Print Page - ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49

mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์โอลิมปิก ไทย Thai Physics Olympiad => Topic started by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 04, 2005, 04:19:47 PM



Title: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 04, 2005, 04:19:47 PM
(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/tpo48_49oct_01.jpg)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/tpo48_49oct_02.jpg)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/tpo48_49oct_03.jpg)

ของแท้ต้องเป็นลายมือ
(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/tpo48_49oct_04.jpg)

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/tpo48_49oct_05.jpg)



Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ampan on November 04, 2005, 05:11:33 PM
มาแล้ว  ;D ดีใจจัง  :D อ่านแล้วหลายข้อคุ้น ว่าเคยสอนปีอื่นแต่ออกปีนี้  :o สนุกกันละสิครับ  ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 04, 2005, 06:39:13 PM
ผมขอโทษอาจารย์ด้วยนะครับ ที่ผมส่งแค่กระดาษเปล่าที่มีชื่อเท่านั้น :'( >:A


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 04, 2005, 07:03:15 PM
ผมขอโทษอาจารย์ด้วยนะครับ ที่ผมส่งแค่กระดาษเปล่าที่มีชื่อเท่านั้น :'( >:A

ไม่เห็นมีใครส่งกระดาษเปล่าในส่วนของผม  ???


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peace on November 04, 2005, 07:04:34 PM
คำถามพิเศษ!! ข้อสอบ Part A มีส่วนใดผิด ;D

หมายเหตุ : ใครอยู่ในค่ายนี้กรุณาอย่าตอบคำถามนี้ ให้คนอื่นเค้าตอบมั่ง อิอิ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 04, 2005, 07:12:35 PM
คำถามพิเศษ!! ข้อสอบ Part A มีส่วนใดผิด ;D

Part B ก็มีที่ผิดด้วยเหมือนกัน  ;D ;)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 04, 2005, 07:26:39 PM
ขอลองทำ1ใน2ข้อที่ผมทำได้
ข้อ 2 (อ.สุจินต์)
ใช้วิธีใช้จำนวนเชิงซ้อน
ตอนแรกหาความต้านทานรวมของขดลวดเหนี่ยวนำกับตัวเก็บประจุตัวที่2
\frac{1}{Z}=\frac{1}{X_L}+\frac{1}{X_{C2}}
\frac{1}{Z}=\frac{1}{j \omega L}+j \omega C_2
เมื่อ j \equiv \sqrt{-1}
จะได้ Z=\frac{j \omega L}{1-{\omega}^2 L C_2}
เมื่อได้ค่าความต้านทานที่รวมใหม่มาแล้ว สังเกตว่าวงจรจะเป็นวิดสโตนบริจ(อะไรสักอย่าง ผมเรียกชื่อไม่ถูกครับ)
ดังนั้น \frac{X_{C1}}{R} =\frac{Z}{R}
X_{C1}=Z
แต่ X_{C1}=\frac{1}{j\omega C_1}
ดังนั้น \displaystyle{\frac{1}{j\omega C_1}=\frac{j \omega L}{1-{\omega}^2 L C_2}}
1-{\omega}^2 L C_2=-{\omega}^2 L C_1
C_1-C_2=-\frac{1}{{\omega}^2 L}
เนื่องจากอ.สุจินต์ถามแค่ผลต่างเราจึงใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ได้ และ \omega=\omega_0
จะได้คำตอบคือ \frac{1}{{\omega_0}^2 L}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 04, 2005, 07:28:06 PM
ถึงจะเขียนอะไรมั่วๆลงไปบ้าง มันก็ประมาณ 2-3 อะครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: bas on November 04, 2005, 07:29:45 PM
555 รู้สึกข้อสอบแลปก็มีที่ผิดด้วยนะครับอาจารย์ ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 04, 2005, 07:39:02 PM
555 รู้สึกข้อสอบแลปก็มีที่ผิดด้วยนะครับอาจารย์ ;D

มาจากแหล่งเดียวกัน  ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: w [o] n on November 04, 2005, 10:00:17 PM
 :'( :'( :'( ง่า ๆ ทำแลปเน่าเกินจะเยียวยา...เสียดาย ๆ ๆ ๆ   :'( :'( :'(

* คงไม่ได้กลับไปที่สสวท.อีกรอบแล้วแน่เรย...ฮือ ๆ...คิดถึงเพื่อน ๆ น้อง ๆ อ่า กำลังสนุกอยู่แท้ ๆ เรย *  :( :( :(


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 04, 2005, 10:21:06 PM
วันนี้ได้ไปเที่ยวกับพวกพี่ๆ ผมมีความสุขมากครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Pum+PiM+ on November 05, 2005, 01:39:21 PM
แฮ่ๆ ดีใจจัง เห็นน้องคามิลร้องเกะด้วย ^ ^ ขอบคุณทุกๆคนในค่ายที่ร่วมกันสร้างความทรงจำสุดวิเศษให้เรานะ  ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 05, 2005, 03:22:03 PM
ขอโทษครับ โปรดใช้ชื่อผู้อื่นให้ถูกต้อง ผมชื่อคามิน ไม่ใช่คามิล ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 05, 2005, 04:36:45 PM
ขอลองทำอีกข้อหนึ่ง ซึ่งข้อนี้ตอนสอบผมทำไม่ได้ :'(เศร้าจริงๆ :'(
ข้อ 1 (อ.ปิยพงษ์)
เนื่องจากข้อนี้จะต้องมีการสูญเสียพลังงานไปจากงานโดยแรงเสียดทานแน่นอน เราจึงใช้กฎ Conservation of Energy ไม่ได้
เพราะว่าไม่มีแรงเสียดทานที่พื้นที่จะทำให้เกิดทอร์กภายนอก เราจึงหันมาใช้ Conservation of Angular Momentum ได้
 I\omega_0=2I\omega
เมื่อ \omega คืออัตราเร็วเชิงมุมตอนหลังของทั้งคู่
จะได้ว่า \omega=\frac{\omega_0}{2}
หลังจากนั้นเราเปลี่ยนระบบ มาพิจารณาจานแผ่นล่างแผ่นเดียว ทอร์กที่กระทำต่อแผ่นล้างเนื่องจากแผ่นบนหาได้จาก
พิจารณาแบ่งมวลของแผ่นบนออกเป็นวงแหวนซึ่งมีมวลต่อหน่วยพื้นที่เท่ากับ \sigma ซึ่ง \displaystyle{\sigma=\frac{m}{\pi R^2}}
\boxed{\displaystyle{d\tau=\mu_k g r dm }}

แต่ dm=2\pi \sigma r dr
จะได้ \displaystyle{d\tau=\frac{2\pi m\mu_k g}{\pi R^2}r^2 dr}
\displaystyle{\tau=\frac{2 m\mu_k g}{ R^2}\int_{0}^{R}r^2 dr}
\displaystyle{\tau=\frac{2 m\mu_k g}{ R^2} \frac{R^3}{3}}
\displaystyle{\tau=\frac{2}{3}\mu_k mgR}
เนื่องจาก \tau คงที่
ดังนั้น \Delta{L}=\tau t เมื่อ L คือโมเมนตัมเชิงมุมของแผ่นจานแผ่นล่าง ซึ่งตอนหลังมีค่า I\omega=I\frac{\omega_0}{2}
โดย I=\frac{1}{2}mR^2
จะได้ว่า \displaystyle{t=\frac{\frac{1}{2}mR^2\frac{\omega_0}{2}}{\frac{2}{3}\mu_k mgR}}
\displaystyle{t=\frac{3}{8} \frac{\omega_0 R}{\mu_k g}} ตอบ



ขอโทษนะครับ เขียนวิธีทำยืดยาวไปอาจไม่ทันใจสำหรับบางคน ถ้าผมทำผิดก็ช่วยบอกด้วยนะครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 05, 2005, 05:27:31 PM
ขอลองทำอีกข้อหนึ่ง ซึ่งข้อนี้ตอนสอบผมทำไม่ได้ :'(เศร้าจริงๆ :'(
ข้อ 1 (อ.ปิยพงษ์)
..
ขอโทษนะครับ เขียนวิธีทำยืดยาวไปอาจไม่ทันใจสำหรับบางคน ถ้าผมทำผิดก็ช่วยบอกด้วยนะครับ

วิธีทำที่ทำมานี่ก็ทำได้ดีนี่  :D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 05, 2005, 06:57:15 PM
ข้อ 2 (อ.ปิยพงษ์)
ข้อนี้ผมขอนำเสนอวิธีสุดยอดของอาจารย์สุจินต์ ซึ่งได้เฉลยโจทย์ข้อหนึ่งซึ่งพวกพี่ๆเอาไปถาม แล้วบังเอิญมีสอบ พี่ๆจึงทำได้ ส่วนผมมึนตอนอ.สุจินต์เฉลยจึงทำไม่ได้ :'(
ระบบนี้เป็นการโคจรของดาวเคราะห็รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี ซึ่งเป็นอิสระจากระบบอื่น ไม่มีทอร์กภายนอกมากระทำ และไม่มีการสูญเสียพลังงาน
เราจึงสามารถใช้กฎ Conservation of Energy และ Angular Momentum ได้ โดยพิจารณาประมาณว่าดวงอาทิตย์เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อย

โจทย์บอกว่าดวงอาทิตย์ไม่ได้มีมวลมากกว่าดาวเคราะห์ดวงนั้นมากมาย จึงประมาณว่าดวงอาทิตย์เป็นกรอบอ้างอิงเฉื่อยไม่ได้  :o


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 05, 2005, 07:18:09 PM
แล้วผมจะทำยังไงดีหละครับ :'(


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 05, 2005, 08:23:31 PM
เดี๋ยวผมขอไปพยายามเข้าใจ สิ่งที่อ.สุจินต์สอนก่อนนะครับ เดี๋ยวจะมา post ให้ใหม่
แต่รู้สึกเสียดาย ที่พิมพ์มา 1ชม. จัง ;)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ccchhhaaammmppp on November 05, 2005, 08:35:57 PM
รู้สึกมีอะไรหลายอย่างที่ลืมเขียนในข้อสอบ(และเขียนผิด) :'(

เซ็งชีวิตเลยครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 05, 2005, 09:47:35 PM
ยังดีกว่าผมที่แทบจะไม่ได้เขียนอะไรลงไปเลย :'(


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 06, 2005, 09:01:32 AM
เดี๋ยวผมขอไปพยายามเข้าใจ สิ่งที่อ.สุจินต์สอนก่อนนะครับ ...

แล้วที่ผมสอนไปทำไมไม่สนใจเอามาใช้ล่ะ  ???

สำหรับระบบสองวัตถุที่มีมวล m_1, m_2 พลังงานจลน์ของระบบ E_k = \frac{1}{2} MV_{\mbox{cm}}^2 + \frac{1}{2} \mu v^2
และโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ \vec L = \vec L_{\mbox{cm}} + \mu \vec r \times \vec v
โดยที่ M = m_1 +  m_2 ส่วน \mu คือมวลลดทอน และ \vec v คือความเร็วสัมพัทธ์ของมวล m_1 เทียบกับมวล m_2

จำได้ว่าให้ทำในห้องเรียนด้วย  >:(


เอาความรู้นี้มาประยุกต์  ถ้าไม่มีแรงภายนอกมาทำ อะไรมีค่าคงตัวบ้าง


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 06, 2005, 12:29:21 PM
ข้อ 2 (อ.ปิยพงษ์)
ขอแก้ตัวนะครับ
พิจารณาระบบนี้ซึ่งเป็นระบบดวงดาวโดดเดี่ยว ไม่มีการสูญเสียพลังงาน ไม่มีแรงหรือทอร์กภายนอกมากระทำ
เลือกกรอบอ้างอิงเฉื่อยขึ้นมา 1 กรอบ นั้นคืออวกาศ เราสามารถใช้กฎ Conservation of Energy และ Angular Momentum ได้
ดังนั้น ความเร็วจุดศูนย์กลางมวลของระบบ \vec v_{cm} และ \vec L_{cm} มีค่าคงที่
จากสมการพลังงานในรูปทั่วไป เราสามารถจัดรูปให้สามารถคิดในกรณีที่แตกต่างออกไปได้
นั้นคือ \boxed{\displaystyle{\frac{1}{2}M{v_1}^2+\frac{1}{2}m{v_2}^2=\frac{1}{2}(M+m){v_{cm}}^2+\frac{1}{2}\mu v^2}}
เมื่อ \mu คือมวลลดทอนซึ่งเท่ากับ \frac{Mm}{M+m} และ v คือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่าง M กับ m
เนื่องจาก v_{cm} มีค่าคงที่
จะได้ \frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m} {v_0}^2-\frac{GMm}{r_0}=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m} v^2-\frac{GMm}{r}
จัดรูปให้สวยขึ้น \frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0}=\frac{v^2}{M+m}-\frac{2G}{r}  1
หันกลับมาพิจารณาโมเมนตัมเชิงมุมบ้าง สมการในรูปทั่วไปก็สามารถจัดรูปใหม่ได้เช่นเดียวกัน
\boxed{\displaystyle{\vec L =\vec L_1+\vec L_2=\vec L_{cm}+\vec r \times \mu \vec v}}
เนื่องจากที่ระยะไกลสุดหรือใกล้สุด เวกเตอร์ความเร็วกับตำแหน่งจะมีทิศตั้งฉากกัน \phi=\frac{\pi}{2} และ \vec L_{cm} มีค่าคงที่
จะได้ \mu v_0 r_0 \sin{\phi_0}=\mu vr 2
ดังนั้น \displaystyle{v=\frac{v_0 r_0 \sin{\phi_0}}{r}}
นำไปแทนในสมการที่ 1 แล้วคูณตลอดทั้งสองข้างด้วย r^2 จะได้สมการควอดารติก
ในรูป \displaystyle{(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})r^2+2Gr-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m}=0}
ซึ่งสมการแก้สมการได้ค่า r ออกมาดังนี้
\displaystyle{r=\frac{-2G\pm \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
พิจารณาส่วนหนึ่งของคำตอบนี้
\displaystyle{r=\frac{-2G- \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
สมการนี้บ่งว่า (\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0}) ต้องต้องมีค่าเป็นลบ ถึงจะทำให้ r มีค่าเป็นบวก
มันจึงบ่งต่อไปอีกว่า
\displaystyle{\frac{-2G- \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}>\frac{-2G+ \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
ดังนั้น คำตอบของระยะไกลที่สุดคือ \displaystyle{r=\frac{-2G- \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
และ คำตอบของระยะใกล้สุดคือ \displaystyle{r=\frac{-2G+ \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{M+m})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}} ตอบ

 

ผมคงจะไม่ได้ทำผิดอีกนะครับ ถ้าผิดอีกก็ช่วยเตือนอีกทีนะครับ  ;)
 


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 06, 2005, 12:46:19 PM
ข้อ 2 (อ.ปิยพงษ์)
ขอแก้ตัวนะครับ
...
เนื่องจากที่ระยะไกลสุดหรือใกล้สุด เวกเตอร์ความเร็วกับตำแหน่งจะมีทิศตั้งฉากกัน \phi=\frac{\pi}{2} และ \vec L_{cm} มีค่าคงที่
...

1. ทำไมเวกเตอร์ความเร็วกับเวกเตอร์ตำแหน่งมีทิศตั้งฉากกันที่ระยะไกลสุดและใกล้สุด
2. ทำไม \vec L_{cm} มีค่าคงตัว

 แสดงความจริงเหล่านั้ให้เห็นด้วยกระบวนการทางคณิตศาสตร์ได้ไหม ? ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 06, 2005, 02:14:49 PM
ขอตอบคำถามแรกโดยสมมติว่า คำถามที่ 2 นั้นเป็นจริงก่อน
กลับไปที่สมการที่ 2 อีกทีแล้วเปลี่ยนเป็น กรณีที่ยังไม่ใส่เงื่อนไข \phi=\frac{\pi}{2} ก่อน
จะได้ว่า \mu v_0 r_0 \sin{\phi_0}=\mu vr\sin\phi
\displaystyle{v=\frac{v_0 r_0\sin{\phi_0}}{r \sin\phi}}
นำไปแทนเพื่อให้เกิดสมการควอดราติกเช่นเดิม
จะได้ \displaystyle{(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})r^2+2Gr-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi}=0}
ดังนั้น \displaystyle{r=\frac{-2G\pm \sqrt{4G^2-4(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi})}}{2(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})}}
เพื่อความง่ายในการทำต่อ เขียนแทนก้อนต่างๆ ด้วยตัวแปร A,B,C
เมื่อ A\equiv(\frac{{v_o}^2}{M+m}-\frac{2G}{r_0})
 B\equiv2G
 C\equiv(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi})
ได้ว่า \displaystyle{r=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}}
เพื่อหาค่า \phi ที่ทำให้ r มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด ใช้ที่วิธีการหาค่าต่ำสุดสูงสุดของ Calculus
โดยให้ \frac{d}{d\phi}r=0
สังเกตว่าทั้ง A และ B เป็นค่าคงที่
จะได้ \displaystyle{0=\frac{d(\sqrt{B^2-4AC})}{d(B^2-4AC)}\frac{d(B^2-4AC)}{dC}\frac{dC}{d\phi}}
สังเกตว่าสองพจน์หน้าจะได้ผลออกมาเป็นค่าซึ่งไม่เท่ากับ 0 แน่นอน
\displaystyle{=\frac{d}{d\phi}C}
\displaystyle{=\frac{d}{d\phi}(-\frac{{v_0}^2 {r_0}^2 \sin^2{\phi_0}}{(M+m)\sin^2\phi})}
\displaystyle{=\frac{d}{d\phi}(sin^{-2}\phi)}
=-2(sin^{-3}\phi)\frac{d\sin\phi}{d\phi}
ซึ่ง (sin^{-3}\phi) จะเป็น 0 ไม่ได้
ดังนั้น 0=\cos\phi และ \phi=\frac{\pi}{2} ตอบ


ส่วนคำตอบข้อ 2 ขอคิดก่อนครับ ;)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 06, 2005, 02:50:58 PM
ขอตอบคำถามข้อที่ 2 ต่อครับ
ถ้าเรารู้ว่า \vec L{cm} มีค่าคงที่
เมื่อเราทำการ differantiate มันย่อมจะได้ค่าเท่ากับ 0
ลอง differentiate มันดู
จะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=\frac{d}{dt}(\vec r_{cm}\times (M+m)\vec v_{cm})}
\displaystyle{=\vec r_{cm}\times\frac{d}{dt}(M+m)\vec v_{cm}+\frac{d}{dt}\vec r_{cm}\times(M+m)\vec v_{cm}}
เนื่องจาก \vec v_{cm} มีค่าคงที่เพราะไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ
ดังนั้น \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=0+(M+m)\vec v_{cm}\times\vec v_{cm}}
เนื่องจาก \vec v_{cm}\times\vec v_{cm}=0 ตามนิยามของ Cross Product
จะได้ \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=0}
มันจึงบ่งว่า \displaystyle{\vec L{cm}=constant}  ตอบ


บางทีผมเน้นความสวยงามมากไป จนบางทีกลายเป็นเน่าไป
แก้แล้วครับ แต่ไม่รู้จะถูกเปล่่า ส่วนข้อ 1 ผมคงหาวิธีที่ง่ายกว่านี้ไม่ได้ เพราะนั้นมันคงง่ายที่สุดสำหรับผมแล้ว :(


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 06, 2005, 02:54:22 PM
ขอบคุณอาจารย์มากครับ ผมทำโจทย์ข้อนี้เหมือนทำอะไรไป 10 ข้อ ได้รู้ว่าตัวเองเข้าใจผิด และได้รู้อะไรมากขึ้นมากครับ :)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 06, 2005, 03:06:57 PM
ขอตอบคำถามข้อที่ 2 ต่อครับ
ถ้าเรารู้ว่า \vec L{cm} มีค่าคงที่
เมื่อเราทำการ differantiate มันย่อมจะได้ค่าเท่ากับ 0
ลอง differentiate มันดู
จะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}(\vec L{cm})=\frac{d}{dt}(\vec r_{cm}\times (M+m)\vec v_{cm})}
\displaystyle{=\vec r_{cm}\times\frac{d}{dt}(M+m)\vec v_{cm}+(M+m)\vec v_{cm}\times\frac{d}{dt}\vec r_{cm}}
...

ดูเหมือนว่าจะหาอนุพันธุ์ผิดนะ ห้ามสลับตำแหน่งเวกเตอร์ที่ cross product กันอยู่ :o

สำหรับการแสดงว่าที่ระยะไกลสุดและใกล้สุด เวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ตำแหน่งตั้งฉากกันนั้นมีวิธีทำที่ง่าย ๆ กว่าที่ทำมามาก :o

พิจารณา \displaystyle{\frac{d}{dt}(r^2) = \frac{d}{dt}(\vec r \cdot \vec r) \Rightarrow 2r\frac{d}{dt}r= 2 \vec r \cdot \vec v }
ที่ระยะใกล้สุดหรือไกลสุด หรือกรณีที่ระยะคงตัว เราจะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}r= 0 \Rightarrow \vec r \cdot \vec v = 0}
นั่นคือเวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ตำแหน่งตั้งฉากกัน ;D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 07, 2005, 05:52:38 PM
...
พิจารณา \displaystyle{\frac{d}{dt}(r^2) = \frac{d}{dt}(\vec r \cdot \vec r) \Rightarrow 2r\frac{d}{dt}r= 2 \vec r \cdot \vec v }
ที่ระยะใกล้สุดหรือไกลสุด หรือกรณีที่ระยะคงตัว เราจะได้ว่า \displaystyle{\frac{d}{dt}r= 0 \Rightarrow \vec r \cdot \vec v = 0}
นั่นคือเวกเตอร์ความเร็วและเวกเตอร์ตำแหน่งตั้งฉากกัน ;D

สุดยอดมากครับ :o


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 08, 2005, 06:04:23 PM
ข้อ 3 (อ.ปิยพงษ์)
เนื่องจากระบบนี้อยู่ในห้วงอวกาศอันห่างไกล จึงไม่มีแรงภายนอกมากระทำ
พิจารณาการดลในช่วงเวลาหนึ่งๆ
จาก \sum \vec F_{ext}=\frac{\Delta{\vec P}}{\Delta t}
\displaystyle{=\frac{(M+\Delta M)(\vec v+\Delta{\vec v})+(-\Delta M)(\vec w)-M\vec v}{\Delta t}}
เมื่อ M,\Delta M,\vec v,\Delta{\vec v},\vec w
คือ มวลของยาน มวลของยานที่เปลี่ยนไป ความเร็วของยาน ความเร็วของยานที่เปลี่ยนไป และความเร็วของมวลที่หลุดออกมา ตามลำดับ
จะได้ว่า \displaystyle{\sum \vec F_{ext}=M\frac{\Delta{\vec v}}{\Delta t}+\frac{\Delta M}{\Delta t}(\vec v+\Delta{\vec v}-\vec w)}
ให้ลิมิต \Delta t เข้าใกล้ 0
จะได้ \boxed{\displaystyle{\sum \vec F_{ext}=M\frac{d\vec v}{dt}-\frac{dM}{dt}\vec u}}
เมื่อ \vec u คือความเร็วของเชื้อเพลิงเทียบกับยาน

เสียดายจังที่ผิด ผมคงทำแบบไร้สติ เดี๋ยวไปคิดใหม่แล้วจะมาต่อให้นะครับ :'(


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 08, 2005, 06:16:40 PM
ข้อ 3 (อ.ปิยพงษ์)
...
เพื่อความง่ายในการทำต่อ แปลงสมการที่ได้ให้เป็นสมการ Scalar โดยพิจารณาโมเมนตัมในแนวที่ตั้งฉากกับการเคลื่อนที่
และเนื่องจากแรงสุทธิภายนอกที่กระทำต่อระบบเท่ากับ 0
...

ท่่าทางไม่เข้าท่าตั้งแต่ตรงนี้ ผิดหมดเลย :o


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ccchhhaaammmppp on November 08, 2005, 09:32:32 PM
น้องเคนแอบฟิต...  ผมยังตามงานที่โรงเรียนไม่เสร็จเลย


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: earth_maker on November 09, 2005, 06:46:29 AM
เอิ๊กๆๆๆๆ
Logo มันตีลังกานั่นเอง


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 09, 2005, 09:16:38 PM
ไม่ได้ฟิตครับ ผมก็ต้องทำงานโรงเรียนเหมือนกัน แค่ทำแก้เศร้าที่ตอนสอบทำไม่ได้


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 20, 2005, 06:28:11 PM
รู้สึกว่าทุกคนจะลืมกระทู้นี้ไปแล้ว ถึงผมจะไม่ลืมก็ยังทำไม่ได้ เหอๆๆๆ
ข้อ 3 (อ.ปิยพงษ์)
ผมอยากทำต่อให้จบ แต่นึกไม่ออกสักที ถ้าปล่อยเชื้อเพลิงออกมาในทิศตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ไปเรื่อยๆ มันจะเหมือนการเคลื่อนที่เป็นวงกลมมั้ยครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 20, 2005, 07:04:00 PM
รู้สึกว่าทุกคนจะลืมกระทู้นี้ไปแล้ว ถึงผมจะไม่ลืมก็ยังทำไม่ได้ เหอๆๆๆ
ข้อ 3 (อ.ปิยพงษ์)
ผมอยากทำต่อให้จบ แต่นึกไม่ออกสักที ถ้าปล่อยเชื้อเพลิงออกมาในทิศตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ไปเรื่อยๆ มันจะเหมือนการเคลื่อนที่เป็นวงกลมมั้ยครับ

เริ่มจากสมการการเคลื่อนที่ของจรวดในรูปเวกเตอร์ก่อน แล้วสังเกตว่าแรงที่ทำต่อจรวดมีทิศตั้งฉากกับความเร็วของจรวดตลอดเวลา ดังนั้นอัตราเร็วของจรวดไม่เปลี่ยน แต่ทิศทางเปลี่ยนอย่างเดียว  ลองวาดรูปเวกเตอร์ความเร็วสองเวลาที่ห่างกันเล็กน้อยดูว่าทิศทางความเร็วเปลี่ยนไปเท่าใด แล้วใช้สมการการเคลื่อนที่หาทิศทางที่เปลี่ยนไปทั้งหมด


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 21, 2005, 08:10:24 PM
...
จะได้ \boxed{\displaystyle{\sum \vec F_{ext}=M\frac{d\vec v}{dt}-\frac{dM}{dt}\vec u}}
เมื่อ \vec u คือความเร็วของเชื้อเพลิงเทียบกับยาน
...
ต่อจากสมการนั้น เนื่องจาก \sum \vec F_{ext}=0
จะได้ว่า \displaystyle{M\frac{d\vec v}{dt}=\frac{dM}{dt}\vec u}}

     M d\vec v=\vec u dM

ผมยังงงๆ ???อยู่กับการใช้การเปลี่ยนแปลงทิศเวกเตอร์อยู่ครับ เดี๋ยวคิดออกจะมาลงต่อครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 27, 2005, 08:00:59 PM
ต่อครับ
จากสมการที่แล้ว ซึ่งได้ทิ้งร่องรอยไว้ว่า
M d\vec v=\vec u dM
แยกออกมาเป็นขนาดและทิศ จะได้ \vec v=v\hat v และ \vec u =u\hat u
โดยให้ \hat v,\hat u เป็นทิศที่จรวดเคลื่อนที่และขี้ไหลตามลำดับ
จะได้ Mv d\hat v=u\hat u dM
เนื่องจาก d\hat v=-\hat u d\theta
แทนกลับในสมการก่อนหน้านั้น
ได้ว่า Mv(-\hat u d\theta)=u\hat u dM
\displaystyle{d\theta=-\frac{u}{v}\frac{dM}{M}}
ทำ integrate จะได้
\displaystyle{\int_{0}^{\theta} d\theta=\int_{m_0}^m -\frac{u}{v}\frac{dM}{M}}
\displaystyle{\theta=\frac{u}{v}\ln({\frac{m_0}{m}})}
ซึ่งตามโจทย์แล้ว u=\mid \vec u \mid และ v=\mid \vec v_0 \mid
ดังนั้น \displaystyle{\theta=\frac{\mid \vec u \mid}{\mid \vec v_0 \mid}\ln({\frac{m_0}{m}})}   ตอบ

                                                                                                                                                                                           


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 27, 2005, 10:07:20 PM
ข้อ 1 (อ.สุจินต์)
ที่เดาๆเอารู้สึกจะเจอ 3 normal mode อะครับ ไม่มั่นใจ ขอทำ 2 อันแรกก่อนนะครับ (ได้ข่าวว่าอันที่ 3 ยากเกินไป ;D)
ก,ข (ทำพร้อมๆกันไปเลย)
1. กรณีที่แท่งไม้อยู่ในลักษณะเดิม(ขนานกับพื้นตลอด) แล้วสั่นขึ้นลงในระนาบ
จะได้สมการ m\ddot x=-mg-2kx
จากสมการนี้จะได้ว่า \displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}}
2. กรณีที่แท่งไม้บิดขึ้นบิดลงในระนาบ โดยบิดรอบจุด cm ของตัวมันเอง ซึ่งไม้บิดไปเป็นระยะทาง x เล็กๆ ทำให้ประมาณเป็นเส้นตรงได้
พิจารณาสมการทอร์กน่ารักๆ ;D \sum \tau=I\alpha
(-2kx)(\frac{L}{2})=\frac{1}{12}mL^2 \alpha
พิจารณาตรงส่วนปลายไม้ จะได้ \displaystyle{\alpha=\frac{\ddot x}{(\frac{L}{2})}}
จะได้ว่า (-2kx)(\frac{L^2}{4})=\frac{1}{12}mL^2 \ddot x
จัดให้อยู่ในรูปสมการ Simple Harmonic \ddot x=-\omega^2 x
จะได้ \displaystyle{\omega=\sqrt{\frac{6k}{m}}} ตอบ

 


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 28, 2005, 07:24:12 AM
...
เนื่องจาก d\hat v=-\hat u d\theta
...

ช่วยอธิบายหน่อยว่ามาจากไหน ถ้าวาดรูปประกอบด้วยก็จะดีมาก  :D


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 28, 2005, 04:05:49 PM
...
เนื่องจาก d\hat v=-\hat u d\theta
...

ช่วยอธิบายหน่อยว่ามาจากไหน ถ้าวาดรูปประกอบด้วยก็จะดีมาก :D
พิจารณาเวกเตอร์ 1 หน่วยซึ่งคอยบอกทิศการเคลื่อนที่ของจรวด จะพบว่าเมื่อมันเปลี่ยนไป d\hat v เล็กๆ
มันจะเปลี่ยนไปในทิศ -\hat u เพราะมันจะมีความเร่งในทิศที่ตรงข้ามกับขี้ที่ไหลออกไป
ขนาดที่เบนไปก็คือมุม d\theta เล็กๆ

ขออภัยครับ วาดรูปไม่ได้ เมาส์ไม่ค่อยดี >:A >:A >:A


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 28, 2005, 05:39:42 PM
... เพราะมันจะมีความเร่งในทิศที่ตรงข้ามกับขี้ที่ไหลออกไป
...

ทำไมเดี๋ยวนี้เล่นของสกปรก   :o


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 28, 2005, 05:52:12 PM
Thermodynamics (อ.อนันตสิน)
ก. ก่อนอื่น กำหนดตัวแปร ความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิ ของแก๊สทั้ง 2 ทั้งก่อนและหลังกระบวนการ
1. แก๊สไนโตรเจน เป็นดังนี้ P_1,V_1,T_1,{P_1}^\prime,{V_1}^\prime,{T_1}^\prime
2. แก๊สฮีเลียม เป็นดังนี้ P_2,V_2,T_2,{P_2}^\prime,{V_2}^\prime,{T_2}^\prime กำหนดไว้ก่อนจะใช้หมดหรือไม่เป็นอีกเรื่องหนึ่ง ;D

พิจารณาระบบแก๊สไนโตรเจน เนื่องจากมีฉนวนกั้นทุกด้าน ไม่มีความร้อนถ่ายเทเข้าออกจากระบบ
จึงเป็นกระบวนการ Adiabatic Process
ซึ่งมีสมการว่า PV^{\gamma}=constant
ดังนั้น P_1V^{\gamma}_1={P_1}^\prime {{V_1}^\prime}^{\gamma} ---- 1
ซึ่งในที่นี้ แก๊สไนโตรเจนเป็น Diatomic gas จึงมี \gamma=1.4

หันมาพิจารณาระบบแก๊สฮีเลียมบ้าง เนื่องจากมีตัวนำความร้อนอยู่ ทำให้อุณหภูมิคงที่เท่ากับภายนอกเสมอ
จึงเป็น Isothermal Process
จากสมการพื้นฐาน PV=nRT เมื่อ T_2=constant
ดังนั้น P_2 V_2={P_2}^\prime {V_2}^\prime ----- 2

จากเงื่อนไขปริมาตรรวมตอนหลังเท่ากับ 1 litre ให้ V={1}litre
ดังนั้น {V_1}^\prime+{V_2}^\prime=V ----- 3
อีกเงื่อนไขที่บอกว่ากดลูกสูบลงอย่างช้า
ดังนั้น {P_1}^\prime={P_2}^\prime ----- 4
จากโจทย์กำหนดค่าสถานะของแก๊สมาทำให้รู้ว่า P_1=P_2 และ V_1=V_2

เริ่ม โดยนำสมการที่ 1 หารด้วยสมการที่ 2
จะได้ \displaystyle{V^{\gamma-1}_1=\frac{{{V_1}^\prime}^{\gamma}}{{V_2}^\prime}}
จากสมการที่ 3 และ V_1={1}litre
จะได้ (litre)^{0.4} (V-{V_1}^\prime)={{V_1}^\prime}^{1.4}
ดูจากหน่วยจะเห็นว่ายังสอดคล้องกันอยู่ สมการถัดไปจะไม่คำหนึ่งถึงหน่วย แล้วหาเฉพาะค่าของตัวเลข
จะได้ว่า 1={{V_1}^\prime}^{1.4}+{V_1}^\prime
สมการนี้นอกจากวิธีแทนค่าแล้ว ผมไม่รู้จะแก้อย่างไร จึงหันมาให้ท่าน CASIO ช่วยแก้ให้
ได้ออกมาว่า {V_1}^\prime=0.558064854... litre และ {V_2}^\prime=0.441935145...litre  ตอบ 1

ข. เดี๋ยวจะใช้ผลจากข้อ ก. เล็กน้อย
ก่อนอื่นอีกครั้ง พิจารณาระบบแก๊สไนโตรเจนอีกครั้ง โดยใช้ First Law of Thermodynamics
ซึ่งกล่าวว่า \Delta Q=\Delta U+\Delta W
ซึ่งกระบวนการนี้ \Delta Q=0
\Delta U=\frac{5}{2}({P_1}^\prime {V_1}^\prime-P_1 V_1)
ถ้างานโดยแรง F เป็น W_F งานส่วนนี้ของแก๊สจะเป็น -W_F และให้งานที่แก๊สดันผนัง B เป็น W_B
จะได้ว่า -\Delta U=(-W_F)+W_B
W_F=\Delta U+W_B พักสมการนี้ไว้สักครู่

มาพิจารณาระบบแก๊สฮีเลียมอีกครั้ง
งานที่แก๊สนี้ทำใน Isothermal Process เท่ากับ
\displaystyle{-W_B=\int P dV=P_2 V_2 \int_{V_2}^{{V_2}^\prime}\frac{dV}{V}}
\displaystyle{W_B=P_2 V_2 \ln(\frac{V_2}{{V_2}^\prime})}
แทนค่าตัวแปรต่างๆ ได้
W_B=0.8166 \mbox{ atm-litre }

กลับไปหาค่า \Delta U
โดยหา \displaystyle{{P_1}^\prime=P_1(\frac{V_1}{{V_1}^\prime})^{1.4}}
{P_1}^\prime=2.2628 \mbox{ atm }
ตะกี้ \Delta U=\frac{5}{2}({P_1}^\prime {V_1}^\prime-P_1 V_1)
แทนค่าตัวแปรต่างๆ
\Delta U=0.6570 \mbox{ atm-litre}
นำกลับไปแทนในสมการที่พักผ่อนเมื่อกี้
จะได้ W_F=1.4736 \mbox{ atm-litre }=149.28 \mbox{J} ตอบ 2



Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on November 28, 2005, 06:21:50 PM
ข้อ 1 (อ.วุทธิพันธุ์) [ของแท้ต้องเป็นลายมือ ::)]
ก. จากความสมมาตรจะพบว่า องค์ประกอบของสนามไฟฟ้าในทิศที่ตั้งฉากกับแกน X จะหักล้างกันหมด จึงเหลือในทิศตามแกน X เท่านั้น
ดังนั้น \displaystyle{E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{2\pi \lambda R}{R^2+x^2}\cos\theta}
โดยที่ \displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}}
ได้ \displaystyle{E=\frac{1}{2\epsilon_0}\frac{\lambda R x}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}}   ตอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on December 02, 2005, 04:00:59 PM
ของ อ.อนันตสิน รู้สึกว่าผมจะทำยาวไป ใครมีวิธีที่สั้นกว่านี้ช่วยบอกด้วยครับ(Thermodynamics มีหลากวิธี)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: ccchhhaaammmppp on December 26, 2005, 05:56:32 PM
ของ อ.อนันตสิน รู้สึกว่าผมจะทำยาวไป ใครมีวิธีที่สั้นกว่านี้ช่วยบอกด้วยครับ(Thermodynamics มีหลากวิธี)

วิธียาวแต่เปี่ยมไปด้วยคุณภาพ ;D

แต่ขอแนะนำว่าพยายามอย่าใช้จุดข้างบนเพราะอาจสื่อความหมายผิดๆเป็นอนุพันธ์ได้...


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on January 01, 2006, 11:53:56 PM
ของ อ.อนันตสิน รู้สึกว่าผมจะทำยาวไป ใครมีวิธีที่สั้นกว่านี้ช่วยบอกด้วยครับ(Thermodynamics มีหลากวิธี)

วิธียาวแต่เปี่ยมไปด้วยคุณภาพ ;D

แต่ขอแนะนำว่าพยายามอย่าใช้จุดข้างบนเพราะอาจสื่อความหมายผิดๆเป็นอนุพันธ์ได้...
เมื่อก่อนผมใช้เครื่องหมาย x^\prime ไม่เป็นอะครับ เลยใช้ \dot x แทน ตอนนี้แก้ให้แล้วครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on March 19, 2006, 08:00:28 AM
กลับมาอ่านดูอีกที รู้สึกว่าผมจะทำ Thermodynamics ผิดไปนิดหน่อย ถ้าแน่ใจแล้วจะมาแก้ครับ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: MwitStu. on March 19, 2006, 09:15:20 AM
ยังไม่แน่ใจแต่ขอลองดูก่อนนะครับ ฝากตรวจทีครับ
Thermodynamics (อ.อนันตสิน)
.....
ถ้างานโดยแรง F เป็น W_F งานส่วนนี้ของแก๊สจะเป็น -W_F และให้งานที่แก๊สดันผนัง B เป็น W_B
จะได้ว่า -\Delta U=(-W_F)+W_B
W_F=\Delta U+W_B พักสมการนี้ไว้สักครู่

มาพิจารณาระบบแก๊สฮีเลียมอีกครั้ง
งานที่แก๊สนี้ทำใน Isothermal Process เท่ากับ
\displaystyle{-W_B=\int P dV=P_2 V_2 \int_{V_2}^{{V_2}^\prime}\frac{dV}{V}}
\displaystyle{W_B=P_2 V_2 \ln(\frac{V_2}{{V_2}^\prime})}
แทนค่าตัวแปรต่างๆ ได้
W_B=0.8166 \mbox{ atm-litre }

กลับไปหาค่า \Delta U
โดยหา \displaystyle{{P_1}^\prime=P_1(\frac{V_1}{{V_1}^\prime})^{1.4}}
{P_1}^\prime=2.2628 \mbox{ atm }
ตะกี้ \Delta U=\frac{5}{2}({P_1}^\prime {V_1}^\prime-P_1 V_1)
แทนค่าตัวแปรต่างๆ
\Delta U=0.6570 \mbox{ atm-litre}
นำกลับไปแทนในสมการที่พักผ่อนเมื่อกี้
จะได้ W_F=1.4736 \mbox{ atm-litre }=149.28 \mbox{J}  ตอบ 2
 
W_F ในของเก่านี้ ไม่ใช่งานโดยแรง F เพียงอย่างเดียว แต่เป็นงานโดยแรง F และความดันบรรยากาศภายนอกด้วย
ดังนั้น W_{F(real)}=W_F-W_{atm}
โดย W_{atm} นี่คืองานเนื่องจากความดันบรรยากาศ ที่ทำให้ปริมาตรของแก๊สลดลง 1 \mbox{ litre}
ด้วยความดัน 1 atm งานนี้จึงมีค่าเท่ากับ 101.3 \mbox{ J}
ดังนั้น W_{F(real)}=47.98 \mbox{ J}


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 10, 2007, 12:12:41 PM
ขอขุดกระทู้นี้ขึ้นมาอีกครั้ง  เพื่อที่จะเฉลยโจทย์ให้ครบ
ยังไม่แน่ใจแต่ขอลองดูก่อนนะครับ ฝากตรวจทีครับ
.............................
ดังนั้น W_{F(real)}=47.98 \; \text{J}

คิดว่าใช่ครับ   เพราะผมก็ได้คำตอบใกล้เคียงกัน  ผมได้งานจากแรง F ประมาณ\displaystyle 51 \; \text{J}  :2funny:


ขอขอบใจน้อง MwitStu ที่ได้เฉลยโจทย์ไปเยอะมากๆครับ  ;)
เพื่อความสะดวกในการโพสต์ข้อต่อๆไป  ผมขอสรุปข้อที่ MwitStu ได้ทำไปแล้วนะครับ

Part A
กลศาสตร์ (ดร.ปิยพงษ์)
1.http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4148.html#msg4148 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4148.html#msg4148)
2.http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4176.html#msg4176 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4176.html#msg4176)
3.http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4231.html#msg4231 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4231.html#msg4231)
Thermodynamics (ดร.อนันตสิน)
ก. และ ข. http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4921.html#msg4921 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4921.html#msg4921)

Part B
Mathematical Physics (อ.สุจินต์)
1.http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4893.html#msg4893 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4893.html#msg4893)
   สำหรับข้อนี้  MwitStu บอกว่าเหลืออีก 1 normal mode ที่ยังไม่ได้ทำ
2.http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4106.html#msg4106 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4106.html#msg4106)
ของแท้ต้องเป็นลายมือ
ข้อ 1
ก.http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4926.html#msg4926 (http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forums/index.php/topic,395.msg4926.html#msg4926)

ถ้าใครทำข้อที่เหลือเสร็จแล้ว  ก็โพสต์ได้เลยครับ  :gr8


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 10, 2007, 01:14:08 PM
Oscillations (ดร.วิจิตร)
1. ที่ภาวะสมดุล  สปริงยืดเป็นระยะ \displaystyle S_o =\frac{m_2 g}{k}
เมื่อตัดเชือก เขียนสมการนิวตัน ได้ว่า
\displaystyle m_1 g +k S = m_1 a_1------(1)
\displaystyle m_2 g -k S = m_2 a_2-------(2)

ความเร่งเริ่มต้น  หาได้จากการแทน \displaystyle S=S_o =\frac{m_2 g}{k}
ซึ่งจะได้ความเร่งเริ่มต้นเป็น \displaystyle a_1 = 3g,a_2=0 ตอบ

เนื่องจาก \displaystyle a_2 -a_1=\frac{d^2}{dt^2 }S---------(3)  เมื่อผสมสมการ (1),(2),(3)จะได้
\displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }S=-\frac{k m_1 m_2}{m_1 + m_2}S
อาศํยผลเฉลยของ S.H.M. และเงื่อนไข \displaystyle S_{t=0} =\frac{m_2 g}{k} (เราเริ่มจับเวลา  เมื่อเชือกขาด)
\displaystyle S=\frac{m_2 g}{k}cos\left(\sqrt{\frac{k m_1 m_2}{m_1+ m_2}}t  \right) = l - L
ลักษณะการเคลื่อนที่เทียบจุดศูนย์กลางมวล  เป็นการสั่นแบบ S.H.M. ตอบ
ซึ่งถ้าให้ r_1 , r_2เป็นระยะห่างจาก\displaystyle m_1 , m_2 ไปยัง cm ระบบ หละก็
\displaystyle r_1(t)=\frac{m_2 l}{m_1+m_2}=\frac{m_2 L}{m_1+m_2}+\frac{m_{2}^{2} g}{(m_1 +m_2)k}cos\left(\sqrt{\frac{k m_1 m_2}{m_1+ m_2}}t  \right)
\displaystyle r_2(t)=\frac{m_2 l}{m_1+m_2}=\frac{m_1 L}{m_1+m_2}+\frac{m_1 m_{2} g}{(m_1 +m_2)k}cos\left(\sqrt{\frac{k m_1 m_2}{m_1+ m_2}}t  \right)


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 10, 2007, 05:37:32 PM
Oscillations (ดร.วิจิตร)
2.ที่ภาวะสมดุล \displaystyle 2mg =\rho V g=\rho (\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi r^2) g
เมื่อรบกวนในแนวดิ่ง จะได้ว่า \displaystyle -(\rho \pi r^2 g)x=2m\ddot{x}
จาก 2 สมการข้างต้น ให้ผลว่า \displaystyle -(\frac{3g}{d})x=\ddot{x}จึงได้คาบ \displaystyle T_1=2\pi\sqrt{\frac{d}{3g}} ตอบ
เมื่อบิดไปเล็กน้อย สมการทอร์กรอบจุดศูนย์กลางทรงกลมคือ \displaystyle -(mgd)\theta = I_o \ddot{\theta }
ย้ายข้างได้ \displaystyle -(\frac{mgd}{I_o})\theta = \ddot{\theta } จึงได้คาบ \displaystyle T_2=2\pi\sqrt{\frac{I_o}{mgd}}
โดย \displaystyle I_o= Iศูนย์กลางทรงกลม +I ศูนย์กลางแท่ง \displaystyle +md^2
\displaystyle I_o=\frac{2}{3}m(d/2)^2 +\frac{1}{12}md^2+md^2=\frac{5}{4}md^2
ดังนั้น \displaystyle T_2=2\pi\sqrt{\frac{5d}{4g}}ตอบ
ถ้าไม่กระตุ้น  มันก็อยู่ในภาวะสมดุล ไม่มี damping ตอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 10, 2007, 11:01:22 PM
Mathematical Physics (อ.สุจินต์)
1. ก. normal mode อีกแบบทำได้โดยรบกวนปลายข้างหนึ่งจากตำแหน่งสมดุล  ส่วนอีกข้างอยู่ตำแหน่งเดิม ตอบ
ข. สมการทอร์กรอบปลายที่อยู่นิ่ง(ได้ถือว่า \displaystyle \sin \theta\approx \theta) คือ
 \displaystyle mg\frac{L}{2}-k(S_o + L \theta)L=\frac{1}{3}mL^2 \ddot{\theta}โดย \displaystyle S_o เป็นระยะหดตอนแรก
จัดรูปได้ \displaystyle \ddot{\theta}=-\left(\frac{3k}{m}\right)\theta + const. ดังนั้นความถี่ \displaystyle f=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{3k}{m}} ตอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 10, 2007, 11:58:02 PM
คลื่นและเสียง(ดร.ขวัญ)
(ก) ที่ตำแหน่งซึ่งห่าง A เป็นระยะ x เมตร  จะได้ \displaystyle P.D.=\left| 10-2x \right| เมตร
เกิดตำแหน่งบัพเมื่อ  \displaystyle P.D.=(m+\frac{1}{2})\frac{v}{f}= (m+\frac{1}{2})3 เมตร
จึงได้ \displaystyle \left| 10-2x \right|=(m+\frac{1}{2})3 ทำการถอด absolute กลายเป็น
\displaystyle x =5\pm \frac{3}{4}(2m+1) แล้วแทน m = 0 ,1 ,2
ตำแหน่งบัพอยู่ห่าง A ตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างแหล่งเป็นระยะ
\displaystyle x=1.25,2.75,4.25,5.75,7.25,8.75 เมตร ตอบ

(ข) plot โดยอาศัยว่า
- คำตอบของข้อ ก ให้ความเข้มเป็น 0
- ตำแหน่งกึ่งกลางระหว่างจุดบัพสองจุดติดกันเป็นจุดฏิบัพ ซึ่งเราคำนวณความเข้มได้ดังนี้
จาก \displaystyle I=kA^2=\frac{P}{4 \pi x^2} ย้ายข้างได้ \displaystyle A=\frac{1}{x}\sqrt{\frac{P}{4 \pi k}}
จึงได้ว่า \displaystyle A_{net}= A_1+ A_2=\frac{1}{\sqrt{4 \pi k}}\left(\frac{\sqrt{P_1}}{x}+ \frac{\sqrt{P_2}}{10-x} \right)
ดังนั้น \displaystyle I_{net}=k A_{net}^{2}= \frac{1}{4 \pi}\left(\frac{\sqrt{30}}{x}+ \frac{\sqrt{20}}{10-x}\right)^2\; \frac{W}{m^2}
แล้วก็ทำการกด casio เพื่อหาค่าเป็นตัวเลขออกมา
เมื่อ plot จุดต่างๆครบแล้ว  ก็ทำการลากเส้นกราฟ  ซึ่งควรจะได้ดังรูปข้างล่าง

(ค) จาก \displaystyle x =5- \frac{3}{4}(2m+1)
เมื่อแทน \displaystyle m=3 จะได้ \displaystyle x=-0.25 m ซึ่งเป็นตำแหน่งบัพที่อยู่ใกล้ A มากสุด
ดังนั้นตำแหน่งซึ่งใกล้ A ที่สุดที่ I เป็นศูนย์ตลอด  
อยู่ที่ตำแหน่ง \displaystyle -(0.25 m)\hat{i}เทียบกับ A เมื่อ  \displaystyle \hat{i} เป็น unit vector ชี้จาก A ไป  B ตอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 11, 2007, 12:49:04 AM
ของแท้ต้องเป็นลายมือ
ข้อ 1
ก. MwitStu ทำได้ \displaystyle E(x)=\left( \frac{\lambda R}{2 \epsilon _o} \right)\frac{x}{(x^2 +R^2)^{3/2}}
ข. ดูรูปข้างล่าง
ค. \displaystyle E_{max} เมื่อ \displaystyle \frac{d}{dx}E=0 ซึ่งจะได้ว่าโตสุดที่ \displaystyle x=\frac{R}{\sqrt{2}}=0.707Rตอบ
จุด INFLEXTION เกิดเมื่อ \displaystyle \frac{d^2}{d^2 x}E=0 จะได้  \displaystyle x={\sqrt{\frac{3}{2}}}R=1.22Rตอบ
ง.ควรวางให้จุด INFLEXTION ของทั้งสองวงซ้อนทับกัน  
เพื่อที่ E ค่ามากของวงหนึ่ง ไปเสริมกับ E ค่าน้อยของอีกวงได้พอเหมาะ
ดังนั้น \displaystyle AB={2\sqrt{\frac{3}{2}}}R=2.45Rตอบ
จ.จากรูปข้างล่าง ช่วงที่มีสนามคงที่ \displaystyle =AB-\frac{2R}{\sqrt{2}}=(\sqrt{6}-\sqrt{2})R=1.04Rตอบ
ฉ. แทน   \displaystyle x={\sqrt{\frac{3}{2}}}R=1.22R ในคำตอบข้อ ก แล้วคูณด้วย 2
เพราะสนามลัพภ์เกิดจากสนามของแต่ละวงมาซ้อนทับกัน จะได้ว่า \displaystyle E=\frac{2\sqrt{3}\lambda }{5\sqrt{5}\epsilon _o R}=0.52\frac{\lambda }{\epsilon _o R}ตอบ
ช. ระลึก \displaystyle C=\frac{Q}{V} ----(1) โดย \displaystyle Q=\lambda (2 \pi R) ส่วน V ก็คือพื้นที่ใต้กราฟรูปล่างสุด
ประมาณว่าเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู จึงได้ \displaystyle V=\frac{1}{2}(\frac{2\sqrt{3}\lambda }{5\sqrt{5}\epsilon _o R})(\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{6})R=\frac{(6\sqrt{2}-\sqrt{6})\lambda}{5\sqrt{5}\epsilon _o}
ทำการแทนค่าต่างๆใน (1) แล้วสะสาง จะได้ \displaystyle C=\frac{10 \sqrt{5}}{(6\sqrt{2}-\sqrt{6})\lambda} \pi R \epsilon _o=28.27 R \epsilon _oตอบ
ฌ. จาก \displaystyle Q=C\mathcal{E} โดย  \displaystyle Q=\lambda (2 \pi R) และ \displaystyle C คือคำตอบข้อ ช จะได้
 \displaystyle\lambda = \frac{5 \sqrt{5}}{6\sqrt{2}-\sqrt{6}} \mathcal{E}  \epsilon _o=4.5 \mathcal{E}  \epsilon _o ไม่ติดในรูป R ตอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: Peeravit on October 11, 2007, 01:07:07 PM
ของแท้ต้องเป็นลายมือ
ข้อ 2
(i) จากนิยาม \displaystyle \vec{B}=\frac{\mu _o i d\vec{l}\times \hat{r}}{4 \pi r^2}จะได้ \displaystyle dB=\frac{\mu _o i \cos\theta dl }{4 \pi r^2} เมื่อ \displaystyle \thetaเป็นมุมที่ \displaystyle \hat{r} ทำกับแกนราบ
ใช้ความรู้ทางตรีโกณ เขียนใหม่ได้เป็น \displaystyle dB=\frac{\mu _o i \cos\theta d\theta }{4 \pi h} อินทิเกรตได้ \displaystyle B_P=\frac{\mu _o i a }{4 \pi h\sqrt{(a/2)^2 +h^2}} ตอบ
(ii) จากความสมมาตร สนามแม่เหล็กลัพภ์มีทิศพุ่งตามแกนราบ ใช้ผลจากข้อ (i) หาสนาม B จากแต่ละเส้น  
ทำการแตกองค์ประกอบให้อยู่ในแนวราบ  แล้วบวกกัน  จะได้
\displaystyle B_{net}=\frac{\mu _o I ab}{4\pi \sqrt{x^2+(a/2)^2+(b/2)^2}}\left\{\frac{1}{x^2+(a/2)^2}+ {\frac{1}{x^2+(b/2)^2} \right\} ตอบ
(iii) ดูรูปข้างล่าง
(iv) ที่ limit ดังกล่าว เราสามารถตัดพจน์ \displaystyle (a/2)^2,(b/2)^2 ทิ้งไปได้ เพราะเป็นปริมาณที่น้อยเมื่อเทียบกับ \displaystyle x^2
ดังนั้น \displaystyle \displaystyle B\approx \frac{\mu _o I ab }{2 \pi x^3}} บ่งว่าสามารถเขียนเป็น \displaystyle B(x) \propto \frac{abI}{x^n}โดย \displaystyle n=3ตอบ
(v)จาก \displaystyle q=CV=(\frac{\epsilon _o A}{D})(ED) และ \displaystyle I=\frac{d}{dt}q รวมกันให้ผลว่า \displaystyle I=\epsilon _o A\frac{d}{dt}Eตอบ
(vi) อัตราที่แบตเตอรี่ทำงาน=อัตราสูญเสียพลังงานความร้อนใน R +อัตราเพิ่มพลังงานในสนามไฟฟ้า E ตอบ
ความสัมพันธ์เป็นสมการ  หาโดยใช้กฎ Kirhhoff, \displaystyle \mathcal{E} =IR+EDแล้วคูณ I ทั้งสองข้าง
\displaystyle \frac{d}{dt}W=I\mathcal{E} =I^2 R+IEDตอบ
(vii) ใน space ระหว่างแผ่นมีสนาม B ซึ่งหาได้โดยใช้สมการ Maxwell ตอบ
(vii) จากสมการของ Maxwell, \displaystyle \oint \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu _o (i_C +i_D)_{encl} (อ่านรายละเอียดได้ในบทที่ 29 ของYoung)
สำหรับ space ระหว่างแผ่น
\displaystyle \oint  \vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi r B,i_C=0,i_D=j_D(\pi r^2),j_D =\frac{I}{A}=\epsilon _o\frac{d}{dt}E(ผลจากข้อ (v) )
แทนค่าจัดรูป \displaystyle B(r)=\frac{\mu _o \epsilon_o r }{2}\frac{d}{dt}Eตอบ


Title: Re: ข้อสอบปลายค่ายหนึ่ง เพื่อคัดตัวเข้าค่ายสอง 2548-49
Post by: hillkoogame on October 29, 2014, 09:28:51 PM
Oscillations (ดร.วิจิตร)
1. ที่ภาวะสมดุล  สปริงยืดเป็นระยะ \displaystyle S_o =\frac{m_2 g}{k}
เมื่อตัดเชือก เขียนสมการนิวตัน ได้ว่า
\displaystyle m_1 g +k S = m_1 a_1------(1)
\displaystyle m_2 g -k S = m_2 a_2-------(2)

ความเร่งเริ่มต้น  หาได้จากการแทน \displaystyle S=S_o =\frac{m_2 g}{k}
ซึ่งจะได้ความเร่งเริ่มต้นเป็น \displaystyle a_1 = 3g,a_2=0 ตอบ

เนื่องจาก \displaystyle a_2 -a_1=\frac{d^2}{dt^2 }S---------(3)  เมื่อผสมสมการ (1),(2),(3)จะได้
\displaystyle \frac{d^2}{dt^2 }S=-\frac{k m_1 m_2}{m_1 + m_2}S
อาศํยผลเฉลยของ S.H.M. และเงื่อนไข \displaystyle S_{t=0} =\frac{m_2 g}{k} (เราเริ่มจับเวลา  เมื่อเชือกขาด)
\displaystyle S=\frac{m_2 g}{k}cos\left(\sqrt{\frac{k m_1 m_2}{m_1+ m_2}}t  \right) = l - L
ลักษณะการเคลื่อนที่เทียบจุดศูนย์กลางมวล  เป็นการสั่นแบบ S.H.M. ตอบ
ซึ่งถ้าให้ r_1 , r_2เป็นระยะห่างจาก \displaystyle m_1 , m_2 ไปยัง cm ระบบ หละก็
\displaystyle r_1(t)=\frac{m_2 l}{m_1+m_2}=\frac{m_2 L}{m_1+m_2}+\frac{m_{2}^{2} g}{(m_1 +m_2)k}cos\left(\sqrt{\frac{k m_1 m_2}{m_1+ m_2}}t  \right)
\displaystyle r_2(t)=\frac{m_2 l}{m_1+m_2}=\frac{m_1 L}{m_1+m_2}+\frac{m_1 m_{2} g}{(m_1 +m_2)k}cos\left(\sqrt{\frac{k m_1 m_2}{m_1+ m_2}}t  \right)

ดูจากหน่วยแล้วคำตอบน่าจะผิดหรือเปล่่าครับ :idiot2: :idiot2: