mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: Tangg on April 09, 2011, 12:26:59 AM



Title: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 09, 2011, 12:26:59 AM
เมื่อวันก่อนกระผมลองคิดๆโจทย์ขึ้นมา แล้วเอามาวิเคราห์กับพี่ชาย เห็นว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจดี เลยจะลองเอามาแชร์ให้เพื่อนๆลองวิเคราะห์กัน แล้วดูว่าเหมือนที่ผมคิดรึเปล่าครับ

โจทย์มีอยู่ว่า

เราจะพิจารณาระบบนี้ใน 2-Dimension นะครับ สมมติมีวัตถุหนึ่ง วางอยู่บนโต๊ะ ซึ่งมีแรงเสียดทาน เมื่อให้วัตถุนี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้น v_0 มันจะเคลื่อนที่ไปสักพัก แล้วก็จะหยุดลงไป ถ้าสมมติเราเลือกจุด P อยู่บนโต๊ะ เราพิจารณาว่า ทอร์กลัพธ์รอบจุด P เป็น 0 เนืองจาก \vec{r}\times \vec{f}=0 เมื่อ \vec{f} เป็นเวกเตอร์ของแรงเสียดทาน และ \vec{r} เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จากจุด P ไปยังจุดสัมผัส ดังนั้น เราจึงบอกได้ว่า โมเมนตัมเชิงมุมต้องอนุรักษ์ แต่ เราบอกว่า โมเมนตัมเชิงมุมตอนแรกคือ \vec{r}_{cm} \times  \vec{p} แต่โมเมนตัมเชิงมุมตอนหลังเป็น 0 ถามว่า ผิดตรงไหน

ยังไงก็ลองคิดกันดูนะครับ  :smitten:



Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Mwit_Psychoror on April 09, 2011, 04:25:55 AM
เมื่อวันก่อนกระผมลองคิดๆโจทย์ขึ้นมา แล้วเอามา Discuss วิเคราะห์ กับพี่ชาย เห็นว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจดี เลยจะลองเอามาแชร์ให้เพื่อนๆลอง Discussวิเคราะห์ กัน แล้วดูว่าเหมือนที่ผมคิดรึเปล่าครับ


อีกอย่างโจทย์ข้อนี้เป็นแบบ 2 มิตินะ ไม่ใช่ 1 (ไม่งั้นทุกเส้นทุกเส้นมันก็ต้องอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันสิ)


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: AP on April 09, 2011, 07:06:21 AM
มันต้องมีพจน์ของ โมเมนตัมเชิงมัมรอบ  CM ด้วยไม่ใช่หรอครับ  หรือว่าผมเข้าใจผิด รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 09, 2011, 01:09:29 PM
มันต้องมีพจน์ของ โมเมนตัมเชิงมัมรอบ  CM ด้วยไม่ใช่หรอครับ  หรือว่าผมเข้าใจผิด รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

โมเมนตัมเชิงมุมรอบ CM เป็น 0 นะครับ


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 09, 2011, 01:26:23 PM
เมื่อวันก่อนกระผมลองคิดๆโจทย์ขึ้นมา แล้วเอามา Discuss วิเคราะห์ กับพี่ชาย เห็นว่าโจทย์ข้อนี้น่าสนใจดี เลยจะลองเอามาแชร์ให้เพื่อนๆลอง Discussวิเคราะห์ กัน แล้วดูว่าเหมือนที่ผมคิดรึเปล่าครับ


อีกอย่างโจทย์ข้อนี้เป็นแบบ 2 มิตินะ ไม่ใช่ 1 (ไม่งั้นทุกเส้นทุกเส้นมันก็ต้องอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันสิ)

ขอบคุณครับ แก้แล้วครับ  :smitten:


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: NiG on April 10, 2011, 12:02:22 AM
มันต้องมีพจน์ของ โมเมนตัมเชิงมัมรอบ  CM ด้วยไม่ใช่หรอครับ  หรือว่าผมเข้าใจผิด รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ

ก็เค้าเอาโจทย์มาให้จับผิดนิครับ  ;D

ลองคิดดูว่า ในกรณีที่เราบอกว่า โมเมนตัมเชิงมุม \vec L = \vec r\times \vec p มันนิยามอยู่บนสถานการณ์แบบไหน

ถ้ายังคิดไม่ออก ลองหาโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุมีรูปทรงที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลของตัวเอง แล้วจุดศูนย์กลางมวลก็หมุนรอบจุดๆหนึ่งอยู่ด้วย
(อย่างเช่นโมเมนตัมเชิงมุมของโลกรอบจุดศูนย์กลางดวงอาทิตย์)

ปล. ผมใบ้เยอะไปปะ  :(


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: AP on April 13, 2011, 01:07:01 PM
ขอลองใหม่นะครับ
  คือว่า ถ้าดูที่รอบ cm นั้นจะมีทอร์กลัพธ์ของแรงเสียดทานจะทำให้กล่องหมุน ดังนั้นต้องมีแรง N ที่พื้นกระทำในตำแหน่งที่ทำให้เกิดทอร์กต้่านการหมุนนี้
ดังนั้นเมื่อมองที่จุด P แรง N ดังกล่าวนั้นจะทำให้เกิดทอร์กลัพธ์ ทำให้โมเมนตัมเงมุมไม่อนุรักษ์
ผิดพลาดประการใด โปรดชี้แนะด้วยครับ >:A


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 13, 2011, 03:08:53 PM
ขอลองใหม่นะครับ
  คือว่า ถ้าดูที่รอบ cm นั้นจะมีทอร์กลัพธ์ของแรงเสียดทานจะทำให้กล่องหมุน ดังนั้นต้องมีแรง N ที่พื้นกระทำในตำแหน่งที่ทำให้เกิดทอร์กต้่านการหมุนนี้
ดังนั้นเมื่อมองที่จุด P แรง N ดังกล่าวนั้นจะทำให้เกิดทอร์กลัพธ์ ทำให้โมเมนตัมเงมุมไม่อนุรักษ์
ผิดพลาดประการใด โปรดชี้แนะด้วยครับ >:A

ถูกแล้วครับ  :smitten:


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 13, 2011, 04:33:28 PM
ขอลองใหม่นะครับ
  คือว่า ถ้าดูที่รอบ cm นั้นจะมีทอร์กลัพธ์ของแรงเสียดทานจะทำให้กล่องหมุน ดังนั้นต้องมีแรง N ที่พื้นกระทำในตำแหน่งที่ทำให้เกิดทอร์กต้่านการหมุนนี้
ดังนั้นเมื่อมองที่จุด P แรง N ดังกล่าวนั้นจะทำให้เกิดทอร์กลัพธ์ ทำให้โมเมนตัมเงมุมไม่อนุรักษ์
ผิดพลาดประการใด โปรดชี้แนะด้วยครับ >:A

ถูกแล้วครับ  :smitten:

แล้วตอนคิดทอร์กรอบจุด P ไม่คิดทอร์กเนื่องจากน้ำหนักของกล่องด้วยหรือ  ;D


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 13, 2011, 06:19:34 PM
เท่าที่ผมคิดไว้นะครับ

1.) เนื่องจากมีแรงเสียดทาน ทำให้มีทอร์กรอบจุด CM แต่ว่ากล่องไม่หมุน หมายความว่าสมดุลในการหมุน ดังนั้น ต้องมีทอร์กจากแรงอื่นมาต้านทอร์กจากแรงเสียดทานไว้ นั่นคือ Normal Force นั่นเอง

2.) การที่ Normal Force เยื้องไปด้านขวา (จะไม่กระทำต่อ CM) ทำให้ทอร์กลัพธ์รอบจุด P ไม่เป็น 0 เนื่องจาก ขนาดของน้ำหนักมีค่าเท่ากันกับขนาดของ Normal Force

3.) ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมไม่อนุรักษ์

ผิดถูกอย่างไร อาจารย์โปรดชี้แนะด้วยครับ

ขอบคุณอย่างสูงครับ  :smitten:


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 13, 2011, 06:54:55 PM
ถูกแล้ว แต่ควรเขียนให้ครบว่ามีแรงน้ำหนักทำด้วย และแรงปฏิกิริยาไม่ได้ทำผ่านจุดศูนย์กลางมวล เพราะ ...  ทำให้เมื่อคิดรอบจุด P จึงมีทอร์กสุทธิที่ไม่เป็นศูนย์


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 13, 2011, 07:07:35 PM
ถูกแล้ว แต่ควรเขียนให้ครบว่ามีแรงน้ำหนักทำด้วย และแรงปฏิกิริยาไม่ได้ทำผ่านจุดศูนย์กลางมวล เพราะ ...  ทำให้เมื่อคิดรอบจุด P จึงมีทอร์กสุทธิที่ไม่เป็นศูนย์

เท่าที่คิดไว้นะครับ

เนื่องจากพอมีแรงเสียดทาน มันจะทำให้ วัตถุบิดไปน้อยมากๆๆๆๆ(ในความรู้สึก) เลยทำให้ด้านหน้าของกล่อง จะกดลงไปกับพื้นมากกว่าด้านหนัง แรงเฉลี่ยของ Normal Force จึงเลื่อนไปด้านหน้า

ตรงนี้ผมไม่แน่ใจนะครับ รบกวนอาจารย์ชี้แนะด้วยครับ ขอบคุณครับ  :)


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 13, 2011, 07:21:03 PM
แรงเสียดทานทำให้เกิดทอร์กรอบจุดศูนย์กลางมวลของกล่อง ทำให้กล่องมีแนวโน้มจะหมุนในทิศทางตามเข็มนาฬิกา  ด้านซ้ายกล่องถูกยกขึ้นเล็กน้อย และด้านขวากดลงเล็กน้อย  ตำแหน่งที่แรงปฏิกิริยาตั้งฉากทำจึงเลื่อนไปทางขวา

ป.ล. ขอชมที่มีความคิดวิเคราะห์เรื่องนี้ เยี่ยมมาก  :gr8


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 13, 2011, 07:34:21 PM
ขอบคุณอาจารย์มากๆครับ  :)


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: AP on April 13, 2011, 09:14:39 PM
ขอบพระคุณอาจารย์และพี่ Tangg มากๆครับ


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: NiG on April 14, 2011, 04:06:46 AM
เมื่อวันก่อนผมคุยกับตั้วเรื่องข้อนี้เป็นชั่วโมงเลย  ;) เพราะเราทำกันคนละวิธี (หมายถึงทำโจทย์ข้อนี้นะ ไม่ใช่ทำยังงั้น :knuppel2:)

วิธีทำของผมเป็นแบบนี้นะ

สมมติผมให้ ตำแหน่งของจุด CM เทียบกับจุด P เป็น \mathbf{R} และตำแหน่งของจุดใดๆบนกล่องเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลเป็น \mathbf{r} อัตราการเปลี่ยนเทียบกับเวลาของแต่ละตำแหน่ง (first time-derivative) จะเป็น \dot{\mathbf{R}} กับ\dot{\mathbf{r}} ตามลำดับ (ทั้งหมดนี้เป็นเวคเตอร์)

โมเมนตัมเชิงมุมของทั้งระบบคือ
\mathbf{L} = \sum m \left( (\mathbf{R+r})\times(\mathbf{\dot{r}+\dot{R}})  \right)
จริงๆผมควรจะใส่ index ของการ sum ให้ m กับ \mathbf{r} แต่ขอละไว้ในฐานที่คิดว่าน่าจะเข้าใจนะครับ
เราสามารถจะแยกสมการข้างบนออกเป็นแบบนี้
\mathbf{L}=\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{r}} +\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}

เทอมแรกคือโมเมนตัมเชิงมุมของ"จุดCM รอบจุดP" และเทอมสุดท้ายคือ โมเมนตัมเชิงมุมของกล่องเทียบกับ CM
ทีนี้เรามาดูเทอมที่สาม

\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}} = \left( \sum m\mathbf{r}\right)\times\mathbf{\dot{R}}

เราดึง \mathbf{\dot{R}} ออกได้เพราะ \Sigma คือการบวกปริมาณของทุกอนุภาคเล็กๆบนกล่อง ซึ่งเราจะเห็นว่า
\sum m\mathbf{r} เป็นศูนย์ เพราะว่า\mathbf{r} เป็นตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับจุด CM

ในสถานการณ์นี้เนื่องจากอนุภาคทุกก้อนเคลื่อนที่ไปพร้อมกันหมด(พร้อมกับ CM ด้วย) ดังนั้นเทอม \sum m\mathbf{\dot{r}} ก็เป็นศูนย์ด้วยเหมือนกัน

ทีนี้มาพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM ถ้าผมสมมติว่า m\mathbf{g} กับ \mathbf{N} อยู่ในแนวเดียวกัน
แล้วระบบมีแค่ทอร์กจากแรงเสียดทานมากระทำ ผมจะเขียนได้ว่า
\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{r} = \mathbf{\dfrac{a}{2}\times f}
โดยที่  \mathbf{\dfrac{a}{2}} เป็นเวคเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางกล่องไปตั้งฉากกับฐานของกล่อง

ทีนี้ลอง differentiate โมเมนตัมเชิงมุมของระบบเทียบกับเวลาดูจะได้ว่า
\dfrac{d}{dt}\mathbf{L} = \sum m\mathbf{R}\times \mathbf{\ddot{R}}+\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times \mathbf{\dot{r}}
ซึ่งตามเหตุผลที่ผมใช้ เทอมทางซ้ายของสมการจะเป็นศูนย์ เพราะแรงเสียดทานอยู่ในแนวระดับ แต่เทอมทางด้านขวาสองเทอมจะกลายเป็น
0 = M\left( \dfrac{a}{2}\right)\ddot{x} + f\left( \dfrac{a}{2}\right)
ซึ่งจะตรงกับที่เราหาความเร่งของกล่องได้จากกฎของนิวตันครับ
 -f = M\ddot{x}

สำคัญตรงนี้ครับ คำถามคือแล้ววิธีของผมมันถูกรึเปล่า ถ้าผิดเนี่ยผิดตรงไหน ถ้าถูกแล้ววิธีของผมจะนำไปสู่วิธีทำที่น้อง Tangg คิดไว้ได้ยังไง


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Tangg on April 16, 2011, 03:22:32 AM
เมื่อวันก่อนผมคุยกับตั้วเรื่องข้อนี้เป็นชั่วโมงเลย  ;) เพราะเราทำกันคนละวิธี (หมายถึงทำโจทย์ข้อนี้นะ ไม่ใช่ทำยังงั้น :knuppel2:)

วิธีทำของผมเป็นแบบนี้นะ

สมมติผมให้ ตำแหน่งของจุด CM เทียบกับจุด P เป็น \mathbf{R} และตำแหน่งของจุดใดๆบนกล่องเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลเป็น \mathbf{r} อัตราการเปลี่ยนเทียบกับเวลาของแต่ละตำแหน่ง (first time-derivative) จะเป็น \dot{\mathbf{R}} กับ\dot{\mathbf{r}} ตามลำดับ (ทั้งหมดนี้เป็นเวคเตอร์)

โมเมนตัมเชิงมุมของทั้งระบบคือ
\mathbf{L} = \sum m \left( (\mathbf{R+r})\times(\mathbf{\dot{r}+\dot{R}})  \right)
จริงๆผมควรจะใส่ index ของการ sum ให้ m กับ \mathbf{r} แต่ขอละไว้ในฐานที่คิดว่าน่าจะเข้าใจนะครับ
เราสามารถจะแยกสมการข้างบนออกเป็นแบบนี้
\mathbf{L}=\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{R}\times\mathbf{\dot{r}} +\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}}+\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}}

เทอมแรกคือโมเมนตัมเชิงมุมของ"จุดCM รอบจุดP" และเทอมสุดท้ายคือ โมเมนตัมเชิงมุมของกล่องเทียบกับ CM
ทีนี้เรามาดูเทอมที่สาม

\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{R}} = \left( \sum m\mathbf{r}\right)\times\mathbf{\dot{R}}

เราดึง \mathbf{\dot{R}} ออกได้เพราะ \Sigma คือการบวกปริมาณของทุกอนุภาคเล็กๆบนกล่อง ซึ่งเราจะเห็นว่า
\sum m\mathbf{r} เป็นศูนย์ เพราะว่า\mathbf{r} เป็นตำแหน่งของอนุภาคเทียบกับจุด CM

ในสถานการณ์นี้เนื่องจากอนุภาคทุกก้อนเคลื่อนที่ไปพร้อมกันหมด(พร้อมกับ CM ด้วย) ดังนั้นเทอม \sum m\mathbf{\dot{r}} ก็เป็นศูนย์ด้วยเหมือนกัน

ทีนี้มาพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM ถ้าผมสมมติว่า m\mathbf{g} กับ \mathbf{N} อยู่ในแนวเดียวกัน
แล้วระบบมีแค่ทอร์กจากแรงเสียดทานมากระทำ ผมจะเขียนได้ว่า
\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{r} = \mathbf{\dfrac{a}{2}\times f}
โดยที่  \mathbf{\dfrac{a}{2}} เป็นเวคเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางกล่องไปตั้งฉากกับฐานของกล่อง

ทีนี้ลอง differentiate โมเมนตัมเชิงมุมของระบบเทียบกับเวลาดูจะได้ว่า
\dfrac{d}{dt}\mathbf{L} = \sum m\mathbf{R}\times \mathbf{\ddot{R}}+\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times \mathbf{\dot{r}}
ซึ่งตามเหตุผลที่ผมใช้ เทอมทางซ้ายของสมการจะเป็นศูนย์ เพราะแรงเสียดทานอยู่ในแนวระดับ แต่เทอมทางด้านขวาสองเทอมจะกลายเป็น
0 = M\left( \dfrac{a}{2}\right)\ddot{x} + f\left( \dfrac{a}{2}\right)
ซึ่งจะตรงกับที่เราหาความเร่งของกล่องได้จากกฎของนิวตันครับ
 -f = M\ddot{x}

สำคัญตรงนี้ครับ คำถามคือแล้ววิธีของผมมันถูกรึเปล่า ถ้าผิดนี่ผิดตรงไหน ถ้าถูกแล้ววิธีของผมจะนำไปสู่วิธีทำที่น้อง Tangg คิดไว้ได้ยังไง

เท่าที่ได้ลองคิดไว้นะครับ

1.) ผมคิดว่า การที่เราพิสูจน์โดยตั้งสมมติฐานว่า ทอร์กกระทำรอบจุดศูนย์กลางมวลเกิดจากแรงเสียดทานเพียงอย่างเดียว อาจไม่ถูกต้องนักนะครับ เพราะตามหลักของตรรกศาสตร์และการพิสูจน์นั้น การที่พิสูจน์โดยใช้สมมติฐาน มีเพียงแค่วิธี Contradiction หรือวิธีการหาข้อขัดแย้ง เท่านั้นครับ (หมายความว่าหากเราตั้งสมมติฐานแล้วไม่ได้มีข้อขัดแย้ง เราก็ยังไม่อาจสรุปได้ว่า สมมติฐานนั้นถูก แต่ถ้าเราตั้งสมมติฐานแล้วขัดแย้งขึ้นมา เราสามารถสรุปได้ทันทีว่าสมมติฐานนั้นไม่ถูกต้อง)

2.) เท่าที่ผมนึกได้ ก็อย่างเช่น ทรงกลมตัน กำลังกลื้งอย่างไถลบนพื้นฝืดแนวระดับ สังเกตว่า ในกรณีนี้ แรง Normal Force ต้องกระทำในแนวเดียวกับน้ำหนักแน่นอนครับเพราะว่า จุดที่ทรงกลมสัมผัสพื้น มีเพียงจุดเดียว จึงสังเกตเห็นได้ว่า สมมติฐานของพี่ Nig อาจจะบรรยายการเคลื่อนที่ในทรงกลมตันแทนทรงสี่เหลี่ยมก็เป็นได้ครับ

ดังนั้น ผมจึงคิดว่า การที่สมมติว่า L=Constant แล้วตั้งสมการขึ้นมา ถึงไม่มีข้อขัดแย้ง แต่ก็ไม่จำเป็นว่าสมมติฐานจะถูกต้องก็ได้ครับ

ถ้าหากผมคิดผิดพลาดประการใด โปรดชี้แนะด้วยครับ

ขอบคุณมากๆครับ  :)


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: NiG on April 16, 2011, 06:44:58 AM
ขอบคุณสำหรับความเห็นครับ  ;D

จริงๆแล้วสมมติฐานที่ผมตั้งไว้จริงๆคือ ผมพิจารณาช่วงเวลาสั้นๆในช่วงที่แรงเสียดทานเริ่มทำกับวัตถุจนทำให้วัตถุเกิดความเร่งเชิงมุมในช่วงเวลาสั้นๆ
ก่อนที่ทอร์กจากแรงเสียดทานจะทำให้ตำแหน่งของแรงปฎิกิริยาเลื่อนไปด้านหน้าครับ

ซึ่งอาจจะเป็นการสมมติสถานการณ์ที่ไม่ค่อยจะตรงกับที่โจทย์บอกมาเท่าไหร่  :uglystupid2: เพราะอาจจะบอกได้ว่า ในโจทย์สื่อว่ามีแรงเสียดทานกระทำกับกล่องตั้งแต่แรก :tickedoff: ซึ่งถ้าเป็นยังงั้นก็ขออภัยที่ทำให้สับสนครับ  >:A

สิ่งที่น่าสนใจที่ผมหมายถึงคือ อย่างที่เราว่าตอนสุดท้ายแล้วกล่องมันไม่ได้กลิ้ง แต่มันเกิดการหมุนขึ้นรึเปล่า แรงปฎิกิริยาเป็นแรงที่ทำให้กล่องไม่หมุนใช่มั้ย ถ้ายังงั้น พื้นมันส่งแรงมากระทำกับกล่องยังไง ซึ่งสิ่งเหล่านี้ถ้าพิจารณาให้ลึกซึ้งแล้ว มันนำไปสู่ limit ของ classical mechanics ได้รึเปล่า


Title: Re: เกี่ยวกับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
Post by: Mwit_Psychoror on April 17, 2011, 06:44:05 AM
อย่างที่ Tangg บอก แต่ว่าอยากจะขยายความสักนิดว่า สิ่งที่พี่NiGทำมานั้นถูกทั้งหมด แต่ที่มันไม่สามารถลู่เข้าคำตอบที่ Tangg ทำมาได้นั้นเพราะว่าพี่ NiG ไม่ได้ใส่เงื่อนไขของความเป็นรูปร่างเหลี่ยมเข้าไปครับ

จาก rep
......
\dfrac{d}{dt}\sum m\mathbf{r}\times\mathbf{\dot{r}} = \mathbf{\dfrac{a}{2}\times f}
โดยที่  \mathbf{\dfrac{a}{2}} เป็นเวคเตอร์ที่ลากจากจุดศูนย์กลางกล่องไปตั้งฉากกับฐานของกล่อง

....

จะเห็นว่าถ้าสมการนี้จริงไปเรื่อยๆ การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด CM จะเกิดขึ้นเรื่อยๆ และทำให้วัตถุหมุน(เกิดความเร็วเชิงมุม)

ในกรณีที่แรง N เลื่อนไปอยู่ข้างหน้า จะเห็นว่าพจน์ \dfrac{d}{dt}\vec{L} \neq 0 เพราะว่าจะมีทอร์กสุทธิมากระทำกับระบบ และพจน์ \dfrac{d}{dt} \displaystyle \sum m\vec{r} \times \dot\vec{r} จะเป็นศูนย์แทน ดังนั้น \dfrac{d}{dt}L= -\dfrac{Ma\ddot{x}}{2} ซึ่งก็ถูกต้องเช่นกัน