว่า การที่เอาลวดแบบนี้มาต่อเป็นวงจรได้ มันน่าจะมีขนาดเล็กครับ เพราะปกติเวลาแก้ปัญหาที่เป็นวงจร เราก็ไม่ได้คิดถึงขนาดของลวดหรือเปล่าครับ  :buck2:

แต่โจทย์ก็ไม่ได้บอกชัดเจนจริงๆครับ  :buck2:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on October 13, 2012, 10:27:57 AM
ขอลองข้อ 1 นะครับ  :buck2:

ก. จากกฎของเกาส์ สร้างgaussian surface เป็นทรงกระบอกยาว \delta x รัศมี r ล้อมรอบลวดไว้ครับ ก็จะได้ 2E \pi r \delta x &=& \dfrac{ \lambda \delta x}{ \varepsilon_0}
เราก็จะได้สนามไฟฟ้ารวมที่ตำแหน่ง r เป็น \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) ทิศลง
ข. V &=&  -\displaystyle \int_{a}^{D-a} \vec{E} \cdot   d\vec{r} &=& \dfrac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \left[ \dfrac{a(D-r)}{r(D-a)}  \right]
ค.  จากนิยาม C \delta x &=& \dfrac{Q}{V} &=& \dfrac{ \lambda \delta x}{ \dfrac{ \lambda}{-2\pi \varepsilon_0} 2\ln (  \dfrac{D-a}{a} ) } &=& \dfrac{ \pi \varepsilon_0 \delta x}{ \ln ( \dfrac{a}{D-a})}
ง. จากกฎของแอมแปร์(เลือกloopเป็นวงกลม) จะได้สนามที่จุดระยะ r เป็น \vec{B} &=& \dfrac{ \mu_0 I}{2 \pi} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) ทิศพุ่งเข้าหากระดาษ
จ. \delta \Phi _B &=& -\dfrac{ \mu_0 I}{2 \pi} \left( \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{D-r} \right) \delta r \delta x
\Phi_B &=& - \dfrac{ \mu_0 I}{2 \pi} \left( \displaystyle \int_{a}^{D-a}\dfrac{1}{r} dr + \displaystyle \int_{a}^{D-a}\dfrac{1}{D-r} dr \right) \displaystyle \int_{x}^{x+ \delta x} dx
\Phi _B &=& \dfrac{ \mu_0 I}{\pi} \ln \left( \dfrac{a}{D-a} \right) \delta x
ฉ. L \delta x &=& \phi_B / I &=&  \dfrac{ \mu_0 }{\pi} \ln \left( \dfrac{a}{D-a} \right) \delta x
ช. จากผลข้อก่อนๆ CL &=& \mu_0 \varepsilon_0 เป็น ( \mu_0 \varepsilon_0 )^{3/2} เท่าของอัตราเร็วแสงในสูญญากาศ
ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:






Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on October 13, 2012, 11:14:01 AM
ข้อ 2 นะครับ

ก) จากกฎวงของ Kirchhoff เราได้ว่า  -\dfrac{1}{2}L \delta x \dfrac{\partial I}{\partial t } - V( x + \delta x , t) - \dfrac{1}{2}L \delta x \dfrac{\partial I}{\partial t } + V(x,t) &=& 0

จึงได้ว่า V(x + \delta x ,t) - V(x,t) \approx  \dfrac{\partial V}{\partial x} \delta x &=&  -L \delta x \dfrac{\partial I}{\partial t } จึงได้ว่า \dfrac{\partial V}{\partial x} &=& - L \dfrac{ \partial I}{\partial t}

จากนิยามของความจุไฟฟ้าเราได้ V(x,t) &=& \dfrac{q}{C \delta x} จึงได้ \dfrac{ \partial V}{\partial t} &=& \dfrac{1}{C \delta x} \dfrac{ \partial q}{\partial t} &=& \dfrac{I(x,t) - I(x + \delta x , t) }{C \delta x}

ดังนั้น \dfrac{ \partial V}{\partial t} &=& - \dfrac{1}{C} \dfrac{ \partial I}{\partial x}

ข) จากผลในข้อ ก) จะได้ \dfrac{\partial V}{\partial x} &=& - L \dfrac{ \partial I}{\partial t} จึงได้ \dfrac{ \partial^2 V}{\partial x^2} &=& - L \dfrac{ \partial}{\partial t}\dfrac{ \partial I}{\partial x}
จาก \dfrac{ \partial V}{\partial t} &=& - \dfrac{1}{C} \dfrac{ \partial I}{\partial x} แทนค่า \dfrac{ \partial I}{\partial x} จากสมการนี้ ลงไป จะได้  
\dfrac{ \partial^2 V}{\partial x^2} &=& LC \dfrac{ \partial^2 V}{\partial t^2}

จาก \dfrac{ \partial V}{\partial t} &=& - \dfrac{1}{C} \dfrac{ \partial I}{\partial x}  จะได้ \dfrac{ \partial^2 I}{\partial x^2 } &=& - C \dfrac{\partial}{\partial t} \dfrac{\partial V}{\partial x} จาก \dfrac{\partial V}{\partial x} &=& - L \dfrac{ \partial I}{\partial t} แทนค่า \dfrac{ \partial V}{\partial x} จากสมการนี้ ลงไป จะได้  
\dfrac{ \partial^2 I}{\partial x^2} &=& LC \dfrac{ \partial^2 I}{\partial t^2}  จะเห็นว่าทั้งสองสมการที่ได้เป็นสมการคลื่นในหนึ่งมิติ เพราะมีรูปเดียวกันเลยกับ \dfrac{ \partial^2 \psi}{\partial x^2} &=& \dfrac{1}{v^2}\dfrac{ \partial^2 \psi}{\partial t^2}

ค) จากข้อ ข) เมื่อเปรียบเทียบกับรูปของสมการคลื่นในหนึ่งมิติ เราได้ว่า คลื่นของความต่างศักย์และกระแสไฟฟ้ามีความเร็วคลื่นขนาด v &=& \dfrac{1}{\sqrt{LC}} &=& \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0 }} โดยอาศัยผลจากข้อ 1 ประกอบ  :coolsmiley:

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: It is GOL on October 17, 2012, 07:36:29 AM
ข้อที่ให้หา V(r) ในข้อ 1 ปกติเราอินทิเกรตเทียบไปถึงอนันต์ แต่ในกรณีนี้จะได้ค่าเป็นอนันต์!! ผลนี้บ่งว่าอย่างไรเหรอครับอาจารย์  :idiot2:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 17, 2012, 10:06:12 AM
ข้อที่ให้หา V(r) ในข้อ 1 ปกติเราอินทิเกรตเทียบไปถึงอนันต์ แต่ในกรณีนี้จะได้ค่าเป็นอนันต์!! ผลนี้บ่งว่าอย่างไรเหรอครับอาจารย์  :idiot2:

บ่งว่าไม่ควรใช้อนันต์เป็นตำแหน่งอ้างอิงของศักย์ไฟฟ้าสำหรับกรณีสมมุตินี้


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: It is GOL on October 19, 2012, 11:02:47 PM
ครับ วันนี้ไปคุยกับรุ่นพี่ที่ค่ายมา ผมแปลกใจที่ทำไมจึงนิยามศักย์เทียบกับอนันต์ในกรณีนี้ไม่ได้ พี่เค้าบอกผมว่า ถ้าเรามองเส้นประจุ แม้เราจะถอยออกมาไกล แต่เนื่องจากมันยาวอนันต์ เราเลยแทบจะดูเหมือนไม่ถอยออกมาเลย นั่นคือศักย์ไฟฟ้าไม่ได้ลู่ลงไปหาศูนย์ (เช่นเดียวกับแผ่นประจุอนันต์)  ผมเข้าใจถูกไหมครับ  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 20, 2012, 05:52:31 AM
เข้าใจถูกแล้ว


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: It is GOL on October 22, 2012, 10:36:57 PM
ขอบพระคุณครับอาจารย์  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: Tangg on October 24, 2012, 05:05:38 AM
ครับ วันนี้ไปคุยกับรุ่นพี่ที่ค่ายมา ผมแปลกใจที่ทำไมจึงนิยามศักย์เทียบกับอนันต์ในกรณีนี้ไม่ได้ พี่เค้าบอกผมว่า ถ้าเรามองเส้นประจุ แม้เราจะถอยออกมาไกล แต่เนื่องจากมันยาวอนันต์ เราเลยแทบจะดูเหมือนไม่ถอยออกมาเลย นั่นคือศักย์ไฟฟ้าไม่ได้ลู่ลงไปหาศูนย์ (เช่นเดียวกับแผ่นประจุอนันต์)  ผมเข้าใจถูกไหมครับ  :smitten:

เนื่องจากในข้อนี้ มีลวดอนันต์สองเส้น ดังนั้น ถ้าเรามองว่า ที่อนันต์ มันก็เสมือนลวดทั้งสองเส้นยาวเท่าเดิมก็จริง แต่ ถ้าเรามองจากที่อนันต์ ลวดสองเส้น มันจะดูใกล้กันมากขึ้นเรื่อยๆจนมองได้ว่าเป็นเส้นเดียวกัน ดังนั้น ประจุลัพธ์จะเป็นศูนย์ และการที่เรานิยามศักย์ไฟฟ้าที่อนันต์เป็นศูนย์ ก็ไม่น่าจะมีปัญหาอะไร

ดังนั้น ข้อนี้ เราน่าจะอินทิกรัลหาศักย์ไฟฟ้าที่ตำแหน่งใดๆได้นะครับ ที่เราทำแล้วได้อนันต์น่ะ ลองดูดีๆ ว่าเรามั่วตรงไหนรึเปล่า  ;D ;D ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on November 24, 2012, 12:03:08 PM
ข้อ 4 นะครับ

นิยามของมวลนิ่งของระบบคือ มวลที่ทำให้สมการต่อไปนี้ของระบบจริง

M^2 c^4 &=& ( \Sigma E )^2 - ( \left| \Sigma \vec{p} \right| c)^2

a) ถ้าเคลื่อนที่ไปทางเดียวกัน จะได้ว่า \left| \Sigma \vec{p} \right| &=& \dfrac{E_1 + E_2}{c} และ \Sigma E &=& E_1 &+& E_2

ดังนั้น ( \Sigma E )^2 - ( \left| \Sigma \vec{p} \right| c)^2 &=& 0 &=& M^2 c^4

จึงได้ว่ามวลนิ่งของระบบเป็น M &=& 0

b) ถ้าเคลื่อนที่สวนทางกัน จะได้ว่า \left| \Sigma \vec{p} \right| &=& \dfrac{E_1 - E_2}{c} และ \Sigma E &=& E_1 &+& E_2

ดังนั้น ( \Sigma E )^2 - ( \left| \Sigma \vec{p} \right| c)^2 &=& (E_1 + E_2)^2 - (E_1 - E_2)^2 &=& 4E_1E_2 &=& M^2 c^4

จึงได้ว่ามวลนิ่งของระบบเป็น M &=& \dfrac{2 \sqrt{E_1 E_2}}{c^2}  :coolsmiley:

ผิดถูกอย่างไรตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: jali on September 12, 2013, 04:02:22 PM
ข้อสามครับ
(a)สำหรับข้อนี้เวลาที่Aวัดได้เป็นเวลาแท้แต่เวลาที่Bวัดได้ไม่ใช่ดังนั้นเวลาที่Bวัดได้คือ \displaystyle t_{B}=\gamma t_{A}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^{2}}}t_{A}
(b) ข้อนี้เวลาที่Aวัดนั้นไม่ใช่เวลาแท้อีกต่อไปเพราะเหตุการณ์มันเกิดคนละที่ดังนั้น \displaystyle t^{\prime}_{A}=\gamma t_{B}=\gamma^{2}t_{A}=\frac{1}{1-(\frac{v}{c})^{2}}t_{A}
(c)ระยะทางที่Bเห็นต่อระยะทางที่Aเห็นคือ \displaystyle \frac{x_{B}}{x_{A}}=\frac{vt_{B}}{vt^{\prime}_{A}}=\frac {1}{\gamma}
ผิดถูกอย่างไรบอกได้นะครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: jali on September 12, 2013, 07:01:35 PM
ข้อ6ครับ
อย่างแรกเราลองดูนิยามของระยะโฟกัสกันก่อน จุดโฟกัสคือจุดที่แสงขนานจะมารวมกันหลังจากผ่านเลนส์
ดังนั้นระยะภาพแรกหลังจากผ่านเลนส์อันซ้ายคือ \displaystyle v=f_{1}
ซึ่งให้ระยะวัตถุคือ \displaystyle D-f_{1} ดังนั้น
\displaystyle \frac{1}{D-f_{1}}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f_{2}}
\displaystyle v=\frac{f_{2}(f_{1}-D)}{f_{1}+f_{2}-D}=f_{eff} และจากความสัมพันธ์ระยะภาพ ระยะวัตถุ ความสูงภาพ ความสูงวัตถุได้
\displaystyle \frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{v}{u}=\frac{y^{\prime}}{\delta}=\frac{f_{2}}{f_{1}+f_{2}-D}
\displaystyle y^{\prime}=\delta \frac{f_{2}}{f_{1}+f_{2}-D}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: jali on September 13, 2013, 10:00:20 AM
ข้อ8ครับ
1.ก่อนอื่นเราได้ก่อนว่า \displaystyle \frac{dN}{N}=Ce^{-\dfrac{m_{e}v^{2}}{2kT}}(2 \pi vdv)
\displaystyle 1=\int_{0}^{\infty} Ce^{-\dfrac{m_{e}v^{2}}{2kT}}(2 \pi vdv)=-\frac{2kTC\pi}{m_{e}}(e^{-\frac{m_{e}v^{2}}{2kT}}-1)=\frac{2kTC\pi}{m_{e}}
\displaystyle C=\frac{m_{e}}{2\pi kT}
\displaystyle P(v)=Ce^{-\frac{m_{e}v^{2}}{2kT}}2 \pi v=\frac{m_{e}}{kT}ve^{-\frac{m_{e}v^{2}}{2kT}}
2.เราอาจหาP(E)ได้ในทำนองเดียวกันกับP(v)โดย \displaystyle \frac{dN}{N}=P(v)dv=P(E)dE
ได้ \displaystyle P(E)=\frac{1}{kT}e^{\frac{-E}{kT}}
3.เราใช้ความรู้เรื่องอนุภาคในกล่องจะได้ว่า \displaystyle \lambda=\frac{2d}{n} และ \displaystyle E=K=\frac{h^{2}\lambda^{-2}}{2m_{e}}=\frac{h^{2}n^{2}}{8m_{e}d^{2}} สามระดับแรกคือ n=1,2,3
4.สำหรับข้อนี้เราใช้การเปลี่ยนระดับจาก1ไป2 เพราะว่าระดับ1เป็นระดับพื้นถ้าพลังงานการเคลื่อนที่เชิงความร้อนไม่พอสำหรับการข้ามช่องว่างมันก็จะแสดงสมบัติสองมิติ \displaystyle \frac{kT}{2}=\frac{3h^{2}}{8m_{e}d^{2}}
\displaystyle d=\sqrt{\frac{4kTm_{e}}{3h^{2}}}
5.สำหรับกรณีนี้ เราสามารถยกนิพจน์ของxyมาใช้ได้เลยและเราได้
\displaystyle P(E)=\frac{1}{kT}e^{\frac{-(E_{xy}+E_{z})}{kT}}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 13, 2013, 08:26:31 PM
ข้อ6ครับ
อย่างแรกเราลองดูนิยามของระยะโฟกัสกันก่อน จุดโฟกัสคือจุดที่แสงขนานจะมารวมกันหลังจากผ่านเลนส์
ดังนั้นระยะภาพแรกหลังจากผ่านเลนส์อันซ้ายคือ \displaystyle v=f_{1}
ซึ่งให้ระยะวัตถุคือ \displaystyle D-f_{1} ดังนั้น
\displaystyle \frac{1}{D-f_{1}}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f_{2}}
\displaystyle v=\frac{f_{2}(f_{1}-D)}{f_{1}+f_{2}-D}=f_{eff} และจากความสัมพันธ์ระยะภาพ ระยะวัตถุ ความสูงภาพ ความสูงวัตถุได้
\displaystyle \frac{y^{\prime}}{y}=-\frac{v}{u}=\frac{y^{\prime}}{\delta}=\frac{f_{2}}{f_{1}+f_{2}-D}
\displaystyle y^{\prime}=\delta \frac{f_{2}}{f_{1}+f_{2}-D}

ชอบวิธีนี้  :gr8


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: jali on September 14, 2013, 07:25:53 PM
...
ชอบวิธีนี้  :gr8
ขอบคุณครับ  :)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: dy on September 14, 2013, 08:15:37 PM
ข้อ 8 ต่อจากคุณ jali นะครับ

6. เราเขียนกราฟของ P(E) ได้โดยการมองว่า เมื่อ 0 \leq E \leq \dfrac{h^2}{8m_e d^2}  ไม่มีทางที่อิเล็กตรอนจะมีพลังงานเท่านี้ได้ ดังนั้น P(E) = 0

เราเขียน P(E) = g(E_{xy})g(E_z)e^{-\frac{E}{kT}} เรา normalize มันด้วยเหตุผลที่ว่า ความน่าจะเป็นรวมกันต้องได้ 1

\displaystyle  \int_{0}^{\infty } P(E) dE &=& 1 &=& g(E_{xy})g(E_z) e^{\frac{-E_z}{kT}} \displaystyle  \int_{0}^{\infty } e^{\frac{-(E-E_z)}{kT}} dE

และเรารู้ว่า g(E_z) &=& 1  ทำให้เมื่อเราอินทิเกรตออกมาจะได้ g(E_{xy}) &=& \dfrac{e^{\frac{E_z}{kT}}}{kT} และได้ P(E) &=& \dfrac{e^{\frac{-E_xy}{kT}}}{kT}

จากนั้น ในช่วงพลังงาน \left( \dfrac{h^2}{8m_e d^2} , \dfrac{h^2}{2m_e d^2} \right) พลังงานรวม E เกิดได้วิธีเดียว คือ พลังงานในแกน z ที่ n &=& 1 รวมกับ  E_{xy} จึงได้  P(E) &=& \dfrac{1}{kT} e^{-\frac{(E-\frac{h^2}{8m_e d^2})}{kT}

ต่อไป ในช่วงพลังงาน \left( \dfrac{h^2}{2m_e d^2} , \dfrac{9h^2}{8m_e d^2} \right) พลังงานรวม E เกิดได้ 2 วิธี คือ พลังงานในแกน z ที่ n &=& 1 รวมกับ  E_{xy} หรือ พลังงานในแกน z ที่ n &=& 2 รวมกับ  E_{xy}
จึงได้  P(E) &=& \dfrac{1}{kT} ( e^{-\frac{E-\frac{h^2}{8m_e d^2} }{kT}} +e^{-\frac{E-\frac{h^2}{2m_e d^2} }{kT} } )

สุดท้าย ในช่วงพลังงาน \left( \dfrac{9h^2}{8m_e d^2} , \dfrac{2h^2}{m_e d^2} \right) พลังงานรวม E เกิดได้ 3 วิธี คือ พลังงานในแกน z ที่ n &=& 1 รวมกับ  E_{xy} หรือ พลังงานในแกน z ที่ n &=& 2 รวมกับ  E_{xy}  หรือ พลังงานในแกน z ที่ n &=& 3 รวมกับ  E_{xy}
จึงได้  P(E) &=& \dfrac{1}{kT} ( e^{-\frac{E-\frac{h^2}{8m_e d^2} }{kT}} +e^{-\frac{E - \frac{h^2}{2m_e d^2} }{kT} }+e^{-\frac{ E - \frac{9h^2}{8m_e d^2} }{kT} }   )

เมื่อนำไปเขียนกราฟ จะได้กราฟ exponential decay 3 ช่วงแยกกันครับ   :coolsmiley:


Title: Re: ข้อสอบปลายค่าย 2 ปี 54 - 55
Post by: อภิชาตเมธี on December 08, 2014, 08:43:25 PM
....

\displaystyle  \int_{0}^{\infty } P(E) dE &=& 1 &=& g(E_{xy})g(E_z) e^{\frac{-E_z}{kT}} \displaystyle  \int_{0}^{\infty } e^{\frac{-(E-E_z)}{kT}} dE

และเรารู้ว่า g(E_z) &=& 1  ทำให้เมื่อเราอินทิเกรตออกมาจะได้ g(E_{xy}) &=& \dfrac{e^{\frac{E_z}{kT}}}{kT} และได้ P(E) &=& \dfrac{e^{\frac{-E_xy}{kT}}}{kT}

....


เอ่อตรงนี้ต้องอินทีเกรตแล้วได้ g(E_{xy}) &=& \dfrac{1}{kT} รึเปล่าครับ