mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: kanokporn on October 01, 2010, 11:18:30 PM



Title: การเคลื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 01, 2010, 11:18:30 PM
This is the same problem as problem 1.9. a cylinder of radius R roll without slip on a horizontal surface (Figure P2.11). There is a string wrapped around an inner radius r (some what like a spool of thread),and the string is being pulled horizontally by the force F. For this single-degree-of-freedom system, construct velocity, accerleration, and force diagrams and derive the equations of motion. Try to obtain an equation in terms of only \theta and its derivatives.


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 01, 2010, 11:57:46 PM
2. A horizontal disk with axial moment of inertia I can rotate with negligible friction in fixed bearing (Figure P7.13). On it is mounted a lightweight frame carrying a spinning second disk with mass m and principal centroidal moments of inertia I1,I2,I3.(Note that because two of the principal moments of inertia are equal, any diametral axis is a  principal axis. For the calculation of  kinetic energy diametral axes not spinning with the body can be used.) The spin of the second disk measured with respect to a horizontal plane is   and the angular velocity of the horizontal disk is  .the second disk swings on the frame as a pendulum with length I in the gravity field with the angle  .(The three angles used to describe the motion of the system have some similarity to the Euler angles of Figure 7.3, but they are not Euler angles)
   (a) find the kinetic and potential energy of the system.
   (b) find the equations of motion.


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 12:06:31 AM
ขอความกรุณาด้วยนะค่ะ ทำไม่ได้จริงๆค่ะ


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 02, 2010, 08:12:38 AM
นี่มันโจทย์กลศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัย  หนูเรียนอยู่ชั้นไหน ที่ไหน

แล้วโจทย์นี้มาจากหนังสืออะไร

ที่ทำไม่ได้เพราะแปลไม่ออกแค่นั้นหรือ

ถามทีละข้อจะดีไหม นี่มันการบ้าน หรือว่าอะไร

เอาข้อนี้ก่อน

This is the same problem as problem 1.9. a cylinder of radius R roll without slip on a horizontal surface (Figure P2.11). There is a string wrapped around an inner radius r (some what like a spool of thread),and the string is being pulled horizontally by the force F. For this single-degree-of-freedom system, construct velocity, acceleration, and force diagrams and derive the equations of motion. Try to obtain an equation in terms of only \theta and its derivatives.

ทรงกระบอกรัศมี R กลิ่้งโดยไม่ไถลไปบนผิวระดับ  มีเชือกพันรอบรัศมีภายใน r (คล้ายกับหลอดด้าย) และเชือกถูกดึงในแนวระดับด้วยแรง F  สำหรับระดับที่มีองศาเสรีหนึ่งองศานี้ ให้เขียนแผนภาพความเร็ว ความเร่ง และแรง แล้วให้หาสมการการเคลื่อนที่  ให้พยายามเขียนสมการการเคลื่อนที่ในรูปของมุม \theta และอนุพันธ์ของมันเท่านั้น

วิธีการคิด

เขียนแผนภาพแรงที่ทำต่อวัตถุก่อน มีแรงอะไรบ้าง  ทำที่ไหน  แรงที่ทำมี น้ำหนัก แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก แรงเสียดทานสถิต (กลิ้งโดยไม่ไถล)  แรงตึงเชือก  แรงเสียดทานสถิตมีทิศทางไปทางซ้ายมือ เพราะว่าถ้าไม่มีแรงเสียดทาน แรงตึงเชือกจะดึงให้ผิววัตถุไถลไปทางขวา แรงเสียดทานจะต้านการเคลื่อนที่สัมพัทธ์นี้

โดยการใช้กฎของนิวตัน
   เขียนสมการการเคลื่อนที่ของแรง
    เขียนสมการการเคลื่อนที่ของทอร์กรอบจุดศูนย์กลางมวล

หรือว่าจะใช้ Lagrange's Equation  ;D  ก็ได้

เขียนเงื่อนไขการเคลื่อนที่ซึ่งเป็นแบบกลิ้งโดยไม่ไถล \Delta X = R\Delta \theta

....


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 01:18:16 PM
เรียนอยู่ปีสามที่ราชมงคลค่ะ อาจารย์มอบหมายให้มาคิดสามข้อแต่หนูทำไม่ได้ค่ะ

ขอบคุณอาจาร์ยมากนะค่ะที่ช่วยเหลือ..^_^


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 02, 2010, 01:28:16 PM
เรียนอยู่ปีสามที่ราชมงคลค่ะ อาจารย์มอบหมายให้มาคิดสามข้อแต่หนูทำไม่ได้ค่ะ

ขอบคุณอาจาร์ยมากนะค่ะที่ช่วยเหลือ..^_^

ลองทำดูก่อน ติดอะไรค่อยถามมา

โจทย์มาจากหนังสืออะไรครับ


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 02:26:06 PM
ชื่อหนังสือไม่แน่ใจค่ะเดี๋ยวหนูไปหามาตอบอีกที ฝากอาจาร์ยช่วยดูอีกสองข้อที่เหลือด้วยนะค่ะ

ขอบพระคุณอย่างยิ่งค่ะ :)


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 02, 2010, 02:44:14 PM
แผ่นจานวางตัวในแนวระดับแผ่นหนึ่งมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน I สามารถหมุนโดยไม่มีแรงเสียดทานรอบแกนที่ตรึงกับที่  บนแผ่นจานนี้มีกรอบเบาซึ่งแขวนแผ่นจานแผ่นที่สองที่มีมวล m และมีโมเมนต์ความเฉื่อยหลักรอบจุดศูนย์กลางมวล I_1, I_1 และ I_3 (สังเกตว่าเนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยหลักสองโมเมนต์มีค่าเท่ากัน แกนเส้นผ่านศูนย์กลางใด ๆ จะเป็นแกนหลัก)  สำหรับการคำนวณพลังงานจลน์ เราใช้แกนเส้นศูนย์กลางที่ไม่หมุนไปกับวัตถุในการคำนวณได้)  ความเร็วเชิงมุมของแผ่นจานที่สองเทียบกับระนาบระดับคือ  \dot{\psi} และความเร็วเชิงมุมของแผ่นจานในแนวระดับคือ \dot{\phi}  แผ่นจานที่สองแกว่งบนกรอบเป็นเพนดูลัมที่มีความยาว l ในสนามโน้มถ่วงโดยทำมุม \theta กับแนวดิ่งที่เวลาใด ๆ (มุมทั้งสามมุมที่ใช้บรรยายการเคลื่อนที่ของระบบคล้ายกับมุมออยเลอร์ในรูปที่ 7.3 แต่ว่ามันไม่ใช่มุมออยเลอร์)
(a) จงหาพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของระบบ
(b) จงหาสมการการเคลื่อนที่ของระบบ


ข้อนี้มันยากหนิ  :buck2:

คงต้องใช้วิธีของ Lagrange ทำ

1. เลือก generalized coordinates

ดูระบบที่เวลาขณะหหนึ่ง ตอนที่ระบบอยู่ที่ตำแหน่งใด ๆ

2. หาพลังงานจลน์ของระบบ
3. หาพลังงานศักย์ของระบบ
4. หา Lagrangian ของระบบ
5. เขียน Lagrange's equations สำหรับแต่ละ generalized coordinate

มีใครจะช่วยทำไหมครับ  ;D


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 06:48:47 PM
ชื่อหนังสือ  Engineering application of dynamic อะไรประมาณนี้ค่ะ

อาจารย์ช่วยลงรายละเอียดกว่านี้ได้มั่ยค่ะ ยังไม่เข้าใจค่ะ ยังไม่เข้าใจโจทย์ด้วยเพราะแปลไม่ออกค่ะ....T T

ขอบคุณค่ะ >:A


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 07:26:12 PM
ช่วยหน่อยนะค่ะ >:A ต้องส่งวันจันทร์นี้แล้ว ... :embarassed:


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 02, 2010, 07:42:26 PM
ช่วยหน่อยนะค่ะ >:A ต้องส่งวันจันทร์นี้แล้ว ... :embarassed:

แปลข้อสองให้แล้ว กลับไปอ่านดู แนะให้แล้วด้วย ทำต่อเองนะจ๊ะ  ไม่ใช่นโยบายที่นี่ที่จะทำการบ้านให้นะหนู  [-X


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 10:12:13 PM
ขอบคุณสำหรับคำแนะนำดีๆ
อีกข้อขอให้อาจาร์ยช่วยกรุณาด้วยนะค่ะ
ขอบคุณนะค่ะช่วยแปลให้ก็ยังดีค่ะ...TT มันยากค่ะหนูทำไม่ได้จริงๆ:'(


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: nklohit on October 02, 2010, 10:34:06 PM
งั้นเดี๋ยวผมขอลองทำข้อสองดูนะครับ  ;D
จากพลังงานจลน์มีค่า \frac{1}{2}mv_{cm}^{2} + \frac{1}{2}\displaystyle \sum^{3}_{i=1}  I_{i} \omega^{2}_{i} ของแต่ละวัตถุ
เราลองดูที่แผ่นฐานก่อน มองได้ง่ายๆ ว่า แผ่นนี้มีพลังงานจลน์ \frac{1}{2} I \dot{\phi}^{2}
แผ่นที่สอง เราจะมองแยกเ็ป็นส่วนๆ เพื่อความง่าย ดูส่วนที่เป็นพจน์ของความเร็วของศูนย์กลางมวลก่อน
ศูนย์กลางมวลมีความเร็วจากการหมุนของแผ่นฐาน กับการแกว่งของมันรอบแกนของกรอบเบา ซึ่งมีทิศตั้งฉากกัน
ดังนั้น พลังงานจลน์ส่วนนี้มีค่า \frac{1}{2}m \left\{(l^{2}\sin ^{2}\theta) \dot{\phi}^{2} + l^{2} \dot{\theta}^{2}  \right\}
อีกส่วนหนึ่งมาจากการหมุน โดยเราเห็นว่ามันหมุนรอบแกนที่ตั้งฉากกับพื้นระดับ(แกน I_{1} )ด้วยความเร็วเชิงมุม  \dot{\phi} และมีความเร็วเชิงมุมรอบแกน I_{3}
เป็น \dot{\psi} (ซึ่งใช้ได้เลยเพราะบอกเทียบกรอบเฉื่อยคือพื้นระดับมา) จะได้พลังงานจลน์ของระบบเป็น
\frac{1}{2}\left[ \left\{I + I_{1} + ml^{2}\sin^{2}\theta  \right\}\dot{\phi}^{2} +  ml^{2}\dot{\theta}^{2} + I_{3}\dot{\psi}^{2} \right]
พลังงานศักย์ คิดจากแผ่นที่สองอย่างเดียว (เพราะพลังงานศักย์ของแผ่นฐานคงที่ ไม่มีผลต่อสมการการเคลื่อนที่ ) ไ้ด้เป็น -mgl\cos\theta
เขียน Lagrangian ออกมาเป็น
 \frac{1}{2}\left[ \left\{I + I_{1} + ml^{2}\sin^{2}\theta  \right\}\dot{\phi}^{2} +  ml^{2}\dot{\theta}^{2} + I_{3}\dot{\psi}^{2} \right] +mgl\cos\theta

จับยัดเข้าไปใน Lagrange Equation \dfrac{\partial}{\partial q_{i}} L = \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}_{i}} L \right) ได้สมการการเคลื่อนที่เป็น

\dfrac{d}{dt}\left[ \left\{I + I_{1} + ml^{2}\sin^{2}\theta  \right\}\dot{\phi} \right] = 0  ---------------------------------------------------(1)

\ddot{\theta} = -\dfrac{g}{l} \sin\theta + \dot{\phi}^{2} \sin\theta\cos\theta  ----------------------------------------------------------------(2)

\ddot{\psi} = 0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------(3)

คิดว่าน่าจะใช้ได้นะครับ  :)


Title: Re: การเคลื่ื่อนที่แบบหมุน
Post by: kanokporn on October 02, 2010, 11:10:51 PM
ขอบคุณมากนะค่ะที่ช่วยพี่เก่งมากเลย