Print Page - จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง

Title: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: MwitStu. on October 31, 2005, 07:10:56 PM

ผมหาจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง แล้วได้ผลออกมาไม่เท่าคนอื่นอะครับ อยากทราบว่ามันผิดตรงไหน
วิธีที่ผมทำคือ แบ่งครึ่งกลมตันออกเป็น2ส่วน ได้แก่
1. ส่วนที่เป็นทรงกลมตันเล็กด้านใน รัศมี $R_1$
2. ส่วนที่เป็นเปลือกโค้ง รัศมีความโค้ภายใน $R_1$ ภายนอก $R_2$ หนา $R_2-R_1$
ทั้งสองส่วนนี้จะประกอบเป็น ทรงกลมตันรัศมี $R_2$
จาก $Mr_{cm}=m_1 r_1+ m_2 r_2 + m_3 r_3+...$
จุดศูนย์กลางมวลของทรงกลมตันใหญ่ เกิดจากการเฉลี่ยรวมกันของ ส่วนที่ 1 กับส่วนที่ 2
จากการจำได้ว่าจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมตันรัศมี $R$ มีค่าเท่ากับ $\frac{3}{8}R$
จะได้ $\rho \frac{2}{3}\pi {R_2}^3 (\frac{3}{8}R_2)=\rho \frac{2}{3}\pi {R_1}^3 (\frac{3}{8}R_1)+\rho \frac{2}{3}\pi({R_2}^3-{R_1}^3)(R_{cm})$
โดยที่ $R_{cm}$ คือตำแน่งจุดศูนย์กลางมวลของส่วนเปลือกโค้งเทียบกับจุดศูนย์กลางทรงกลม
เมื่อแก้สมการ
จะได้ $\displaystyle{R_{cm}=\frac{3}{8}\frac{{R_2}^4-{R_1}^4}{{R_2}^3-{R_1}^3}}$
เมื่อให้ลิมิต $R_2$ เข้าใกล้ $R_1$ ผลที่ได้เปลือกนี้จะกลายเป็นครึ่งกลมกลวงผิวสุดจะบาง แต่ยังมีความหนาที่ไม่เท่ากับ $0$
ได้ $R_1\approx R_2\equiv R$
จากสมการเมื่อกี้ จะได้ต่อว่า
$\displaystyle{R_{cm}=\frac{3}{8}\frac{({R_2}-{R_1})({R_2}^3+{R_2}^2{R_1}+{R_2}{R_1}^2+{R_1}^3)}{({R_2}-{R_1})({R_2}^2+{R_2 R_1}+{R_1}^2)}}$
$\displaystyle{R_{cm}=\frac{3}{8}\frac{{R_2}^3+{R_2}^2{R_1}+{R_2}{R_1}^2+{R_1}^3}{{R_2}^2+{R_2 R_1}+{R_1}^2}}$
$\displaystyle{R_{cm}=\frac{3}{8}\frac{4R^3}{3R^2}$
$\displaystyle{R_{cm}=\frac{1}{2}R$
แต่มันไม่ตรงกับคนที่ผมเชื่อว่าถูก ผมหาไม่เจอว่าผิดตรงไหน ช่วยชี้แนะด้วยครับ

ผมปวดหัวทรมานดั่งอกหัก อยู่กับครึ่งทรงกลมรักสุดหนักอึ้ง
ถามคนอื่นได้ไม่ตรงก็ตะลึง เจอทีนึงก็เกือบตายครายตอบที

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 31, 2005, 07:47:48 PM

Quote from: BDStu. on October 31, 2005, 07:10:56 PM

ผมหาจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง แล้วได้ผลออกมาไม่เท่าคนอื่นอะครับ อยากทราบว่ามันผิดตรงไหน
...
แต่มันไม่ตรงกับคนที่ผมเชื่อว่าถูก ผมหาไม่เจอว่าผิดตรงไหน ช่วยชี้แนะด้วยครับ
...
ผมปวดหัวทรมานดั่งอกหัก อยู่กับครึ่งทรงกลมรักสุดหนักอึ้ง
ถามคนอื่นได้ไม่ตรงก็ตะลึง เจอทีหนึ่งก็เกือบตายครายตอบที

ผิดตรงที่ไปเชื่อคนอื่น :o
ที่ทำมาถูกแล้ว ;D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ampan on October 31, 2005, 08:06:08 PM

ผมเลยหัวเสียไปด้วย กำลังคิดว่า ผมอินทิเกรต ผิดขนาดนี้เชี่ยว เศร้า นึกว่า ความสามารถที่น้อยนิดจะ ดับสูญ :'(

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 01, 2005, 06:58:40 PM

Quote from: BDStu. on October 31, 2005, 07:10:56 PM

...ผมปวดหัวทรมานดั่งอกหัก อยู่กับครึ่งทรงกลมรักสุดหนักอึ้ง
ถามคนอื่นได้ไม่ตรงก็ตะลึง เจอทีนึงก็เกือบตายครายตอบที

เจ้าของคำถามไม่สนใจเลยหรือ หริือว่าดีใจหายปวดหัวจนลืม ... :(

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ampan on November 01, 2005, 07:32:06 PM

เหอๆ สงสัยจะดีใจไปมากมาย ครับ ยกเว้น คนที่ ประมาณอะไรบางอย่างผิดไปหน่อย ;D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: MwitStu. on November 01, 2005, 07:39:13 PM

ไม่ได้ลืมครับ ขอบคุณอาจารย์มากครับ

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: Peace on November 01, 2005, 08:51:46 PM

พี่ ampan เค้าหมายถึงผมคับ น้อง BDStu.
ผมพอจะรู้แล้วครับ ว่าผมผิดตรงการประมาณ >:A >:A

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 01, 2005, 09:46:00 PM

ทำผิด ไปดูที่อาจารย์ปิยพงษฺเฉลย

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 02, 2005, 07:58:15 AM

Quote from: G on November 01, 2005, 09:46:00 PM

ผมลองคิดดูแบบที่ใข้ Spherecal coordianate อะครับ แต่ผมสงสัยอะไรนิดหน่อย

คิดพื้นที่เล็กๆ ในวงกลมเป็น
$dA=r^2 sin\theta d\theta d\phi$
โดยที่ $\theta$ เป็นมุมในแนวดิ่ง แล้วก็ $\phi$ เป็นมุมที่กวาดไปในแนวระดับ
มวลส่วนเล็กๆนั้นสามาถหาได้เป็น
$dm=\pho r^2 sin\theta d\theta d\phi$
โดยที่ $\rho=\displaystyle{\frac{m}{4\pi r^2}}$

$x_{cm}= \displaystyle{\frac{1}{m}}\int{r}dm$
$x_{cm}=\displaystyle{\frac{1}{m}}\int\int\pho r^3 sin\theta d\theta d\phi$
จากนั้นใส่ลิมิตว่า $\theta$ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง $\pi$
แล้วก็ใส่ลิมิตตั้งแต่ $\phi$ ตั้งแต่ 0 ถึง $2\pi$

เราจะได้ว่า
$x_{cm}=\displaystyle{\frac{r}{2}}$

ทำผิด แต่มั่วคำตอบจนถูก :o

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: FogRit on November 02, 2005, 08:38:22 AM

Quote from: G

จากนั้นใส่ลิมิตว่า $\theta$ มีค่าตั้งแต่ $0$ ถึง $\pi$

$\theta$ ใส่ลิมิตตามจริงหรือเปล่าครับ ?

หรือว่าผมสับสนอะไรอยู่ ;D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ampan on November 02, 2005, 10:48:32 AM

Quote from: G on November 01, 2005, 09:46:00 PM

โดยที่ $\rho=\displaystyle{\frac{m}{4\pi r^2}}$

อันอื่นไม่ได้อ่าน แต่ที่อ่านเห็นคืออันนี้ ได้ข่าวว่ามันคือครึ่งทรงกลม :o ผมมองอาไรผิดไปเปล่านี่ :D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: phys_pucca on November 02, 2005, 01:48:38 PM

ตัวนี้อะ มัน $\rho$ ใช้ \rho นะครับไม่ใช่ \pho ผมแก้ให้แล้ว
ว่าแต่ช่วงนี้ G เป็นอะไรรึเปล่าดูแปลกๆนะ ???

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 02, 2005, 07:51:13 PM

อาจจะเบลอๆเพราะเปิดเทอมใหม่ ไม่งั้นก็ดูหนัง...มากเกินไป :-\

ป.ล.กำลังแก้อยู่

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: FogRit on November 06, 2005, 06:41:43 PM

G น่าจะแก้เสร็จได้แล้วนา ;D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 07, 2005, 07:16:28 PM

แก้แล้วนี่ครับ หรือว่ายังผิดอยู่ ถ้ายังผิดอยู่คงต้องไปดูวิธีเคนแล้วแหละครับ
ป.ล.วันนี้ผมปวดหัวมากๆเลย

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: FogRit on November 08, 2005, 05:00:57 PM

Quote from: G on November 01, 2005, 09:46:00 PM

ผมลองคิดดูแบบที่ใข้ Spherecal coordianate อะครับ แต่ผมสงสัยอะไรนิดหน่อย

คิดพื้นที่เล็กๆ ในวงกลมเป็น
$dA=r^2 sin\theta d\theta d\phi$
โดยที่ $\theta$ เป็นมุมในแนวดิ่ง แล้วก็ $\phi$ เป็นมุมที่กวาดไปในแนวระดับ
มวลส่วนเล็กๆนั้นสามาถหาได้เป็น
$dm=\rho r^2 sin\theta d\theta d\phi$
โดยที่ $\rho=\displaystyle{\frac{m}{2\pi r^2}}$

$x_{cm}= \displaystyle{\frac{1}{m}}\int{r}dm$
$x_{cm}=\displaystyle{\frac{1}{m}}\int\int\rho r^3 sin\theta d\theta d\phi$

Code:

จากนั้นใส่ลิมิตว่า $\theta$ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง $2\pi$
แล้วก็ใส่ลิมิตตั้งแต่ $\phi$ ตั้งแต่ 0 ถึง $\pi$

เราจะได้ว่า
$x_{cm}=\displaystyle{\frac{r}{2}}$

หวังว่าวันนี้คงหายปวดหัวแล้วนะครับ

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ampan on November 08, 2005, 06:09:25 PM

ถ้าปวดมาก ก็ยังไม่ต้องก็ได้ เพราะเดี๋ยวพี่ จัดให้ :D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 08, 2005, 07:59:46 PM

ทำผิด ไปดูที่อาจารย์ปิยพงษ์เฉลย

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: FogRit on November 08, 2005, 08:55:13 PM

http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinates

Quote from: wikipidia.org

n the spherical coordinate system, a point P is represented by a tuple of three components (ρ,φ,θ). Using terms of the Cartesian coordinate system,

* $0\leq\rho$ (radius) is the distance between the point P and the origin,
* $0\leq\phi\leq 180^\circ$ (zenith, colatitude or polar angle) is the angle between the z-axis and the line from the origin to the point P, and
* $0\leq\theta<360^\circ$ (azimuth or longitude) is the angle between the positive x-axis and the line from the origin to the point P projected onto the xy-plane.

ในข้อนี้ถ้าเป็นการอินทิเกรต "ครึ่งลูก" ต้องใช้ $\phi \ \longrightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$

เก่งมากที่พยาายามอ่านด้วยตัวเองครับ

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ampan on November 10, 2005, 04:42:37 PM

เห็นมีคนทำแบบใช้ polar corrodinate แล้ว เราลองใช้ xy มั้งดีไหมครับ
อ่อมีหลายอย่างที่อยากอธิบาย คือ ที่น้อง G ทำนะแนวทาง ถูกแล้วแต่เราอาจลดขั้นตอนลง โดยคิดเป็น ส่วนของวงแหวนเล็กๆไปเลย เพื่อไม่ต้องอินทิเกรตสองครั้ง ซึ่งอยากให้ทำ แล้วมีใครจะพลาดเหมือนผมไหม ;D คือ ...ไม่รู้สิ แบบไร้สาระ แต่เผอิญ จำได้ว่า มันเป็นไปไม่ได้เลย นั่งคิด อืม อืม อ่อ เราโง่จัง :o
;)

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 10, 2005, 06:12:53 PM

Quote from: G on November 08, 2005, 07:59:46 PM

...
เหตุผลทีบอกว่า $\theta$ มีค่าตั้งแต่ $0-2\pi$ เนื่องจากกำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมในระนาบxy ส่วน $\phi$ เป็นมุมที่เงิยขึ้นมา
...

ย้อนกลับไปดูให้ดี ๆ ว่าตัวเองกำหนดมุมไหนเป็นมุมไหน $\sin \theta$ โผล่มาเพราะกำหนดให้ $\theta$ เป็นมุมที่วัดลงมาจากแกน $z$ ไม่ใช่หรือ ???

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 11, 2005, 09:25:50 PM

ซวยแล้วครับ ใช่จริงๆด้วยครับอาจารย์แล้วมันก้จะกลายเป็นว่า cm อยู่ที่ r ซึ่งมันก็เป้นไปไม่ได้

หรือว่าผมกำหนดเงื่อนไขมุมผิดอะครับ
เพราะหนังสือที่ผมอ่านมันก็บอกแบบที่อาจารย์บอกแหละครับ

ผมลองวาดรูปในหนังสือที่ผมอ่านมาแล้วอะครับ หรือว่าผมเข้าใจอะไรผิด

* $\theta$ นิยามว่าเป็น polar angle
* $\phi$ นิยามว่าเป็น azimuthal angle

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 11, 2005, 09:36:40 PM

Quote from: Foggy_Ritchy on November 08, 2005, 08:55:13 PM

....

ในข้อนี้ถ้าเป็นการอินทิเกรต "ครึ่งลูก" ต้องใช้ $\phi \ \longrightarrow \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$

เก่งมากที่พยาายามอ่านด้วยตัวเองครับ

เข้าใจแล้วอะครับ แต่ว่าทำไมถึงเป็น $\frac{\pi}{2}$ อะครับ

แล้วก็ในหนังสือมันหาพื้นที่มาโดยใส่ลิมิต มุมเชิงอะซิมุทเป็น 0 ถึง $\pi$ อะครับ ทำไมอะครับ งงมากมาย

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on November 12, 2005, 09:28:40 AM

ดูรูปข้างล่างสำหรับข้อตกลงว่ามุมไหนเป็นมุมไหน

โปรดตระหนักว่ามีข้อตกลงการใช้สัญลักษณ์สำหรับพิกัดทรงกลมที่ไม่เหมือนกันในหนังสือตำราทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์ ดังนั้นเวลาใช้พิกัดเหล่านี้ควรระมัดระวังในการกำหนดนิยามให้แน่นอน (เขียนรูปดีที่สุด) และให้ระวังว่าสิ่งที่คนอื่นใช้อาจไม่ใช่สิ่งที่เราใช้

(http://mpec.sc.mahidol.ac.th/forumimages/spherical_coordinates.gif)

รูปนี้ให้ปริมาตรเล็ก ๆ มาว่ามีค่าเท่าใด ถ้าเราต้องการแค่พื้นที่ผิวเล็ก ๆ ก็หารด้วยความหนา $dr$ ทิ้ง
ดังนั้นพื้นที่เล็ก ๆ ที่เราต้องการคือ $dA = r d \theta \times r \sin \theta d \phi = r^2 \sin \theta d \theta d \phi$

ถ้าเรากวาดพื้นที่เล็ก ๆ นี้ไปรอบแกน $z$ ครบหนึ่งรอบโดยให้มุม $\phi$ มีค่า $0 \rightarrow 2\pi$ เราจะได้พื้นที่ของแถบวงแหวน

ถ้าเราต้องการพื้นที่ครึ่งทรงกลม เราต้องบวกพื้นที่แถบวงแหวนเล็ก ๆ นี้ตั้งแต่แถบบนสุดที่ $\theta = 0$ ลงมาจนถึงที่ตรงกลางของทรงกลม (ครึ่งทรงกลม) ที่ $\theta = \pi /2$

ถ้าเราเอาลิมิตจากการหาพื้นที่ผิวครึ่งทรงกลมข้างบนไปประยุกต์ใช้กับการหาพิกัด $z_{\mbox{cm}}$ ของตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลม เราจะทำดังนี้

$z_{\mbox{cm}}= \displaystyle{\frac{1}{M}}\int z dm$

โดยที่ $dm=\sigma dA$
$dA = r^2 \sin \theta d \theta d \phi$ และ $\sigma = M/(2\pi r^2)$ คือความหนาแน่นมวลต่อพื้นที่

เมื่อแทนค่า $z = r \cos \theta$ เราจะได้ว่า

$z_{\mbox{cm}}= \displaystyle{\frac{1}{M}}\int_{\phi = 0}^{2\pi} \int_{\theta = 0}^{\pi/2} {r \cos \theta } \sigma r^2 \sin \theta d \theta d \phi = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}}\int_{\phi = 0}^{2\pi} d \phi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} {\cos \theta }\sin \theta d \theta$

เมื่อหาปริพันธ์ เราจะได้ว่า $z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \int_{\theta = 0}^{\pi/2} \sin \theta d(\sin \theta) = \displaystyle{\frac{\sigma r^3 }{M}} 2\pi \times \frac{1}{2}[\sin^2(\pi/2) - \sin^2 (0)] = \displaystyle{\frac{\sigma 2\pi r^2 }{M}} \frac{r}{2}$

ดังนั้น $z_{\mbox{cm}} = \displaystyle{\frac{r}{2}}$

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว :o :o :o

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: NiG on November 12, 2005, 04:29:03 PM

ขอบคุณอาจารย์มากครับ ;D ;D

Quote from: ปิยพงษ์ on November 12, 2005, 09:28:40 AM

น้อง G กลับไปหาดูว่าน้องมั่วที่ไหนบ้าง มันผิดตั้งแต่นิยามพื้นฐานของพิกัดตำแหน่งจุดศูนย์กลางมวลแล้ว :o :o :o

ผมยอมเป็นน้องอาจารย์ก็ได้ครับ ก้ออาจารย์ยังไม่แก่ใช่มั้ยครับ ;D

Title: Re: จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง
Post by: ampan on November 12, 2005, 06:39:25 PM

หุหุ อ.ลงทุนทำให้เลยนะนี่ หึหึ ผมเลยมาทำ แบบ ใช้ แกน xy ใช้ ดูเลย ดีกว่า เผื่อผิดอ.จะได้แก้ให้บ้าง ;D
แต่ผมจะ ลดการอินทิเกรตไปครั้งหนึ่ง คือ คิดว่ามันเป็นวงแหวนบาง ตามรูป เราจะ เขียนได้ว่า วงแหวนนั้น $dm = \rho dA = \rho 2\pi xdl$ $dl = \sqrt{1+y^\prime^2}dx$
$y_{cm} = \frac{\int ydm}{M}$ แต่ แค่นี้ เราคงต้องตาทะลุทะลักออกมา ทำต่อไม่ได้ จึงขอใส่ สิ่งที่เรามองผ่านไป คือ $x^2+y^2 = r^2$ จากนั้น เราก็ หุหุ แทนค่า ใส่ไป เลยเรื่อยๆ จบ ครับ

หมายเหตุ ทำทิ้งไว้แค่นี้ เพราะ ว่า ขี้เกียจ :P แล้วทำไม ต้องใช้ $dl$ ทำไมไม่ใช้ แค่ $dx$ นะ ผมว่าลองทำดู จะได้เห็นกับมือตัวเอง เพราะ มีคนพลาดมาแล้ว บางครั้ง การประมาณที่ไม่มี อาจนำมาซึ่งความ ....

mPEC Forum

ถามโจทย์ปัญหา => ถามโจทย์ปัญหากลศาสตร์ => Topic started by: MwitStu. on October 31, 2005, 07:10:56 PM