mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => แบบฝึกหัดฟิสิกส์โอลิมปิกระหว่างค่าย => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 20, 2005, 09:24:22 AM



Title: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 20, 2005, 09:24:22 AM
เส้นด้ายวงกลมรัศมี R เส้นหนึ่งมีประจุ Q กระจายอย่างสม่ำเสมอ  เนื่องจากประจุเหมือนกันผลักกันจึงมีแรงทำให้เส้นด้ายตึง  จงหาแรงตึงในเส้นด้ายเนื่องจากแรงไฟฟ้า


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: earth_maker on November 20, 2005, 07:43:19 PM
อืม...มันมีปัญหาตามมา...อืม...


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: NiG on November 20, 2005, 09:25:34 PM
ผมลองทำดูนะครับ ไม่รู้ว่าถูกรึเปล่า
เราบอกว่า ประจุทั้งวงยกเว้นส่วนเล็กที่เราจะคิดแรงตึงเชือกรวมกันอยู่ที่ จุดศูนย์กลางวงกลม (ซึ่งอาจจะเลื่อนไปนิดหนอย ไม่เป็นไรเพราะเราถือว่าประจุที่ตัดออกไปน้อยมากๆ)
 
เราบอกว่าประจุเล็กๆ นั้นมีประจุเท่ากับ dq=\frac{Q}{2\pi R}Rd\theta
ดังนั้นแรงผลักระหว่างประจุเล็กๆกับจุดศูนย์กลางประจุ ก็คือ
F=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q^2d\theta}{2\pi R^2 }
โดยที่เราบอกว่า F=2Tsin{\frac{d\theta}{2}}
แต่เราบอกว่า d\thetaมีค่าน้อยมากๆ ดังนั้น
ดังนั้น
T=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q^2d\theta}{2\pi R^2 }


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 21, 2005, 07:50:36 AM
ผมลองทำดูนะครับ ไม่รู้ว่าถูกรึเปล่า
เราบอกว่า ประจุทั้งวงยกเว้นส่วนเล็กที่เราจะคิดแรงตึงเชือกรวมกันอยู่ที่ จุดศูนย์กลางวงกลม
...

รู้ได้อย่างไร  ??? นี่ไม่ใช่ประจุบนผิวทรงกลมนะ ...


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: NiG on November 21, 2005, 03:49:41 PM
ไม่ได้หรอครับ ???
ผมคิดว่า ในเมื่อรูปทุกรุปที่อะไรก็ตามกระจายสม่ำเสมอ จะมีจุดศูนย์กลางที่สามารถแทนสิ่งนั้นๆได้ซะอีก

ถ้าผิดก็ขออภัยนะครับ และจะพยายามแก้ไข


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ampan on November 21, 2005, 04:54:08 PM
ได้ข่าวว่า ท่านchampทำอยู่ แล้วเจอปัญหา เรื่องการ อินทิเกรต หุหุ เลยบอกจะไปหาวิธีใหม่ ซึ่งผมก็ทำนะ โดยการอินทิเกรต หุหุ แต่รู้สึกว่ามันแปลกๆ ผมเองก็อยากจะเช็คอะไรบ้างอย่างเหมือนกัน มัน แบบว่า งงนิดๆ ???


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ccchhhaaammmppp on November 21, 2005, 09:21:03 PM
ผมทำแล้วติดอินติเกรตในรูปที่แม้เครื่องคิดเลขก็แก้ไม่ออก :D
ผมคิดว่าต้องมีวิธีที่ดีกว่าการอินติเกรตตรงๆแต่ยังอยู่ในขั้นการพิจารณา(ขั้นการคิดไม่ออก ;D)


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: earth_maker on November 22, 2005, 01:29:16 AM
มัน 'Blows up'


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 22, 2005, 07:34:00 AM
มัน 'Blows up'

มันดูเหมือนว่าจะมีปัญหาตรงจุดที่หาสนามไฟฟ้าถ้าเราใช้คณิตศาสตร์อินทิเกรตไปรวมถึงจุดนั้นด้วย  แต่ถ้าเราคิดว่าบริเวณเล็ก ๆ สองข้างของจุดนั้น (ซึ่งประมาณว่าเป็นแนวตรงได้?) ให้สนามไฟฟ้าที่มีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้ามล่ะ ...


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: MwitStu. on November 25, 2005, 07:00:50 PM
ทำไมมันมี \ln0 ด้วยอะครับ งง ผมมั่วไปใหญ่แล้ว ???


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ccchhhaaammmppp on November 26, 2005, 07:08:12 PM
ผู้ใดคิดได้แล้วช่วยถวายปัญญาทานทีครับ


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: Peace on November 26, 2005, 09:45:16 PM
BDStu. ทำไงได้ศูนย์อะ ผมทำออกมาได้ infinity ทุกทีเรย  :'(


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: MwitStu. on December 02, 2005, 03:51:29 PM
BDStu. ทำไงได้ศูนย์อะ ผมทำออกมาได้ infinity ทุกทีเรย :'(
ที่จริงผมก็ได้ infinity อะครับ \ln 0 แค่ส่วนประกอบตรงลบของมัน ;D  ???  >:A
แล้วจะทำยังไงดีอะครับ งง ???


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: MwitStu. on December 03, 2005, 05:44:22 PM
มีข่าวลือมาว่า โจทย์ข้อนี้อาจจะทำไม่ได้ก็ได้ แล้วข่าวจริงเป็นอย่างไรหรอครับ


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: milky on December 03, 2005, 06:57:19 PM
มีโจทย์ที่ทำไม่ได้ด้วยหรอคับ ::)


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: Zhon on December 04, 2005, 12:13:44 AM
คือผมทำได้แต่ว่าคำตอบมันยุ่งมาก (มากๆ) ไม่ทราบว่าคำตอบจริงๆอยู่ในรูปสวยงามหรือไม่เพียงใด


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: basst94 on December 22, 2005, 09:01:36 PM
ผมทำได้อนันต์เหมือนกัน  ที่อาจารย์บอกว่าคิดเเรงขนาดเท่ากัน ทิศตรงข้ามนี่มันยังไงครับ 
ที่ผมทำใช้เเรงขนาดเท่ากัน เเต่ทิศไม่ใช่ตรงข้าม มันทำมุมกันนิดหน่อย ??? ??? ???


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: Stalker on May 13, 2010, 12:58:36 PM
พิจารณาสนามไฟฟ้าที่จุด A เนื่องจากประจุที่ตำแหน่ง \theta ตั้งแต่ 0 ถึง \dfrac{\pi}{2}-\alpha
เนื่องจากความสมมาตร จะได้ว่าสนามไฟฟ้าที่กระทำในแนวที่ไม่ใช่แนวเส้นผ่านศูนย์กลางจะหักล้างไปหมด
dE = \dfrac{k dq}{(2R \cos \theta)^2} เมื่อ k=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}
เมื่อนำสองฝั่งมาบวกกัน สนามไฟฟ้าสุทธิจะมีค่าเท่ากับ
2 dE \cos \theta = \dfrac{k dq}{2R^2 \cos \theta}
จากรูป dq = 2 \lambda R d \theta เมื่อ \lambda = \dfrac{Q}{2\pi R}

แทนค่าเข้าไป จะได้ 2 dE \cos \theta = \dfrac{k  \lambda  d \theta}{R \cos \theta}
อินทิเกรทหาสนามไฟฟ้าสุทธิที่จุด A E_{total}=\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\dfrac{k  \lambda  d \theta}{R \cos \theta}
E_{total}= \dfrac{k \lambda}{R} \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\dfrac{d\theta}{\cos \theta}
จากการเปิดโพย จะได้ว่า  \displaystyle \int\dfrac{d\theta}{\cos \theta}=\ln \dfrac{\sin x +1}{\cos x} + C
แทนเข้าไป แล้วประมาณว่า \cos \alpha = 1 และ \sin \alpha = \alpha จะได้ E=\dfrac{k\lambda}{R}\ln \dfrac{2}{\alpha}
F_E = k \lambda^2 \delta \theta \ln \dfrac{2}{\alpha} = 2T \sin \delta \theta \approx 2T \delta \theta
T = \dfrac{k \lambda^2}{2} \ln \dfrac{2}{\alpha} มันติดอยู่ตรง \alpha อะครับ ทำไงดี  :'(


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: GunUltimateID on May 18, 2010, 02:56:44 PM
แต่ถ้าเราคิดว่าบริเวณเล็ก ๆ สองข้างของจุดนั้น (ซึ่งประมาณว่าเป็นแนวตรงได้?) ให้สนามไฟฟ้าที่มีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้ามล่ะ ...
แล้วทำยังไงต่อเหรอครับ  :uglystupid2:


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: nklohit on May 31, 2010, 10:46:08 PM
แนวคิดจากอ.สุจินต์ครับ
พิจารณาส่วนเล็กๆของวงโค้งที่มีขนาดมุมเป็น 2\delta\theta โดยมีศูนย์กลางที่  \phi = 0
องค์ประกอบที่เมื่อนำมาอินติเกรตแล้วไม่เป็นศูนย์ของสนามจากส่วนประจุเล็กๆ ที่มุม  \phi มีค่าเป็น
 \delta E = \dfrac{k\lambda R\delta\phi}{4R^{2}\sin^{2} \frac{\phi}{2}} \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right)
โดย  k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}   และ   \lambda = \dfrac{Q}{2\pi R} เป็นความหนาแน่นประจุต่อความยาวหนึ่งหน่วย
จะได้สนามลัพธ์ที่กระทำต่อประะจุเล็กๆ ที่กว้าง  2\delta\theta เป็น

 E = \displaystyle\int^{2\pi - \delta\theta}_{\delta\theta} \dfrac{k\lambda d\phi}{4R\sin\frac{\phi}{2}}

 E = -\dfrac{k\lambda}{2R}\int^{2\pi - \delta\theta}_{\delta\theta}\dfrac{d\left[ \cos\frac{\phi}{2} \right] }{1-\cos^{2}\frac{\phi}{2}}

 E = \dfrac{k\lambda}{2R}\ln\left\{ \dfrac{1+\cos\frac{\delta\theta}{2}}{1-\cos\frac{\delta\theta}{2}} \right\}

 E = \dfrac{k\lambda}{R}\ln \left( \dfrac{1}{\tan\frac{\delta\theta}{4}} \right)

จะได้แรงที่กระทำต่อส่วนนี้จากประจุอื่นเป็น  F = 2k\lambda^{2}\delta\theta \ln \left( \dfrac{1}{\tan\frac{\delta\theta}{4}} \right)

เราสนใจในกรณีที่  \delta\theta \to 0 ใช้กฎของโลปิตาล ได้ว่า

 F = \displaystyle\lim _{\delta\theta\to 0} 2k\lambda^{2} \dfrac{\frac{d}{d(\delta\theta)}\ln\frac{1}{\tan\frac{\delta\theta}{4}}}{\frac{d}{d(\delta\theta)}\frac{1}{\delta\theta}}

 F = \displaystyle\lim _{\delta\theta\to 0} 2k\lambda^{2} \dfrac{\frac{1}{4\sin\frac{\delta\theta}{4}\cos\frac{\delta\theta}{4}}}{\frac{1}{\delta\theta^{2}}}

 F = \displaystyle\lim _{\delta\theta\to 0} 2k\lambda^{2} \delta\theta

ถ้าให้แรงตึงในวงนี้เป็น  f ซึ่ง  F = 2f\delta\theta เราจะได้แรงตึงเชือกเป็น

 f = k\lambda^{2} = \dfrac{Q^{2}}{16\pi^{3}\epsilon_{0}R^{2}}  :smitten:


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on May 31, 2010, 11:10:07 PM
^^  ช่วยเขียนให้ละเอียดกว่านี้ได้ไหม มีรูปประกอบก็จะดีนะ  ตัวแปรหลายตัวไม่รู้ว่าคืออะไร วัดจากไหน  :idiot2:


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: nklohit on June 01, 2010, 12:03:31 AM
ขอโทษที่ไม่ละเอียดครับ  :buck2:
เพิ่มรูปกับคำอธิบายให้แล้วครับ


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 01, 2010, 06:28:25 AM
ขอโทษที่ไม่ละเอียดครับ  :buck2:
เพิ่มรูปกับคำอธิบายให้แล้วครับ

ขอบคุณมาก  :smitten:


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: GunUltimateID on June 01, 2010, 10:19:41 PM
ขอบคุณครับ


Title: Re: แรงตึงในด้ายวงกลมประจุ
Post by: Stalker on June 02, 2010, 10:09:52 PM
ขอบคุณครับ  :smitten: