Print Page - ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...

Title: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on September 30, 2009, 02:45:05 PM

ตอนดึกจะมาดูนะคับ

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: nklohit on September 30, 2009, 07:45:38 PM

จุดศูนย์กลางที่ว่านี่มันอะไรครับ จุดศูนย์กลางมวลรึเปล่า :idiot2: ระบุให้แน่นอนด้วยครับ

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: กฤษดา on September 30, 2009, 08:16:46 PM

ให้ ครึ่งของมุมที่ยอดกรวย คือ $\theta$ กรวยสูง h รัศมี R
เนื่องจากเป็นกรวยกลวง จะพิจารณามวลส่วนเล็กๆ เป็นวงแหวนเล็กๆ รัศมี r มีมวล dm
ให้ มวลกระจายสม่ำเสมอในพื้นที่ผิวกรวย จะได้ $\sigma =\dfrac{M}{A}=\dfrac{dm}{dA}$
เนื่องจากความสมมาตรของรูปทำให้ $x_{cm}=0$ ก็คือ อยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดพอดี

จาก $y_{cm}=\dfrac{\int ydm}{M}$
$\tan \theta =\dfrac{R}{h}=\dfrac{r}{y}$ จะได้ $y=r\dfrac{h}{R}$
$Y=h-y=h(1-\dfrac{r}{R})$
$dY=-\dfrac{h}{R}dr$

คิดพื้นที่ผิวเล็กๆ $dA=2\pi rdY=-\dfrac{2\pi hrdr}{R}$
$dm=\sigma dA$
$y_{cm}=\dfrac{\int Y\sigma dA}{M}$
$= \int_{R}^{0}\dfrac{-\sigma h(1-\dfrac{r}{R})(\dfrac{2\pi hrdr}{R})}{M}$
$=-\dfrac{\sigma }{M}[\dfrac{2\pi h^2}{R}][\int_{R}^{0}rdr-\dfrac{1}{R}\int_{R}^{0}r^2dr]$
$=\dfrac{\sigma }{M}(\dfrac{R\pi h^2}{3})$

$M=\sigma A$
A คือ พื้นที่ผิวกรวยภายนอกทั้งหมด เท่ากับ $\pi Rl$
l คือสูงเอียง $l=\sqrt{R^2+h^2}$
จะได้ $M=\sigma \pi R\sqrt{R^2+h^2}$ แทนค่า
จากข้างบน $y_{cm}=\dfrac{\sigma(\pi h^2)(\dfrac{R}{3})}{\sigma \pi R\sqrt{R^2+h^2}}$
$=\dfrac{1}{3}[\dfrac{h^2}{\sqrt{R^2+h^2}}]$

$y_{cm}=\dfrac{h}{3}[\dfrac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}]$
$y_{cm}=\dfrac{h}{3}\cos \theta$
$x_{cm}=0$

ผมพิสูจน์จุดศูนย์กลางมวลครับ check ให้ด้วยครับ :)

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on September 30, 2009, 10:12:28 PM

จุดศูนย์กลางมวลไม่ได้ตอบ 3h/5หรอคับในหนังสือเขาเฉลยไว้
เเต่มันไม่มีวิธีทำ ^-^

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 30, 2009, 10:36:18 PM

Quote from: กฤษดา on September 30, 2009, 08:16:46 PM

...

คิดพื้นที่ผิวเล็กๆ $dA=2\pi rdY=-\dfrac{2\pi hrdr}{R}$

...

ผิดที่นี่ ;D

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on October 01, 2009, 08:11:55 AM

อาจารย์ช่วยเเก้ไห้ด้วยค้าบ
:gr :tickedoff

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: กฤษดา on October 01, 2009, 06:05:11 PM

Quote from: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 30, 2009, 10:36:18 PM

Quote from: กฤษดา on September 30, 2009, 08:16:46 PM

...

คิดพื้นที่ผิวเล็กๆ $dA=2\pi rdY=-\dfrac{2\pi hrdr}{R}$

...

ผิดที่นี่ ;D

$dA=2\pi r\dfrac{dY}{\cos \theta }=-\dfrac{2\pi hrdr}{R\cos \theta }$ อินทิเกรตแล้วได้ $A=\pi R\sqrt{R^2+h^2}$
ถูกหรือปล่าวครับ :idiot2: ถ้าคิดต่อจะได้ $\dfrac{h}{3}$ แต่ไม่ตรงเฉลยของคุณ peem ครับ

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on October 02, 2009, 09:55:08 PM

คือผมอยากรู้ว่าควรเเบ่งdAยังไงคับ

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 04, 2009, 11:53:35 AM

Quote from: peem on October 02, 2009, 09:55:08 PM

คือผมอยากรู้ว่าควรเเบ่งdAยังไงคับ

ก็แบ่งตามที่แสดงในรูป เพียงแต่ว่าเขาคำนวณพื้นที่ผิด แต่ก็มีคนมาแก้ให้แล้วนิ อิอิ :coolsmiley:

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on June 19, 2010, 09:10:04 PM

คือในtextเขาเฉลยว่าจุดศก.มวลคือ3h/5เเต่ผมคิดยังไงก็ไม่ตรงรบกวนชี้เเนะด้วยครับ >:A

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: NiG on June 21, 2010, 02:17:54 PM

เปิดคอมมาเจอตอนเช้าพอดี ^ ^
ลองทำยังงี้ดูนะครับ

จากสมมาตรของทรงกระบอก ที่ฐานวางขนานกับ x-y plane แล้วยอดขี้ไปทางแกน z
ใช้ พิกัดเชิงขั้วแบบทรงกระบอก แล้วบอกว่า กรวยทำตัวตามสมการ $z=Kr$ โดยที่ K เป็นค่าคงที่
จากความสมมตร ของทรงกรวย $r_{CM}=0$ ครับ
แล้วหาจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกน $z$ จะได้ว่า
$z_{cm}=\dfrac{\int zdm}{\int dm}=\dfrac{\int zdV}{\int dV}$
จากสมมติว่ากรวยมีความหนาแน่นเท่ากันหมดนครับ โดยที่ $\dV$ เป็นปริมาตรเล็กๆ ของจากที่หนา dz แล้ววางตัวขนานกับ x-y plane ซึ่งเท่ากับ $dV=\pi r^2dz$
เราจะได้
$z_{cm}=\dfrac{\int z^3dz}{\int z^2dz}=3/4 h$ ถ้าให้ h เป็นความสูงของกรวย
ซึ่งก็เท่ากับว่า จุดศุนย์กลางมวลอยุ่ห่างจากยอดของกรวยเท่ากับ 3/4 ของความสูง หรือ 1/4 ของความสูงนับจากฐานของกรวยครับ

มีอ้างอิงคำตอบจากเว็บนอกที่ได้เท่ากันครับ ลองอ่านดู ถ้าไม่ใช่กรวยประหลาดอะไร ไม่มีทางได้ออกมาเป็น 3/5 แน่ๆครับ
http://www.targetiit.com/iit-jee-forum/posts/center-of-mass-11082.html
จาก wikipedia :"The center of mass of a conic solid of uniform density lies one-quarter of the way from the center of mass of the base to the vertex, on the straight line joining the two."

สำหรับรูปทรงที่ไม่สมมาตรในทุกๆด้าน โจทย์ต้นฉบับควรจะบอกว่าให้หาระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลจากไหนนะครับ
ผมยังไม่ฟันธงว่าใน text ที่ peem อ่านมาผิด ถ้าจะให้ดีถามอะไรแบบนี้ ควรจะอ้างอิงที่มาของคำถามแล้วก็ขอโจทย์เต็มๆด้วยนะครับ ^ ^

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 21, 2010, 05:15:58 PM

Nig โจทย์เขาถามจุดศูนย์กลางมวลของกรวยกลวงนะ :coolsmiley:

คำตอบคืออยู่ที่หนึ่งในสามของความสูงของกรวย (วัดจากฐานขึ้นไป)

Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: NiG on June 23, 2010, 12:07:26 AM

เวรกรรม :buck2:
ขอโทษทีครับอ่านโจทย์ไม่ดีเอง ของั้นลองทำต่อจากของเดิมอีกทีนะครับ (เหมือน กฤษดา จะทำอีกวิธีไปแล้ว)

จากผลเดิมของกรวยตัน ถ้าให้กรวยตันสองอัน อันแรกสูง $h_1$ อีกอันหนึ่งสูง $h_2$ ในแนวแกน z เราจะเขียนสมการของจุดศูนย์กลางมวลทั้งสองอันได้เป็น
$\rho V_2 (1/4 h_2)=\rho (V_2 - V_1)H+ \rho V_1 (1/4 h_1)$
โดยที่เทอมตรงกลางเป็น มวลของทรงกรวยกลวง และตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล ของทรงกรวยกลวงวัดจากฐาน
จากที่เรารู้ว่า
$V=1/3 \pi r^2 h=1/3 X\pi h^3$ โดยที่ K เป็นค่าคงที่ $r=Xz$
ดังนั้น
$\dfrac{1}{4}({h_2}^4-{h_1}^4)= {h_2}^3-{h_1}^3 H$
ถ้าหากให้ $h_2=h_1 +\delta h$ โดยที่ $\delta h \approx 0$ ดังนั้น $h_1\approx h_2\approx h$ เราจะได้ว่า
$H=\dfrac{1}{4}\dfrac{4h_1^3\delta h}{3h_1^2\delta h}=h/3$

ผมเพิ่งนึกขึ้นมาได้ว่า โจทย์อาจจะหมายถึงทรงกรวยกลวงที่มีฐานด้วยรึเปล่า แต่ถ้าเกิดมีมวลอยุ่ที่ฐานด้วย ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล จะอยุ่ต่ำกว่า h/3 ซึ่งไม่ใช่ 3/5 ครับ

mPEC Forum