mPEC Forum

ฟิสิกส์โอลิมปิก วิทยาศาสตร์โอลิมปิก ข้อสอบแข่งขัน ข้อสอบชิงทุน => ฟิสิกส์สอวน ฟิสิกส์ สอวน => Topic started by: peem on September 30, 2009, 02:45:05 PM



Title: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on September 30, 2009, 02:45:05 PM
ตอนดึกจะมาดูนะคับ


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: nklohit on September 30, 2009, 07:45:38 PM
จุดศูนย์กลางที่ว่านี่มันอะไรครับ จุดศูนย์กลางมวลรึเปล่า  :idiot2: ระบุให้แน่นอนด้วยครับ


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: กฤษดา on September 30, 2009, 08:16:46 PM
ให้ ครึ่งของมุมที่ยอดกรวย คือ \theta กรวยสูง h รัศมี R
เนื่องจากเป็นกรวยกลวง จะพิจารณามวลส่วนเล็กๆ เป็นวงแหวนเล็กๆ รัศมี r มีมวล dm
ให้ มวลกระจายสม่ำเสมอในพื้นที่ผิวกรวย จะได้ \sigma =\dfrac{M}{A}=\dfrac{dm}{dA}
เนื่องจากความสมมาตรของรูปทำให้ x_{cm}=0 ก็คือ อยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดพอดี

จาก y_{cm}=\dfrac{\int ydm}{M}
\tan \theta =\dfrac{R}{h}=\dfrac{r}{y} จะได้ y=r\dfrac{h}{R}
Y=h-y=h(1-\dfrac{r}{R})
dY=-\dfrac{h}{R}dr

คิดพื้นที่ผิวเล็กๆ dA=2\pi rdY=-\dfrac{2\pi hrdr}{R}
dm=\sigma dA  
y_{cm}=\dfrac{\int Y\sigma dA}{M}
= \int_{R}^{0}\dfrac{-\sigma h(1-\dfrac{r}{R})(\dfrac{2\pi hrdr}{R})}{M}
=-\dfrac{\sigma }{M}[\dfrac{2\pi h^2}{R}][\int_{R}^{0}rdr-\dfrac{1}{R}\int_{R}^{0}r^2dr]
=\dfrac{\sigma }{M}(\dfrac{R\pi h^2}{3})

M=\sigma A
A คือ พื้นที่ผิวกรวยภายนอกทั้งหมด เท่ากับ \pi Rl
 l คือสูงเอียง  l=\sqrt{R^2+h^2}
จะได้ M=\sigma \pi R\sqrt{R^2+h^2} แทนค่า
จากข้างบน y_{cm}=\dfrac{\sigma(\pi h^2)(\dfrac{R}{3})}{\sigma \pi R\sqrt{R^2+h^2}}
=\dfrac{1}{3}[\dfrac{h^2}{\sqrt{R^2+h^2}}]

y_{cm}=\dfrac{h}{3}[\dfrac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}]
y_{cm}=\dfrac{h}{3}\cos \theta
x_{cm}=0

ผมพิสูจน์จุดศูนย์กลางมวลครับ check ให้ด้วยครับ :)


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on September 30, 2009, 10:12:28 PM
จุดศูนย์กลางมวลไม่ได้ตอบ 3h/5หรอคับในหนังสือเขาเฉลยไว้
เเต่มันไม่มีวิธีทำ ^-^


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on September 30, 2009, 10:36:18 PM
...

คิดพื้นที่ผิวเล็กๆ dA=2\pi rdY=-\dfrac{2\pi hrdr}{R}

...

ผิดที่นี่  ;D


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on October 01, 2009, 08:11:55 AM
อาจารย์ช่วยเเก้ไห้ด้วยค้าบ
 :gr :tickedoff


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: กฤษดา on October 01, 2009, 06:05:11 PM
...

คิดพื้นที่ผิวเล็กๆ dA=2\pi rdY=-\dfrac{2\pi hrdr}{R}

...

ผิดที่นี่  ;D

 dA=2\pi r\dfrac{dY}{\cos \theta }=-\dfrac{2\pi hrdr}{R\cos \theta }  อินทิเกรตแล้วได้ A=\pi R\sqrt{R^2+h^2}
ถูกหรือปล่าวครับ  :idiot2: ถ้าคิดต่อจะได้ \dfrac{h}{3} แต่ไม่ตรงเฉลยของคุณ peem ครับ


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on October 02, 2009, 09:55:08 PM
คือผมอยากรู้ว่าควรเเบ่งdAยังไงคับ


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on October 04, 2009, 11:53:35 AM
คือผมอยากรู้ว่าควรเเบ่งdAยังไงคับ

ก็แบ่งตามที่แสดงในรูป เพียงแต่ว่าเขาคำนวณพื้นที่ผิด แต่ก็มีคนมาแก้ให้แล้วนิ  อิอิ :coolsmiley:


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: peem on June 19, 2010, 09:10:04 PM
คือในtextเขาเฉลยว่าจุดศก.มวลคือ3h/5เเต่ผมคิดยังไงก็ไม่ตรงรบกวนชี้เเนะด้วยครับ >:A


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: NiG on June 21, 2010, 02:17:54 PM
เปิดคอมมาเจอตอนเช้าพอดี ^ ^
ลองทำยังงี้ดูนะครับ

จากสมมาตรของทรงกระบอก ที่ฐานวางขนานกับ x-y plane แล้วยอดขี้ไปทางแกน z
ใช้ พิกัดเชิงขั้วแบบทรงกระบอก แล้วบอกว่า กรวยทำตัวตามสมการ z=Kr โดยที่ K เป็นค่าคงที่
จากความสมมตร ของทรงกรวย r_{CM}=0 ครับ
แล้วหาจุดศูนย์กลางมวลตามแนวแกน z จะได้ว่า
z_{cm}=\dfrac{\int zdm}{\int dm}=\dfrac{\int zdV}{\int dV}
จากสมมติว่ากรวยมีความหนาแน่นเท่ากันหมดนครับ โดยที่ \dV เป็นปริมาตรเล็กๆ ของจากที่หนา dz แล้ววางตัวขนานกับ x-y plane ซึ่งเท่ากับ dV=\pi r^2dz
เราจะได้
z_{cm}=\dfrac{\int z^3dz}{\int z^2dz}=3/4 h ถ้าให้ h เป็นความสูงของกรวย
ซึ่งก็เท่ากับว่า จุดศุนย์กลางมวลอยุ่ห่างจากยอดของกรวยเท่ากับ 3/4 ของความสูง หรือ 1/4 ของความสูงนับจากฐานของกรวยครับ

มีอ้างอิงคำตอบจากเว็บนอกที่ได้เท่ากันครับ ลองอ่านดู ถ้าไม่ใช่กรวยประหลาดอะไร ไม่มีทางได้ออกมาเป็น 3/5 แน่ๆครับ
http://www.targetiit.com/iit-jee-forum/posts/center-of-mass-11082.html
จาก wikipedia :"The center of mass of a conic solid of uniform density lies one-quarter of the way from the center of mass of the base to the vertex, on the straight line joining the two."

สำหรับรูปทรงที่ไม่สมมาตรในทุกๆด้าน โจทย์ต้นฉบับควรจะบอกว่าให้หาระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลจากไหนนะครับ
ผมยังไม่ฟันธงว่าใน text ที่ peem อ่านมาผิด ถ้าจะให้ดีถามอะไรแบบนี้ ควรจะอ้างอิงที่มาของคำถามแล้วก็ขอโจทย์เต็มๆด้วยนะครับ ^ ^


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: ปิยพงษ์ - Head Admin on June 21, 2010, 05:15:58 PM
Nig โจทย์เขาถามจุดศูนย์กลางมวลของกรวยกลวงนะ  :coolsmiley:

คำตอบคืออยู่ที่หนึ่งในสามของความสูงของกรวย (วัดจากฐานขึ้นไป)


Title: Re: ช่วยเเสดงวิธีหาจุดศูนย์กลางกรวยกลวงทีคับ...
Post by: NiG on June 23, 2010, 12:07:26 AM
เวรกรรม  :buck2:
ขอโทษทีครับอ่านโจทย์ไม่ดีเอง ของั้นลองทำต่อจากของเดิมอีกทีนะครับ (เหมือน กฤษดา จะทำอีกวิธีไปแล้ว)

จากผลเดิมของกรวยตัน ถ้าให้กรวยตันสองอัน อันแรกสูง h_1 อีกอันหนึ่งสูง h_2 ในแนวแกน z เราจะเขียนสมการของจุดศูนย์กลางมวลทั้งสองอันได้เป็น
\rho V_2 (1/4 h_2)=\rho (V_2 - V_1)H+ \rho V_1 (1/4 h_1)
โดยที่เทอมตรงกลางเป็น มวลของทรงกรวยกลวง และตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล ของทรงกรวยกลวงวัดจากฐาน
จากที่เรารู้ว่า
V=1/3 \pi r^2 h=1/3 X\pi h^3 โดยที่ K เป็นค่าคงที่ r=Xz
ดังนั้น
\dfrac{1}{4}({h_2}^4-{h_1}^4)= {h_2}^3-{h_1}^3 H
ถ้าหากให้ h_2=h_1 +\delta h โดยที่ \delta h \approx 0 ดังนั้น h_1\approx h_2\approx hเราจะได้ว่า
H=\dfrac{1}{4}\dfrac{4h_1^3\delta h}{3h_1^2\delta h}=h/3

ผมเพิ่งนึกขึ้นมาได้ว่า โจทย์อาจจะหมายถึงทรงกรวยกลวงที่มีฐานด้วยรึเปล่า แต่ถ้าเกิดมีมวลอยุ่ที่ฐานด้วย ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล จะอยุ่ต่ำกว่า h/3 ซึ่งไม่ใช่ 3/5 ครับ