mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหาไฟฟ้าแม่เหล็ก => Topic started by: ccchhhaaammmppp on November 15, 2010, 12:31:28 AM



Title: แรงต่อพื้นที่ของไดอิเล็กตริกที่สอดในตัวเก็บประจุทรงกระบอก
Post by: ccchhhaaammmppp on November 15, 2010, 12:31:28 AM
หายหน้าหายตาไปนาน กลับมาพร้อมกับโจทย์ปัญหา แต่คราวนี้เป็นผมที่มีปัญหาเอง :uglystupid2:
ผมทำสองวิธีแล้วได้คำตอบต่างกัน ช่วยผู้รู้ตรวจดูให้หน่อยนะครับผมทำอะไรผิด >:A

ตัวเก็บประจุรูปทรงกระบอกยาวมาก รัศมีใน aรัศมีนอก b  มีสารไดอิเล็กตริก \varepsilon_1(=\varepsilon_0\varepsilon_r)รัศมีใน aรัศมีนอก rสอดอยู่ดังรูป  ที่ตัวเก็บประจุตัวในมีประจุกระจายอยู่ด้วยความหนาแน่นเชิงเส้น \lambda
จงหาแรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ที่ผิวนอกไดอิเล็กตริกถูกกระทำ

วิธีที่1 หาแรงโดยตรง

จากกฎของGuassเราจะได้ว่า
สนามไฟฟ้าบริเวณใกล้ผิวด้านในของรัศมีนอกของไดอิเล็กตริกเป็น E_1 = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_1r}
สนามไฟฟ้าบริเวณใกล้ผิวด้านนอกของรัศมีนอกของไดอิเล็กตริกเป็น E_2 = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}

ที่ผิวนอกมีประจุปรากฎกระจายอยู่ด้วยความหนาแน่นเชิงพื้นที่ \sigma = D-\varepsilon_0E_1 = \dfrac{\lambda}{2\pi r} - \dfrac{\lambda\varepsilon_0}{2\pi\varepsilon_1r} = \dfrac{\lambda}{2\pi r}(1-\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1})

ดังนั้น จาก http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,739.0.html (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,739.0.html) จะได้แรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่เป็น

P = \dfrac{1}{2}\sigma(E_1+E_2) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\lambda}{2\pi r}(1-\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1})\dfrac{\lambda}{2\pi r}(\dfrac{1}{\varepsilon_0} + \dfrac{1}{\varepsilon_1})
= \dfrac{\lambda^2}{8\pi^2 \varepsilon_0 r^2}( 1-(  \dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1})^2)

วิธีที่2 หาจากพลังงาน
เนื่องจากค่าความจุของตัวเก็บประจุทรงกระบอกรัศมีใน r_1รัศมีนอก r_2ยาว lเมื่อไม่มีสารไดอิเล็กตริก เป็น C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(\dfrac{r_2}{r_1})}

จะได้ว่า หากมองตัวเก็บประจุในรูปเป็นการต่ออนุกรม จะได้ความเก็บประจุเป็น
\displaystyle {C = \dfrac{2\pi l}{\dfrac{1}{\varepsilon_0}\ln(\dfrac{b}{r}) + \dfrac{1}{\varepsilon_1}\ln(\dfrac{r}{a})}}

ดังนั้นพลังงานที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุนี้คือ
U = \dfrac{1}{2}\dfrac{q^2}{C} = \dfrac{\lambda^2 l}{4\pi}(\dfrac{1}{\varepsilon_0}\ln(\dfrac{b}{r}) + \dfrac{1}{\varepsilon_1}\ln(\dfrac{r}{a}))

หากทำการยืดรัศมีนอกของไดอิเล็กตริกออกเล็กน้อย แล้วสังเกตพลังงานของระบบที่เปลี่ยนไป เนื่องจากระบบที่เหลือไม่มีส่วนใดมีงานเกิดขึ้น(หรือเปล่า??) จะได้ว่าพลังงานที่เปลี่ยนไปจะมาจากงานของการยืดออกของไดอิเล็กตริกเท่านั้น

ดังนั้น แรงต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่คือ
P = -\left(  \dfrac{\partial U}{\partial V}\right)  = -\dfrac{1}{2\pi r l}\dfrac{\partial U}{\partial r} = -\dfrac{1}{2\pi r l}\dfrac{\lambda^2 l}{4\pi r}(-\dfrac{1}{\varepsilon_0} + \dfrac{1}{\varepsilon_1})
= \dfrac{\lambda^2}{8\pi^2 \varepsilon_0 r^2}(1 - \dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon_1})

 :idiot2: :idiot2:


Title: Re: แรงต่อพื้นที่ของไดอิเล็กตริกที่สอดในตัวเก็บประจุทรงกระบอก
Post by: ccchhhaaammmppp on November 15, 2010, 07:24:56 PM
ลองทำแผ่นตัวเก็บประจุคู่ขนานดูก็ได้คำตอบต่างไปด้วยfactorที่เท่ากัน
จึงพอที่จะเดาได้แรงสองอันที่คำนวณมาเป็นแรงคนละความหมายกัน แต่ก็ยังตีความหมายไม่แตกว่าต่างกันอย่างไรอยู่ดี :idiot2:


Title: Re: แรงต่อพื้นที่ของไดอิเล็กตริกที่สอดในตัวเก็บประจุทรงกระบอก
Post by: Illussion on December 12, 2010, 07:20:55 AM
เหมือนกับเห็นว่า ตอนพี่ทำวิธีแรก พี่เขียนว่า ความหนาแน่นประจุ ที่ ผิวไดอีเล็กทริกตรงรัศมี r มันขึ้นกับรัศมีด้วย

แต่ตัวเก็บประจุนี่ ประจุของทรงกระบอกข้างในกับข้างนอกมันต้องเท่ากันรึเปล่าครับ = =


Title: Re: แรงต่อพื้นที่ของไดอิเล็กตริกที่สอดในตัวเก็บประจุทรงกระบอก
Post by: ccchhhaaammmppp on December 12, 2010, 10:27:05 AM
เหมือนกับเห็นว่า ตอนพี่ทำวิธีแรก พี่เขียนว่า ความหนาแน่นประจุ ที่ ผิวไดอีเล็กทริกตรงรัศมี r มันขึ้นกับรัศมีด้วย

แต่ตัวเก็บประจุนี่ ประจุของทรงกระบอกข้างในกับข้างนอกมันต้องเท่ากันรึเปล่าครับ = =

ครับ ประจุต้องเท่ากัน แต่ที่รัศมีต่างกันพื้นที่ไม่เท่ากัน ความหนาแน่นเลยขึ้นกับรัศมีครับ


ปล.เหมือนจะพอได้คำอธิบายมาคร่าวๆว่าแรงที่ผิวไดอิเล็กตริก หากไม่คิดเรื่องแรงยืดหยุ่นแล้ว นอกจากแรงทางไฟฟ้า จะมีแรงที่เกิดจากความเครียดภายในด้วย
แต่จริงไม่จริงอย่างไรต้องทำการทดลองทำสอบดู  8)  ไม่ว่าจะเปิดเวปไหนก็หาไม่เจอว่าวิธีVitual Workเปลี่ยนรูปร่างวัตถุได้หรือไม่