mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาไฟฟ้าแม่เหล็ก => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 21, 2005, 08:02:49 PM



Title: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 21, 2005, 08:02:49 PM
วัตถุมวล m เท่ากัน 4 ก้อนวางอยู่ที่มุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านยาวด้านละ a ดังรูป� วัตถุทั้งสี่ผูกกันอยู่ด้วยเชือกฉนวนไฟฟ้าซึ่งมีมวลน้อยมาก� วัตถุ 1 และ 2 มีประจุไฟฟ้า Q เท่ากัน ส่วนวัตถุ 3 และ 4 ไม่มีประจุ� วัตถุทั้งสี่อยู่บนพื้นระนาบฉนวนไฟฟ้าซึ่งลื่นมาก� �ตัดเชือกที่ผูกวัตถุ 1 และ 2 ออก� จงหาว่าวัตถุ 1 มีอัตราเร็วสูงสุดเท่าใด ตอนไหน�

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/mass_square.gif)


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: earth_maker on November 22, 2005, 02:01:35 AM
หลักการ
1.อนุรักษ์พลังงานเพราะไม่มีแรงภายนอกมาทำงานให้และการวิ่งออกจากกันของ1กับ2เป็นไปแบบค่อยเป็นค่อยไป(เชือกตึงตลอดเวลา)
2.CMอยู่กับที่เพราะไม่มีแรงภายนอกกระทำ
3.อนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น...ได้มาจากข้อ 2.

เชือกตึงตลอดเวลาเพราะองค์ประกอบของแรงที่ทำในแนวที่ขนานกับเชือกมีทิศชื้ออกจากเชือกตลอดเวลา
และเราเริ่มจากหยุดนิ่งดังนั้นไม่มีองค์ประกอบความเร็วในแนวเชือกที่จะทำให้เชือกไม่ตึง

ทั้งนี้...
1.เชือกเบาและไม่ยืด
2.ระบบเคลื่อนที่ในระนาบเดียวเท่านั้น

อืมหมดยังหว่า...


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: วสิศ on November 23, 2005, 02:57:49 AM
คิดไม่ออก simulation ซะเลย� �เดี๋ยวโดนอาจารย์ว่าแน่ตู

a=2m
q=5e-5c
m=1kg

จะพยายามคิดแบบ analytic คับ เอารูปพวกนี้มาให้ดูเพื่อ พี่น้องที่ยังคิดไม่ออกคับ
รูปแรกเมื่อเวลาเริ่มต้น
รูปสองที่อัตราเร็วสูงสุด
รูปสามเมือวัตถุสี่อันเรียงเป็นเส้นตรง(เกือบตรง)
รูปสุดท้ายที่อัตราเร็วสูงสุด

จะเห็นได้ว่าอัตราเร็วสูงสุดก่อนที่วัตถุเรียงตัวเป็นเส้นตรง� ต่างจากกรณีที่วัถตุสองอันล่าง(ที่ไม่มีประจุ)ถูกตรึง


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: earth_maker on November 23, 2005, 05:34:37 AM
โห...เล่นงี้ก็หมดสนุกกันพอดีดิ... :o
แต่รูปสวยดี... 8)


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: วสิศ on November 23, 2005, 12:52:46 PM
ไม่หมดหนุกหรอกแน่จิงก็คิดให้ได้ดิ


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ccchhhaaammmppp on November 26, 2005, 10:27:51 PM
เนื่องจากเชือกตึงตลอดเวลา เพราะอนุภาคทั้งหมดมีแนวโน้มจะวิ่งออกจากกัน ทำให้มีความเร็วในทิศที่ตั้งฉากกับเชือก
ให้1และ2มีอัตราเร็ว(เท่ากันเนื่องจากความสมมาตร) = v
ให้3และ4มีอัตราเร็ว = v_1

อนุรักษ์โมเมนตัมในแนวแกนy
\displaystyle{2mv\sin\theta=2mv_1}
\displaystyle{v_1 = v\sin\theta}

ใส่ในสมการอนุรักษ์พลังงาน
\displaystyle{\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0(a+2a\sin\theta)^2}+mv^2+mv^2\sin^2 \theta}

จัดรูป จะได้

\displaystyle{v=\sqrt{\frac{Q^2}{\pi\epsilon_0 ma^2}}\frac{\sqrt{\sin\theta}}{1+2\sin\theta}}

ใช้เงื่อนไขว่า \displaystyle{\frac{d}{d\theta}v=0}

\displaystyle{\sqrt{\frac{Q^2}{\pi\epsilon_0 ma^2}}[\frac{(1+2\sin\theta)(\frac{\cos\theta}{2\sqrt{\sin\theta}})-2\cos\theta\sqrt{\sin\theta}}{(1+2\sin\theta)^2}]=0}

\displaystyle{\cos\theta(\frac{1+2\sin\theta}{2\sqrt{\sin\theta}}-2\sqrt{\sin\theta})=0}

\displaystyle{\sin\theta=\frac{1}{2}} หรือ \displaystyle{\cos\theta=0}


เพื่อหาค่าสูงสุด เราจัดการหา \displaystyle{\frac{d^2}{d\theta^2}v} (เหนื่อยแร้ววว!)

\displaystyle{\frac{(1+2\sin\theta)^2 [\frac{(1+2\sin\theta)(-2\sqrt{\sin\theta}\sin\theta-\frac{\cos\theta}{\sqrt{\sin\theta}}}{4\sin\theta})+\frac{\cos^2 \theta}{\sqrt{\sin\theta}}+2\sqrt{\sin\theta}\sin\theta-\frac{\cos^2 \theta}{\sqrt{\sin\theta}}]-[(1+2\sin\theta)(\frac{\cos\theta}{2\sqrt{\sin\theta}})-2\cos\theta\sqrt{\sin\theta}]2(1+2\sin\theta)(2\cos\theta)}}{(1+2\sin\theta)^4}

แทนค่าแล้วจะพบว่า ถ้า \cos\theta = 0 จะเป็นค่าต่ำสุด� ถ้า \sin\theta = \frac{1}{2}จะเป็นค่าสูงสุด

*หมายเหตุ ถ้าผิดพลาดประการใดโปรดให้อภัยเพราะว่าคิดเลขมากๆอาจมีที่ผิดได้ ;D


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: NiG on November 27, 2005, 06:29:29 PM
สมการน่ากลัวมาก ;D


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: vsepr on November 27, 2005, 08:39:18 PM
คืออยากถามว่าทำไมเมื่อตัดเชือกแล้ววัตถุที่3และ4ถึงมีอัตราเร็ว v_1 ละครับ ???




Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ccchhhaaammmppp on November 27, 2005, 09:53:45 PM
คืออยากถามว่าทำไมเมื่อตัดเชือกแล้ววัตถุที่3และ4ถึงมีอัตราเร็ว v_1 ละครับ ???

ถ้าเจตนาถามว่าทำไมถึงต้องเป็น v_1 ก็จะตอบว่า เพราะผมกำหนดให้ครับ

แต่ถ้าถามว่า ทำไมจึงมีอัตราเร็วเกิดขึ้นก็ตอบว่า เพราะว่าระหว่างที่1กับ3เหวี่ยงไปทำให้เชือกระหว่าง1กับ3 และ2กับ4ตึง และมีแรงกระทำต่อ3กับ4


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 28, 2005, 05:45:00 PM
...
ใส่ในสมการอนุรักษ์พลังงาน
\displaystyle{\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 a^2}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0(a+2a\sin\theta)^2}+mv^2+mv^2\sin^2 \theta}

...
*หมายเหตุ ถ้าผิดพลาดประการใดโปรดให้อภัยเพราะว่าคิดเลขมากๆอาจมีที่ผิดได้ ;D

นิพจน์สำหรับพลังงานไฟฟ้าน่าจะผิดนะ น่าจะเป็น

\displaystyle{\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0 a}=\frac{Q^2}{4\pi\epsilon_0(a+2a\sin\theta)}+mv^2+mv^2\sin^2 \theta}


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: Peace on November 28, 2005, 07:40:33 PM
รู้สึกจะผิดเหมือนที่ผมเคยผิดเลยนะ (\displaystyle{ U = \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{q_1q_2}{r^2} } ไม่รู้ว่าตอนนั้นผมทำไปได้ไงเหมือนกัน  ;D )

ผมได้เป็น  \cos \theta (4 \sin ^3 \theta + \sin ^2 \theta - 1) = 0
ซึ่งจุดสูงสุดคือ  \sin \theta \approx 0.556693095 จุดต่ำสุดคือ  \cos \theta = 0
แต่วิธีของผมคือหาค่า v^2 แล้วดิฟไปเลยนะครับ

**ช่วงนี้ผมไม่ขยันพอที่จะพิมพ์สมการแบบแชมป์ครับ ขอโทดที :D


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ccchhhaaammmppp on November 29, 2005, 09:53:03 PM
พีซช่วยทำหน่อยสิ  :D ขอทำการบ้านก่อน


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: Zhon on December 04, 2005, 05:00:19 PM
ได้ความเร็วสูงสุดที่ตำแหน่งเดียวกันครับ ส่วนความเร็วกำลังสองคือ หกส่วนห้าเคคิวกำลังสองส่วนเอ็มเอ


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ampan on December 04, 2005, 07:18:38 PM
ได้ความเร็วสูงสุดที่ตำแหน่งเดียวกันครับ ส่วนความเร็วกำลังสองคือ หกส่วนห้าเคคิวกำลังสองส่วนเอ็มเอ
 v^2 = \frac{5}{6}\frac{kq^2}{ma} ผมมันชอบยุ่งเรื่องชาวบ้าน


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on December 04, 2005, 07:22:41 PM
ได้ความเร็วสูงสุดที่ตำแหน่งเดียวกันครับ ส่วนความเร็วกำลังสองคือ หกส่วนห้าเคคิวกำลังสองส่วนเอ็มเอ
 v^2 = \frac{5}{6}\frac{kq^2}{ma} ผมมันชอบยุ่งเรื่องชาวบ้าน

น่าจะเป็น   v^2 = \frac{6}{5}\frac{kq^2}{ma}    ;D


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: Peace on December 04, 2005, 08:56:39 PM
ได้ความเร็วสูงสุดที่ตำแหน่งเดียวกันครับ ส่วนความเร็วกำลังสองคือ หกส่วนห้าเคคิวกำลังสองส่วนเอ็มเอ

หมายถึงตำแหน่งเดียวกับที่ผมได้รึเปล่าครับ แต่ของผมได้ 0.402185524 เคคิวกำลังสองส่วนเอ็มเอนะครับ?? ( 0.402185524 \frac{kq^2}{ma})� ;D ;D ผมเขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้อะ :-[ คำตอบเลยไม่ค่อยสวยเลย
แล้วอีกอย่างคือคำตอบของพี่มันแปลกๆรึเปล่าครับ ส่วนตัวผมคิดว่าสัมประสิทธิ์ด้านหน้ามันไม่น่าจะมากกว่า 1 ได้นะครับ


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: Zhon on December 04, 2005, 11:34:48 PM
ของพี่มีสิทธิผิดสูงนะ เพราะตอนทำอะ ทดมั่วไปหมด (ตอนนั้นกระดาษขาดเเคลน ทดในแผ่นใบปลิว 555) เดี๋ยวจะลองทดดีๆก่อน


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: Zhon on December 05, 2005, 02:11:35 AM
ทำไมของแชมป์ความเร็วของ 1 ถึงตั้งฉากกับเชือก ???
ไม่ใช่ความเร็วของ 1 ที่สัมพัทธ์กับ 3 หรือ ที่ตั้งฉากกับเชือก


Title: Re: เร็วที่สุดเท่าใด
Post by: ccchhhaaammmppp on December 05, 2005, 01:29:03 PM
ทำไมของแชมป์ความเร็วของ 1 ถึงตั้งฉากกับเชือก ???
ไม่ใช่ความเร็วของ 1 ที่สัมพัทธ์กับ 3 หรือ ที่ตั้งฉากกับเชือก

 >:A