mPEC Forum

ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย => ปีสอง กลศาสตร์คลาสิก I 2554 => Topic started by: ชัยโรจน์ on July 09, 2011, 12:05:44 AM



Title: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on July 09, 2011, 12:05:44 AM
เนื่องจากคณิตศาสตร์จำเป็นต่อฟิสิกส์มากๆ ดังนั้นการฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์เราก็ควรให้ความสนใจควบคู่ไปด้วย  ;D
อะไรที่น่าสนใจก็มาแบ่งปันกันไปแล้วกัน
ข้อ1
จงหาค่าของ
\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{\sqrt{\xi }}{\sqrt{3-\xi }+\sqrt{\xi }}d\xi
ทำกันเลยๆ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 09, 2011, 12:22:20 AM
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^1%2F2+%2F+%28%283-x%29^1%2F2%2Bx^1%2F2%29+dx (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^1%2F2+%2F+%28%283-x%29^1%2F2%2Bx^1%2F2%29+dx)

เหอๆๆ ผมทำอะไรผิดไหม  :2funny:

จริงๆ ก็ลองทำแล้วนะ เลยเช็คคำตอบดูเฉยๆ เอาไว้ให้คนขยัน มานั่งพิมพ์วิธีทำ  :smitten:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on July 09, 2011, 12:23:23 AM
แว้กกกกกกกก เร็วมากครับ  >:A


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 09, 2011, 12:33:01 AM
ขึ้นวันใหม่แล้ว ผมมาเพิ่มให้ อีกข้อ
ข้อ2

จงหา limitของ ข้อต่อไปนี้

 \lim_{x \to 0}( \frac{\sin{x}}{x})^{\frac{1}{x^{2}}

เหอๆๆ ไม่ได้ใช้ นานแล้ว เขียนยากจัง  :buck2:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: superlisadon on July 09, 2011, 09:58:11 PM
ขอลองทำดูนะครับ

ให้ \text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x}} \right)^{\frac{1}{x^{2}}

\ln\text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0}\ln\left(\frac{\sin x}{x}} \right)^{\frac{1}{x^{2}}

\ln\text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}}\left( \ln \sin x - \ln x \right)

จากนั้นใช้กฎโลปิตาล

\ln\text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x}}{2x}

\ln\text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x\cos x - \sin x}{2 x^{2}\sin x}

ใช้กฎโลปิตาลอีกรอบ

\ln\text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x\sin x}{2 x^{2}\cos x + 4x\sin x}

คูณทั้งบนและล่างด้วย \displaystyle \frac{1}{x^{2}}

\ln\text{N} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{x}}{\frac{4\sin x}{x} + 2\cos x}

จาก \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 จะได้ว่า

\ln\text{N} = \displaystyle -\frac{1}{6}

    \text{N} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{e}}

\therefore \displaystyle {\lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin x}{x}} \right)^{\frac{1}{x^{2}} }= \displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{e}}

ไม่ได้เข้าบอร์ดนี้นานมากครับ กว่าจะพิมพ์เสร็จเล่นเอาเหนื่อยเหมือนกัน  :buck2: :buck2: :buck2:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 10, 2011, 07:53:13 PM
แบบประมาณว่าเอาวิธ๊โกงชาวบ้าน มาเสนอ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: superlisadon on July 10, 2011, 10:07:11 PM
แบบประมาณว่าเอาวิธ๊โกงชาวบ้าน มาเสนอ

ตอนแรกผมก็ใช้วิธีโกงแบบพี่ampanอ่ะแหละครับ แล้วก็มาเทียบคำตอบกับวิธีปกติ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 10, 2011, 10:12:10 PM
แบบประมาณว่าเอาวิธ๊โกงชาวบ้าน มาเสนอ

ตอนแรกผมก็ใช้วิธีโกงแบบพี่ampanอ่ะแหละครับ แล้วก็มาเทียบคำตอบกับวิธีปกติ

เหอๆๆ พวกที่ วนเวียนอยู่กับ ค่ายฟิสิกส์ ก็แบบนี้ ละ เนอะ

 ^-^


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 10, 2011, 10:21:22 PM
แยกชาวบ้าน ออกคำถาม
ข้อ3

\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{(5+4\cos x)^{2}}dx



Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 13, 2011, 02:10:14 PM
แยกชาวบ้าน ออกคำถาม
ข้อ3

\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{(5+4\cos x)^{2}}dx



แวะเอาคำตอบมาให้

 \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{(5+4\cos x)^{2}}dx =\displaystyle\frac{10}{27} \pi


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on July 15, 2011, 09:12:19 PM
ยากจังครับ คิดเป็นวันไม่ออก พอให้อาจารย์สุจินต์ทำให้ดู แกใช้จำนวนเชิงซ้อนอะไรด้วยครับ  :buck2: มีวิธีง่ายไหมครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on July 15, 2011, 09:15:44 PM
ข้อ 4
จงหาค่าของ
\displaystyle \int \sqrt{\dfrac{y}{2a-y}}dy
เอาของง่ายไปทำข้าม ข้อ 3 ก่อนแล้วกันครับ  :reading


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 15, 2011, 10:01:20 PM
ยากจังครับ คิดเป็นวันไม่ออก พอให้อาจารย์สุจินต์ทำให้ดู แกใช้จำนวนเชิงซ้อนอะไรด้วยครับ  :buck2: มีวิธีง่ายไหมครับ

กะแล้ว แต่คิดว่า ถ้าสมมติ  t= \tan \frac{x}{2} อาจจะแก้ได้


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: K.P. on July 15, 2011, 10:03:46 PM
ข้อ4
ผมได้ 2a(\arcsin \sqrt{y/2a} - \sqrt{y/2a-(y/2a)^2}) อะครับ
(ทำโดย ให้ y=2a(\sin x)^2 อะครับ)


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: superlisadon on July 16, 2011, 02:27:27 PM
ไม่ได้เข้ามาหลายวัน นึกว่าจะร้างไปแล้วนะครับนี่

ข้อ3.

\displaystyle \int_{0 }^{2\pi} \frac{1}{(5+4\cos x)^{2}} dx = \int_{0 }^{\pi} \frac{2}{(1+4+4\cos x)^{2}} dx

\displaystyle = \int_{0 }^{\pi} \frac{2}{(1+8(\cos ^{2}\frac{x}{2}))^{2}} dx

\displaystyle = \int_{0 }^{\pi} \frac{2}{(\sin ^{2}\frac{x}{2} + \cos ^{2}\frac{x}{2} + 8(\cos ^{2}\frac{x}{2}))^{2}} dx

\displaystyle = \int_{0 }^{\pi} \frac{2}{(\sin ^{2}\frac{x}{2} + 9(\cos ^{2}\frac{x}{2}))^{2}} dx

\displaystyle = \int_{0 }^{\pi} \frac{2}{\cos ^{4}\frac{x}{2} (\tan ^{2}\frac{x}{2} + 9)^{2}} dx

ให้ \displaystyle \text{u} = \tan \frac{x}{2} จะได้

\displaystyle = \int_{0 }^{\pi} \frac{4}{\cos ^{2}\frac{x}{2} (u ^{2} + 9)^{2}} du

สังเกตว่า \displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}\frac{x}{2}} = 1 + \tan ^{2} \frac{x}{2}

จะได้ว่า

\displaystyle = 4 \int_{0 }^{\pi} \frac{u ^{2} + 1}{(u ^{2} + 9)^{2}} du

และสามารถแยกเศษส่วนพหุนามได้เป็น

\displaystyle = 4 \int_{0 }^{\pi} \frac{1}{u ^{2} + 9} - \frac{8}{(u ^{2} + 9)^{2}} du

จากนั้นก็อินทิเกรตแต่ละพจน์เอา (ขอละไว้ ไม่งั้นผมพิมพ์จนมือหงิกแน่  :buck2:)

จะได้

\displaystyle = 4 [ \left  \frac{5}{27}}\arctan (\frac{\tan \frac{x}{2}}{3}) - \frac{4}{27}}\sin (2\arctan (\frac{\tan \frac{x}{2}}{3})) \right]_{0}^{\pi}

\displaystyle = 4\cdot \frac{5}{27}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{10\pi}{27}


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 16, 2011, 03:05:42 PM
ไม่ได้เข้ามาหลายวัน นึกว่าจะร้างไปแล้วนะครับนี่

ข้อ3.

\displaystyle \int_{0 }^{2\pi} \frac{1}{(5+4\cos x)^{2}} dx = \int_{0 }^{\pi} \frac{2}{(1+4+4\cos x)^{2}} dx

...

เติมให้
f(t) = f(t+2\pi)

\displaystyle \int_{0 }^{2\pi} f(x) dx =\displaystyle \int_{0 }^{\pi} f(x) dx +\displaystyle \int_{\pi }^{2\pi} f(x) dx

สมมุคิ ว่า   t= x-2\pi จะได้

\displaystyle \int_{0 }^{2\pi} f(x) dx =\displaystyle \int_{0 }^{\pi} f(x) dx +\displaystyle \int_{-\pi }^{0} f(t) dt

\displaystyle \int_{0 }^{2\pi} f(x) dx =\displaystyle \int_{0 }^{\pi} f(x) dx +\displaystyle \int_{0 }^{\pi} f(t) dt

\displaystyle \int_{0 }^{2\pi} f(x) dx =2\displaystyle \int_{0 }^{\pi} f(x) dx


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: K.P. on July 16, 2011, 11:17:51 PM
ข้อ4
ผมได้ 2a(\arcsin \sqrt{y/2a} - \sqrt{y/2a-(y/2a)^2}) อะครับ
(ทำโดย ให้ y=2a(\sin x)^2 อะครับ)

ผมทำผิดหรือถูกอ่า TT รบกวนชี้แนะด้วยครับ  :'(


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 17, 2011, 11:01:51 AM
ข้อ4
ผมได้ 2a(\arcsin \sqrt{y/2a} - \sqrt{y/2a-(y/2a)^2}) อะครับ
(ทำโดย ให้ y=2a(\sin x)^2 อะครับ)

ผมทำผิดหรือถูกอ่า TT รบกวนชี้แนะด้วยครับ  :'(

ไม่รู้สิ มาช่วยเขียน สมการ จะได้ดูว่ามีที่ผิดไหม แต่ วิธีที่ สมมุติ ค่า  y=2a(\sin x)^2 ก็ เห็นว่า แก้ได้ สวยงาม ดี


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on July 19, 2011, 07:42:29 PM
แยกชาวบ้าน ออกคำถาม
ข้อ3

\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{(5+4\cos x)^{2}}dx



มีโจทย์ แบบเดียวกัน เลย http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,4410.0.html

อายจัง

แต่ ยังไม่มีใครแสดงวิธี แบบเชิงซ้อน เลย


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on August 03, 2011, 06:37:13 PM
ข้อ5 (มาทำกันต่อเร็ว)
จงหาค่าของ

5.1 \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax}dx

5.2 \displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-ax}dx

5.3 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx

5.4 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on August 03, 2011, 06:57:44 PM
แถม
ข้อ6 (มาทำกันต่อเร็ว)
จงหาค่าของ

6.1 \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax^2}dx

6.2 \displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-ax^2}dx

6.3 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^2}dx

6.4 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^2}dx เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

a > 0 :)


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on August 09, 2011, 06:00:30 AM
ข้อ5 (มาทำกันต่อเร็ว)
จงหาค่าของ

5.1 \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax}dx

5.2

5.3 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx

5.4 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

เหมือนไม่มีใครมาทำ เอาเป็นว่าโจทย์ข้อแรก ลองทำดูหน่อย ลองเพิ่มเงื่อนไขให้ด้วยว่า a เป็นค่าบวก

I(a) = \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax}dx = \displaystyle \frac{1}{a}

ซึ่ง เมื่อเรา ทำการ ดิฟเทียบ a อีกรอบ จะได้ข้อสอง

\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-ax}dx  = -\displaystyle \frac{dI(a)}{da}

 :laugh:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on April 17, 2012, 06:54:38 PM
ข้อ5 (มาทำกันต่อเร็ว)
จงหาค่าของ

5.1 \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax}dx

5.2 \displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-ax}dx

5.3 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx

5.4 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}dx เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
นี่เป็นเรื่องอินทิกรัลไม่ตรงแบบซินะครับของลองทำหน่อยนะครับ
5.3  \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax}dx= \frac{-1}{a}\left ( x^{2}e^{-ax}+\frac{2}{a}xe^{-ax}+\frac{2}{a^{2}}e^{-ax} \right )
เมื่อใส่ขอบเขตจะได้ \frac{-1}{a}\left ( \left ( 0 \right )-\frac{2}{a^{2}} \right )= \frac{2}{a^{3}}
5.4 เมื่ออินทิกรัลจะได้ \displaystyle\int x^{n}e^{-ax}dx=\displaystyle \sum^{n}_{c=0}P_{c}^{n} (-ax)^{n-c}e^{-ax}(-1)^{c}
เมื่อใส่ขอบเขตจะได้ \frac{n!}{a^{n+1}}


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on April 18, 2012, 09:37:57 AM
แถม
ข้อ6 (มาทำกันต่อเร็ว)
จงหาค่าของ

6.1 \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax^2}dx

6.2 \displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-ax^2}dx

6.3 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^2}dx

6.4 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^2}dx เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

a > 0 :)

ข้อ6.นี่ทำไม่ได้อะครับช่วย hint ให้หน่อยซิครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on April 22, 2012, 11:37:15 PM
แนะว่า
\displaystyle \int_{0}^{\infty }e^{-ax^2}dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on April 23, 2012, 08:48:41 AM
แนะว่า
\displaystyle \int_{0}^{\infty }e^{-ax^2}dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}
มาไงอะครับ ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ชัยโรจน์ on April 23, 2012, 12:12:07 PM
http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html

เอานี่ไปอ่าน  ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on April 24, 2012, 08:35:36 PM
ไปอ่านมาแล้วครับไม่เข้าใจตรงบรรทัดนี้อะครับ
\displaystyle\sqrt{\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-[{x^{2}+y^{2}]}}dxdy} มาเป็นบรรทัดนี้ยังไงเหรอครับ
\displaystyle\sqrt{\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta }
ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 09, 2012, 02:36:52 PM
ไปอ่านมาแล้วครับไม่เข้าใจตรงบรรทัดนี้อะครับ
\sqrt{\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-[{x^{2}+y^{2}]}}dxdy} มาเป็นบรรทัดนี้ยังไงเหรอครับ
\sqrt{\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta }
ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ

เราบอกว่า พ.ท. ที่จะทำการ อินทิกรัล นั้น คือ  -∞<x<∞ ,-∞<y<∞ หรือ บอกไว้ว่ามัน คือ พ.ท. ทั้งหมด เราจะ อาจะ เขียนในรูป  r, θ ได้ว่า มันคือ รัศมี 0<r<∞ , แล้ว 0<θ<2π

ถ้าไม่เข้าใจ ลองวาดรูปดูนะ ครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 10, 2012, 09:44:06 AM
ไปอ่านมาแล้วครับไม่เข้าใจตรงบรรทัดนี้อะครับ
\sqrt{\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-[{x^{2}+y^{2}]}}dxdy} มาเป็นบรรทัดนี้ยังไงเหรอครับ
\sqrt{\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta }
ช่วยอธิบายให้หน่อยครับ

เราบอกว่า พ.ท. ที่จะทำการ อินทิกรัล นั้น คือ  -∞<x<∞ ,-∞<y<∞ หรือ บอกไว้ว่ามัน คือ พ.ท. ทั้งหมด เราจะ อาจะ เขียนในรูป  r, θ ได้ว่า มันคือ รัศมี 0<r<∞ , แล้ว 0<θ<2π

ถ้าไม่เข้าใจ ลองวาดรูปดูนะ ครับ
แล้ว dxdy= rdrd\theta มันมายังไงอะครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 10, 2012, 01:58:39 PM
เรากำลัง พิจารณา พ.ท. เล็ก ๆ dS ซึ่ง ใน ระบบ xy มันเป็นสี่เหลี่ยม ขนาดเท่ากับ dxdy

แต่ ในระบบพิกัดเชิงขั้ว แล้ว มันมีขนาดเท่ากับ rdrdθ  นั้นเอง


มันมีหลายวิธีที่จะ บอกว่า มันเท่ากัน ไม่ว่าจะใช้ วิธี ทาง Jacobian determinant หรือ วาดรูปเอา ก็น่าจะเข้าใจครับ

http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 10, 2012, 03:24:33 PM
แล้วถ้าผมจะบอกว่า rdrd\theta = dxdy
โดยพิจารณาจากสูตรของ arc lengh ดังนี้จะผิดไหมครับ ?
\displaystyle\int_{x1}^{x2}\sqrt{1+\left (\frac{dy}{dx}  \right )^{2}}dx=\int_{\theta 1}^{\theta 2}\sqrt{1+\left ( \frac{dr}{rd\theta } \right )^{2}}rd\theta
เสร็จแล้วเราก็บอกว่า dx= rd\theta ,dy=dr
ผมไม่ค่อยแน่ใจในการพิสูจน์นี้เพราะมันเหมือนโมเมเอาว่ามันเท่ากัน
แล้วก็พี่ช่วยวาดภาพให้ดูหน่อยได้ไหมครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 10, 2012, 04:09:14 PM
ลองคิดแบบนี้ดูว่า  y = x^2  x=1 y=1  ถ้า y =1 เราบอกได่ไหม ว่า x = ?



Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 10, 2012, 04:10:38 PM
อีกอย่าง ผม ไม่เคยบอกว่า dx = rdθ dy = dr เพราะฉะนั้น  dy/dx = rdθ/dr มันเป็นอะไรที่ไร้สาระ  

x = rcosθ

y = rsinθ

เราจะได้ ว่า  dx = cosθdr - rsinθdθ

dy = sinθdr + rcosθdθ

ที่เหลือก็แค่ ยัดตูม (dx)^2 +(dy)^2  = (dr)^2 + (rdθ)^2   


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 11, 2012, 08:51:09 AM
อีกอย่าง ผม ไม่เคยบอกว่า dx = rdθ dy = dr เพราะฉะนั้น  dy/dx = rdθ/dr มันเป็นอะไรที่ไร้สาระ  

x = rcosθ

y = rsinθ

เราจะได้ ว่า  dx = cosθdr - rsinθdθ

dy = sinθdr + rcosθdθ

ที่เหลือก็แค่ ยัดตูม (dx)^2 +(dy)^2  = (dr)^2 + (rdθ)^2   

เอ่อพี่ครับแล้วทำไมผมเอาdxdy ของพี่มาคูณกันแล้วมันได้แบบนี้อะครับ dxdy= rdrd\theta \left ( cos^{2}\theta -sin^{2}\theta  \right )+sin\theta cos\theta \left ( \left ( dr \right ) ^{2}-\left ( rd\theta  \right )^{2}\right )


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 11, 2012, 09:50:06 AM
ผมลืมเขียนอาไร ที่สำคัญมากไป

dx ทีผมเขียน นะ dr dθ มัน มีความหมายเป็นเวกเตอร์  ในกรณี ของ

ความยาว นะ เรา อาจจะไม่ได้คิดว่า |dr|  ตัวนี้ มีทิศทางไหม

เราควรเขียน ว่า 

จะ หา |dxdy| = dx cross dy มากกว่า

เหอๆๆ  :embarassed: ถ้าไม่เข้าใจ เดี่ยวค่อยว่ากันนะ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 11, 2012, 06:36:03 PM
สงสัยต้องไปทำความเข้าใจก่อนแล้ว :)
ขอบคุณมากครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 12, 2012, 08:36:50 AM
เพิ่มเติม ว่า แบบนี้

ทิศทางของการเปลี่ยนแปลง \vec{dx} = cos\theta \vec{dr} -rsin\theta  \vec{d\theta}

 \vec{dy} = sin\theta \vec{dr} +rcos\theta  \vec{d\theta}

ถ้าจะหาพ.ท.  เล็กๆ

 dxdy =  |\vec{dx} \times\vec{dy} |


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 12, 2012, 11:11:47 AM
เพิ่มเติม ว่า แบบนี้

ทิศทางของการเปลี่ยนแปลง \vec{dx} = cos\theta \vec{dr} -rsin\theta  \vec{d\theta}

 \vec{dy} = sin\theta \vec{dr} +rcos\theta  \vec{d\theta}

ถ้าจะหาพ.ท.  เล็กๆ

 dxdy =  |\vec{dx} \times\vec{dy} |


ขอบคุณมากครับ
เพิ่งเข้าใจตอน reply สุดท้ายนี่แหละ  ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 12, 2012, 11:12:40 AM
เพิ่มเติม ว่า แบบนี้

ทิศทางของการเปลี่ยนแปลง \vec{dx} = cos\theta \vec{dr} -rsin\theta  \vec{d\theta}

 \vec{dy} = sin\theta \vec{dr} +rcos\theta  \vec{d\theta}

ถ้าจะหาพ.ท.  เล็กๆ

 dxdy =  |\vec{dx} \times\vec{dy} |


ขอโทษ นะ เหอๆ  :buck2:

ขอบคุณมากครับ
เพิ่งเข้าใจตอน reply สุดท้ายนี่แหละ  ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 14, 2012, 10:25:01 AM
งั้นผมขอทำที่ค้างไว้ให้จบเลยนะครับ
6.1 จากที่พี่ ชัยโรจน์ให้มาจะได้ \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}dx= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}
6.2 ได้ว่า \displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-ax^{2}}dx= \frac{1}{2a}
6.3 \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}dx=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi }{a}}
6.4 จากการอินทิกรัลทีละส่วน จะได้ \displaystyle\int_{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}dx=\frac{2n-1\cdot ...3\cdot 1}{2^{n+1}a^{n}}\sqrt{\frac{\pi }{a}}
จบบริบูรณ์  ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 16, 2012, 06:46:22 PM
เอาข้อใหม่ มาให้

แปลเป็นไทยดังนี้ ว่า ถ้า f(x) เป็นฟังชันที่สามารถหาอนุพันธ์ ได้ จงหาว่า f(x) มีค่าเท่าไร

ข้อสอบเข้ามหาลัย Chouoh  ปี 87


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 17, 2012, 08:11:00 AM
ข้อนี้ไม่ได้ทำมานานเหมือนกัน  ;D
แต่พอทำแล้วมันติด
\displaystyle\int_{0}^{x}\left ( t-t^{2} \right )f(x-t)dt= \int^{x}\left ( t-t^{2} \right )f(x-t)dt-\int^{0}\left ( t-t^{2} \right )f(x-t)dt= \frac{x^{2}}{2}
จากนั้นเราบอกว่าพจน์หน้าเป็นฟังชันก์ของxพจน์หลังเป็นค่าคงตัวแล้วเราดิฟสมการจะได้
x= \frac{\mathrm{d} \left (\int^{x}\left ( t-t^{2} \right )f(x-t)dt  \right )}{\mathrm{d} x}
ตรงดิฟอินทิกรัลผมจำไม่ได้ว่าทำยังไงแต่ลองทำดูไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่าได้ว่า
x= \left ( x-x^{2} \right )f(0)
คำตอบมันทำให้xเป็นค่าคงตัวแทนที่จะเป็นตัวแปร ผมน่าจะทำผิดตรงไหนสักที่ (ก็คงจะตรงดิฟอินทิกรัลนี่แหละ) พี่ช่วยใบ้ให้ผมหน่อยนะครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 17, 2012, 10:39:46 AM
เหอๆๆ เสียใจด้วย คิดว่า ที่ดิฟ ไม่ถูก

เพือความ สวยงาม ทำง่าย ลองเปลี่ยน ตัวแปร เช่น x-t = u แล้ว ลองทำดูนะครับ  :)


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 17, 2012, 03:11:30 PM
เหอๆๆ เสียใจด้วย คิดว่า ที่ดิฟ ไม่ถูก

เพือความ สวยงาม ทำง่าย ลองเปลี่ยน ตัวแปร เช่น x-t = u แล้ว ลองทำดูนะครับ  :)
เปลี่ยนตัวแปรแล้วทำยังไงต่อครับ พอทำแล้วมันได้
\int_{x}^{0} ( x-u )(1+u-x)f(u)du
แล้วก็ dt=du หรือว่า dt=du+dxครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 23, 2012, 04:37:27 PM
ทำจนมาถึงตรงนี้แล้วครับ
\int_{0}^{x}tdt=\frac{x^{2}}{2}
\int_{0}^{x}t\left ( \left ( 1-t \right )f(x-t)-1 \right )dt=0
แต่ไม่รู้จะไปไงต่อช่วยหน่อยครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 23, 2012, 04:44:42 PM
เหอๆๆ เสียใจด้วย คิดว่า ที่ดิฟ ไม่ถูก

เพือความ สวยงาม ทำง่าย ลองเปลี่ยน ตัวแปร เช่น x-t = u แล้ว ลองทำดูนะครับ  :)
เปลี่ยนตัวแปรแล้วทำยังไงต่อครับ พอทำแล้วมันได้
\int_{x}^{0} ( x-u )(1+u-x)f(u)du
แล้วก็ dt=du หรือว่า dt=du+dxครับ

ในที่นี้ x เป็นเหมือน ค่าคงที เพราะ เราทำเทียบกับ t


\int_{0}^{x}\left ( (x-u)-(x-u)^{2} \right )f(u)du


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 26, 2012, 05:08:42 PM
เหอๆๆ เสียใจด้วย คิดว่า ที่ดิฟ ไม่ถูก

เพือความ สวยงาม ทำง่าย ลองเปลี่ยน ตัวแปร เช่น x-t = u แล้ว ลองทำดูนะครับ  :)
เปลี่ยนตัวแปรแล้วทำยังไงต่อครับ พอทำแล้วมันได้
\int_{x}^{0} ( x-u )(1+u-x)f(u)du
แล้วก็ dt=du หรือว่า dt=du+dxครับ

ในที่นี้ x เป็นเหมือน ค่าคงที เพราะ เราทำเทียบกับ t


\int_{0}^{x}\left ( (x-u)-(x-u)^{2} \right )f(u)du
ทำม่ะได้จิงๆเฉลยเลยได้ไหมครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 27, 2012, 07:39:11 AM
คิดว่า ข้างบนมี ผิดนิดหน่อย

 x- t = u ทำให้  - dt = du




Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 27, 2012, 03:31:18 PM
ตรงขอบเขตมันไม่ใช่ว่าต้องเป็น
\int_{x}^{0}(x-u-(x-u)^{2})f(u)du
แบบนี้เหรอครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: ampan on May 27, 2012, 04:49:28 PM
คิดว่า ข้างบนมี ผิดนิดหน่อย

 x- t = u ทำให้  - dt = du


มัน มี ลบ ตรง du นะครับ มันเลย กลับกับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on May 28, 2012, 06:42:51 PM
จริงด้วยครับ
ขอบคุณครับ :)


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on April 21, 2013, 05:49:10 PM
เนื่องจากคณิตศาสตร์จำเป็นต่อฟิสิกส์มากๆ ดังนั้นการฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์เราก็ควรให้ความสนใจควบคู่ไปด้วย  ;D
อะไรที่น่าสนใจก็มาแบ่งปันกันไปแล้วกัน
ข้อ1
จงหาค่าของ
\displaystyle\int_{0}^{3}\dfrac{\sqrt{\xi }}{\sqrt{3-\xi }+\sqrt{\xi }}d\xi
ทำกันเลยๆ
เห็นว่ายังไม่มีคนมาทำครับ แล้วผมก็ว่าวิธีที่ผมอ่านเจอมันสวยดีครับ
วิธีคือเราเริ่มมองก่อนว่าถ้าเราแทนx=0 \sqrt{x} จะได้0 และ \sqrt{3-x} จะเท่ากับ \sqrt{3}
และถ้าเราลองแทนx=3ได้  \sqrt{x} จะเท่ากับ \sqrt{3} และ \sqrt{3-x} จะเท่ากับ0
เราให้ \displaystyle A=\int_{0}^{3}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x}}dx
เราให้ \displaystyle 3-x=y ได้
\displaystyle A=\int_{3}^{0}\frac{\sqrt{3-y}}{\sqrt{y}+\sqrt{3-y}}(-dy)=\int_{0}^{3}\frac{\sqrt{3-y}}{\sqrt{y}+\sqrt{3-y}}dy
ได้ \displaystyle A=\int_{0}^{3}\frac{\sqrt{3-\xi }}{\sqrt{\xi }+\sqrt{3-\xi }}d\xi=\int_{0}^{3}\frac{\sqrt{\xi }}{\sqrt{\xi }+\sqrt{3-\xi }}d\xi นำสมการทางขวากับตรงกลางมาบวกกันได้ว่า
\displaystyle 2A=\int_{0}^{3}\frac{\sqrt{3-\xi }+\sqrt{\xi}}{\sqrt{\xi }+\sqrt{3-\xi }}d\xi=\int_{0}^{3}d\xi=3
\displaystyle A=\frac{3}{2} Ans...


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 17, 2013, 08:54:04 PM
ข้อ 8
เห็นว่าไม่มีใครโพสต์ต่อเลย เลยอยากลองปล่อยโจทย์ดูมั่งครับ โจทย์คือ
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+\sin(x)}}dx


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on June 27, 2013, 02:56:24 PM
ข้อ 8
เห็นว่าไม่มีใครโพสต์ต่อเลย เลยอยากลองปล่อยโจทย์ดูมั่งครับ โจทย์คือ
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+\sin(x)}}dx

ใบ้ให้หน่อยได้ไหมครับ  ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 27, 2013, 09:01:29 PM
ลองใช้ตรีโกณฯและเปลี่ยนตัวแปรดูครับ :)


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on June 27, 2013, 10:04:23 PM
ลองใช้ตรีโกณฯและเปลี่ยนตัวแปรดูครับ :)

แนะอีกนิดได้ไหมครับ ผมคิดว่ายังไงมันก็ต้องใช้ตรีโกณและการเปลี่ยนตัวแปรทำอยู่แล้วครับ  >:A


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 28, 2013, 08:13:27 AM
แนะให้อีกนิดว่าลองใช้ u=\sqrt{1+\sin(x)} ครับ ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on June 28, 2013, 06:22:20 PM
ทำประมาณนี้หรือเปล่าครับ   ;)
ให้ \sqrt{1 + \sin x} = u และได้ว่า u\geqslant 0 เสมอ
u^2 = 1 + \sin x
2u\dfrac{d}{dx}u = \cos x
\displaystyle \frac{1}{u}dx = \frac{2du}{\cos x}
ได้ว่า \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1 + \sin x}}dx = \int \frac{2du}{\cos x}...(*)
จาก u^2 - 1 = \sin x
u^4 -2u^2 + \sin^{2} x + \cos^{2} x = \sin^{2} x
ได้ว่า \cos x = \pm \sqrt{\left| 2u^{2} - u^4  \right| }
ถ้าถูกจะได้มาทำต่อครับ  ;D

ปล.ผมคิดว่ามันน่าจะมีหลายคำตอบครับเพราะดูจากค่า cos ก็มี 2 ค่าแล้วครับ  :uglystupid2:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 28, 2013, 06:34:38 PM
ให้ใช้ค่าcosที่เป็นบวกละกันครับ เพราะโจทย์นี้มันจะให้ค่าขอบเขตที่ค่าโคไซน์เป็นบวก(ความจริงโจทย์ข้อนี้ได้แรงบันดาลใจมาจากโจทย์ท้ายเล่มของ ป๋าครับ ;))


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on June 29, 2013, 03:10:15 PM
จัดไปครับ  ;D
จาก 2u^2 - u^4 \geqslant 0 เสมอจึงสามารถปลดค่าสัมบูรณ์ออกไปได้เลย
\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2 - u^{2})}}du = \int \frac{2 - u^2 + u^2}{\sqrt{u^{2}(2 - u^{2})}}du = \int \sqrt{\frac{2 - u^2}{u^2}}du + \int \frac{u}{\sqrt{2 - u^2}}du
พจนหลังสามารถจัดรูปได้เป็น \displaystyle -\frac{1}{2}\int \frac{d(2 -u^2)}{\sqrt{2 - u^2}} และทำต่อได้เป็น - \sqrt{2 - u^2} + C_{1}
ส่วนพจน์แรก คูณด้วย u ทั้งเศษและส่วนและจัดรูปอีกนิดหน่อยเราได้ว่า \displaystyle \dfrac{1}{2}\int \frac{\sqrt{2 - u^2}du^2}{u^2}
ให้ y = \sqrt{2 - u^2}
2 - u^2 = y^2
ได้ du^2 = -2ydy และ u^2 = 2 - y^2 แทนลงไปได้เป็น \displaystyle \frac{1}{2}\int \frac{y(-2ydy)}{2 - y^2} = \int (1 - \frac{2}{2 - y^2})dy = y - 2\int \frac{dy}{2 - y^2} + C_{2}
จาก \displaystyle \int \frac{dy}{2 - y^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{(\sqrt{2}+y)+(\sqrt{2}-y)}{(\sqrt{2}+y)(\sqrt{2}-y)}dy = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\int \frac{d(\sqrt{2}+y)}{\sqrt{2}+y} - \int \frac{d(\sqrt{2}-y)}{\sqrt{2}-y})
\displaystyle  = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\ln \frac{\sqrt{2}+y}{\sqrt{2}-y}) + C_{3}
แทนลงไปได้ว่า \displaystyle \int \sqrt{\frac{2 - u^2}{u^2}}du = \frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{2 - u^2}du^2}{u^2} = y - \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2}+y}{\sqrt{2}-y} + C_{4}
แทนครั้งสุดท้ายได้ว่า \displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2 - u^{2})}}du = -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2 - u^2}}{\sqrt{2}-\sqrt{2 - u^2}} + C
คำตอบสุดท้ายจึงเป็น\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{2} - \sqrt{1 - \sin x}} + C   :coolsmiley:
ปล.ตรวจสอบด้วยนะครับ  :smitten:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 29, 2013, 05:09:49 PM
...
คำตอบสุดท้ายจึงเป็น \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{2} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{2} - \sqrt{1 - \sin x}} + C  :coolsmiley:
...
ไม่ได้ดูละเอียดว่าผิดตรงบรรทัดไหนแต่ว่ารู้สึกว่าตัวส่วนในlnจะผิดนะครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on June 29, 2013, 09:04:48 PM
...
ไม่ได้ดูละเอียดว่าผิดตรงบรรทัดไหนแต่ว่ารู้สึกว่าตัวส่วนในlnจะผิดนะครับ

ผมไม่เจอที่ผิดที่น่ะครับ คุณ jali ช่วยดูให้หน่อยได้ไหมครับ  >:A  :laugh:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 30, 2013, 10:46:05 AM
...
ผมไม่เจอที่ผิดที่น่ะครับ
ผมลองดูดีๆแล้วหล่ะครับ ของคุณmopyi มันไม่ผิดหรอกครับแต่ว่ามันอยู่ในคนละรูปกับของผมมันเลยมีตัวส่วนไม่เหมือนกัน( :embarassed:)
ปล.ที่จริงถ้าคุณmopyi ทำแบบนี้มันน่าจะง่ายกว่านะครับ คือ
\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2-u^{2})}}du=\int \frac{2}{u\sqrt{2-u^{2}}}du แล้วก็ใช้การเปลี่ยนตัวแปรแบบตรีโกณเลย


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on June 30, 2013, 06:39:44 PM
...
ผมไม่เจอที่ผิดที่น่ะครับ
ผมลองดูดีๆแล้วหล่ะครับ ของคุณmopyi มันไม่ผิดหรอกครับแต่ว่ามันอยู่ในคนละรูปกับของผมมันเลยมีตัวส่วนไม่เหมือนกัน( :embarassed:)
ปล.ที่จริงถ้าคุณmopyi ทำแบบนี้มันน่าจะง่ายกว่านะครับ คือ
\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{u^{2}(2-u^{2})}}du=\int \frac{2}{u\sqrt{2-u^{2}}}du แล้วก็ใช้การเปลี่ยนตัวแปรแบบตรีโกณเลย

เปลี่ยนตัวแปรตรีโกณยังไงเหรอครับ ต้องแทนเป็นฟังก์ชันอะไรเหรอครับ  >:A


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on June 30, 2013, 08:42:22 PM
ให้ \displaystyle u=\sqrt{2} \sin \phi เลยครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 01, 2013, 10:21:20 PM
ให้ \displaystyle u=\sqrt{2} \sin \phi เลยครับ

อ๋อเข้าใจแล้วครับ  ขอบคุณสำหรับวิธีทำที่สั้นกว่านะครับ  :gr8
\begin{array}{rcl} \displaystyle \sqrt{2}\int \frac{d\phi }{\sin \phi } &=& -\sqrt{2}\int \dfrac{-\sin \phi d\phi  }{\sin ^{2}\phi } \cr &=& -\sqrt{2}\int \dfrac{d\cos \phi  }{1 - \cos ^{2}\phi } \cr &=& -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln \dfrac{1 + \cos \phi }{1 - \cos \phi } \end{array}
ซึ่งพอแทน  \cos \phi  ในรูป x แล้วก็จะได้คำตอบเท่ากันครับ  :smitten:

ปล.มันต้องบอกว่า  \cos \phi\geqslant 0 ด้วยหรือเปล่าครับ แต่ผมพิสูจน์ไม่ได้  :uglystupid2:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 02, 2013, 09:41:01 AM
ถ้าคุณmopyiลองวาดรูปสามเหลี่ยมดู คุณmopyiก็จะรู้เลยครับว่าค่าของเราต้องเป็นบวกเท่านั้นดังนั้นไม่มีความจำเป็นที่จะต้องใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 02, 2013, 09:50:31 PM
ถ้าคุณmopyiลองวาดรูปสามเหลี่ยมดู คุณmopyiก็จะรู้เลยครับว่าค่าของเราต้องเป็นบวกเท่านั้นดังนั้นไม่มีความจำเป็นที่จะต้องใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์

เราจะวาดสามเหลี่ยมได้เมื่อมุมเป็นมุมแหลมไม่ใช่เหรอครับ ข้อนี้เรารู้แค่ว่า \sin \phi \geqslant 0  ซึ่งมุม \phi  มันอาจจะเป็นมุมป้านก็ได้นะครับ  :idiot2:


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 03, 2013, 09:01:02 PM
คุณmopyiลองวาดรูปให้ดูหน่อยสิครับ สำหรับกรณีที่วาดสามเหลี่ยมไม่ได้หน่ะครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 03, 2013, 10:30:58 PM
คุณmopyiลองวาดรูปให้ดูหน่อยสิครับ สำหรับกรณีที่วาดสามเหลี่ยมไม่ได้หน่ะครับ

ในกรณีที่มุมเกิน \dfrac{\pi }{2} ก็ต้องใช้วงกลมหนึ่งหน่วยมาอธิบายค่าของฟังก์ชัน sine กับ cosine ครับ
สำหรับที่เราสมมติว่า u = \sqrt{2\sin \phi } จาก u \geqslant 0 ทำให้ได้ว่า \sin \phi \geqslant 0
ดังนั้นถ้า\phi มีค่าระหว่าง \dfrac{\pi }{2} ถึง \pi  (ซึ่งก็ยังทำให้ค่าของ \sin \phi \geqslant 0) ค่าของ \cos \phi  ก็จะติดลบได้ทำให้เราไม่สามารถปลดค่าสัมบูรณ์ออกมาได้เลยนะครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 04, 2013, 12:29:33 PM
คุณmopyiลองวาดรูปให้ดูหน่อยสิครับ สำหรับกรณีที่วาดสามเหลี่ยมไม่ได้หน่ะครับ

ในกรณีที่มุมเกิน \dfrac{\pi }{2} ก็ต้องใช้วงกลมหนึ่งหน่วยมาอธิบายค่าของฟังก์ชัน sine กับ cosine ครับ
สำหรับที่เราสมมติว่า u = \sqrt{2}\sin \phi จาก u \geqslant 0 ทำให้ได้ว่า \sin \phi \geqslant 0
ดังนั้นถ้า \phi มีค่าระหว่าง \dfrac{\pi }{2} ถึง \pi  (ซึ่งก็ยังทำให้ค่าของ \sin \phi \geqslant 0) ค่าของ \cos \phi  ก็จะติดลบได้ทำให้เราไม่สามารถปลดค่าสัมบูรณ์ออกมาได้เลยนะครับ
ที่คุณmopyiพูดมานั้นถูกครับแต่ว่า เราสามารถที่จะเลือกให้ค่าของcosineเป็นบวกหรือลบก็ได้ โดยในที่นี้เราเลือกค่าของcosineเป็นบวกโดยการวาดรูปสามเหลี่ยม
อันที่จริงเราอาจพูดว่าเราเลือก  แต่ว่าเราถูกบังคับให้เลือกเพราะเวลาเราแทนค่าย้อนกลับเราแทน \phi= \arcsin(\frac{u}{\sqrt{2}}) ดังนั้นมันจึงจำกัดให้เราเลือกแค่ค่าบวกเท่านั้น
ลองอันนี้ดูครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 04, 2013, 06:59:05 PM
...
ที่คุณmopyiพูดมานั้นถูกครับแต่ว่า เราสามารถที่จะเลือกให้ค่าของcosineเป็นบวกหรือลบก็ได้ โดยในที่นี้เราเลือกค่าของcosineเป็นบวกโดยการวาดรูปสามเหลี่ยม
อันที่จริงเราอาจพูดว่าเราเลือก  แต่ว่าเราถูกบังคับให้เลือกเพราะเวลาเราแทนค่าย้อนกลับเราแทน \phi= \arcsin(\frac{u}{\sqrt{2}}) ดังนั้นมันจึงจำกัดให้เราเลือกแค่ค่าบวกเท่านั้น
ลองอันนี้ดูครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution
เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ  :smitten: >:A


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 04, 2013, 08:54:13 PM
ไหนๆก็มีคนทำได้แล้วผมขอปล่อยเพิ่มเลยละกันนะครับ ;D
ข้อ 9
\displaystyle \int \frac{1}{a+b \cdot \cos(\theta)}d\theta ;a &gt; b


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 23, 2013, 08:42:00 PM
ไหนๆก็มีคนทำได้แล้วผมขอปล่อยเพิ่มเลยละกันนะครับ ;D
ข้อ 9
\displaystyle \int \frac{1}{a+b \cdot \cos(\theta)}d\theta ;a &gt; b

ต้องการคำใบ้อีกแล้วครับ  ;D :reading


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 23, 2013, 09:02:55 PM
ลองใช้ \cos\theta=2\cos^{2}(\theta/2)-1


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 24, 2013, 08:04:53 PM
ลองใช้ \cos\theta=2\cos^{2}(\theta/2)-1

มันติดในรูปนี้ครับ ช่วยแนะต่อด้วยครับ  >:A
\displaystyle \int \frac{dA}{C + \cos ^{2}A}


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 24, 2013, 09:12:36 PM
ลองใช้ \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 25, 2013, 08:18:35 PM
ทำได้แล้วครับขอบคุณมากครับที่ช่วยแนะให้  :smitten: >:A
คำตอบใช่ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}}\arctan (\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{\theta }{2}) + C หรือเปล่าครับ


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: jali on July 26, 2013, 08:02:30 AM
...
คำตอบใช่ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}}\arctan (\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{\theta }{2}) + C หรือเปล่าครับ
ใช่แล้วครับ ;D


Title: Re: คณิตศาสตร์วันละข้อ
Post by: mopyi on July 26, 2013, 09:22:06 PM
...
คำตอบใช่ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}}\arctan (\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan \frac{\theta }{2}) + C หรือเปล่าครับ
ใช่แล้วครับ ;D

โอเคครับ เดี๋ยวจะมาแสดงวิธีทำนะครับ  ;)