mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: GunUltimateID on April 21, 2010, 07:39:24 PM



Title: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: GunUltimateID on April 21, 2010, 07:39:24 PM
วัตถุเล็กๆถูกทำให้ไถลลงมาตามผิวโค้ง วัตถุจะหลุดออกจากผิวที่ \theta=?
ถ้าผิวไม่มีแรงเสียดทานจะตอบ \theta=arccos(\frac{2}{3})
แต่ถ้าผิวมี สปส แรงเสียดทาน = \mu   จะตอบเท่าไหร่
ผมตั้งสมการแล้วแต่แก้ไม่ออกครับ ขอคำแนะนำด้วยครับ


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: ccchhhaaammmppp on April 21, 2010, 09:03:49 PM
เราไม่สามารถเขียนมุมที่จะหลุดในรูปของสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานได้  (เขียนในรูป \theta = \theta (\mu) ไม่ได้)

แต่เราจะทราบความสัมพันธ์ระหว่าง \thetaกับ \mu (เขียนในรูป f(\theta,\mu)=0 ได้) นั่นก็ถือเป็นคำตอบที่เพียงพอแล้วครับ  หากต้องการหาค่าจริงๆก็ต้องแทนค่า \mu ด้วยตัวเลข

ใช้สองสมการคือ

mgR(1 - \cos \theta ) = {1 \over 2}mv^2  + \int\limits_0^\theta  {\mu NRd\theta }
\displaystyle {mg\cos \theta  - N = {{mv^2 } \over R}}

แล้วเงื่อนไขในการหลุดคือ mg\cos\theta = \dfrac{mv^2}{R}

แก้ๆก็จะได้

\sout{2\mu(\sin\theta - \theta\cos\theta) - 2 + 3\cos\theta = 0}  (คำตอบผิด)


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: GunUltimateID on April 21, 2010, 11:03:15 PM
ขอบคุณครับ จะลองไปแก้ดู  :smitten:


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: GunUltimateID on April 22, 2010, 01:20:30 PM
แก้ไม่ออกครับ  ](*,)


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: ccchhhaaammmppp on April 22, 2010, 01:46:15 PM
แก้ไม่ออกครับ  ](*,)

ไม่ต้องแก้ครับ มันคือคำตอบสุดท้ายแล้ว

เราได้ความสัมพันธ์ของ \mu กับ \theta แล้ว

แต่สมการนี้ เราแก้ให้อยู่ในรูปฟังก์ชันที่เรารู้จักไม่ได้(เช่น \sin \; \cos \; \log )  มันคงเป็นฟังก์ชันอะไรสักอย่างที่เราไม่รู้จัก (เราเรียกว่าimplicit functionครับ)

ทางแก้คือ แทนค่า \mu ด้วยตัวเลข แล้วคำนวณหา \theta ออกมาเป็นตัวเลขครับ  หรือเขียนกราฟ

วิธีเขียนตอบคือ

มุมที่หลุดออกคือ \theta โดยที่ \theta เป็นคำตอบของสมการ 2\mu(\sin\theta - \theta\cos\theta) - 2 + 3\cos\theta = 0


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: GunUltimateID on April 22, 2010, 02:25:05 PM
แก้ไม่ออกตั้งแต่ 2 สมการแรก แล้วครับ  :uglystupid2:


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: ampan on April 22, 2010, 08:02:37 PM
แก้ไม่ออกตั้งแต่ 2 สมการแรก แล้วครับ  :uglystupid2:

แก้ไม่ออก หมายความว่าอะไรเหรอครับ หมายความว่า ทำไม ถึงได้สมการ แบบนั้น หรือว่า จากสมการเหล่านั้น แก้ให้ได้คำตอบได้อย่างไร


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: GunUltimateID on April 22, 2010, 08:15:59 PM
สมการ 2 อันแรก แก้ให้ได้   2\mu(sin\theta-\theta cos\theta)-2+3cos\theta=0   ครับ


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: ccchhhaaammmppp on April 22, 2010, 10:41:24 PM
mgR(1 - \cos \theta ) = {1 \over 2}mv^2  + \int\limits_0^\theta  {\mu NRd\theta }
\displaystyle {mg\cos \theta - N = {{mv^2 } \over R}}

mgR(1 - \cos \theta ) = {1 \over 2}mv^2  + \int\limits_0^\theta  {\mu R(mg\cos \theta - \dfrac{mv^2 }{R}})d\theta }

mgR(1 - \cos \theta ) = {1 \over 2}mv^2  + \mu R(mg\sin \theta - \dfrac{mv^2 \theta}{R}})

gR(1 - \cos \theta - \mu\sin\theta) = v^2 ({1 \over 2} - \mu  \theta)

สองสมการแรกจะได้แค่เท่านี้  เท่านี้ก็เอาไปรวมกับ

mg\cos\theta = \dfrac{mv^2}{R}

ก็จะแก้ได้ครับ 


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on April 22, 2010, 10:44:27 PM

อัตราเร็ว v มันขึ้นกับมุมด้วยไม่ใช่หรือ  :idiot2:


Title: Re: วัตถุไถลลงครึ่งทรงกลมฝืด
Post by: ccchhhaaammmppp on April 22, 2010, 11:09:14 PM
อัตราเร็ว v มันขึ้นกับมุมด้วยไม่ใช่หรือ  :idiot2:

จริงด้วยครับ :uglystupid2:

ขออภัยทุกท่านที่อ่านมา

งั้นเราคงต้องติดคำตอบเป็นสมการอนุพันธ์สินะ...